$\triangle ABC$ में,यदि $S$ परिकेंद्र है और $O$ लंबकेंद्र है,तो $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = $

मान लीजिए $\vec{u}$ एक सदिश है जो सदिशों $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय है। यदि $\vec{u}$,$\vec{a}$ के लंबवत है और $\vec{u} \cdot \vec{b} = 24$ है,तो $|\vec{u}|^2 = \dots$

$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ शून्येतर सदिश हैं ताकि $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के लंबवत है,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=2, |\bar{c}|=1$ और $\bar{b} \cdot \bar{c}=1$ है। एक शून्येतर सदिश $\bar{d}$,$\bar{a}+\bar{b}$ और $2\bar{b}-\bar{c}$ के साथ समतलीय है। यदि $\bar{d} \cdot \bar{a}=1$ है,तो $|\bar{d}|^2=$ (ध्यान दें कि $x$ और $y$ पैरामीटर हैं जब हम $\bar{d}=x(\bar{a}+\bar{b})+y(2\bar{b}-\bar{c})$ लिखते हैं)

यदि $\hat{a}, \hat{b}$ और $\hat{c}$ इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=\vec{0}$,तो $\hat{a} \cdot \hat{b}+\hat{b} \cdot \hat{c}+\hat{c} \cdot \hat{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक $\triangle ABC$ पर विचार करें जहाँ $A(1,3,2)$,$B(-2,8,0)$ और $C(3,6,7)$ हैं। यदि $\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक रेखा $BC$ से $D$ पर मिलता है,तो सदिश $\overrightarrow{AD}$ का सदिश $\overrightarrow{AC}$ पर प्रक्षेप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a} = -4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\vec{b} = \sqrt{2} \hat{i} - \sqrt{2} \hat{j}$ दो सदिश हैं,तो सदिशों $2 \vec{a}$ और $\frac{\vec{b}}{2}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)