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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n+r}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \fra

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$\log 3$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n+r}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n(1 + \frac{r}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।यह $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2n} f(\frac{r}{n})$ के रूप का रीमान योग है,जो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ के बराबर होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x}$ है।अतः,$S = \int_{0}^{2} \frac{1}{1+x} dx$ है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $S = [\ln(1+x)]_{0}^{2}$ प्राप्त होता है।$S = \ln(1+2) - \ln(1+0) = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) - 0 = \ln(3)$।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{3 n}\right]=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \dots + \frac{n}{n^2+n^2} \right]$ का मान है

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + \dots + \frac{1}{{2n}}} \right] = $

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}} =$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left\{ \sec ^{2} \frac{\pi}{4 n} + \sec ^{2} \frac{2 \pi}{4 n} + \ldots + \sec ^{2} \frac{n \pi}{4 n} \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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