cos ^2 x frac{d y}{d x}+y=tan x का व्यापक हल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=	an x$. $\cos ^2 x$ से भाग देने पर: $\frac{d y}{d x} + y \sec ^2 x = 	an x \sec ^2 x$. यह $\f

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$y e^{	an x}=(	an x-1) e^{	an x}+c$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=	an x$. $\cos ^2 x$ से भाग देने पर: $\frac{d y}{d x} + y \sec ^2 x = 	an x \sec ^2 x$. यह $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \sec ^2 x$ और $Q(x) = 	an x \sec ^2 x$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \sec ^2 x dx} = e^{	an x}$. व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है। $y e^{	an x} = \int 	an x \sec ^2 x e^{	an x} dx + C$. माना $u = 	an x$,तो $du = \sec ^2 x dx$. समाकलन $\int u e^u du$ हो जाता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u = e^u(u-1)$. मान वापस रखने पर: $y e^{	an x} = e^{	an x}(	an x - 1) + C$.

$\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

मान लीजिए कि $y=Y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+y \tan x=2x+x^2 \tan x$,$x \in \left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ का हल है,इस प्रकार कि $Y(0)=1$,तो

मान लीजिए कि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0, y > 1, x(e) = e$ का हल है। तो $x(e^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^{4}dy + (4x^{3}y + 2\sin x)dx = 0$,$x>0$,$y(\frac{\pi}{2})=0$ का हल है। तो $\pi^{4}y(\frac{\pi}{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x \geq 0$ के लिए,$y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x+1) dy = ((x+1)^{2} + y - 3) dx$ का हल है और $y(2) = 0$ है,तो $y(3)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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