TS EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) वृत्त का केंद्र $(h, k)$ दोनों अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x - 3y = -5$ $(1)$
$4x - 5y = -7$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4x - 6y = -10$ $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(3)$ घटाने पर: $(4x - 5y) - (4x - 6y) = -7 - (-10) \implies y = 3$.
$y = 3$ को $(1)$ में रखने पर: $2x - 3(3) = -5 \implies 2x - 9 = -5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
अतः,वृत्त का केंद्र $(2, 3)$ है।
बिंदु $(2, 5)$ वृत्त पर स्थित है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(2, 3)$ और बिंदु $(2, 5)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+6x-6y+2=0$ है।
तुलना करने पर,केंद्र $C(-3, 3)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ है,जिससे $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
समकोण त्रिभुज के गुण से,$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{r}{CP} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $CP = 5$।
$CP^2 = (k+3)^2 + (6k-3)^2 = 25$।
$37k^2 - 30k - 7 = 0$।
$(37k + 7)(k - 1) = 0$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $k = 1$।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ है। केंद्र $C = (-2, 1)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
बिंदु $P(2, -1)$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी $PC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{r^3 \sqrt{PC^2-r^2}}{PC^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{2^3 \times \sqrt{20-4}}{20} = \frac{8 \times 4}{20} = \frac{32}{20} = \frac{8}{5}$.

(D) मान लीजिए कि दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या $r$ है। ऐसे वृत्त का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है।
चूंकि वृत्त $A=(1,2)$ से गुजरता है,हमारे पास $(1-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$,जो $r^2 - 6r + 5 = 0$ में सरल हो जाता है।
$r$ के लिए हल करने पर,$(r-1)(r-5) = 0$,इसलिए $r=1$ या $r=5$ है।
दो वृत्त $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ और $C_2: (x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$C_1: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 - 10x - 10y + 25 = 0$
$C_1$ से $C_2$ घटाने पर: $8x + 8y - 24 = 0$,या $x + y = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A=(1,2)$ रेखा $x+y=3$ पर स्थित है,बिंदु $B$ केंद्रों $(1,1)$ और $(5,5)$ को जोड़ने वाली रेखा के सापेक्ष $A$ का प्रतिबिंब है। केंद्रों की रेखा $y=x$ है।
$y=x$ के सापेक्ष $(1,2)$ का प्रतिबिंब $(2,1)$ है। अतः $B=(2,1)$ है।
लंबाई $AB = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।

(C) माना जीवा का मध्यबिंदु $M(8, y_0)$ है। चूंकि जीवा वृत्त $x^2+y^2=75$ के भीतर स्थित है,मध्यबिंदु को $8^2+y_0^2 < 75$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $64+y_0^2 < 75$,यानी $y_0^2 < 11$. अतः,$y_0 \in (-3.31, 3.31)$.
मूलबिंदु $(0,0)$ को मध्यबिंदु $M(8, y_0)$ से जोड़ने वाली त्रिज्या का ढाल $m_r = \frac{y_0}{8}$ है।
जीवा इस त्रिज्या के लंबवत है,इसलिए इसका ढाल $m = -\frac{1}{m_r} = -\frac{8}{y_0}$ है।
हमें दिया गया है कि $m$ एक पूर्णांक है। अतः,$y_0 = -\frac{8}{m}$ जहाँ $m \neq 0$ एक पूर्णांक है।
यदि हम $y_0$ को पूर्णांक मानते हैं,तो $y_0 \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
$y_0=0$ के लिए,$m$ अपरिभाषित है।
$y_0 \in \{-2, -1, 1, 2\}$ के लिए,$m = -8/y_0$ एक पूर्णांक है। ये मान $m \in \{4, 8, -8, -4\}$ हैं।
अतः,कुल $4$ जीवाएँ प्राप्त होती हैं।

(D) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-2x+ky+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-kx-2y+1=0$ हैं।
मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होती है,जो $(-2+k)x + (k+2)y = 0$ है।
दिए गए विकल्पों की जांच करने पर,सही विकल्प $(1, 3)$ है।

(B) माना वृत्त $C$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि $C$,$(1, 1)$ से गुजरता है,$2g+2f+c = -2$ (समीकरण $1$)।
वृत्त $C$,$x^2+y^2-2x=0$ की परिधि को समद्विभाजित करता है। उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $2(g+1)x+2fy+c=0$ है।
यह रेखा $x^2+y^2-2x=0$ के केंद्र $(1, 0)$ से गुजरती है।
अतः $2(g+1)(1)+c=0$,जिससे $2g+c = -2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ से $f=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $C$,$x^2+y^2+2y-3=0$ के लंबकोणीय है,$2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ की शर्त से $c=3$ प्राप्त होता है।
समीकरण $2$ में $c=3$ रखने पर $g = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः वृत्त $C$ का केंद्र $(-g, -f) = (\frac{5}{2}, 0)$ है।

(D) माना $C_2$ की त्रिज्या $r_2 = r$ है और $C_1$ की त्रिज्या $r_1 = 3r$ है।
केंद्र $O_1(1, 2)$ और $O_2(3, -2)$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d$ के लिए $d^2 = (3-1)^2 + (-2-2)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$ है।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय काटते हैं,शर्त $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ है।
मान रखने पर: $20 = (3r)^2 + r^2 = 9r^2 + r^2 = 10r^2$.
अतः,$10r^2 = 20$,जिसका अर्थ है $r^2 = 2$.
केंद्र $(1, -2)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 2$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 2$.
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$.

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-4x+2y-4=0$ और $C_2: x^2+y^2-2x+4y-11=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $O_1 = (2, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)} = 3$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $O_2 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-11)} = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{2}$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{2 - 9 - 16}{2(3)(4)} = \frac{-23}{24}$।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{-23}{24})^2 = \frac{47}{576}$।
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{47}}{24}$।

(D) मान लीजिए वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं और उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है।
यदि दो वृत्तों में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,तो वे दो स्थितियों में हो सकते हैं:
$1$. एक वृत्त पूरी तरह से दूसरे के अंदर स्थित हो: इस स्थिति में,$d < |r_1 - r_2|$,और $0$ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ होती हैं।
$2$. वृत्त एक-दूसरे से पूरी तरह अलग हों: इस स्थिति में,$d > r_1 + r_2$,और $4$ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ ($2$ सीधी और $2$ तिर्यक) होती हैं।
अतः,या तो $0$ या $4$ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ होंगी।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ है,जिसे $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसका केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $1$ है।
वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ की मूल अक्ष $(2g-\frac{3}{2})x+(2f-4)y=0$ है।
चूंकि यह रेखा पहले वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2g+2f-\frac{11}{2})^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
माना $A = 2g-\frac{3}{2}$ और $B = 2f-4$ है। समीकरण $(A+B+4)^2 = A^2+B^2$ बन जाता है,जो सरल होकर $AB+4A+4B+8=0$ हो जाता है।
इसके गुणनखंड $(A+4)(B+4)=0$ हैं।
अतः,$A=-4$ या $B=-4$ है।
यदि $A=-4$,तो $2g-\frac{3}{2}=-4 \implies g=-\frac{5}{4}$।
यदि $B=-4$,तो $2f-4=-4 \implies f=0$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $g=\frac{3}{4}$ या $f=2$ है।

(A) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x-2y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x+2y-2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ ज्ञात करने पर:
$4x - 4y + 3 = 0$।
वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^2+y^2+(2+4\lambda)x + (-2-4\lambda)y + (1+3\lambda) = 0$ है।
केंद्र $(h, k) = (-(1+2\lambda), (1+2\lambda))$ है।
अतः,$h = -k$,यानी $x+y=0$।
केंद्र हमेशा $x+y=0$ रेखा पर स्थित है।

(A) वृत्त $C_1$ का केंद्र $O_1 = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
वृत्त $C_2$ का केंद्र $O_2 = (-3, -9)$ और त्रिज्या $r_2 = 8$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $O_1O_2 = 13$ है,जो $r_1+r_2$ के बराबर है,अतः वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
स्पर्श बिंदु $P$,$O_1O_2$ को $5:8$ के अनुपात में विभाजित करता है,जिससे $P = \left(\frac{1}{13}, -\frac{21}{13}\right)$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(h, k)$,$O_1$ और $O_2$ को जोड़ने वाली रेखा $12x-5y-9=0$ पर स्थित है।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर,यह रेखा पर स्थित है। अतः सही उत्तर $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$ है।

(A) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि $S$,$S_1, S_2, S_3$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है,इसलिए $S_1, S_2, S_3$ का मूल केंद्र (radical center) ही $S$ का केंद्र है।
$S_1$ और $S_2$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0 \implies 4x-y-7=0$ है।
$S_2$ और $S_3$ की मूल अक्ष $S_2-S_3=0 \implies x+y-3=0$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर,$S$ का केंद्र $(2, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः $S=0$ और $S_1=0$ की मूल अक्ष $4x-y-7=0$ है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है।
चूंकि वृत्त $(-1, 1)$ बिंदु से गुजरता है,इसलिए केंद्र से इस बिंदु की दूरी त्रिज्या के बराबर होगी।
अतः,$\sqrt{(h + 1)^2 + (k - 1)^2} = |k|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h + 1)^2 + (k - 1)^2 = k^2$.
$(h + 1)^2 + k^2 - 2k + 1 = k^2$.
$(h + 1)^2 = 2k - 1$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$(x + 1)^2 = 2(y - 1/2)$.
यह एक परवलय का समीकरण है जिसकी नाभि $(-1, 1)$ है।

(A) दिया गया वृत्त $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ है,जिसका केंद्र $C(2, -1)$ और त्रिज्या $R = 5$ है।
रेखा $x = 1 + \frac{r}{2}$ और $y = -2 + \frac{\sqrt{3}}{2} r$ द्वारा दी गई है।
$r$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$r = 2(x-1)$ और $r = \frac{2}{\sqrt{3}}(y+2)$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$\sqrt{3}x - y - (\sqrt{3}+2) = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(2, -1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|\sqrt{3}-1|}{2}$ है।
चूंकि $d < R$ है,रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
चूंकि रेखा केंद्र से नहीं गुजरती है,इसलिए यह व्यास के अलावा एक जीवा है।

(A) दिया गया वृत्त $S: x^2+y^2-4x-6y-12=0$ है। केंद्र $C_1(2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2(h, k)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त $P(-1, -1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,बिंदु $P$,$C_1C_2$ को $5:3$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-1 = \frac{5h - 3(2)}{5-3} \implies h = \frac{4}{5}$.
$-1 = \frac{5k - 3(3)}{5-3} \implies k = \frac{7}{5}$.
वृत्त का समीकरण $(x - \frac{4}{5})^2 + (y - \frac{7}{5})^2 = 3^2$ होगा।
सरल करने पर: $5x^2 + 5y^2 - 8x - 14y - 32 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2-14x+6y+33=0$ है।
$X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y=0$ रखें: $x^2-14x+33=0 \implies (x-3)(x-11)=0$.
अतः,बिंदु $A(3, 0)$ और $B(11, 0)$ हैं क्योंकि $OB > OA$ है।
$AB$ का मध्यबिंदु $C$,$(\frac{3+11}{2}, 0) = (7, 0)$ है।
रेखा $L$,$(7, 0)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $-1$ है: $y-0 = -1(x-7) \implies x+y-7=0$.
चूंकि $L$,$S$ और $S^{\prime}$ की रेडिकल अक्ष है,इसलिए $S^{\prime}$ का समीकरण $S + kL = 0$ है:
$x^2+y^2-14x+6y+33 + k(x+y-7) = 0$.
$x^2+y^2+(k-14)x+(k+6)y+(33-7k) = 0$.
$S^{\prime}$ का केंद्र $(-\frac{k-14}{2}, -\frac{k+6}{2})$ है।
चूंकि $L$,$S^{\prime}$ का व्यास है,इसलिए केंद्र $L$ पर स्थित होना चाहिए:
$-\frac{k-14}{2} - \frac{k+6}{2} - 7 = 0 \implies -k+14-k-6-14 = 0 \implies -2k-6=0 \implies k=-3$.
$k=-3$ को समीकरण में रखने पर:
$x^2+y^2+(-3-14)x+(-3+6)y+(33-7(-3)) = 0$.
$x^2+y^2-17x+3y+54=0$.

(B) माना वृत्त $C$ का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |k|$ है।
केंद्र $y=x+1$ पर स्थित है,इसलिए $k = h+1$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ है।
यह वृत्त $Y$-अक्ष पर $2$ इकाई का अंतःखंड बनाता है। $x=0$ रखने पर,$h^2 + (y-k)^2 = k^2$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - 2ky + h^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
अंतःखंड की लंबाई $|y_1 - y_2| = 2\sqrt{k^2 - h^2} = 2$ है।
अतः,$k^2 - h^2 = 1$ है।
$k = h+1$ प्रतिस्थापित करने पर,$(h+1)^2 - h^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h^2 + 2h + 1 - h^2 = 1$,इसलिए $2h = 0$,यानी $h=0$ है।
अतः $k = 0+1 = 1$ है।
वृत्त $C$ का केंद्र $(0, 1)$ है।
हमें $(0, 1)$ से गुजरने वाला वृत्त ज्ञात करना है।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $0^2 + 1^2 - 26(0) - 20(1) + 19 = 1 - 20 + 19 = 0$ है।
अतः,वृत्त $x^2+y^2-26x-20y+19=0$ बिंदु $(0, 1)$ से होकर गुजरता है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-4y-8=0$ है। केंद्र $C(2,2)$ और त्रिज्या $r=4$ है।
रेखा $AB$ के लिए,$CM^2-PM^2=12$ की शर्त पूरी होती है।
विकल्प $2y+3=0$ अर्थात $y=-1.5$ के लिए,केंद्र $(2,2)$ से दूरी $3.5$ है और $P(2,-2)$ से दूरी $0.5$ है।
$3.5^2 - 0.5^2 = 12.25 - 0.25 = 12$।
अतः,सही उत्तर $2y+3=0$ है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-\alpha, \beta)$ है जो $(\alpha, \beta)$ दिया गया है,इसलिए $g=-\alpha$ और $f=-\beta$ है। वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ वृत्त $x^2+y^2-2y-3=0$ को लंबकोणीय काटता है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है। यहाँ $g_1=g, f_1=f, c_1=c$ और $g_2=0, f_2=-1, c_2=-3$ है। अतः,$2g(0) + 2f(-1) = c-3 \implies -2f = c-3 \implies c = 3-2f = 3+2\beta$।
आगे,यह $x^2+y^2+4x+3=0$ को लंबकोणीय काटता है। यहाँ $g_3=2, f_3=0, c_3=3$ है। अतः,$2g(2) + 2f(0) = c+3 \implies 4g = c+3 \implies 4(-\alpha) = c+3 \implies c = -4\alpha-3$।
$c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $3+2\beta = -4\alpha-3 \implies 4\alpha+2\beta = -6 \implies 2\alpha+\beta = -3$।
चूंकि केंद्र $(\alpha, \beta)$ रेखा $2x-3y+4=0$ पर स्थित है,हमारे पास $2\alpha-3\beta+4=0$ है।
$2\alpha+\beta = -3$ से,हमें $2\alpha = -3-\beta$ प्राप्त होता है। इसे रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-3-\beta)-3\beta+4=0 \implies -4\beta+1=0 \implies \beta=1/4$।
तब $2\alpha = -3-1/4 = -13/4 \implies \alpha = -13/8$।
अतः $2\alpha+\beta = -3$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 6y + c = 0$ है।
केंद्र $O = (1, -3)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10 - c}$ है।
केंद्र $(1, -3)$ से रेखा $4x - 3y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी $d = 3$ है।
$r^2 = d^2 + (AB/2)^2$ के अनुसार,$r^2 = 3^2 + 4^2 = 25$।
अतः $10 - c = 25 \implies c = -15$।
चूंकि बिंदु $(1, k)$ वृत्त पर स्थित है,$1^2 + k^2 - 2(1) + 6k - 15 = 0 \implies k^2 + 6k - 16 = 0$।
$(k + 8)(k - 2) = 0$। चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = 2$।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-\alpha, -\beta)$ है जहाँ $\alpha = -g$ और $\beta = -f$ है।
चूंकि वृत्त $x^2+y^2+2x-3y-5=0$ को लंबकोणीय काटता है,$2g-3f = c-5$ है।
चूंकि वृत्त $x^2+y^2-3x+2y+1=0$ को लंबकोणीय काटता है,$-3g+2f = c+1$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $5g-5f = -6 \implies g-f = -1.2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने के कारण,$2g-2f+c = -2$ है।
समीकरणों को हल करने पर $g=1$ और $f=2.2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = -1$ और $\beta = -2.2$ है।
इसलिए,$\alpha-5\beta = -1 - 5(-2.2) = 10$।

(C) वृत्त $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की शक्ति $(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2 - r^2 = 9$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया बिंदु $(2, -1)$,त्रिज्या $r=4$,और केंद्र $(\alpha, \beta)$ रेखा $x+y=0$ पर है,इसलिए $\beta = -\alpha$।
चूंकि केंद्र दूसरे चतुर्थांश में है,$\alpha < 0$ और $\beta > 0$।
मान रखने पर: $(2-\alpha)^2 + (-1-\beta)^2 - 4^2 = 9$।
$\beta = -\alpha$ होने के कारण,$(2-\alpha)^2 + (-1+\alpha)^2 - 16 = 9$।
विस्तार करने पर: $(4 - 4\alpha + \alpha^2) + (1 - 2\alpha + \alpha^2) - 16 = 9$।
$2\alpha^2 - 6\alpha + 5 - 16 = 9 \implies 2\alpha^2 - 6\alpha - 20 = 0$।
$2$ से विभाजित करने पर: $\alpha^2 - 3\alpha - 10 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(\alpha - 5)(\alpha + 2) = 0$।
चूंकि $\alpha < 0$,इसलिए $\alpha = -2$।
तब $\beta = -(-2) = 2$।
अतः,$\beta - \alpha = 2 - (-2) = 4$।

(C) वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x-4y+4=0$ और रेखा $L: x+y-2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda L = 0$ है।
$x^2+y^2+(2+\lambda)x + (\lambda-4)y + (4-2\lambda) = 0$.
यह वृत्त $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ के लंबकोणीय है।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = \frac{2+\lambda}{2}$,$f_1 = \frac{\lambda-4}{2}$,$c_1 = 4-2\lambda$ और $g_2 = -1$,$f_2 = -2$,$c_2 = -4$ है।
मान रखने पर: $2(\frac{2+\lambda}{2})(-1) + 2(\frac{\lambda-4}{2})(-2) = 4-2\lambda - 4$.
$-(2+\lambda) - 2(\lambda-4) = -2\lambda$.
$6 - 3\lambda = -2\lambda \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ रखने पर वृत्त का समीकरण: $x^2+y^2+8x+2y-8=0$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4^2+1^2-(-8)} = \sqrt{25} = 5$।

(C) माना वृत्त $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है। केंद्र $(h, k)$ से रेखाओं की लंबवत दूरी समान होने पर त्रिज्या $r$ प्राप्त होती है।
रेखाओं $x=0$,$x-y=0$ और $2x+3y-10=0$ के लिए दूरियाँ $d_1 = |h|$,$d_2 = \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$ और $d_3 = \frac{|2h+3k-10|}{\sqrt{13}}$ हैं।
$d_1 = d_2 = d_3$ रखने पर,हल करने पर त्रिज्या $r = \frac{5}{\sqrt{13}}$ प्राप्त होती है।

(B) दिया गया वृत्त $S: x^2+y^2-10x-4y+19=0$.
केंद्र $C_1 = (5, 2)$,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{10}$.
नए वृत्त की त्रिज्या $r_2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
वृत्त $(2,3)$ पर स्पर्श करता है और विकल्प $B$ दिए गए बिंदु से गुजरता है और सही त्रिज्या रखता है।

(C) माना वृत्त $(x-2)^2 + (y-0)^2 = r^2$ है।
चूंकि $P$,वृत्त के सापेक्ष $A$ का प्रतिलोम बिंदु है,इसलिए $C, P, A$ संरेख हैं और $CP \cdot CA = r^2$ है।
सदिश $\vec{CA} = (1-2, 2-0) = (-1, 2)$ है।
सदिश $\vec{CP} = \left(\frac{7}{5}-2, \frac{6}{5}-0\right) = \left(-\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)$ है।
यहाँ $\vec{CP} = \frac{3}{5} \vec{CA}$ है,अतः $P, CA$ पर स्थित है।
दूरी $CA = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ है।
दूरी $CP = \sqrt{\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{6}{5}\right)^2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ है।
अतः,$r^2 = CP \cdot CA = \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) \cdot \sqrt{5} = 3$ है।
इसलिए,$r = \sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया परवलय का समीकरण: $x^2 - 2x - 4y + 5 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - 2x + 1 = 4y - 5 + 1$.
$(x - 1)^2 = 4(y - 1)$.
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,$h = 1, k = 1$ और $4a = 4$ प्राप्त होता है,अतः $a = 1$.
परवलय $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $|y_1 - k + a|$ होती है।
बिंदु $(5, 5)$ और मान $k = 1, a = 1$ रखने पर:
नाभीय दूरी $= |5 - 1 + 1| = |5| = 5$.

(A) दिया गया परवलय $y = x^2 - 3x + 2$ है। इसे $(x - \frac{3}{2})^2 = y + \frac{1}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,$h = \frac{3}{2}$,$k = -\frac{1}{4}$,और $4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$1$. $Q$ शीर्ष है,जो $(h, k) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$ है। अतः,$B-II$.
$2$. $S$ नाभि $(h, k+a) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = (\frac{3}{2}, 0)$ है। अतः,$C-III$.
$3$. $Z$ अक्ष $(x = \frac{3}{2})$ और नियता $(y = k-a = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $Z = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ है। अतः,$D-IV$.
$4$. $P$ नाभिलंब का एक अंतिम बिंदु $(h \pm 2a, k+a) = (\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}, 0)$ है। $(2, 0)$ के लिए,हमें $A-I$ प्राप्त होता है।
अतः,सही मिलान $A-I, B-II, C-III, D-IV$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 9x$ है,इसलिए $4a = 9$,जिससे $a = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
माना स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{9}{4m}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(1, 5)$ से गुजरती है,इसलिए $5 = m(1) + \frac{9}{4m}$।
$4m$ से गुणा करने पर,$20m = 4m^2 + 9$,या $4m^2 - 20m + 9 = 0$।
माना मूल $m_1$ और $m_2$ हैं। तो $m_1 + m_2 = 5$ और $m_1 m_2 = \frac{9}{4}$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2} = \sqrt{25 - 4(\frac{9}{4})} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$।
अतः,$\tan \theta = |\frac{4}{1 + 9/4}| = |\frac{4}{13/4}| = \frac{16}{13}$।
चूंकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ और $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1.732$,और $1 < \frac{16}{13} < 1.732$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3}$।

(B) दिया गया परवलय $(y-2)^2 = 3(x-1)$ है।
इसे $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ के साथ तुलना करने पर,$h=1, k=2$ और $4a=3$,इसलिए $a = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
नाभि के निर्देशांक $(h+a, k) = (1 + \frac{3}{4}, 2) = (\frac{7}{4}, 2)$ हैं।
नाभिलंब के सिरे $(h+a, k \pm 2a) = (\frac{7}{4}, 2 \pm \frac{3}{2})$ हैं।
अतः,सिरे $(\frac{7}{4}, \frac{7}{2})$ और $(\frac{7}{4}, \frac{1}{2})$ हैं।
चूंकि $q > 3$,बिंदु $L$ $(\frac{7}{4}, \frac{7}{2})$ है।
परवलय $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-k)(y_1-k) = 2a(x+x_1-2h)$ है।
मान रखने पर: $(y-2)(\frac{7}{2}-2) = 2(\frac{3}{4})(x+\frac{7}{4}-2(1))$
$(y-2)(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}(x-\frac{1}{4})$
$y-2 = x-\frac{1}{4}$
$x-y+\frac{7}{4} = 0$,जिसे सरल करने पर $4x-4y+7=0$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 32x$ है,इसलिए $4a = 32$,जिसका अर्थ है $a = 8$।
बिंदु $P(8, 16)$,$(at^2, 2at)$ के रूप में है,अतः $t_1 = 2$।
$t_1$ पर अभिलंब परवलय को $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} = -2 - \frac{2}{2} = -3$ पर मिलता है।
$Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (8(-3)^2, 16(-3)) = (72, -48)$ हैं।
$Q(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
मान रखने पर: $y(-48) = 2(8)(x + 72)$ $\Rightarrow -48y = 16(x + 72)$ $\Rightarrow -3y = x + 72$ $\Rightarrow x + 3y + 72 = 0$।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ की $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
यहाँ,$4a = 11$,इसलिए $a = \frac{11}{4}$ है।
स्पर्श रेखा बिंदु $(1, 4)$ से गुजरती है,इसलिए $4 = m(1) + \frac{11}{4m}$ है।
$4m$ से गुणा करने पर,हमें $16m = 4m^2 + 11$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $4m^2 - 16m + 11 = 0$ मिलता है।
चूंकि $m_1$ और $m_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं,इसलिए $m_1 + m_2 = 4$ और $m_1m_2 = \frac{11}{4}$ है।
हमें $2(m_1^2 + m_2^2) = 2((m_1 + m_2)^2 - 2m_1m_2)$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$2(4^2 - 2 \times \frac{11}{4}) = 2(16 - \frac{11}{2}) = 2(\frac{32 - 11}{2}) = 21$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा $4x - y = 0$ पर स्थित बिंदु $P(h, k)$ के लिए $k = 4h$ है। परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ होने पर बिंदु का बिंदुपथ $(y^2 - 4ax) \tan^2 \alpha = (x + a)^2$ होता है। यहाँ $a = 1$ और $\alpha = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,$3(y^2 - 4x) = (x + 1)^2$ प्राप्त होता है। $P(h, 4h)$ रखने पर $47h^2 - 14h - 1 = 0$ मिलता है। अतः $h$ का योग $\frac{14}{47}$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 3$,अतः $a = \frac{3}{4}$ है।
परवलय पर बिंदु $(at^2, 2at)$ के लिए,$t$ पर अभिलंब $y = -tx + 2at + at^3$ है।
बिंदु $P\left(\frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)$ के लिए,$at^2 = \frac{3}{4} \implies t_1 = 1$ है।
बिंदु $Q(3,3)$ के लिए,$at^2 = 3 \implies t_2 = 2$ है।
यदि $t_1$ और $t_2$ पर अभिलंब $R(t_3)$ पर मिलते हैं,तो $t_3 = -(t_1 + t_2) = -(1 + 2) = -3$ है।
$R$ के निर्देशांक $(at_3^2, 2at_3) = (\frac{3}{4}(-3)^2, 2(\frac{3}{4})(-3)) = (\frac{27}{4}, -\frac{9}{2})$ हैं।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 7$,इसलिए $a = \frac{7}{4}$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
चूँकि अभिलंब बिंदु $(2, 0)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = 2$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 = -t(2) + 2(\frac{7}{4})t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = -2t + \frac{7}{2}t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = \frac{3}{2}t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = t(\frac{3}{2} + \frac{7}{4}t^2)$
इससे $t = 0$ या $t^2 = -\frac{6}{7}$ प्राप्त होता है।
वास्तविक $t$ के लिए $t^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए केवल $t = 0$ ही एकमात्र वास्तविक हल है।
अतः,केवल $1$ अभिलंब खींचा जा सकता है।

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है जहाँ $a = 1$ है। परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(t^2, 2t)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2t + t^3$ है।
यदि यह अभिलंब बिंदु $P(h, k)$ से गुजरता है,तो $k = -th + 2t + t^3$,जो $t^3 + (2-h)t - k = 0$ में सरल हो जाता है।
माना इस त्रिघात समीकरण के मूल $t_1, t_2, t_3$ हैं। ये तीन अभिलंबों के पाद के प्राचल हैं।
पाद के निर्देशांक $(t_1^2, 2t_1), (t_2^2, 2t_2), (t_3^2, 2t_3)$ हैं।
इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $G(x_g, y_g) = (\frac{t_1^2 + t_2^2 + t_3^2}{3}, \frac{2(t_1 + t_2 + t_3)}{3})$ है।
समीकरण $t^3 + (2-h)t - k = 0$ से,$\sum t_i = 0$ और $\sum t_i t_j = 2-h$ है।
चूंकि $\sum t_i = 0$,केंद्रक का $y$-निर्देशांक $y_g = 0$ है,जो $G(2,0)$ से मेल खाता है।
अब,$x_g = \frac{(\sum t_i)^2 - 2\sum t_i t_j}{3} = \frac{0^2 - 2(2-h)}{3} = \frac{2(h-2)}{3}$ है।
$x_g = 2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2(h-2)}{3} = 2$,जिसका अर्थ है $h-2 = 3$,अतः $h = 5$।

(B) परवलय $y^2 = 12x$ की नाभि $S(3, 0)$ है। माना $P(3t^2, 6t)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
माना $Q(h, k)$ वह बिंदु है जो $SP$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$h = \frac{m(3t^2) + n(3)}{m+n}$ और $k = \frac{m(6t) + n(0)}{m+n}$.
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{k(m+n)}{6m}$.
$t$ का मान $h$ के समीकरण में रखने पर:
$h = \frac{3m(\frac{k(m+n)}{6m})^2 + 3n}{m+n} = \frac{\frac{k^2(m+n)^2}{12m} + 3n}{m+n}$.
$k^2 = \frac{12m}{m+n}h - \frac{36mn}{(m+n)^2}$.
यह $Y^2 = 4AX$ के रूप में है,जहाँ $4A = \frac{12m}{m+n}$.
अतः,नाभिलंब की लंबाई $\frac{12m}{m+n}$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $4a = 5$,इसलिए $a = \frac{5}{4}$ है।
माना बिंदु $P$ $(at^2, 2at)$ है।
$P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब परवलय को पुनः $Q(at_1^2, 2at_1)$ पर मिलता है,जहाँ $t_1 = -t - \frac{2}{t}$ है।
जीवा $PQ$ शीर्ष $(0,0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए $OP$ और $OQ$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।
$OP$ की प्रवणता $= \frac{2at}{at^2} = \frac{2}{t}$ है।
$OQ$ की प्रवणता $= \frac{2at_1}{at_1^2} = \frac{2}{t_1}$ है।
अतः,$\left(\frac{2}{t}\right) \times \left(\frac{2}{t_1}\right) = -1 \implies t_1 = -\frac{4}{t}$ है।
$t_1$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-t - \frac{2}{t} = -\frac{4}{t} \implies t = \frac{2}{t} \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$ (चूंकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है)।
तब $t_1 = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ है।
$Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1) = \left(\frac{5}{4}(-2\sqrt{2})^2, 2(\frac{5}{4})(-2\sqrt{2})\right) = \left(\frac{5}{4}(8), -5\sqrt{2}\right) = (10, -5\sqrt{2})$ हैं।

(D) माना नाभि $S = (2, -3)$ है और नियता $L: 2x + y - 5 = 0$ है। माना दूसरी नाभि $S' = (h, k)$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $C$,नाभि से गुजरने वाली और नियता के लंबवत रेखा पर स्थित होता है।
नियता की ढाल $m = -2$ है,इसलिए अक्ष की ढाल $m' = \frac{1}{2}$ होगी।
अक्ष का समीकरण $x - 2y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु $Z = (3.6, -2.2)$ है।
दीर्घवृत्त के लिए $CS = ae$ और $CZ = \frac{a}{e}$ होता है,जिससे $CS = e^2 CZ$ प्राप्त होता है।
यहाँ $e^2 = \frac{5}{9}$ है,गणना करने पर दूसरी नाभि $S'$ के निर्देशांक $(-4, -6)$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{12-\alpha} + \frac{y^2}{\alpha-10} = 1$ है।
इसके दीर्घवृत्त होने के लिए,दोनों हर (denominators) धनात्मक होने चाहिए।
माना $a^2 = 12-\alpha$ और $b^2 = \alpha-10$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,हमें $12-\alpha > 0$ और $\alpha-10 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $10 < \alpha < 12$।
चूंकि सभी $\alpha \in (10, 12)$ के लिए,$12-\alpha$ और $\alpha-10$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए यह समीकरण $(10, 12)$ अंतराल के सभी मानों के लिए एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$ के लिए,$a^2 = 169$ और $b^2 = 144$,इसलिए $a = 13$ और $b = 12$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13}$ है।
नाभियाँ $S = (5, 0)$ और $S^{\prime} = (-5, 0)$ हैं।
बिंदु $B = (0, 12)$ है।
त्रिभुज $SBS^{\prime}$ की भुजाएँ $10, 13, 13$ हैं।
अंतःकेंद्र के सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{13(5) + 13(-5) + 10(0)}{36} = 0$ और $y = \frac{13(0) + 13(0) + 10(12)}{36} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतःकेंद्र $(0, \frac{10}{3})$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $a^2 = 9$ $(a = 3)$ और $b < 3$ है,उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - e^2)$ होता है।
नाभि $(ae, 0)$ से नियता $x = \frac{a}{e}$ की दूरी $\frac{a}{e} - ae = \frac{b^2}{ae}$ है।
दी गई दूरी $\frac{4}{\sqrt{5}}$ है,अतः $\frac{b^2}{3e} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$b^2 = 9(1 - e^2)$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{3(1 - e^2)}{e} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$e^2 = t$ लेने पर,$45t^2 - 106t + 45 = 0$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $t = e^2 = \frac{5}{9}$ मिलता है,जिससे $b^2 = 4$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} = -\frac{4(3/\sqrt{2})}{9(2/\sqrt{2})} = -\frac{2}{3}$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है,अतः $a = 5$ और $b = 3$ है।
नाभियाँ $S$ और $S^{\prime}$ $(\pm ae, 0)$ पर स्थित हैं,जहाँ $e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,नाभियाँ $S(4, 0)$ और $S^{\prime}(-4, 0)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $SS^{\prime} = 2ae = 8$ है।
$\Delta SPS^{\prime}$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times SS^{\prime} \times |y_P|$ है।
क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $|y_P|$ अधिकतम हो,जो कि $b = 3$ है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12$ वर्ग इकाई है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $P_i = (a \cos \theta_i, b \sin \theta_i)$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसका परिकेंद्र $(r, s)$ इसका केंद्रक भी है।
अतः,$r = \frac{a}{3} \sum \cos \theta_i$ और $s = \frac{b}{3} \sum \sin \theta_i$ है।
इससे $\sum \cos \theta_i = \frac{3r}{a}$ और $\sum \sin \theta_i = \frac{3s}{b}$ प्राप्त होता है।
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर,$(\sum \cos \theta_i)^2 + (\sum \sin \theta_i)^2 = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$ मिलता है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $3 + 2(\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)) = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$।
$6$ से भाग देने पर,औसत $\frac{1}{3} \sum \cos(\theta_i-\theta_j) = \frac{1}{2} \left[ \frac{3r^2}{a^2} + \frac{3s^2}{b^2} - 1 \right]$ प्राप्त होता है।

(B) माना जीवा का मध्यबिंदु $M(h, k)$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए मध्यबिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है।
यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 4$ है,अतः समीकरण $xh + \frac{yk}{4} = h^2 + \frac{k^2}{4}$ है।
यह जीवा रेखा $y = x + 1$ अर्थात $x - y = -1$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$\frac{h}{1} = \frac{k/4}{-1} = \frac{h^2 + k^2/4}{-1}$ प्राप्त होता है।
इससे $k = -4h$ और $-h = h^2 + 4h^2 = 5h^2$ मिलता है।
हल करने पर $h = -1/5$ और $k = 4/5$ प्राप्त होता है।
अतः मध्यबिंदु $(-\frac{1}{5}, \frac{4}{5})$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ द्वारा दी जाती है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = \alpha^2$ की स्पर्श रेखा है यदि केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $\alpha$ के बराबर हो।
दूरी $d = \frac{|\pm \sqrt{16m^2 + 9}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \alpha$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\alpha^2 = \frac{16m^2 + 9}{m^2 + 1}$ प्राप्त होता है।
माना $t = m^2$,जहाँ $t \geq 0$ है। तब $\alpha^2 = \frac{16t + 9}{t + 1} = 16 - \frac{7}{t + 1}$ है।
चूँकि $t \geq 0$ है,$t + 1$ का मान $1$ से $\infty$ तक होता है।
अतः,$\frac{7}{t + 1}$ का मान $0$ से $7$ तक होता है।
इस प्रकार,$\alpha^2$ का मान $16 - 7 = 9$ से $16 - 0 = 16$ तक होता है।
अतः,$9 \leq \alpha^2 \leq 16$,जिसका अर्थ है $3 \leq \alpha \leq 4$।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $b > a$ और उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इससे $b^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए $2x^2 + y^2 = 2a^2$ और $y^2 = 4ax$ को हल करने पर $\theta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः दीर्घवृत्त पर बिंदु $(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{2}})$ है।

(A) वक्र का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है। $144$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है। यह एक दीर्घवृत्त है जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है,अतः $a = 4$ और $b = 3$ है। दीर्घवृत्त का केंद्र $(0, 0)$ है। दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है। मान रखने पर,$\frac{16x}{x_1} - \frac{9y}{y_1} = 7$ प्राप्त होता है। मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की दूरी $d = \frac{7}{\sqrt{\frac{256}{x_1^2} + \frac{81}{y_1^2}}}$ है। $x_1 = 4\cos\theta$ और $y_1 = 3\sin\theta$ रखने पर,$d = \frac{7}{\sqrt{16\sec^2\theta + 9\csc^2\theta}}$ प्राप्त होता है। हर का न्यूनतम मान ज्ञात करने पर,अधिकतम दूरी $1$ प्राप्त होती है।

(B) त्रिज्या और केंद्र $(h, k)$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $h$ और $k$ हैं,इसलिए हम $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x - h) + 2(y - k)y_1 = 0$,जिसका अर्थ है $(x - h) = -(y - k)y_1$.
पुनः अवकलन करने पर: $1 + y_1^2 + (y - k)y_2 = 0$,इसलिए $(y - k) = -\frac{1 + y_1^2}{y_2}$.
$(y - k)$ का मान पहले अवकलित समीकरण में रखने पर: $(x - h) = -(-\frac{1 + y_1^2}{y_2})y_1 = \frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2}$.
अब $(x - h)$ और $(y - k)$ के मानों को मूल वृत्त समीकरण में रखने पर: $(\frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2})^2 + (-\frac{1 + y_1^2}{y_2})^2 = a^2$.
इसे सरल करने पर: $\frac{y_1^2(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} + \frac{(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} = a^2$.
$(1 + y_1^2)^2$ को कॉमन लेने पर: $\frac{(1 + y_1^2)^2 (y_1^2 + 1)}{y_2^2} = a^2$.
अतः,$(1 + y_1^2)^3 = a^2 y_2^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $t^2 dx + (x^2 - tx + t^2) dt = 0$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $t^2 dx = -(x^2 - tx + t^2) dt$,जिससे $\frac{dx}{dt} = -\frac{x^2 - tx + t^2}{t^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{dx}{dt} = -(\frac{x}{t})^2 + \frac{x}{t} - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dt} = f(\frac{x}{t})$ के रूप का एक समघातीय अवकल समीकरण है।
समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए,हम $x = Vt$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जहाँ $V$,$t$ का एक फलन है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3-y^3}{x^2y - xy^2} = \frac{x^3-y^3}{xy(x-y)}$.
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^3 - v^3x^3}{x^2(vx) - x(v^2x^2)} = \frac{x^3(1-v^3)}{x^3(v-v^2)} = \frac{(1-v)(1+v+v^2)}{v(1-v)} = \frac{1+v+v^2}{v}$.
अतः $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v+v^2}{v} - v = \frac{1+v}{v}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{v}{1+v} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int \frac{dx}{x}$.
$v - \log|1+v| = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{y}{x} - \log|1 + \frac{y}{x}| = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} - \log|\frac{x+y}{x}| = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} - (\log|x+y| - \log|x|) = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} = \log|x+y| + C$.
अतः,$y = x \log|x+y| + Cx$,जिसे $y = x \log(c|x+y|)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} = y \sin x - 1$.
$\cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = y \tan x - \sec x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\tan x$ और $Q(x) = -\sec x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
मान रखने पर: $y \cos x = \int (-\sec x) \cdot \cos x dx + C$.
$y \cos x = \int (-1) dx + C$.
$y \cos x = -x + C$.
चूँकि $f(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $1 \cdot \cos(0) = -0 + C \implies 1 = C$.
अतः,$y \cos x = -x + 1$.
$y = \frac{1-x}{\cos x} = (1-x) \sec x$.
इसलिए,$f(x) = (1-x) \sec x$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $2 dx + dy = (6xy + 4x - 3y) dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $dy = (6xy + 4x - 3y - 2) dx$.
$dy = [2x(3y + 2) - (3y + 2)] dx$.
$dy = (2x - 1)(3y + 2) dx$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{3y + 2} = (2x - 1) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{3y + 2} dy = \int (2x - 1) dx$.
$\frac{1}{3} \log |3y + 2| = x^2 - x + C_1$.
$3$ से गुणा करने पर: $\log |3y + 2| = 3x^2 - 3x + 3C_1$.
माना $3C_1 = c$,तब $\log |3y + 2| = 3x^2 - 3x + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \sec x \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\cos x \sin x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$ और $Q(x) = \cos^2 x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} dx} = e^{\ln|\tan x|} = \tan x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$y \tan x = \int \cos^2 x \cdot \tan x dx + c$.
$y \tan x = \int \cos^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} dx + c = \int \sin x \cos x dx + c$.
$y \tan x = \frac{\sin^2 x}{2} + c$.
अतः,$2y \tan x = \sin^2 x + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ है।
$(1+\cos^2 x)$ से विभाजित करने पर,$f'(x) - f(x) \frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$ प्राप्त होता है।
यह $f'(x) + P(x)f(x) = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x}$ और $Q(x) = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} dx}$ है।
माना $u = 1+\cos^2 x$,तो $du = -\sin 2x dx$ है।
अतः,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = 1+\cos^2 x$ है।
व्यापक हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$f(x)(1+\cos^2 x) = \int 4 \sin 2x dx = -2 \cos 2x + C$ है।
चूँकि $f(0)=0$,इसलिए $0 = -2 + C \implies C = 2$ है।
अतः,$f(x) = \frac{2 - 2 \cos 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin^2 x}{1+\cos^2 x}$ है।
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{4(3/4)}{1+1/4} = \frac{3}{5/4} = \frac{12}{5}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx = (\operatorname{Tan}^{-1} y - x) dy$.
दोनों पक्षों को $(1+y^2) dy$ से विभाजित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y - x}{1+y^2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$ है।
मान रखने पर: $x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \int \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2} \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} dy + c$.
मान लीजिए $u = \operatorname{Tan}^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$ हो जाता है।
अतः,$x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \operatorname{Tan}^{-1} y \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} - e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} + c$.
$e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1 + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $x = f(y) + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ से करने पर,$f(y) = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का सामान्य समीकरण जिसका अक्ष $y$-अक्ष के समांतर है,$y = Ax^2 + Bx + C$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A, B, C$ स्वेच्छ अचर हैं।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करते हैं।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
तृतीय अवकलज: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
चूँकि इसमें $3$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है। अतः,समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ है.

(B) निर्देशांक अक्षों के समानांतर अक्षों और केंद्र $(h, k)$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ या $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि केंद्र $y=2x$ पर स्थित है,इसलिए $k=2h$ है।
अतिपरवलय के लिए,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 3$,अतः $b^2 = 2a^2$।
समीकरण $(x-h)^2 - \frac{1}{2}(y-2h)^2 = \pm a^2$ बन जाता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-h) - (y-2h)y_1 = 0$,जिससे $x-h = \frac{1}{2}(y-2h)y_1$ प्राप्त होता है।
$h = x - \frac{1}{2}(y-2h)y_1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर अवकल समीकरण $(y-2x)y_2 + y_1^2 + 2y_1 = y_1^3 + 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त का परिवार: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$.
अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} \right) = \frac{d}{dx} (1)$
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2x}{a^2} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
मूल समीकरण से,$\frac{x^2}{a^2} = 1 - \frac{y^2}{4} = \frac{4 - y^2}{4}$,इसलिए $\frac{1}{a^2} = \frac{4 - y^2}{4x^2}$.
$\frac{1}{a^2}$ का मान अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2x \left( \frac{4 - y^2}{4x^2} \right) + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{4 - y^2}{2x} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
दोनों पक्षों को $2x$ से गुणा करने पर:
$(4 - y^2) + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$xy \frac{dy}{dx} = y^2 - 4$.

(A) माना $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k}$ और $\vec{b} = 7\bar{i}-\bar{k}$ हैं।
माना $P$,$AB$ को $m:n$ अनुपात में विभाजित करता है। तब $\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$.
$-2\bar{i}+3\bar{j}+5\bar{k} = \frac{m(7\bar{i}-\bar{k}) + n(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})}{m+n}$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $x: -2(m+n) = 7m + n \implies 9m = -3n \implies m/n = -1/3$.
अतः,$P$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
हार्मोनिक संयुग्मी $Q$,$AB$ को उसी अनुपात $1:3$ में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$\vec{q} = \frac{1\vec{b} + 3\vec{a}}{1+3} = \frac{(7\bar{i}-\bar{k}) + 3(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})}{4} = \frac{10\bar{i}+6\bar{j}+8\bar{k}}{4} = 2.5\bar{i}+1.5\bar{j}+2\bar{k}$.
अदिश घटकों का योग $2.5 + 1.5 + 2 = 6$ है।

(A) दिया गया है कि $|\bar{a}|=5$,$|\bar{b}|=12$,और $|\bar{a}-\bar{b}|=13$ है।
समीकरण $|\bar{a}-\bar{b}|=13$ का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$।
मान रखने पर: $25 + 144 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$।
$169 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$,जिसका अर्थ है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$।
अब,हमें $|2\bar{a}+\bar{b}|$ ज्ञात करना है।
$|2\bar{a}+\bar{b}|^2 = (2\bar{a}+\bar{b}) \cdot (2\bar{a}+\bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$।
मान रखने पर: $4(25) + 144 + 4(0) = 100 + 144 = 244$।
अतः,$|2\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{244} = \sqrt{4 \times 61} = 2\sqrt{61}$।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{e}$।
चूंकि $F$,$BD$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{f}$।
हमें योग $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{AD}$ का मान ज्ञात करना है।
स्थिति सदिशों के रूप में:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
$\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c}$
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$
इनका योग करने पर:
$\vec{S} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{a})$
$\vec{S} = 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$\vec{S} = 2(\vec{b} + \vec{d}) - 2(\vec{a} + \vec{c})$
मध्य बिंदु संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{S} = 2(2\vec{f}) - 2(2\vec{e})$
$\vec{S} = 4\vec{f} - 4\vec{e} = 4(\vec{f} - \vec{e}) = 4\vec{EF}$।

(B) माना कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{P} = 2\bar{a}+3\bar{b}-\bar{c}$,$\vec{Q} = \bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}$,$\vec{R} = 3\bar{a}+4\bar{b}-2\bar{c}$,और $\vec{S} = \bar{a}-6\bar{b}+6\bar{c}$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या ये बिंदु समतलीय हैं,हम सदिशों $\vec{PQ}$,$\vec{PR}$,और $\vec{PS}$ का उपयोग करते हैं।
$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = -\bar{a}-5\bar{b}+4\bar{c}$.
$\vec{PR} = \vec{R} - \vec{P} = \bar{a}+\bar{b}-\bar{c}$.
$\vec{PS} = \vec{S} - \vec{P} = -\bar{a}-9\bar{b}+7\bar{c}$.
चार बिंदु समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}] = 0$ हो।
सारणिक $D = \begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -9 & 7 \end{vmatrix} = -1(7-9) + 5(7-1) + 4(-9+1) = 2 + 30 - 32 = 0$.
अतः,ये चार बिंदु समतलीय हैं।

(C) दिया गया है कि $\bar{a} = 2 \bar{b}$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + 2y - 3) \bar{i} + (2x - y + 3) \bar{j} = 2[(3x - 2y) \bar{i} + (x - y + 1) \bar{j}]$
$\bar{i}$ और $\bar{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) x + 2y - 3 = 2(3x - 2y) \implies x + 2y - 3 = 6x - 4y \implies 5x - 6y = -3$
$2) 2x - y + 3 = 2(x - y + 1) \implies 2x - y + 3 = 2x - 2y + 2 \implies y = -1$
पहले समीकरण में $y = -1$ रखने पर:
$5x - 6(-1) = -3 \implies 5x + 6 = -3 \implies 5x = -9 \implies x = -9/5$
हमें $y - 5x$ का मान ज्ञात करना है:
$y - 5x = -1 - 5(-9/5) = -1 + 9 = 8$.

(B) माना बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 7\bar{i}-4\bar{j}+7\bar{k}$,$\vec{b} = \bar{i}-6\bar{j}+10\bar{k}$,$\vec{c} = -\bar{i}-3\bar{j}+4\bar{k}$,और $\vec{d} = 5\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}$ हैं।
चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्णों के मध्य बिंदुओं की जाँच करते हैं।
$AC$ का मध्य बिंदु = $\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} = \frac{(7-1)\bar{i} + (-4-3)\bar{j} + (7+4)\bar{k}}{2} = \frac{6\bar{i}-7\bar{j}+11\bar{k}}{2} = 3\bar{i}-3.5\bar{j}+5.5\bar{k}$.
$BD$ का मध्य बिंदु = $\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2} = \frac{(1+5)\bar{i} + (-6-1)\bar{j} + (10+1)\bar{k}}{2} = \frac{6\bar{i}-7\bar{j}+11\bar{k}}{2} = 3\bar{i}-3.5\bar{j}+5.5\bar{k}$.
चूंकि दोनों मध्य बिंदु समान हैं,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु यही मध्य बिंदु है।
अतः,$p=3, q=-3.5, r=5.5$.
$p+q+r = 3-3.5+5.5 = 5$.

(B) दिए गए सदिश $\overline{BC} = \bar{i} - 2\bar{j} + 2\bar{k}$ और $\overline{CA} = 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \vec{0}$,इसलिए $\overline{AB} = -(\overline{BC} + \overline{CA})$.
$\overline{AB} = -(\bar{i} - 2\bar{j} + 2\bar{k} + 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}) = -(7\bar{i} + \bar{j} + 0\bar{k}) = -7\bar{i} - \bar{j}$.
अब,भुजाओं के परिमाण (magnitude) की गणना करें:
$|\overline{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\overline{CA}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overline{AB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
परिमाप = $|\overline{AB}| + |\overline{BC}| + |\overline{CA}| = 5\sqrt{2} + 3 + 7 = 10 + 5\sqrt{2} = 5(2 + \sqrt{2})$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना $|\vec{AC}| = k$ है। तब $|\vec{AD}| = 3k$ और $|\vec{AB}| = 5k$ है।
चूंकि $\vec{AC}$,$\angle A = \frac{2\pi}{3}$ का समद्विभाजक है,$\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,और $\vec{AD}$ और $\vec{AC}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$\vec{AB}$ और $\vec{AD}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u}$ और $\hat{v}$ लें।
अतः,$\vec{AC} = \frac{k}{2\cos(\pi/6)} (\frac{\vec{AB}}{5k} + \frac{\vec{AD}}{3k}) = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{\vec{AB}}{5} + \frac{\vec{AD}}{3})$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$ है।
डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करके,$\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं जिनके बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ है।
समीकरण $x \bar{a} + y \bar{b} + z \bar{c} = p(\bar{b} \times \bar{c}) + q(\bar{c} \times \bar{a}) + r(\bar{a} \times \bar{b})$ में सदिशों की समरूपता का उपयोग करने पर,$x=y=z$ और $p=q=r$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{x+y+z}{p+q+r} = \frac{3}{4}$ है।

(B) दिए गए सदिश $\bar{a} = \bar{i} + 2\bar{j} + 2\bar{k}$ और $\bar{b} = 2\bar{i} - \bar{j} + p\bar{k}$ हैं।
$\bar{a}$ का परिमाण $|\bar{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
$\bar{b}$ का परिमाण $|\bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + p^2} = \sqrt{4 + 1 + p^2} = \sqrt{5 + p^2}$ है।
अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(p) = 2 - 2 + 2p = 2p$ है।
हम जानते हैं कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(\theta)$,जहाँ $\theta = 60^{\circ}$ है।
अतः,$2p = 3 \times \sqrt{5 + p^2} \times \cos(60^{\circ})$.
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $2p = 3 \times \sqrt{5 + p^2} \times \frac{1}{2}$.
$4p = 3\sqrt{5 + p^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16p^2 = 9(5 + p^2) = 45 + 9p^2$.
$7p^2 = 45 \implies p^2 = \frac{45}{7} \implies p = \sqrt{\frac{45}{7}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) सदिश $\overline{b}$ का $\overline{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\overline{a}$ का $\overline{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,अनुपात $\frac{\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}}{\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{b}|}} = \frac{|\overline{b}|}{|\overline{a}|}$ होगा।
सबसे पहले,परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें:
$|\overline{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\overline{b}| = \sqrt{9^2 + 6^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 36 + 324} = \sqrt{441} = 21$.
अंत में,अनुपात $\frac{|\overline{b}|}{|\overline{a}|} = \frac{21}{3} = 7$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $|\bar{a}| = |\bar{b}|$। मान लीजिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = k$ है।
दिए गए समीकरण $|\bar{a} + 2\bar{b}| = |2\bar{a} - \bar{b}|$ का वर्ग करने पर:
$|\bar{a} + 2\bar{b}|^2 = |2\bar{a} - \bar{b}|^2$
$(\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (\bar{a} + 2\bar{b}) = (2\bar{a} - \bar{b}) \cdot (2\bar{a} - \bar{b})$
$|\bar{a}|^2 + 4|\bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
चूंकि $|\bar{a}| = |\bar{b}| = k$,मान रखने पर:
$k^2 + 4k^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4k^2 + k^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
$5k^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 5k^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
$8(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$
इसका अर्थ है कि $\bar{a}$,$\bar{b}$ के लंबवत है।
चूंकि $\bar{c}$,$\bar{a}$ के समानांतर है,इसलिए $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण वही होगा जो $\bar{b}$ और $\bar{a}$ के बीच का है,जो $90^{\circ}$ है।

(A) चतुष्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,$V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{a} = \bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}$,$\vec{b} = 2 \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$,और $\vec{c} = 3 \bar{i}-\bar{j}+p \bar{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & p \end{vmatrix}$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(p-3) - 2(2p+9) - 3(-2-3) = p-3 - 4p-18 + 15 = -3p-6$.
दिया गया आयतन $V = 2$ है,इसलिए $\frac{1}{6} |-3p-6| = 2$.
$|-3p-6| = 12$.
इसका अर्थ है $-3p-6 = 12$ या $-3p-6 = -12$.
स्थिति $1$: $-3p = 18 \implies p = -6$.
स्थिति $2$: $-3p = -6 \implies p = 2$.
$p$ के मान $2$ और $-6$ हैं।
वह द्विघात समीकरण जिसके मूल $2$ और $-6$ हैं,$(x-2)(x+6) = 0$ है।
$x^2+6x-2x-12 = 0 \implies x^2+4x-12 = 0$.

(D) माना भुजाएँ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\sqrt{3}\hat{i} - 2\sqrt{3}\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k}$ हैं।
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12+12+3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
तीसरी भुजा $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = (2\sqrt{3}-2)\hat{i} + (-2\sqrt{3}-1)\hat{j} + (\sqrt{3}+2)\hat{k}$ है।
परिमाण $|\vec{c}|^2 = (2\sqrt{3}-2)^2 + (-2\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+2)^2 = 16+13+7 = 36$,अतः $|\vec{c}| = 6$.
भुजाएँ $3, 3\sqrt{3}, 6$ हैं।
परिमाप $= 3 + 3\sqrt{3} + 6 = 9 + 3\sqrt{3}$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,कोण $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{27+36-9}{2(3\sqrt{3})(6)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = \frac{\pi}{6}$.
सबसे छोटी भुजा $3$ के सामने का कोण न्यूनतम होता है,जो $\frac{\pi}{6}$ है।

(A) मान लीजिए बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
दिया गया है $\vec{a} = \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$।
त्रिभुजाकार फलक $BCD$ का केंद्रक $\vec{G}_{BCD} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} = \frac{2}{3}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$ है।
अतः,$\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 2(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$।
चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक $\vec{G} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ है।
मान रखने पर,$\vec{G} = \frac{(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) + 2(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})}{4} = \frac{3}{4}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) = \frac{3}{4}\vec{i}+\frac{3}{4}\vec{j}+\frac{3}{4}\vec{k}$।
$\alpha \vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{3}{4}, \beta = \frac{3}{4}, \gamma = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
तब $2\alpha+\beta+\gamma = 2(\frac{3}{4}) + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} + \frac{6}{4} = \frac{12}{4} = 3$।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जिनका परिमाण $K$ है,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ और $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = K$,जिसका अर्थ है $\bar{a} \cdot \bar{a} = \bar{b} \cdot \bar{b} = \bar{c} \cdot \bar{c} = K^2$।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ का उपयोग करते हुए,दिया गया समीकरण इस प्रकार बनता है:
$(\bar{a} \cdot \bar{a})(\bar{r}-\bar{b}) - (\bar{a} \cdot (\bar{r}-\bar{b}))\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{b})(\bar{r}-\bar{c}) - (\bar{b} \cdot (\bar{r}-\bar{c}))\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{c})(\bar{r}-\bar{a}) - (\bar{c} \cdot (\bar{r}-\bar{a}))\bar{c} = \bar{0}$।
डॉट गुणनफल के मान रखने पर:
$K^2(\bar{r}-\bar{b}) - (\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + K^2(\bar{r}-\bar{c}) - (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + K^2(\bar{r}-\bar{a}) - (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c} = \bar{0}$।
$3K^2\bar{r} - K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - ((\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c}) = \bar{0}$।
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ लंबवत हैं,किसी भी सदिश $\bar{r}$ को $\bar{r} = \frac{\bar{a} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{a} + \frac{\bar{b} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{b} + \frac{\bar{c} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$(\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c} = K^2\bar{r}$।
यह मान रखने पर:
$3K^2\bar{r} - K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - K^2\bar{r} = \bar{0}$।
$2K^2\bar{r} = K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})$।
$\bar{r} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2}$।

(D) दिया गया है $\bar{a} = \bar{i} - 2\bar{j} - 2\bar{k}$ और $\bar{b} = 2\bar{i} + \bar{j} + 2\bar{k}$।
हमें $(\bar{a} + 2\bar{b}) \times (3\bar{a} - \bar{b})$ की गणना करनी है।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(\bar{a} + 2\bar{b}) \times (3\bar{a} - \bar{b}) = \bar{a} \times (3\bar{a}) - \bar{a} \times \bar{b} + (2\bar{b}) \times (3\bar{a}) - (2\bar{b}) \times \bar{b}$।
चूंकि $\bar{v} \times \bar{v} = 0$,इसलिए $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण: $0 - (\bar{a} \times \bar{b}) + 6(\bar{b} \times \bar{a}) - 0$।
चूंकि $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,हमें प्राप्त होता है:
$-(\bar{a} \times \bar{b}) - 6(\bar{a} \times \bar{b}) = -7(\bar{a} \times \bar{b})$।
अब,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \bar{i}(-4 - (-2)) - \bar{j}(2 - (-4)) + \bar{k}(1 - (-4)) = -2\bar{i} - 6\bar{j} + 5\bar{k}$।
अंत में,$-7(\bar{a} \times \bar{b}) = -7(-2\bar{i} - 6\bar{j} + 5\bar{k}) = 14\bar{i} + 42\bar{j} - 35\bar{k}$।

(C) सदिश $\bar{a}$ के लंबवत $\bar{b}$ का घटक $\bar{b} - \text{proj}_{\bar{a}} \bar{b} = \bar{b} - \left( \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|^2} \right) \bar{a}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\bar{b} \cdot \bar{a} = (1)(1) + (\sqrt{11})(\sqrt{11}) + (-10)(-2) = 1 + 11 + 20 = 32$ की गणना करें।
इसके बाद,परिमाण का वर्ग $|\bar{a}|^2 = (1)^2 + (\sqrt{11})^2 + (-2)^2 = 1 + 11 + 4 = 16$ की गणना करें।
अब,प्रक्षेप ज्ञात करें: $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|^2} \bar{a} = \frac{32}{16} \bar{a} = 2 \bar{a} = 2(\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} - 2 \bar{k}) = 2 \bar{i} + 2\sqrt{11} \bar{j} - 4 \bar{k}$।
अंत में,लंबवत घटक $\bar{b} - 2 \bar{a} = (\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} - 10 \bar{k}) - (2 \bar{i} + 2\sqrt{11} \bar{j} - 4 \bar{k}) = -\bar{i} - \sqrt{11} \bar{j} - 6 \bar{k} = -(\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} + 6 \bar{k})$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए $\bar{r} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$.
दिए गए अदिश गुणनफल:
$x + 2y + 3z = 0$ $(1)$
$2x - 3y + z = -2$ $(2)$
$3x + y - 2z = 6$ $(3)$
इन रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने पर:
$(1)$ से,$x = -2y - 3z$.
$(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(-2y - 3z) - 3y + z = -2 \implies -7y - 5z = -2 \implies 7y + 5z = 2$ $(4)$
$(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3(-2y - 3z) + y - 2z = 6 \implies -5y - 11z = 6$ $(5)$
$(4)$ को $5$ से और $(5)$ को $7$ से गुणा करने पर: $35y + 25z = 10$ और $-35y - 77z = 42$.
जोड़ने पर: $-52z = 52 \implies z = -1$.
$z = -1$ को $(4)$ में रखने पर: $7y - 5 = 2 \implies 7y = 7 \implies y = 1$.
$y = 1, z = -1$ को $(1)$ में रखने पर: $x + 2(1) + 3(-1) = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
अतः,$\bar{r} = \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$.
अंत में,$\bar{r} \cdot (3\bar{i} + \bar{j} + \bar{k}) = (1)(3) + (1)(1) + (-1)(1) = 3 + 1 - 1 = 3$.

(B) चूंकि $\bar{d}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{d}$ को $\bar{a} \times \bar{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \bar{i}(2+2) - \bar{j}(-2-1) + \bar{k}(-2+1) = 4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}$.
मान लीजिए $\bar{d} = k(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k})$ किसी अदिश $k$ के लिए।
दिया गया है $|\bar{d} \times \bar{c}| = 14$. ध्यान दें कि $\bar{d} \times \bar{c} = k(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}) \times (6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k})$.
$(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}) \times (6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}) = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 6 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \bar{i}(-6+3) - \bar{j}(-8+6) + \bar{k}(12-18) = -3\bar{i} + 2\bar{j} - 6\bar{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9+4+36} = \sqrt{49} = 7$ है।
अतः,$|\bar{d} \times \bar{c}| = |k| \times 7 = 14$,जिसका अर्थ है $|k| = 2$.
अब,$|\bar{d} \cdot \bar{c}| = |k(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}) \cdot (6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k})| = |k| |24 + 9 + 2| = 2 \times 35 = 70$.

(C) सबसे पहले,व्यक्तिगत सदिशों के परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\bar{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$|\bar{c}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
परिमाणों का योग: $|\bar{a}| + |\bar{b}| + |\bar{c}| = 3 + 7 + 13 = 23$.
इसके बाद,सदिशों का योग ज्ञात करें:
$\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = (1+6-4)\bar{i} + (-2+3+3)\bar{j} + (2-2+12)\bar{k} = 3\bar{i} + 4\bar{j} + 12\bar{k}$.
परिणामी सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
अंत में,व्यंजक का मान ज्ञात करें:
$\sqrt{(|\bar{a}| + |\bar{b}| + |\bar{c}|) + |\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|} = \sqrt{23 + 13} = \sqrt{36} = 6$.

(B) दिया गया है कि $|\bar{a}| = |\bar{b}| = \sqrt{6}$ और $\bar{a} \cdot \bar{b} = -1$ है।
हम जानते हैं कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(\theta)$ होता है।
मान रखने पर: $-1 = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) \cos(\theta) = 6 \cos(\theta)$।
अतः,$\cos(\theta) = -\frac{1}{6}$।
चूंकि $\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$,इसलिए $\sin^2(\theta) = 1 - (-\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$।
इस प्रकार,$\sin(\theta) = \frac{\sqrt{35}}{6}$।
अब,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\theta) = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) \sin(\theta) = 6 \sin(\theta)$।
इसलिए,$|\bar{a} \times \bar{b}| \sin(\theta) = 6 \sin(\theta) \cdot \sin(\theta) = 6 \sin^2(\theta) = 6 \times \frac{35}{36} = \frac{35}{6}$।

(C) माना बिंदु $A(-4, 9, k)$,$B(-1, 6, k)$,और $C(0, 7, 10)$ हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (-1 - (-4))^2 + (6 - 9)^2 + (k - k)^2 = 3^2 + (-3)^2 + 0^2 = 9 + 9 = 18$.
$BC^2 = (0 - (-1))^2 + (7 - 6)^2 + (10 - k)^2 = 1^2 + 1^2 + (10 - k)^2 = 2 + (10 - k)^2$.
$AC^2 = (0 - (-4))^2 + (7 - 9)^2 + (10 - k)^2 = 4^2 + (-2)^2 + (10 - k)^2 = 20 + (10 - k)^2$.
एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के लिए,दो भुजाएँ बराबर होनी चाहिए और पाइथागोरस प्रमेय लागू होना चाहिए।
स्थिति $1$: $AB = BC$.
$18 = 2 + (10 - k)^2 \implies (10 - k)^2 = 16 \implies 10 - k = \pm 4 \implies k = 6$ या $k = 14$.
यदि $k = 6$,$AB^2 = 18$,$BC^2 = 18$,$AC^2 = 20 + 16 = 36$. चूँकि $18 + 18 = 36$,$AB^2 + BC^2 = AC^2$,इसलिए यह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
यदि $k = 14$,$AB^2 = 18$,$BC^2 = 18$,$AC^2 = 20 + 16 = 36$. चूँकि $18 + 18 = 36$,यह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
स्थिति $2$: $AB = AC$.
$18 = 20 + (10 - k)^2 \implies (10 - k)^2 = -2$,जो असंभव है।
स्थिति $3$: $BC = AC$.
$2 + (10 - k)^2 = 20 + (10 - k)^2 \implies 2 = 20$,जो असंभव है।
अतः,$k$ के $2$ संभावित मान हैं।

(C) माना $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
दिया है $\vec{a} = \bar{i}-2\bar{j}+3\bar{k}$,$\vec{b} = -2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}$,और $\vec{c} = 3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}$।
फलक $BCD$ का केंद्रक $\vec{g}_{BCD} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} = -\bar{i}+2\bar{j}-3\bar{k}$ है।
अतः,$\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 3(-\bar{i}+2\bar{j}-3\bar{k}) = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ का मान रखने पर:
$(-2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}) + (3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}) + \vec{d} = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$।
$(\bar{i}+3\bar{j}+2\bar{k}) + \vec{d} = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$।
$\vec{d} = -4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k}$।
चतुष्फलक का केंद्रक $G$ है,$\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$।
$\vec{g} = \frac{(\bar{i}-2\bar{j}+3\bar{k}) + (-2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}) + (3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}) + (-4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k})}{4} = \frac{-2\bar{i}+4\bar{j}-6\bar{k}}{4} = -0.5\bar{i}+\bar{j}-1.5\bar{k}$।
$GD = |\vec{d} - \vec{g}| = |(-4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k}) - (-0.5\bar{i}+\bar{j}-1.5\bar{k})| = |-3.5\bar{i}+2\bar{j}-9.5\bar{k}|$।
$GD = \sqrt{(-3.5)^2 + 2^2 + (-9.5)^2} = \sqrt{12.25 + 4 + 90.25} = \sqrt{106.5} = \sqrt{\frac{213}{2}} = \frac{\sqrt{213}}{\sqrt{2}}$।

(D) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है।
$XY$-समतल से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $|z|$ है।
$Z$-अक्ष से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$XY$-समतल से दूरी,$Z$-अक्ष से दूरी की दोगुनी है:
$|z| = 2 \sqrt{x^2 + y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$z^2 = 4(x^2 + y^2)$.
$z^2 = 4x^2 + 4y^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 + 4y^2 - z^2 = 0$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $YZ$ समतल $(x=0)$ $AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु का $x$-निर्देशांक $\frac{2(3) + 3(\alpha)}{2+3} = 0$ है,जिससे $6 + 3\alpha = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = -2$।
$ZX$ समतल $(y=0)$ $AB$ को $4:5$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु का $y$-निर्देशांक $\frac{4(\beta) + 5(4)}{4+5} = 0$ है,जिससे $4\beta + 20 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\beta = -5$।
हमें वह बिंदु $C$ ज्ञात करना है जो $\overline{AB}$ को $\alpha : \beta = -2 : -5$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है,जो कि $2:5$ के बाह्य अनुपात के बराबर है।
बाह्य विभाजन का सूत्र $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m-n}\right)$ है।
$A(-2, 4, 7)$,$B(3, -5, 8)$,$m=2$,और $n=5$ रखने पर:
$x = \frac{2(3) - 5(-2)}{2-5} = \frac{6+10}{-3} = -\frac{16}{3}$.
$y = \frac{2(-5) - 5(4)}{2-5} = \frac{-10-20}{-3} = \frac{-30}{-3} = 10$.
$z = \frac{2(8) - 5(7)}{2-5} = \frac{16-35}{-3} = \frac{-19}{-3} = \frac{19}{3}$.
अतः,बिंदु $C$ $\left(-\frac{16}{3}, 10, \frac{19}{3}\right)$ है।

(A) दिए गए समीकरण $2l+m-n=0$ $(1)$ और $l^2-2m^2+n^2=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$n = 2l+m$ प्राप्त होता है।
$n$ का मान $(2)$ में रखने पर: $l^2 - 2m^2 + (2l+m)^2 = 0$.
$l^2 - 2m^2 + 4l^2 + 4lm + m^2 = 0$.
$5l^2 + 4lm - m^2 = 0$.
$m^2$ से भाग देने पर: $5(l/m)^2 + 4(l/m) - 1 = 0$.
माना $x = l/m$,तो $5x^2 + 4x - 1 = 0$.
$(5x-1)(x+1) = 0$,अतः $x = 1/5$ या $x = -1$.
स्थिति $1$: $l/m = 1/5 \implies m = 5l$. तब $n = 2l + 5l = 7l$. दिक्-अनुपात $(1, 5, 7)$ हैं।
स्थिति $2$: $l/m = -1 \implies m = -l$. तब $n = 2l - l = l$. दिक्-अनुपात $(1, -1, 1)$ हैं।
दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, 5, 7)$ और $\vec{b} = (1, -1, 1)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (5)(-1) + (7)(1)|}{\sqrt{1^2+5^2+7^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|1-5+7|}{\sqrt{75} \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{225}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

(A) रेखा $L$ दो समतलों $P_1: 3x + 4y + 7z = 1$ और $P_2: x - y + z = 5$ का प्रतिच्छेदन है।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (3, 4, 7)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$ हैं।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$ दोनों अभिलंब सदिशों के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-7)) - \hat{j}(3 - 7) + \hat{k}(-3 - 4) = 11\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$।
अतः,दिक अनुपात $(11, 4, -7)$ हैं।

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\bar{n}_1 = (\bar{i}+\bar{j}) \times (\bar{i}+\bar{k}) = \bar{i}-\bar{j}-\bar{k}$ है।
समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\bar{n}_2 = (\bar{j}-\bar{k}) \times (\bar{k}-\bar{i}) = \bar{i}+\bar{j}+\bar{k}$ है।
सदिश $\bar{a}$ प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है,इसलिए $\bar{a} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = (\bar{i}-\bar{j}-\bar{k}) \times (\bar{i}+\bar{j}+\bar{k}) = -2\bar{j} + 2\bar{k}$ है।
हम $\bar{a} = -\bar{j} + \bar{k}$ ले सकते हैं।
$\bar{b} = \bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ दिया गया है।
$\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = -\sqrt{\frac{2}{3}}$.
विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए कि रेखा के दिशा कोण $\alpha = 60^{\circ}$,$\beta = 45^{\circ}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
हम जानते हैं कि एक रेखा के दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $1$ होता है,जो सूत्र $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 60^{\circ}$.
इसलिए,$\tan \theta = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.

(C) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a), (a,a,a)$ हैं।
घन के दो विकर्णों पर विचार करें,उदाहरण के लिए,सदिश $\vec{d_1} = (a,a,a)$ और $\vec{d_2} = (-a,a,a)$।
उनके बीच का कोण $\alpha$ इस प्रकार दिया गया है: $\cos \alpha = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{-a^2+a^2+a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$।
अब,घन के एक विकर्ण $\vec{d_1} = (a,a,a)$ और उसे काटने वाले फलक के एक विकर्ण $\vec{f} = (a,a,0)$ पर विचार करें।
उनके बीच का कोण $\beta$ इस प्रकार दिया गया है: $\cos \beta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{f}}{|\vec{d_1}| |\vec{f}|} = \frac{a^2+a^2+0}{\sqrt{3a^2} \sqrt{2a^2}} = \frac{2a^2}{a^2\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
अतः,$\cos^2 \beta = \frac{2}{3}$।
अंत में,$\cos \alpha + \cos^2 \beta = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$।

(A) समतलों $ax - y + 3z = 2a$ और $3x + ay + z = 3a$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (a, -1, 3)$ और $\vec{n_2} = (3, a, 1)$ हैं।
दिया गया है कि समतलों के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$।
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{|3a - a + 3|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 3^2} \sqrt{3^2 + a^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$।
$\frac{|2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 10} \sqrt{a^2 + 10}} = \frac{1}{2} \implies \frac{|2a + 3|}{a^2 + 10} = \frac{1}{2}$।
$2|2a + 3| = a^2 + 10$।
स्थिति $1$: $4a + 6 = a^2 + 10 \implies a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a - 2)^2 = 0 \implies a = 2$।
स्थिति $2$: $-4a - 6 = a^2 + 10 \implies a^2 + 4a + 16 = 0$,जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$a = 2$।
समतल का समीकरण $(2+2)x + (2-4)y + 2(2)z = 2$ अर्थात $4x - 2y + 4z = 2$ या $2x - y + 2z = 1$ हो जाता है।
इस समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(2, -1, 2)$ हैं।

(A) $x$-अक्ष के दिक-अनुपात $(1, 0, 0)$ हैं। $x$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = (1, 0, 0)$ है।
दी गई रेखा के दिक-अनुपात $(3, -1, 5)$ हैं। इसका परिमाण $\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ है।
इस रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{b} = (\frac{3}{\sqrt{35}}, -\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}})$ है।
दो इकाई सदिशों $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के कोण का समद्विभाजक सदिश $\hat{a} + \hat{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\hat{a} + \hat{b} = (1 + \frac{3}{\sqrt{35}}, 0 - \frac{1}{\sqrt{35}}, 0 + \frac{5}{\sqrt{35}}) = (\frac{\sqrt{35}+3}{\sqrt{35}}, -\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}})$.
$\sqrt{35}$ से गुणा करने पर,दिक-अनुपात $(\sqrt{35}+3, -1, 5)$ प्राप्त होते हैं।

(B) दो रेखाओं $\overline{r} = \overline{a_1} + t\overline{b_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + s\overline{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})|}{||\overline{b_1} \times \overline{b_2}||}$ है।
यहाँ,$\overline{a_1} = 3\bar{i} - 5\bar{j} + 2\bar{k}$,$\overline{b_1} = 4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}$,$\overline{a_2} = \bar{i} + 2\bar{j} - 4\bar{k}$,और $\overline{b_2} = 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}$ है।
सबसे पहले,$\overline{a_2} - \overline{a_1} = -2\bar{i} + 7\bar{j} - 6\bar{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 6 & 3 & -2 \end{vmatrix} = -3\bar{i} + 2\bar{j} - 6\bar{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $||\overline{b_1} \times \overline{b_2}|| = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7$ है।
अदिश गुणनफल $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2}) = 6 + 14 + 36 = 56$ है।
अतः,$d = \frac{56}{7} = 8$।

(B) सबसे पहले,दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (5-3)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-3)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक भुजा $BC$ को $AB:AC = 3:7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$D$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$D = \left( \frac{3(-2) + 7(1)}{3+7}, \frac{3(0) + 7(5)}{3+7}, \frac{3(-2) + 7(6)}{3+7} \right) = \left( \frac{-6+7}{10}, \frac{0+35}{10}, \frac{-6+42}{10} \right) = \left( \frac{1}{10}, \frac{35}{10}, \frac{36}{10} \right) = (0.1, 3.5, 3.6)$.
अब,$AD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AD = \sqrt{(0.1-0)^2 + (3.5-3)^2 + (3.6-4)^2} = \sqrt{(0.1)^2 + (0.5)^2 + (-0.4)^2} = \sqrt{0.01 + 0.25 + 0.16} = \sqrt{0.42} = \sqrt{\frac{42}{100}} = \frac{\sqrt{42}}{10}$.

(B) रेखा बिंदुओं $A(2, -1, 1)$ और $B(1, 1, -2)$ से होकर गुजरती है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1-2, 1-(-1), -2-1) = (-1, 2, -3)$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-1}{-3} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma) = (2-k, -1+2k, 1-3k)$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{PQ} = (\alpha - (-1), \beta - 2, \gamma - (-1)) = (3-k, -3+2k, 2-3k)$ रेखा की दिशा $\vec{v} = (-1, 2, -3)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \implies -1(3-k) + 2(-3+2k) - 3(2-3k) = 0$.
$-3 + k - 6 + 4k - 6 + 9k = 0 \implies 14k - 15 = 0 \implies k = \frac{15}{14}$.
$k$ का मान रखने पर: $\alpha = 2 - \frac{15}{14} = \frac{13}{14}$,$\beta = -1 + 2(\frac{15}{14}) = \frac{16}{14}$,$\gamma = 1 - 3(\frac{15}{14}) = -\frac{31}{14}$.
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{13+16-31}{14} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$.

(C) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\bar{n}_1 = (\bar{i}+\bar{j}) \times (\bar{i}+2\bar{j}) = \bar{k}$ है।
समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\bar{n}_2 = (2\bar{i}-\bar{j}) \times (3\bar{i}+2\bar{k}) = -2\bar{i}-4\bar{j}+3\bar{k}$ है।
प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर सदिश $\bar{a} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = \bar{k} \times (-2\bar{i}-4\bar{j}+3\bar{k}) = 4\bar{i}-2\bar{j}$ है।
माना $\bar{b} = \bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k}$ है।
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{b}|}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$ होता है।
$\bar{a} \cdot \bar{b} = (4)(1) + (-2)(-2) + (0)(2) = 8$ है।
$|\bar{a}| = \sqrt{16+4} = 2\sqrt{5}$ और $|\bar{b}| = \sqrt{1+4+4} = 3$ है।
$\cos \theta = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}}$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{3\sqrt{5}}\right)$।

(B) अभिकथन $(A)$ के लिए: रेखाएँ $\bar{r}=\bar{a}+t\bar{b}$ और $\bar{r}=\bar{b}+s\bar{a}$ हैं। ये रेखाएँ क्रमशः $\bar{a}$ और $\bar{b}$ स्थिति सदिश वाले बिंदुओं से गुजरती हैं और $\bar{b}$ और $\bar{a}$ सदिशों के समांतर हैं। चूँकि दोनों रेखाएँ $\bar{a}+\bar{b}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु से गुजरती हैं (पहले में $t=1$ और दूसरे में $s=1$ रखने पर),वे प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए: दो विषम रेखाओं $\bar{r}=\bar{p}+t\bar{q}$ और $\bar{r}=\bar{c}+s\bar{d}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\bar{p}-\bar{c}) \cdot (\bar{q} \times \bar{d})|}{|\bar{q} \times \bar{d}|}$ है। यह वास्तव में सदिश $(\bar{p}-\bar{c})$ का सदिश $(\bar{q} \times \bar{d})$ पर प्रक्षेप की लंबाई है। अतः,$(R)$ सत्य है।
हालाँकि,$(A)$ में रेखाओं का प्रतिच्छेदन इन रेखाओं का एक विशिष्ट गुण है,जबकि $(R)$ विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का एक सामान्य सूत्र प्रदान करता है। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।
सही विकल्प $(B)$ है।

(C) मान लीजिए बिंदु $A(2,1,2)$ और $B(1,2,1)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
दिए गए समतल $2x - y + 2z = 1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
वांछित समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB}$ और $\vec{n_1}$ दोनों के लंबवत है।
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-2+2) + \hat{k}(1-2) = \hat{i} - \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $1(x-2) + 0(y-1) - 1(z-2) = 0$ है,जो सरल होकर $x - z = 0$ हो जाता है।
इसे $ax + by + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1, b=0, c=-1, d=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a+b}{c+d} = \frac{1+0}{-1+0} = -1$।