WBJEE 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે અથડામણ પહેલા બોલનો વેગ $v$ છે. વેગના ઘટકો $v_x = v \sin \theta$ (ફ્લોરને સમાંતર) અને $v_y = v \cos \theta$ (ફ્લોરને લંબ) છે.
ફ્લોર લીસો હોવાથી,ફ્લોરને સમાંતર કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી,તેથી વેગનો સ્પર્શક ઘટક બદલાતો નથી: $v'_x = v \sin \theta$.
લંબ ઘટક માટે,પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $\varepsilon$ એ લંબ દિશામાં અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\varepsilon = \frac{v'_y}{v_y}$.
આમ,$v'_y = \varepsilon v_y = \varepsilon v \cos \theta$.
ધારો કે $\theta'$ એ લંબ સાથે પરાવર્તનનો ખૂણો છે. તો,$\tan \theta' = \frac{v'_x}{v'_y} = \frac{v \sin \theta}{\varepsilon v \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{\varepsilon}$.
તેથી,$\theta' = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\varepsilon}\right)$.

(A) ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે બ્લોકનું તાપમાન વધારે છે.
આપેલ છે: દળ $m = 20 \ kg = 20000 \ g$,વેગ $v = 0.5 \ ms^{-1}$,સમય $t = 2.1 \ s$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 0.1 \ cal \ g^{-1} \ ^{\circ}C^{-1} = 0.1 \times 4.2 \ J \ g^{-1} \ ^{\circ}C^{-1} = 0.42 \ J \ g^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg = 0.1 \times 20 \times 10 = 20 \ N$.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W = f \times d = f \times (v \times t) = 20 \times 0.5 \times 2.1 = 21 \ J$.
ઉષ્મા ઉર્જા $Q = mc \Delta T$.
કારણ કે $W = Q$,તેથી $21 = 20000 \times 0.42 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{21}{20000 \times 0.42} = \frac{21}{8400} = 0.0025^{\circ} C$.

(A) ધારો કે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે $F$ બળ લગાડવામાં આવે છે.
બળોના ઘટકો પાડતા,શિરોલંબ સંતુલન માટે: $N + F \sin \theta = mg$,તેથી $N = mg - F \sin \theta$.
ઘર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે જરૂરી સમક્ષિતિજ બળ: $F \cos \theta = f_s = \mu N$.
$N$ ની કિંમત મૂકતા: $F \cos \theta = \mu (mg - F \sin \theta)$.
$F$ ને કર્તા બનાવતા: $F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg$,જે આપે છે $F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$.
લઘુત્તમ બળ $F$ શોધવા માટે,છેદ $D = \cos \theta + \mu \sin \theta$ ને મહત્તમ બનાવવો પડે.
$\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન શૂન્ય લેતા: $\frac{dD}{d\theta} = -\sin \theta + \mu \cos \theta = 0$.
આ સૂચવે છે કે $\tan \theta = \mu$.
$\sin \theta = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$ ને $F$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{\min} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}} + \mu \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}} = \frac{\mu mg}{\frac{1+\mu^2}{\sqrt{1+\mu^2}}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1+\mu^2}}$.

(C) ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનતા $\rho_{s}$ ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થનો,$\rho_{L}$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v_{T}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{T} = \frac{2r^{2}(\rho_{s} - \rho_{L})g}{9\eta}$
અન્ય તમામ પરિબળો $(r, \rho_{s}, \rho_{L}, g)$ અચળ છે તેમ ધારતા,ટર્મિનલ વેગ અને સ્નિગ્ધતા વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$v_{T} \propto \frac{1}{\eta}$
આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જ્યાં જેમ $\eta$ વધે છે તેમ $v_{T}$ ઘટે છે. તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે વ્યસ્ત સંબંધ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે:
પ્લેનનો આડો વેગ,$u = 360 \text{ km/h} = 360 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 100 \text{ m/s}$.
ઊંચાઈ,$h = 500 \text{ m}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 10 \text{ m/s}^2$.
જ્યારે બોમ્બ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા મળે છે.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \text{ s}$.
આ સમય દરમિયાન બોમ્બ દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર $R = u \times t$ છે.
$R = 100 \text{ m/s} \times 10 \text{ s} = 1000 \text{ m}$.
તેથી,બોમ્બને લક્ષ્યથી $1000 \text{ m}$ આગળ ફેંકવો જોઈએ.

(D) ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓની બાહ્ય ત્રિજ્યા સમાન છે $(R_1 = R_2 = R)$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે $(I_1 = I_2)$,તેથી $\frac{2}{5}M_1R^2 = \frac{2}{5}M_2R^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $M_1 = M_2$.
જો કે,જો ગોળાઓ પોલા હોય અથવા તેમની આંતરિક રચના અલગ હોય,તો તેમના દળ અલગ હોવા છતાં પણ જો તેમનું દળ વિતરણ અલગ હોય તો તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોઈ શકે છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે,તેથી ચાકગતિ ઉર્જા $(K_r)$ નું સૂત્ર $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
જેহেতু $I_1 = I_2$ અને બંને સમાન કોણીય ઝડપ $(\omega_1 = \omega_2 = \omega)$ થી ફરે છે,તેથી તેમની ચાકગતિ ઉર્જા સમાન હશે $(K_{r1} = K_{r2} = \frac{1}{2}I\omega^2)$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચું વિધાન છે.

(A) $\ell$ લંબાઈના સાદા લોલક માટે,સમક્ષિતિજની નીચે $\theta$ ખૂણે કોણીય વેગ $\omega_1$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી મળે છે: $mg(\ell \sin \theta) = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (\omega_1 \ell)^2$. તેથી,$\omega_1 = \sqrt{\frac{2g \sin \theta}{\ell}}$.
એક છેડેથી ધરી પર ફરતા $L$ લંબાઈના સમાન સળિયા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} m L^2$ છે. જ્યારે તે $\theta$ ખૂણે ફરે છે ત્યારે ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા $mg(\frac{L}{2} \sin \theta)$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $mg(\frac{L}{2} \sin \theta) = \frac{1}{2} I \omega_2^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m L^2) \omega_2^2$. સાદું રૂપ આપતા $\omega_2 = \sqrt{\frac{3g \sin \theta}{L}}$ મળે છે.
ગતિ સિંક્રનસ હોવાથી,$\omega_1 = \omega_2$,તેથી $\frac{2}{\ell} = \frac{3}{L}$.
આમ,$L = \frac{3}{2} \ell$.

(B) ધારો કે $Y_s$ અને $Y_b$ એ અનુક્રમે સ્ટીલ અને પિત્તળના યંગ મોડ્યુલસ છે. આપેલ છે કે $Y_s = 2 \times 10^{12} \,dynes/cm^{2}$ અને $Y_b = 1 \times 10^{12} \,dynes/cm^{2}$.
ધારો કે $L = 50 \,cm$ લંબાઈ છે, $A = 0.005 \,cm^{2}$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, અને $\Delta L = 0.1 \,cm$ બંને તાર માટે લંબાઈમાં વધારો છે.
તારમાં તણાવ $T$ એ $T = \frac{Y A \Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $A, \Delta L,$ અને $L$ બંને તાર માટે સમાન છે, તેથી તણાવ $T$ એ યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(T \propto Y)$.
ધારો કે $T_s$ એ સ્ટીલના તારમાં તણાવ છે અને $T_b$ એ પિત્તળના તારમાં તણાવ છે.
$T_s = \frac{Y_s A \Delta L}{L}$ અને $T_b = \frac{Y_b A \Delta L}{L}$.
જ્યાં ભાર $W$ લાગુ કરવામાં આવે છે તે બિંદુની આસપાસ ટોર્ક લેતા, જે સ્ટીલના તારથી $x$ અંતરે છે:
$T_s \cdot x = T_b \cdot (15 - x)$.
પ્રમાણસરતા $T_s \propto Y_s$ અને $T_b \propto Y_b$ મૂકતા:
$Y_s \cdot x = Y_b \cdot (15 - x)$.
$(2 \times 10^{12}) \cdot x = (1 \times 10^{12}) \cdot (15 - x)$.
$2x = 15 - x$.
$3x = 15$.
$x = 5 \,cm$.

(D) ધારો કે કેલરીમીટરનું પાણી-તુલ્ય (water equivalent) $W \ g$ છે.
પગલું $1$: ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા + કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$100 \times 1 \times (100 - 20) = 300 \times 1 \times (20 - 10) + W \times 1 \times (20 - 10)$
$8000 = 3000 + 10W$
$10W = 5000 \implies W = 500 \ g$.
પગલું $2$: મિશ્રણ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ધાતુના બ્લોક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
મિશ્રણનું દળ = $100 \ g + 300 \ g = 400 \ g$.
મિશ્રણ અને કેલરીમીટર દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $(400 \times 1 + 500) \times (20 - 19) = 900 \times 1 = 900 \ cal$.
ધાતુના બ્લોક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m \times S_b \times \Delta T = 1000 \ g \times S_b \times (19 - 10) = 9000 \times S_b$.
બંનેને સરખાવતા: $9000 \times S_b = 900$.
$S_b = 0.1 \ cal/g^{\circ} C$.

(C) દરેક ચક્રમાં શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_H = 130 \text{ cal}$ છે.
દરેક ચક્રમાં મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_C = 30 \text{ cal}$ છે.
દરેક ચક્રમાં કાર્યમાં રૂપાંતરિત થતી ચોખ્ખી ઉષ્મા $W_{\text{net}} = (Q_H - Q_C) \times 4.2 \text{ J/cal} = (130 - 30) \times 4.2 = 100 \times 4.2 = 420 \text{ J}$ છે.
દરેક ચક્રમાં ઘર્ષણને દૂર કરવા માટે વપરાતી ઉર્જા $W_f = 2 \text{ J}$ છે.
દરેક ચક્રમાં લોડને આપવામાં આવતું ઉપયોગી કાર્ય $W_{\text{load}} = W_{\text{net}} - W_f = 420 \text{ J} - 2 \text{ J} = 418 \text{ J}$ છે.
એન્જિન $90 \text{ cycles per minute}$ પર કાર્ય કરે છે, જે $90/60 = 1.5 \text{ cycles per second}$ થાય છે.
લોડને આપવામાં આવતી પાવર $P = W_{\text{load}} \times \text{frequency} = 418 \text{ J} \times 1.5 \text{ s}^{-1} = 627 \text{ W}$ છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$.
સંપૂર્ણ ચક્ર $abca$ માટે, $\Delta U_{net} = 0$, તેથી $\Delta Q_{net} = W_{net}$.
ચોખ્ખી ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q_{net} = \Delta Q_{ab} + \Delta Q_{bc} + \Delta Q_{ca}$ છે.
આપેલ છે:
$\Delta Q_{ab} = -50 \,J$ (ઉષ્મા મુક્ત થાય છે)
$\Delta Q_{bc} = 0 \,J$ (એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા)
$\Delta Q_{ca} = 80 \,J$ (ઉષ્માનું શોષણ થાય છે)
આમ, $\Delta Q_{net} = -50 + 0 + 80 = 30 \,J$.
કારણ કે $\Delta Q_{net} = W_{net}$, ચક્રમાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ ચોખ્ખું કાર્ય $30 \,J$ છે.
$P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ ચક્રમાં કરવામાં આવેલ ચોખ્ખું કાર્ય દર્શાવે છે.
તેથી, બંધ વક્ર $abca$ નું ક્ષેત્રફળ $30 \,J$ છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં, વિભાજકની બંને બાજુએ દબાણ $P_1$ અને $P_2$ સમાન હોવા જોઈએ $(P_1 = P_2)$, અને બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન છે.
ધારો કે પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે। ધારો કે વિભાજક $P$ નું જમણી દીવાલ $B$ થી અંતર $x$ છે। તો ડાબી દીવાલ $A$ થી અંતર $(5 - x)$ થશે.
ડાબા ખાનાનું કદ $V_1 = A(5 - x)$ અને જમણા ખાનાનું કદ $V_2 = Ax$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = (m/M)RT$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે:
ડાબી બાજુ માટે: $P_1 V_1 = (m/32)RT$
જમણી બાજુ માટે: $P_2 V_2 = (m/18)RT$
$P_1 = P_2$ અને $T$ અચળ હોવાથી, $\frac{V_1}{V_2} = \frac{m/32}{m/18} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$ મળે.
કદની કિંમતો મૂકતા: $\frac{A(5 - x)}{Ax} = \frac{9}{16} \implies \frac{5 - x}{x} = \frac{9}{16}$.
$16(5 - x) = 9x \implies 80 - 16x = 9x \implies 25x = 80 \implies x = 3.2 \,m$.
ડાબી દીવાલ $A$ થી અંતર $5 - x = 5 - 3.2 = 1.8 \,m$ થશે.

(C) લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \,s$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \pi \,rad/s$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ સ્થાનાંતર $x = 0$ છે,તેથી ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v(0) = v_{0} = A \omega$,તેથી $A = \frac{v_{0}}{\omega}$.
આપણને $t = 2.25 \,s$ સમયે ઊંચાઈ $h$ જોઈએ છે. $T = 2 \,s$ હોવાથી,$t = 2.25 \,s = T + 0.25 \,s = T + \frac{T}{8}$.
$t = \frac{T}{8} = 0.25 \,s$ સમયે,વેગ $v = v_{0} \cos(\omega \cdot \frac{T}{8}) = v_{0} \cos(\frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{8}) = v_{0} \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + mgh$.
$v = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} v_{0}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{v_{0}}{\sqrt{2}})^{2} + gh$ મળે છે.
$\frac{1}{2} v_{0}^{2} = \frac{1}{4} v_{0}^{2} + gh$.
$gh = \frac{1}{4} v_{0}^{2} \implies h = \frac{v_{0}^{2}}{4g}$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે ડાબી બાજુના લૂપમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે. પરિપથ એક જ લૂપમાં સરળ બને છે જેમાં $2 \ V$ નો કોષ,$2 \ V$ નો કોષ,$4 \ \Omega$ નો અવરોધ,$2 \ \Omega$ નો અવરોધ અને $8 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$2 \ V + 2 \ V - I(4 \ \Omega + 2 \ \Omega + 8 \ \Omega) = 0$
$4 \ V = I(14 \ \Omega)$
$I = \frac{4 \ V}{14 \ \Omega} = \frac{2}{7} \ A \approx 0.2857 \ A \approx 0.29 \ A$.
આમ,$2 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ આશરે $0.29 \ A$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$.
દરેક વર્ણપટ શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઈની રેન્જ $n_i = n_f + 1$ થી $n_i = \infty$ સુધીના સંક્રમણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. લાયમન શ્રેણી $(n_f = 1)$: $\lambda$ ની રેન્જ $\frac{1}{R}$ થી $\frac{4}{3R}$ છે.
$2$. બામર શ્રેણી $(n_f = 2)$: $\lambda$ ની રેન્જ $\frac{4}{R}$ થી $\frac{36}{5R}$ છે.
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$: $\lambda$ ની રેન્જ $\frac{9}{R}$ થી $\frac{144}{7R}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$\frac{7}{5R}$ થી $\frac{19}{5R}$ ની રેન્જ હાઇડ્રોજન પરમાણુની કોઈપણ વર્ણપટ શ્રેણી સાથે સુસંગત નથી.

(D) આપેલ છે: $R = 400 \Omega$,$L = 250 \text{ mH} = 0.25 \text{ H}$,$C = 2.5 \mu \text{F} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ F}$,$V_0 = 5 \text{ V}$,$\omega = 2000 \text{ rad/s}$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ શોધો: $X_L = \omega L = 2000 \times 0.25 = 500 \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ શોધો: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 2.5 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.005} = 200 \Omega$.
પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{400^2 + (500 - 200)^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = 500 \Omega$ છે.
પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{5}{500} = 0.01 \text{ A}$ છે.
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વોલ્ટેજ $(V_C)_0 = I_0 X_C = 0.01 \times 200 = 2 \text{ V}$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $(U_C)_{\max} = \frac{1}{2} C (V_C)_0^2 = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 10^{-6} \times (2)^2 = 5 \times 10^{-6} \text{ J} = 5 \mu \text{J}$ થાય.

(D) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $x$ છે. નેટવર્ક અનંત હોવાથી,આગળ એક વધારાનો વિભાગ ઉમેરવાથી સમતુલ્ય અવરોધમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં. તેથી,સર્કિટને $R$ અને $x$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં $2R$ અવરોધ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = 2R + \frac{R \cdot x}{R + x}$
બંને બાજુ $(R + x)$ વડે ગુણતા:
$x(R + x) = 2R(R + x) + Rx$
$x^2 + Rx = 2R^2 + 2Rx + Rx$
$x^2 - 2Rx - 2R^2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2R \pm \sqrt{(-2R)^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2(1)}$
$x = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2}$
$x = \frac{2R \pm \sqrt{12R^2}}{2}$
$x = \frac{2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}$
$x = R(1 \pm \sqrt{3})$
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે ધન મૂલ્ય લઈએ છીએ:
$x = (1 + \sqrt{3})R$

(A) ધારો કે $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $I_{g}$ એ પૂર્ણ-સ્કેલ વિચલન વખતે વહેતો પ્રવાહ છે.
વોલ્ટમીટર રૂપાંતરણ માટે:
$V_{0} = I_{g}(G + R_{1})$
$G + R_{1} = \frac{V_{0}}{I_{g}}$
$G = \frac{V_{0}}{I_{g}} - R_{1} \dots (1)$
એમીટર રૂપાંતરણ માટે:
$I_{g} G = (I_{0} - I_{g}) R_{2}$
$G = \frac{(I_{0} - I_{g}) R_{2}}{I_{g}} \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{V_{0}}{I_{g}} - R_{1} = \frac{I_{0} R_{2}}{I_{g}} - R_{2}$
$\frac{V_{0} - I_{0} R_{2}}{I_{g}} = R_{1} - R_{2}$
$I_{g} = \frac{V_{0} - I_{0} R_{2}}{R_{1} - R_{2}}$

(B) બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે,$I \propto \frac{1}{d^2}$,જ્યાં $d$ એ ઉદગમથી અંતર છે.
જ્યારે અંતર $d$ બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે તીવ્રતા $I$ તેના મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{4}$ ગણી થઈ જાય છે.
ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તીવ્રતા ઘટતી હોવાથી,એકમ સમયમાં સપાટી પર અથડાતા ફોટોનની સંખ્યા ઘટે છે,જેના પરિણામે ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહમાં ઘટાડો થાય છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં.
તેથી,સાચું પરિણામ એ છે કે ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ ઘટશે.

(C) $LR$ સર્કિટમાં,જ્યારે $DC$ વોલ્ટેજ $V$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્રવાહ $I$ નું સમીકરણ $I(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે,પ્રવાહ $I = 0$ હોય છે કારણ કે ઇન્ડક્ટર પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જેમ જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ પ્રવાહ ધીમે ધીમે વધે છે અને $t \to \infty$ થતાં તે $I_{max} = \frac{V}{R}$ ના સ્થાયી મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
આ વર્તણૂક પ્રશ્નમાં આપેલા વર્ણન સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સર્કિટમાં શ્રેણીમાં એક અવરોધક અને એક ઇન્ડક્ટર છે.

(B) $1$. વર્તુળાકાર લૂપ માટે: પરિઘ $2 \pi R = L$ છે, તેથી $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$2$. ચોરસ લૂપ માટે: પરિમિતિ $4s = a$ છે, જ્યાં $s$ એ ચોરસની બાજુની લંબાઈ છે. તેથી, $s = \frac{a}{4}$.
$3$. વર્તુળાકાર લૂપમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ ને કારણે તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2R}$ છે.
$4$. $a \ll R$ હોવાથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ચોરસ લૂપના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે. ચોરસ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times \text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} = B \times s^2$ છે.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2R} \right) \times s^2 = \left( \frac{\mu_{0} I}{2(L / 2 \pi)} \right) \times \left( \frac{a}{4} \right)^2 = \left( \frac{\mu_{0} I \pi}{L} \right) \times \frac{a^2}{16} = \frac{\mu_{0} \pi a^2}{16 L} I$.
$6$. મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_{0} \pi a^2}{16 L}$ મળે છે.

(A, C, D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની હાજરીમાં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું કુલ બળ લોરેન્ઝ બળ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
વેગ અચળ રહે તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ $(\vec{F} = 0)$.
કિસ્સો $(i)$: જો $\vec{E} = 0$ અને $\vec{B} = 0$ હોય,તો $\vec{F} = 0$. કણ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
કિસ્સો (ii): જો $\vec{E} \neq 0$ અને $\vec{B} \neq 0$ હોય,તો જો $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$ હોય તો બળો એકબીજાને નાબૂદ કરી શકે છે. આ શક્ય છે.
કિસ્સો (iii): જો $\vec{E} = 0$ અને $\vec{B} \neq 0$ હોય,તો બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે. જો $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય,તેથી $\vec{F} = 0$. કણ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
કિસ્સો (iv): જો $\vec{E} \neq 0$ અને $\vec{B} = 0$ હોય,તો બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ છે. $\vec{F} = 0$ માટે,$\vec{E}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જે ધારણાથી વિરુદ્ધ છે. તેથી,આ કિસ્સો શક્ય નથી.
આમ,કિસ્સાઓ $(A)$,$(C)$,અને $(D)$ શક્ય છે.

(A) $x$-અક્ષ પર રહેલા બે ધન બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{x}$ સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ મળે છે: $x < 0$ માટે $E_{x} = \frac{k q_{1}}{x^{2}} + \frac{k q_{2}}{(x-10)^{2}}$,$0 < x < 10$ માટે $E_{x} = \frac{k q_{1}}{x^{2}} - \frac{k q_{2}}{(x-10)^{2}}$,અને $x > 10$ માટે $E_{x} = -\frac{k q_{1}}{x^{2}} - \frac{k q_{2}}{(x-10)^{2}}$.
$1$. $x < 0$ માટે: બંને વિદ્યુતભારો $x$-દિશામાં ઋણ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે,તેથી $E_{x} < 0$. જેમ $x \to 0^{-}$,તેમ $E_{x} \to -\infty$.
$2$. $0 < x < 10$ માટે: $q_{1}$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર ધન છે અને $q_{2}$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર ઋણ છે. વિદ્યુતભારોની વચ્ચે એક એવું બિંદુ છે જ્યાં $E_{x} = 0$ થાય છે. જેમ $x \to 0^{+}$,તેમ $E_{x} \to +\infty$. જેમ $x \to 10^{-}$,તેમ $E_{x} \to -\infty$.
$3$. $x > 10$ માટે: બંને વિદ્યુતભારો $x$-દિશામાં ધન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે,તેથી $E_{x} > 0$. જેમ $x \to 10^{+}$,તેમ $E_{x} \to +\infty$. જેમ $x \to \infty$,તેમ $E_{x} \to 0$.
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે.
$e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE = \frac{eV}{d}$ છે.
ટ્રાન્સવર્સ દિશામાં ($y$-અક્ષ) ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a_y = \frac{F}{m} = \frac{eV}{md}$ છે.
અચળ સમક્ષિતિજ વેગ $v_0$ સાથે $L$ જેટલું અક્ષીય અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v_0}$ છે.
સમય $t$ પછી પ્રાપ્ત થયેલ ટ્રાન્સવર્સ વેગ $v_y = a_y t = \left(\frac{eV}{md}\right) \left(\frac{L}{v_0}\right) = \frac{eVL}{mdv_0}$ છે.
સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = v_0$ અચળ રહે છે.
પ્લેટો સાથે બીમ દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \frac{eVL / mdv_0}{v_0} = \frac{eVL}{mdv_0^2}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{eVL}{mdv_0^2}\right)$.

(B) ધારો કે દોરીઓ વચ્ચેનો પ્રારંભિક ખૂણો $2\theta$ છે. દરેક દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
$m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પિથ બોલ માટે,લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{(2L \sin \theta)^2}$ છે.
સંતુલનમાં બળોને સરખાવતા:
$T \sin \theta = F_e = \frac{kq^2}{4L^2 \sin^2 \theta}$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{kq^2}{4mgL^2 \sin^2 \theta} \implies \tan \theta \sin^2 \theta = \frac{kq^2}{4mgL^2} = C$ (અચળ).
જ્યારે વિદ્યુતભાર $3q$ થાય છે,ત્યારે દોરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $2(2\theta) = 4\theta$ થાય છે,તેથી શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $2\theta$ થાય છે.
આમ,$\tan \theta \sin^2 \theta = \tan(2\theta) \sin^2(2\theta)$.
$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ અને $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan 2\theta}{\tan \theta} = \frac{q'^2}{q^2} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 2\theta} = 9 \cdot \frac{\sin^2 \theta}{4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{9}{4} \sec^2 \theta$.
$\frac{2}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{9}{4} (1 + \tan^2 \theta)$.
ધારો કે $x = \tan^2 \theta$: $\frac{2}{1-x} = \frac{9}{4}(1+x) \implies 8 = 9(1-x^2) \implies 9x^2 = 1 \implies x = 1/3$.
$\tan^2 \theta = 1/3 \implies \tan \theta = 1/\sqrt{3} \implies \theta = 30^{\circ}$.
દોરીઓ વચ્ચેનો પ્રારંભિક ખૂણો $2\theta = 60^{\circ}$ છે.

(B) વિદ્યુતભારીત નક્કર નળાકારની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલા નળાકારની અક્ષ પર રહેલ '$x$' ત્રિજ્યા અને '$\ell$' લંબાઈ ધરાવતા નળાકારને ગૌસિયન સપાટી તરીકે ધ્યાનમાં લો.
આ ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \rho \times V = \rho (\pi x^{2} \ell)$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enc}}{k \varepsilon_{0}}$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અને સમાન હોવાથી,ફ્લક્સ $E(2 \pi x \ell)$ થાય છે.
બંને પદોને સરખાવતા: $E(2 \pi x \ell) = \frac{\rho \pi x^{2} \ell}{k \varepsilon_{0}}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{\rho x}{2 k \varepsilon_{0}}$ મળે છે.

(C) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની પ્રારંભિક કુલ ઊર્જા અને અંતિમ કુલ ઊર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = 0$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $PE_i$ એ તમામ વિદ્યુતભારની જોડીઓની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$a$ બાજુવાળા ચોરસમાં,$a$ અંતરે $4$ જોડીઓ અને $\sqrt{2}a$ અંતરે (વિકર્ણ પર) $2$ જોડીઓ છે.
$PE_i = 4 \times \frac{kq^2}{a} + 2 \times \frac{kq^2}{\sqrt{2}a} = \frac{kq^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.
જ્યારે કણો અનંત અંતરે હોય,ત્યારે અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $PE_f = 0$ થાય છે.
આમ,$KE_f = PE_i = \frac{kq^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = I(\overrightarrow{L} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\overrightarrow{L}$ એ વાહકના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
કોઈપણ બંધ લૂપ માટે,શરૂઆતનું બિંદુ અને અંતિમ બિંદુ સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{L}$ શૂન્ય છે.
તેથી,સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા કોઈપણ બંધ પ્રવાહ લૂપ પર લાગતું કુલ ચુંબકીય બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{loop} = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ (બહારની તરફ) છે.
'$a$' બાજુવાળા ચોરસ લૂપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{square} = 4 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{4 \mu_{0} I}{\pi a} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi a}$ (અંદરની તરફ) છે.
આપેલ છે કે $a/r = 8/\pi$,તેથી $r = \frac{\pi a}{8}$.
$B_{loop}$ માં $r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B_{loop} = \frac{\mu_{0} I}{2(\pi a / 8)} = \frac{4 \mu_{0} I}{\pi a}$ મળે છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_{square} - B_{loop} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi a} - \frac{4 \mu_{0} I}{\pi a} = \frac{4 \mu_{0} I}{\pi a} (\sqrt{2} - 1)$.
આને $\frac{2 \mu_{0} I}{\pi a} \times 2(\sqrt{2} - 1)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જે વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = 20 \times 10^{-2} \times 2 \sin(50 \pi t) = 0.4 \sin(50 \pi t) \,Wb$ છે।
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ છે।
લૂપમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = \int_{0}^{t} I \,dt = -\frac{1}{R} \int_{\phi_1}^{\phi_2} d\phi = -\frac{\phi_2 - \phi_1}{R}$ છે।
$t = 0$ સમયે, $\phi_1 = 0.4 \sin(0) = 0 \,Wb$.
$t = 20 \,ms = 0.02 \,s$ સમયે, $\phi_2 = 0.4 \sin(50 \pi \times 0.02) = 0.4 \sin(\pi) = 0 \,Wb$.
તેથી, કુલ વિદ્યુતભાર $\Delta q = -\frac{0 - 0}{20} = 0 \,C$.

(A) $A = 238$ દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા $(BE/A)$ $7.6 \text{ MeV}$ છે, અને $A = 119$ દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે તે $8.6 \text{ MeV}$ છે.
પિતૃ ન્યુક્લિયસ $(A = 238)$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $E_1 = 238 \times 7.6 \text{ MeV} = 1808.8 \text{ MeV}$ છે.
જ્યારે ન્યુક્લિયસ દરેક $119$ દળ ક્રમાંકના બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે, ત્યારે નીપજ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા $E_2 = 2 \times (119 \times 8.6 \text{ MeV}) = 238 \times 8.6 \text{ MeV} = 2046.8 \text{ MeV}$ થાય છે.
વિખંડન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = 2046.8 \text{ MeV} - 1808.8 \text{ MeV} = 238 \text{ MeV}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $214 \text{ MeV}$ એ સૌથી નજીકનું આશરે મૂલ્ય છે.

(C) બીટા-માઈનસ ક્ષય માટેની ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $_{Z}X^{A} \rightarrow _{Z+1}Y^{A} + _{-1}e^{0} + \bar{\nu} + Q$.
પ્રક્રિયાનું $Q$-મૂલ્ય એ મુક્ત થતી ઉર્જા છે,જે દળ ક્ષતિને $c^{2}$ વડે ગુણવાથી મળે છે.
ન્યુક્લિયસ $X$ નું પરમાણ્વીય દળ $M_{x}$ તેના ન્યુક્લિયર દળ $m_{x}$ સાથે $M_{x} = m_{x} + Zm_{e}$ દ્વારા સંબંધિત છે. તેથી,$m_{x} = M_{x} - Zm_{e}$.
ન્યુક્લિયસ $Y$ નું પરમાણ્વીય દળ $M_{y}$ તેના ન્યુક્લિયર દળ $m_{y}$ સાથે $M_{y} = m_{y} + (Z+1)m_{e}$ દ્વારા સંબંધિત છે. તેથી,$m_{y} = M_{y} - (Z+1)m_{e}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ $Q = (m_{x} - m_{y} - m_{e})c^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયર દળ માટેના પદો મૂકતા:
$Q = [(M_{x} - Zm_{e}) - (M_{y} - (Z+1)m_{e}) - m_{e}]c^{2}$
$Q = [M_{x} - Zm_{e} - M_{y} + Zm_{e} + m_{e} - m_{e}]c^{2}$
$Q = (M_{x} - M_{y})c^{2}$.
તેથી,ઉત્સર્જિત બીટા કણની મહત્તમ ઉર્જા $(M_{x} - M_{y})c^{2}$ છે.

(A) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u = -60 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +30 \ cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-60} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
તેથી,$v = +20 \ cm$ (અરીસાની પાછળ).
બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $20 \ cm$ અંતરે છે.
વસ્તુથી આ પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર $60 \ cm + 20 \ cm = 80 \ cm$ છે.
ધારો કે સમતલ અરીસો વસ્તુથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ સમતલ અરીસાની પાછળ $x$ અંતરે હશે.
લંબન ન રહે તે માટે,સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબ સાથે એકરૂપ થવું જોઈએ.
સમતલ અરીસાના પ્રતિબિંબનું વસ્તુથી અંતર $2x$ છે.
અંતરને સરખાવતા: $2x = 80 \ cm$,જે $x = 40 \ cm$ આપે છે.

(A) પગલું $1$: ખાલી પાત્રની સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ શોધો.
ખાલી પાત્ર માટે, વસ્તુ અંતર $u = -80 \,cm$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = +20 \,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{20} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{20} + \frac{1}{80} = \frac{4+1}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} \,cm^{-1}$.
તેથી, કેન્દ્રલંબાઈ $f = 16 \,cm$ છે.
પગલું $2$: પાણી ભર્યા પછી નવું વસ્તુ અંતર શોધો.
જ્યારે $h = 64 \,cm$ ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરવામાં આવે છે, ત્યારે સિક્કાની આભાસી ઊંડાઈ $d' = \frac{h}{\mu} = \frac{64}{4/3} = 64 \times \frac{3}{4} = 48 \,cm$ થાય છે.
લેન્સથી સિક્કાનું અંતર $80 \,cm$ છે. તળિયેથી આભાસી પ્રતિબિંબનું અંતર $64 - 48 = 16 \,cm$ છે. આમ, લેન્સથી નવું વસ્તુ અંતર $u' = 80 - 16 = 64 \,cm$ છે (અથવા $16 \,cm$ હવા + $48 \,cm$ આભાસી ઊંડાઈ).
તેથી, $u' = -64 \,cm$.
પગલું $3$: પ્રતિબિંબનું નવું સ્થાન $v'$ શોધો.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u'}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{-64} \implies \frac{1}{v'} = \frac{1}{16} - \frac{1}{64} = \frac{4-1}{64} = \frac{3}{64}$.
$v' = \frac{64}{3} \approx 21.33 \,cm$.
તેથી, પ્રતિબિંબ લેન્સની $21.33 \,cm$ ઉપર રચાય છે.

(A) આપેલ છે:
$\beta = 48$
$I_{B} = 200 \mu A = 200 \times 10^{-6} \ A$
$R_{C} = 500 \ \Omega$
$V_{CC} = 5 \ V$
પગલું $1$: કલેક્ટર કરંટ $I_{C}$ ની ગણતરી કરો.
$I_{C} = \beta I_{B} = 48 \times 200 \times 10^{-6} \ A = 9600 \times 10^{-6} \ A = 9.6 \times 10^{-3} \ A = 9.6 \ mA$.
પગલું $2$: આઉટપુટ લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ કરો.
$V_{CC} = I_{C} R_{C} + V_{CE}$
$V_{Y} = V_{CE} = V_{CC} - I_{C} R_{C}$
$V_{Y} = 5 \ V - (9.6 \times 10^{-3} \ A) \times (500 \ \Omega)$
$V_{Y} = 5 \ V - 4.8 \ V = 0.2 \ V$.
આમ,ટર્મિનલ $Y$ પર વોલ્ટેજ $0.2 \ V$ છે.

(D) કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v$ એ આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં થતા ફેરફાર અને ઇનપુટ વોલ્ટેજમાં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$A_v = \frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}} = \frac{\Delta I_C \times R_L}{\Delta V_{BE}}$
આપેલ છે:
લોડ અવરોધ $R_L = 6 k\Omega = 6000 \Omega$
ઇનપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજ $\Delta V_{BE} = 15 mV = 15 \times 10^{-3} V$
કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_C = 1.8 mA = 1.8 \times 10^{-3} A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A_v = \frac{1.8 \times 10^{-3} A \times 6000 \Omega}{15 \times 10^{-3} V}$
$A_v = \frac{1.8 \times 6000}{15} = \frac{10800}{15} = 720$
આમ, એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $720$ છે.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં $n$ માં ક્રમના ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
આમ,$n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ક્રમના ન્યૂનતમ વચ્ચેનું રેખીય અંતર એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ છે,જે $w = y_1 - (-y_1) = 2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $a = 0.5 ~mm = 0.5 \times 10^{-3} ~m$,$\lambda = 600 ~nm = 600 \times 10^{-9} ~m$,અને $D = 50 ~cm = 0.5 ~m$.
કિંમતો મૂકતા: $w = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}} = 1200 \times 10^{-6} ~m = 1.2 ~mm$.

(B) ધારો કે બે સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. આપેલ છે કે $I_1 = 1.5 I_2$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$ છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{I_2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1/I_2} + 1}{\sqrt{I_1/I_2} - 1} \right)^2$.
$\frac{I_1}{I_2} = 1.5$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{1.5} + 1}{\sqrt{1.5} - 1} \right)^2 \approx \left( \frac{1.225 + 1}{1.225 - 1} \right)^2 = \left( \frac{2.225}{0.225} \right)^2 \approx (9.88)^2 \approx 97.7 \approx 98$.