ધારો કે $f(x)$ એ વિકલનીય વિધેય છે,$f^{\prime}(x) > f(x)$ અને $f(0) = 0$. તો

સમીકરણ $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે એક વિધેય $f: R \rightarrow R$ આ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે :
$f(x)=\begin{cases} \int_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \\ x^{2}+b x, & x \leq 4 \end{cases}$
જ્યાં $b \in R$. જો $f$ એ $x=4$ આગળ સતત હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

List-$I$	List-$II$
$A$. જો $y = |x| + |x - 2|$ હોય,તો $x = 2$ આગળ,$\frac{dy}{dx} =$	$I$. $2$
$B$. જો $f(x) = |\cos 2x|$ હોય,તો $f'(\frac{\pi}{4} +) =$	$II$. $0$
$C$. જો $f(x) = \sin(\pi[x])$ હોય,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તો $f'(1-) =$	$III$. $-2$
$D$. જો $f(x) = \log|x - 1|$,$x \neq 1$ હોય,તો $f'(\frac{1}{2}) =$	$IV$. અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી

બે વક્રો $C_1 : y = x^2 - 3$ અને $C_2 : y = kx^2, k \in R$,એકબીજાને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે. છેદબિંદુ $A \equiv (a, y_1), (a > 0)$ માંથી $C_2$ પર દોરેલો સ્પર્શક $C_1$ ને ફરીથી $B(1, y_2), (y_1 \neq y_2)$ બિંદુએ મળે છે. '$a$' નું મૂલ્ય શોધો.

$x > 0$ માટે વિધેયો $f_{1}(x) = x$ અને $f_{2}(x) = 2 + \ln x$ ધ્યાનમાં લો. આ વિધેયોના આલેખ ક્યાં છેદે છે?