WBJEE 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) અથડામણ પહેલાં બે બ્લોક્સની કુલ ગતિ ઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ છે.
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી (બ્લોક્સ ઓગળી જાય છે),ગતિ ઊર્જામાં મહત્તમ ઘટાડો કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા જેટલો એટલે કે $mv^2$ થાય છે.
આ ઊર્જાનો ઉપયોગ બરફનું તાપમાન $-8^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા અને પછી તેને ઓગળવા માટે થાય છે.
એક બ્લોક માટે જરૂરી ઊર્જા $Q = ms\Delta\theta + mL$ છે.
બે બ્લોક્સ માટે,જરૂરી કુલ ઊર્જા $2(ms\Delta\theta + mL)$ છે.
ઊર્જાના ઘટાડાને જરૂરી ઉષ્મા સાથે સરખાવતા: $mv^2 = 2m(s\Delta\theta + L)$.
બંને બાજુથી $m$ દૂર કરતા: $v^2 = 2(s\Delta\theta + L)$.
આપેલ છે: $s = 2100 \ Jkg^{-1}K^{-1}$,$\Delta\theta = 8^{\circ}C$,$L = 3.36 \times 10^5 \ Jkg^{-1}$.
$v^2 = 2(2100 \times 8 + 3.36 \times 10^5) = 2(16800 + 336000) = 2(352800) = 705600$.
$v = \sqrt{705600} = 840 \ ms^{-1}$.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$T^2 \propto r^3$
કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,$T = \frac{2\pi}{\omega}$ થાય. આ કિંમત નિયમમાં મૂકતા:
$(\frac{2\pi}{\omega})^2 \propto r^3 \Rightarrow \frac{1}{\omega^2} \propto r^3 \Rightarrow r^3 \omega^2 = \text{અચળ}$.
પૃથ્વી $(E)$ અને ગ્રહ $(P)$ માટે:
$r_E^3 \omega_E^2 = r_P^3 \omega_P^2$
અહીં $r_E = R$ અને $\omega_P = 2\omega_E$ આપેલ છે:
$R^3 \omega_E^2 = r_P^3 (2\omega_E)^2$
$R^3 \omega_E^2 = r_P^3 (4\omega_E^2)$
$R^3 = 4 r_P^3$
$r_P^3 = \frac{R^3}{4} = \frac{R^3}{2^2}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$r_P = \frac{R}{2^{2/3}} = 2^{-2/3} R$.

(B) $T$ તાપમાને વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{f}{2} \mu R T$
જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર:
$\Delta U = \frac{f}{2} \mu R \Delta T$
અચળ કદ પરની પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે:
$\Delta Q_V = \mu C_V \Delta T = \Delta U$
$\Delta U$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\mu C_V \Delta T = \frac{f}{2} \mu R \Delta T$
$C_V = \frac{f}{2} R$
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
સૂત્રમાં $f = 5$ મૂકતા:
$C_V = \frac{5}{2} R$

(D) ધારો કે $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $a$ એ દળના પ્રવેગનું મૂલ્ય છે.
કારણ કે $m_{2} > m_{1}$,દળ $m_{2}$ પ્રવેગ $a$ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,અને દળ $m_{1}$ પ્રવેગ $a$ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
દળ $m_{1}$ માટે (ઉપરની તરફ ગતિ): $T - m_{1}g = m_{1}a$ ....$(i)$
દળ $m_{2}$ માટે (નીચેની તરફ ગતિ): $m_{2}g - T = m_{2}a$ ....(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(T - m_{1}g) + (m_{2}g - T) = m_{1}a + m_{2}a$
$(m_{2} - m_{1})g = (m_{1} + m_{2})a$
$a = \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} g$

(C) જ્યારે એક નાનો ગોળાકાર પદાર્થ સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં નીચે પડે છે,ત્યારે તે ત્રણ બળો અનુભવે છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન),ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ અને ઉપરની તરફ લાગતું સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ.
ટર્મિનલ વેગ $v$ પર,પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થનો પરિણામી પ્રવેગ શૂન્ય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{\text{net}} = ma$. પ્રવેગ $a = 0$ હોવાથી,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = 0$ થાય છે.
તેથી,પદાર્થનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધતાના અવરોધક બળના સરવાળા દ્વારા સંપૂર્ણપણે સંતુલિત થાય છે.

(C) આપેલ છે: લંબાઈમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta l}{l} = -0.01$ (કારણ કે તે $1 \%$ ઘટે છે)।
પોઈસન ગુણોત્તર, $\sigma = 0.2$.
સળિયા માટે, કદ $V = A \times l$, જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે。
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
કારણ કે $A = w \times t$ (પહોળાઈ $\times$ જાડાઈ), તેથી $\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta w}{w} + \frac{\Delta t}{t}$.
પોઈસન ગુણોત્તરની વ્યાખ્યા મુજબ, $\sigma = -\frac{\Delta w / w}{\Delta l / l} = -\frac{\Delta t / t}{\Delta l / l}$.
તેથી, $\frac{\Delta w}{w} = -\sigma \frac{\Delta l}{l}$ અને $\frac{\Delta t}{t} = -\sigma \frac{\Delta l}{l}$.
આ કિંમતોને કદના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} - \sigma \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta l}{l} = \frac{\Delta l}{l} (1 - 2\sigma)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = -0.01 \times (1 - 2 \times 0.2) = -0.01 \times (1 - 0.4) = -0.01 \times 0.6 = -0.006$.
તેથી, કદમાં $0.6 \%$ નો ઘટાડો થાય છે।

(A) આપેલ છે,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \ m/s$.
અવધિ $R = 5 \ m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{(10)^2 \sin(2\alpha)}{10}$
$5 = \frac{100 \sin(2\alpha)}{10}$
$5 = 10 \sin(2\alpha)$
$\sin(2\alpha) = \frac{5}{10} = 0.5$.
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,તેથી $2\alpha = 30^{\circ}$ અથવા $2\alpha = 150^{\circ}$.
તેથી,$\alpha = 15^{\circ}$ અથવા $\alpha = 75^{\circ}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું મૂલ્ય $15^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ છે,નોઝલનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{5}{\sqrt{21}} \times 10^{-3} \text{ m}^2$.
કદનો પ્રવાહ દર $Q = \frac{1 \text{ m}^3}{10 \text{ s}} = 0.1 \text{ m}^3/\text{s}$.
પાણીનો વેગ $v = \frac{Q}{A} = \frac{0.1}{\frac{5}{\sqrt{21}} \times 10^{-3}} = \frac{10^{-1} \times \sqrt{21}}{5 \times 10^{-3}} = 20\sqrt{21} \text{ m/s}$.
જ્યારે પાણી સખત દીવાલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તાપમાનમાં મહત્તમ શક્ય વધારો $\Delta T$ ઊર્જા સંતુલન સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $\frac{1}{2}mv^2 = ms\Delta T$.
અહીં,$s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે $= 4.2 \times 10^3 \text{ J/(kg} \cdot ^{\circ}\text{C)}$.
તેથી,$\Delta T = \frac{v^2}{2s} = \frac{(20\sqrt{21})^2}{2 \times 4.2 \times 10^3}$.
$\Delta T = \frac{400 \times 21}{8.4 \times 10^3} = \frac{8400}{8400} = 1^{\circ} \text{C}$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉષ્મીય ઉર્જા $(Q)$ નીચે મુજબ છે: $Q = \sigma A T^4$,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો $A$ અને $B$ ના સપાટીના ક્ષેત્રફળ સમાન છે $(A_A = A_B = A)$,તેથી ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{\sigma A T_A^4}{\sigma A T_B^4} = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$
તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવતા:
$T_A = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_B = 177^{\circ} C = 177 + 273 = 450 \ K$
કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{Q_A}{Q_B} = \left(\frac{300}{450}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4$
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{16}{81}$
આમ,$A$ અને $B$ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉષ્મીય ઉર્જાનો ગુણોત્તર $16: 81$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે એડિબેટિક સંકોચન પછીનું તાપમાન $T$ છે. તો,$T_{0} V_{0}^{\gamma-1} = T \left(\frac{V_{0}}{2}\right)^{\gamma-1}$.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = T_{0} 2^{\gamma-1}$ મળે છે.
જ્યારે વાયુને $\frac{V_{0}}{2}$ જેટલા અચળ કદ પર આસપાસના વાતાવરણ સાથે તાપીય સંતુલનમાં આવવા દેવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે: $\Delta Q = n C_{V} \Delta T$.
$C_{V} = \frac{R}{\gamma-1}$ અને આદર્શ વાયુના નિયમ $n R T_{0} = p_{0} V_{0}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta Q = n \left(\frac{R}{\gamma-1}\right) (T - T_{0}) = \frac{n R T_{0}}{\gamma-1} (2^{\gamma-1} - 1)$.
$n R T_{0} = p_{0} V_{0}$ મૂકતા,મુક્ત થતી ઉષ્મા $\frac{p_{0} V_{0}}{\gamma-1} (2^{\gamma-1} - 1)$ થાય છે.

(A) આ પ્રક્રિયાને આદર્શ વાયુનું મુક્ત વિસ્તરણ (free expansion) કહેવામાં આવે છે.
સિસ્ટમ ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,આસપાસના વાતાવરણ સાથે કોઈ ઉષ્માનું આદાનપ્રદાન થતું નથી,તેથી $Q = 0$.
વાયુ શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરે છે,તેથી વાયુએ કોઈ બાહ્ય દબાણ વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડતું નથી,તેથી કાર્ય $W = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
$Q = 0$ અને $W = 0$ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U \propto T)$.
$\Delta U = 0$ હોવાથી,આદર્શ વાયુનું તાપમાન અચળ રહે છે.
તેથી,સંતુલન સમયે પ્રાપ્ત થતું અંતિમ તાપમાન $T$ હશે.

(C) આપેલ છે,પાવર $(P) =$ અચળ.
ગતિ ઉર્જા $(KE) = \frac{1}{2} m v^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$P = \frac{d(KE)}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} m v^{2}) = m v \frac{dv}{dt}$.
કારણ કે $P$ અચળ છે,$m v \frac{dv}{dt} = P$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int m v dv = \int P dt \Rightarrow \frac{1}{2} m v^{2} = P t$ (ધારો કે $t=0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $0$ છે).
$v^{2} = \frac{2 P}{m} t \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $\frac{ds}{dt} = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$s = \int \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{3/2}$.
આમ,$s \propto t^{3/2}$,જેનો અર્થ છે કે $s = a t^{3/2}$ જ્યાં $a$ એક અચળાંક છે.

(C) શ્રેણી $R-L-C$ સર્કિટમાં,અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 100 \Omega$,$L = 20 \text{ mH} = 20 \times 10^{-3} \text{ H}$,$f_0 = \frac{1250}{\pi} \text{ Hz}$.
અનુનાદ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1250}{\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3} \times C}}$
$1250 = \frac{1}{2\sqrt{0.02 \times C}}$
$2500 = \frac{1}{\sqrt{0.02 \times C}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$6.25 \times 10^6 = \frac{1}{0.02 \times C}$
$C = \frac{1}{0.02 \times 6.25 \times 10^6} = \frac{1}{0.125 \times 10^6} = 8 \times 10^{-6} \text{ F} = 8 \mu\text{F}$.
જ્યારે $V = 25 \text{ V}$ ના $DC$ સ્ત્રોત દ્વારા ચાર્જ કરવામાં આવે,ત્યારે સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C \times V = 8 \times 10^{-6} \text{ F} \times 25 \text{ V} = 200 \times 10^{-6} \text{ C} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ C} = 0.2 \text{ mC}$.

(A) આપેલ છે,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 60 \text{ mH} = 60 \times 10^{-3} \text{ H}$.
$L-R$ સર્કિટમાં ફેઝ તફાવત,$\theta_{1} = 60^{\circ}$.
કેપેસિટન્સ $C = 0.5 \text{ } \mu\text{F} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ F}$.
$R-C$ સર્કિટમાં ફેઝ તફાવત,$\theta_{2} = 30^{\circ}$.
$L-R$ સર્કિટ માટે,$\tan \theta_{1} = \frac{X_{L}}{R} = \frac{\omega L}{R} \quad \dots(i)$.
$R-C$ સર્કિટ માટે,$\tan \theta_{2} = \frac{X_{C}}{R} = \frac{1}{\omega CR} \quad \dots(ii)$.
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા: $\frac{\tan \theta_{1}}{\tan \theta_{2}} = \frac{\omega L / R}{1 / (\omega CR)} = \omega^{2} LC$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\tan 60^{\circ}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3 = \omega^{2} LC$.
$\omega^{2} = \frac{3}{LC} = \frac{3}{60 \times 10^{-3} \times 0.5 \times 10^{-6}} = \frac{3}{30 \times 10^{-9}} = 10^{8}$.
$\omega = \sqrt{10^{8}} = 10^{4} \text{ rad/s}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{10^{4}}{2 \pi} \text{ Hz}$.

(D) બોહરના પરમાણુ મોડેલ મુજબ,કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi} \dots (i)$
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી,$v = r\omega$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ માં $v = r\omega$ મૂકતા:
$m(r\omega)r = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow m\omega r^2 = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow \omega = \frac{nh}{2\pi mr^2} \dots (ii)$
$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2} \dots (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $r$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\omega = \frac{nh}{2\pi m} \left( \frac{\pi m Z e^2}{n^2 h^2 \epsilon_0} \right)^2$
$\omega = \frac{nh}{2\pi m} \cdot \frac{\pi^2 m^2 Z^2 e^4}{n^4 h^4 \epsilon_0^2}$
$\omega = \frac{\pi m Z^2 e^4}{2 h^3 \epsilon_0^2} \cdot \frac{1}{n^3}$
આમ,$\omega \propto \frac{1}{n^3}$.

(A) જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થાય છે,ત્યારે તેના પરનો વિદ્યુતભાર $q = CE$ હોય છે.
$DC$ સ્ત્રોત (બેટરી) દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = qE = (CE)E = CE^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CE^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા અને અવરોધ $R$ માં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી ઉર્જાના સરવાળા જેટલું હોય છે.
તેથી,અવરોધ $R$ માં વ્યય થતી ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$H = W - U$
$H = CE^2 - \frac{1}{2} CE^2$
$H = \frac{1}{2} CE^2$.

(D) આપેલ સર્કિટમાં $150 V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
શાખા $1$ (ઉપરની) માં બે $20 \mu F$ ના કેપેસીટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \implies C_1 = 10 \mu F$.
શાખા $2$ (નીચેની) માં પણ બે $20 \mu F$ ના કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે. તેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ છે:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \implies C_2 = 10 \mu F$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ થશે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 10 \mu F + 10 \mu F = 20 \mu F$.
સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} V$ દ્વારા મળે છે:
$Q = 20 \times 10^{-6} F \times 150 V = 3000 \times 10^{-6} C = 3 \times 10^{-3} C$.

(C) આપેલ લેડર નેટવર્કમાં,ધારો કે પ્રથમ શ્રેણી અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે.
દરેક નોડ પર,પ્રવાહ શંટ અવરોધ $2R$ અને પછીના શ્રેણી અવરોધ $R$ વચ્ચે વહેંચાય છે.
સર્કિટનું જમણેથી ડાબે વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે લેડર નેટવર્કની સમપ્રમાણતાને કારણે દરેક તબક્કે પ્રવાહ અડધો થઈ જાય છે.
ચોક્કસ રીતે,જો $I_1$ એ પ્રથમ શ્રેણી અવરોધમાં પ્રવેશતો પ્રવાહ હોય,તો ત્યારબાદના શંટ અવરોધોમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1/2, I_1/4, I_1/8$ વગેરે હશે.
અંતિમ શાખામાં પ્રવાહ $I$ એ $I = I_1/8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે પ્રથમ શંટ અવરોધ $2R$ પરનો વોલ્ટેજ $V$ છે,તેથી પ્રથમ શ્રેણી અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = V / (2R)$ છે.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{8} \times \frac{V}{2R} = \frac{V}{16R}$.

(A, C) જ્યારે બે બિંદુઓ વચ્ચે અવરોધ $R$ જોડવામાં આવે ત્યારે જો તે બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય,તો $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ બદલાતો નથી. આ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સંતુલિત સ્થિતિ જેવું જ છે,જ્યાં $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ થાય.
વિકલ્પ $(a)$ માટે: બિંદુ $2$ અને $6$ ને જોડવાથી $(2r, r)$ અને $(4r, 2r)$ અવરોધની બાજુઓ વાળો બ્રિજ બને છે. કારણ કે $\frac{2r}{4r} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$,તેથી બ્રિજ સંતુલિત છે.
વિકલ્પ $(b)$ માટે: બિંદુ $3$ અને $6$ ને જોડવાથી $(3r, r)$ અને $(3r, 2r)$ અવરોધની બાજુઓ વાળો બ્રિજ બને છે. કારણ કે $\frac{3r}{3r} \neq \frac{r}{2r}$,તેથી બ્રિજ સંતુલિત નથી.
વિકલ્પ $(c)$ માટે: બિંદુ $4$ અને $7$ ને જોડવાથી $(4r, 2r)$ અને $(2r, r)$ અવરોધની બાજુઓ વાળો બ્રિજ બને છે. કારણ કે $\frac{4r}{2r} = \frac{2r}{r} = 2$,તેથી બ્રિજ સંતુલિત છે.
વિકલ્પ $(d)$ માટે: બિંદુ $4$ અને $6$ ને જોડવાથી $(4r, r)$ અને $(2r, 2r)$ અવરોધની બાજુઓ વાળો બ્રિજ બને છે. કારણ કે $\frac{4r}{2r} \neq \frac{r}{2r}$,તેથી બ્રિજ સંતુલિત નથી.
આમ,વિકલ્પ $(a)$ અને $(c)$ માટે સમતુલ્ય અવરોધ બદલાતો નથી.

(D) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સંતુલિત સ્થિતિ મુજબ,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં:
$\frac{P}{Q} = \frac{5}{S} \quad \dots(i)$
બીજા કિસ્સામાં,$R$ ને વધારીને $7 \Omega$ કરવામાં આવે છે અને $S$ ને $3 \Omega$ જેટલું વધારવામાં આવે છે (એટલે કે $S + 3 \Omega$):
$\frac{P}{Q} = \frac{7}{S + 3} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{5}{S} = \frac{7}{S + 3}$
$5(S + 3) = 7S$
$5S + 15 = 7S$
$2S = 15$
$S = 7.5 \Omega$
આમ,$S$ નું પ્રારંભિક મૂલ્ય $7.5 \Omega$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ છે.
બંને કણો સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા હોવાથી,ગતિઊર્જા $KE = qV$ થાય.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
અહીં $h$,$q$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે.
તેથી,$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{m_{p}}}$.
આપેલ છે કે $m_{p} = 2000 m_{e}$,તેથી ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{2000 m_{e}}} = \sqrt{\frac{1}{2000}} = \frac{1}{\sqrt{400 \times 5}} = \frac{1}{20 \sqrt{5}}$.
આમ,$\lambda_{p} = \frac{\lambda_{e}}{20 \sqrt{5}}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $T$ એ $T = hv - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $v$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
વધુમાં,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $J$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો આવૃત્તિ $v$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_{0}$ કરતા વધારે હોય.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરનું એક પ્રમાણભૂત અવલોકન છે.

(B, D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, જ્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A \cos \theta$ સમય સાથે બદલાય ત્યારે લૂપમાં emf પ્રેરિત થાય છે.
$1$. જો લૂપને $B$ ની દિશામાં ખસેડવામાં આવે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$, ક્ષેત્રફળ $A$ અને ખૂણો $\theta$ અચળ રહે છે। તેથી, ફ્લક્સ અચળ રહે છે અને કોઈ emf પ્રેરિત થતું નથી.
$2$. જો લૂપને નાના ક્ષેત્રફળમાં સંકોચવામાં આવે, તો ક્ષેત્રફળ $A$ સમય સાથે બદલાય છે। તેથી, ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ બદલાય છે અને emf પ્રેરિત થાય છે.
$3$. જો લૂપને તેની ધરી પર ફેરવવામાં આવે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્રની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળ સદિશનું અભિવિન્યાસ અચળ રહે છે $(\theta = 0^\circ)$। તેથી, ફ્લક્સ અચળ રહે છે અને કોઈ emf પ્રેરિત થતું નથી.
$4$. જો લૂપને તેના કોઈ એક વ્યાસ પર ફેરવવામાં આવે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ સમય સાથે બદલાય છે। તેથી, ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ બદલાય છે અને emf પ્રેરિત થાય છે.
આમ, $(b)$ અને $(d)$ બંને સ્થિતિમાં ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે, તેથી બંને કિસ્સામાં emf પ્રેરિત થશે.

(A) જો ઘડિયાળના તમામ $12$ કલાકના સ્થાનો પર $+Q$ ના સમાન વિદ્યુતભારો હોત,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાત,કારણ કે દરેક વિદ્યુતભાર તેના વ્યાસાભિમુખ વિરુદ્ધ સ્થાને રહેલા સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર દ્વારા નાબૂદ થાત.
ધારો કે $10$ વાગ્યાના સ્થાને રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{10}$ છે. જ્યારે $10$ વાગ્યાના સ્થાને વિદ્યુતભાર ગેરહાજર હોય ત્યારે ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{net} + \vec{E}_{10} = 0$
તેથી,$\vec{E}_{net} = -\vec{E}_{10}$.
$r$ અંતરે રહેલા એક $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ છે.
$\vec{E}_{10}$ ની દિશા $10$ વાગ્યાના સ્થાનથી કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
આમ,$-\vec{E}_{10}$ એ $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ મૂલ્યનો સદિશ છે જે કેન્દ્રથી $10$ વાગ્યાના સ્થાન તરફની દિશામાં છે.

(A) ધારો કે બે ધન વીજભાર $Q$ એ $(0, d)$ અને $(0, -d)$ પર સ્થિત છે. ઋણ વીજભાર $-q$ ને $(x, 0)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
દરેક ધન વીજભાર $Q$ અને ઋણ વીજભાર $-q$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + d^2}$ છે.
દરેક ધન વીજભાર દ્વારા ઋણ વીજભાર પર લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળનું મૂલ્ય $F_e = \frac{kQq}{r^2}$ છે.
સંમિતિને કારણે $y$-અક્ષ પરના આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $x$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે:
$F = -2 F_e \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r}$.
પદોને મૂકતા:
$F = -2 \left( \frac{kQq}{r^2} \right) \left( \frac{x}{r} \right) = -\frac{2kQqx}{r^3}$.
કારણ કે $r = (x^2 + d^2)^{1/2}$,તેથી:
$F = -\frac{2kQqx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
શરત $x \ll d$ આપેલ હોવાથી,છેદમાં $x^2 + d^2 \approx d^2$ લઈ શકાય:
$F \approx -\frac{2kQqx}{(d^2)^{3/2}} = -\frac{2kQqx}{d^3}$.
આમ,બળ $F$ નું મૂલ્ય સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto x$.

(B) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ધારિત તારથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચાનક અડધો કરવામાં આવે છે, ત્યારે ચોરસ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ઘટે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ, લૂપમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા આ ઘટાડાનો વિરોધ કરે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ મૂળ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં જ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે.
આ માટે, લૂપમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) વહેવો જોઈએ.
હવે, લૂપની બાજુઓ પર લાગતા બળોને ધ્યાનમાં લો:
$1$. તારની નજીકની બાજુ (ધારો કે $CD$) માં વિદ્યુતપ્રવાહ મુખ્ય તારની દિશામાં જ વહે છે. તેથી, તે તાર તરફ આકર્ષણ બળ $F_{CD}$ અનુભવે છે.
$2$. તારથી દૂરની બાજુ (ધારો કે $AB$) માં વિદ્યુતપ્રવાહ મુખ્ય તારની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે. તેથી, તે તારથી દૂર અપાકર્ષણ બળ $F_{AB}$ અનુભવે છે.
તારની નજીક ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધુ હોવાથી, નજીકની બાજુ પર લાગતું આકર્ષણ બળ દૂરની બાજુ પર લાગતા અપાકર્ષણ બળ કરતા વધારે હોય છે $(F_{CD} > F_{AB})$.
તેથી, લૂપ પરનું પરિણામી બળ તારની દિશામાં હોય છે, અને લૂપ તાર તરફ ગતિ કરશે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એક બિંદુએ દાખલ થાય છે અને વર્તુળાકાર તારના વ્યાસાંત વિરુદ્ધ બિંદુએથી બહાર નીકળે છે. આનાથી તાર બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વિભાજિત થાય છે,જેમાંથી દરેક $I/2$ જેટલો પ્રવાહ વહન કરે છે.
દરેક અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,વર્તુળના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે. અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I_{arc}}{4r}$ છે.
બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરે છે,તેથી તેમના દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જો એક ચાપ કાગળની અંદરની તરફ જતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્પન્ન કરે,તો બીજી ચાપ કાગળની બહારની તરફ આવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,વર્તુળના કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B - B = 0$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = 0$ હોવાથી,કણ દ્વારા અનુભવાતું ચુંબકીય બળ $F = q(v \times 0) = 0$ થશે.

(C) તારથી બિંદુ $P$ સુધીના અંતર $r_1 = 3 \ m$ અને $r_2 = 4 \ m$ છે. તાર વચ્ચેનું અંતર $5 \ m$ છે. $3^2 + 4^2 = 5^2$ હોવાથી,બે તાર અને બિંદુ $P$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં $P$ પાસે કાટખૂણો છે.
પ્રથમ તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r_1} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi}$ છે.
બીજા તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r_2} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (4)} = \frac{\mu_0 I}{8 \pi}$ છે.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો $\vec{B}_1$ અને $\vec{B}_2$ બિંદુ $P$ પર એકબીજાને લંબ છે કારણ કે ત્રિકોણ $P$ પાસે કાટકોણ છે. તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B = \sqrt{\left( \frac{\mu_0 I}{6 \pi} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0 I}{8 \pi} \right)^2} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{64}} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \sqrt{\frac{16 + 9}{576}} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \sqrt{\frac{25}{576}} = \frac{5}{24} \left( \frac{\mu_0 I}{\pi} \right)$.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ $v$ વેગ સાથે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે (એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$),ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = qvB$ અનુભવે છે.
આ બળ વેગને લંબ રૂપે કાર્ય કરે છે,જે વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર મેળવતા:
$r = \frac{mv}{qB}$
કણનું વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$r = \frac{p}{qB}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ત્રિજ્યા $r$ એ કણના વેગમાન $p$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) પ્રશ્ન મુજબ,કણ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને તેનો વેગ $v$ છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે,કણ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_{\text{electric}} = qE$ છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે,કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_{\text{magnetic}} = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટે,કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ: $F_{\text{electric}} = F_{\text{magnetic}}$.
મૂલ્યો મૂકતા,આપણને $qE = qvB$ મળે છે.
વેગ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \frac{E}{B}$ મળે છે.
આમ,કણ વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટેની શરત $v = \frac{E}{B}$ છે.

(B) ક્ષય પ્રક્રિયા $X \xrightarrow{\alpha} Y \xrightarrow{\beta} Z$ છે.
ધારો કે $N_X$ અને $N_Y$ એ કોઈપણ સમયે $t$ પર હાજર $X$ અને $Y$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
પુત્રી ન્યુક્લિયસ $Y$ ની સંખ્યામાં ફેરફારનો દર: $\frac{dN_Y}{dt} = \lambda_X N_X - \lambda_Y N_Y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\beta$-કણોના ઉત્સર્જનનો દર $(\lambda_Y N_Y)$ ઘણા મહિનાઓ સુધી અચળ રહે છે,તેથી $\frac{dN_Y}{dt} \approx 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda_X N_X = \lambda_Y N_Y$.
$\alpha$-કણોના ઉત્સર્જનનો દર $\lambda_X N_X$ છે,અને $\beta$-કણોના ઉત્સર્જનનો દર $\lambda_Y N_Y$ છે.
આપેલ છે કે $\beta$-ઉત્સર્જનનો દર $10^{7} / \text{h}$ છે,તેથી $\alpha$-ઉત્સર્જનનો દર પણ $10^{7} / \text{h}$ હોવો જોઈએ.
તેથી,એક કલાકમાં ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $10^{7}$ છે.

(D) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = 0.05 \ m$,વસ્તુ અંતર $u = -0.2 \ m$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{0.05} - \frac{1}{0.2} = 20 - 5 = 15 \ m^{-1}$.
તેથી,$v = \frac{1}{15} \ m$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $-\frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2} = 0$.
આ સૂચવે છે કે $dv = \left( \frac{v^2}{u^2} \right) du$.
પ્રતિબિંબના દોલનનો કંપવિસ્તાર $A_{image} = |dv|$ એ $A_{image} = \left( \frac{v}{u} \right)^2 A_{object}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $A_{object} = A \ cm = A \times 10^{-2} \ m$.
$A_{image} = \left( \frac{1/15}{0.2} \right)^2 \times A \times 10^{-2} \ m = \left( \frac{1}{15 \times 0.2} \right)^2 \times A \times 10^{-2} \ m = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times A \times 10^{-2} \ m = \frac{A}{9} \times 10^{-2} \ m$.

(B) આપાત કિરણનો સદિશ $\hat{e}_0$ છે અને પરાવર્તિત કિરણનો સદિશ $\hat{e}$ છે. લંબ સદિશ $\hat{n}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ એ પરાવર્તનકોણ જેટલો હોય છે,અને ત્રણેય સદિશો એક જ સમતલમાં હોય છે.
ધારો કે $\theta$ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કારણ કે $\hat{e}_0$ અરીસા તરફ નિર્દેશિત છે,$\hat{e}_0$ અને $\hat{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(180^\circ - \theta)$ છે.
તેથી,$\hat{e}_0 \cdot \hat{n} = |\hat{e}_0| |\hat{n}| \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$.
આપણે આપાત કિરણ $\hat{e}_0$ ને લંબ $\hat{n}$ ને સમાંતર અને લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\hat{e}_0 = \hat{e}_{0\perp} + \hat{e}_{0\parallel} = (\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n} + (\hat{e}_0 - (\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n})$.
પરાવર્તિત કિરણ $\hat{e}$ નો અરીસાની સપાટીને સમાંતર ઘટક સમાન રહે છે પરંતુ લંબની દિશામાંનો ઘટક ઉલટાઈ જાય છે:
$\hat{e} = -(\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n} + (\hat{e}_0 - (\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n})$.
$\hat{e} = \hat{e}_0 - 2(\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉનમાં છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે, આપણે પહેલા $1 k\Omega$ ના અવરોધ અને ઝેનર ડાયોડના સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ શોધીએ છીએ (ઝેનર ડાયોડને જોડ્યા વગર)।
વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $1 k\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_{AB}$ નીચે મુજબ છે:
$V_{AB} = V_s \times \frac{R_{parallel}}{R_s + R_{parallel}} = 10 V \times \frac{1 k\Omega}{1 k\Omega + 1 k\Omega} = 10 V \times \frac{1}{2} = 5 V$.
અહીં $A$ અને $B$ ટર્મિનલ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $5 V$ છે, જે ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $6 V$ કરતા ઓછો છે, તેથી ઝેનર ડાયોડમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
તેથી, ઝેનર ડાયોડમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $0 A$ (શૂન્ય) છે.

(B) ડી મોર્ગનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,બે ચલના સરવાળાનો પૂરક એ તેમના વ્યક્તિગત પૂરકોના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\overline{A+B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$.
તેથી,પદાવલિ $\bar{A} \cdot \bar{B}$ એ $\overline{A+B}$ ને સમતુલ્ય છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર મળે છે: $\frac{\Delta \beta}{\beta} = \frac{\Delta D}{D} - \frac{\Delta d}{d}$.
આપેલ છે કે $D$ માં $0.5 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = 0.5 \%$.
આપેલ છે કે $d$ માં $0.3 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = -0.3 \%$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta \beta}{\beta} \times 100 = 0.5 \% - (-0.3 \%) = 0.5 \% + 0.3 \% = 0.8 \%$.
તેથી,શલાકાની પહોળાઈ $0.8 \%$ વધે છે.

(C) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
કોણીય પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta\theta = \frac{2\Delta\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\Delta\lambda = |\lambda_1 - \lambda_2|$.
આપેલ આવૃત્તિઓ $f_1 = 4 \times 10^{14} \ s^{-1}$ અને $f_2 = 5 \times 10^{14} \ s^{-1}$ છે.
$\lambda = \frac{c}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે:
$\lambda_1 = \frac{3 \times 10^8}{4 \times 10^{14}} = 7.5 \times 10^{-7} \ m$.
$\lambda_2 = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 6.0 \times 10^{-7} \ m$.
$\Delta\lambda = |7.5 \times 10^{-7} - 6.0 \times 10^{-7}| = 1.5 \times 10^{-7} \ m$.
આપેલ છે કે $\Delta\theta = 0.6 \ \text{radian}$.
$d = \frac{2\Delta\lambda}{\Delta\theta}$ પરથી:
$d = \frac{2 \times 1.5 \times 10^{-7}}{0.6} = \frac{3.0 \times 10^{-7}}{0.6} = 5 \times 10^{-7} \ m$.