TS EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना $y = \sin x$ है। समीकरण $y^2 + by + c = 0$ बन जाता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल समीकरण के मूल हैं,इसलिए $\sin \alpha$ और $\sin \beta$ द्विघात समीकरण $y^2 + by + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से:
$\sin \alpha + \sin \beta = -b$
$\sin \alpha \cdot \sin \beta = c$
दिया गया है $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$।
अतः,$\sin \beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$।
इसे मूलों के गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = c$
$2 \sin \alpha \cos \alpha = 2c$
$\sin(2\alpha) = 2c$
अब,मूलों के योग पर विचार करें:
$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = (-b)^2$
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta = b^2$
चूंकि $\sin \beta = \cos \alpha$,इसलिए $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$।
$1 + 2c = b^2$
अतः,$b^2 - 1 = 2c$।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 + 6x + 12 + 3 \sin(a + b\alpha) = 0$ है।
इसे $(x + 3)^2 + 3 + 3 \sin(a + b\alpha) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(x + 3)^2 + 3(1 + \sin(a + b\alpha)) = 0$।
चूंकि $(x + 3)^2 \ge 0$ और $1 + \sin(a + b\alpha) \ge 0$ है,इसलिए दोनों पदों का योग शून्य तभी हो सकता है जब प्रत्येक पद शून्य हो।
अतः,$(x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$ और $1 + \sin(a + b\alpha) = 0$।
इससे $\sin(a + b\alpha) = -1$ प्राप्त होता है।
$\theta = a + b\alpha$ के न्यूनतम धनात्मक मान के लिए $\sin \theta = -1$,जो $\theta = \frac{3\pi}{2}$ देता है।
अतः,$\cos(a + b\alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$।

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{6-5 \cos x+7 \sin ^2 x} = \cos x$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$6 - 5 \cos x + 7 \sin ^2 x = \cos ^2 x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$,इसलिए $6 - 5 \cos x + 7(1 - \cos ^2 x) = \cos ^2 x$।
$6 - 5 \cos x + 7 - 7 \cos ^2 x = \cos ^2 x$।
$13 - 5 \cos x = 8 \cos ^2 x$,जो $8 \cos ^2 x + 5 \cos x - 13 = 0$ में सरल हो जाता है।
माना $t = \cos x$,तो $8t^2 + 5t - 13 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(8t + 13)(t - 1) = 0$।
अतः,$t = 1$ या $t = -13/8$।
चूंकि $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $\cos x = 1$ होगा,जिसका अर्थ है $x = 2n\pi$।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\tan(2n\pi) + \sec(2n\pi) = 0 + 1 = 1$।
अतः,हल $\tan x + \sec x = 1$ को संतुष्ट करता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = 2$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,$2 = 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$ लिखा जा सकता है।
समीकरण में मान रखने पर: $\sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
सरल करने पर: $-\sin^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = 0$.
$-\sin \theta$ कॉमन लेने पर: $-\sin \theta (\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta) = 0$.
दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin \theta = 0$. अंतराल $(-\pi, \pi)$ में,हल $\theta = 0$ है।
स्थिति $2$: $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = -\sqrt{3}$.
अंतराल $(-\pi, \pi)$ में,$\tan \theta = -\sqrt{3}$ का मान $\theta = -\frac{\pi}{3}$ और $\theta = \frac{2\pi}{3}$ पर होता है।
अतः,हल $\{0, -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $3$ है.

(A) दिया गया है $2 \sin \theta + 3 \cos \theta = 2$.
माना $x = 3 \sin \theta - 2 \cos \theta$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(2 \sin \theta + 3 \cos \theta)^2 = 2^2 \implies 4 \sin^2 \theta + 9 \cos^2 \theta + 12 \sin \theta \cos \theta = 4$
$(3 \sin \theta - 2 \cos \theta)^2 = x^2 \implies 9 \sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta - 12 \sin \theta \cos \theta = x^2$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(4 + 9) \sin^2 \theta + (9 + 4) \cos^2 \theta = 4 + x^2$
$13(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 4 + x^2$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $13 = 4 + x^2$.
$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

(C) दिया गया समीकरण: $2 \sin x \sin 3 x \sin 5 x + \sin 5 x \cos 4 x = 0$
$\sin 5 x$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\sin 5 x (2 \sin x \sin 3 x + \cos 4 x) = 0$
सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x \sin 3 x = \cos(x-3x) - \cos(x+3x) = \cos 2x - \cos 4x$
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sin 5 x (\cos 2x - \cos 4x + \cos 4x) = 0$
$\sin 5 x \cos 2x = 0$
इसका अर्थ है $\sin 5 x = 0$ या $\cos 2x = 0$ है।
$\sin 5 x = 0$ के लिए,$5x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{5}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$(-\pi, \pi)$ अंतराल में,$n \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$,जो $9$ हल देता है।
$\cos 2x = 0$ के लिए,$2x = (2k+1)\frac{\pi}{2} \implies x = (2k+1)\frac{\pi}{4}$,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
$(-\pi, \pi)$ अंतराल में,$k \in \{-2, -1, 0, 1\}$,जो $4$ हल देता है: $\pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$।
कुल भिन्न हल: $9 + 4 = 13$।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^2 x + 3 \cot^2 x = 2 \sec^2 x$
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 x + 3 \cot^2 x = 2(1 + \tan^2 x)$
$\tan^2 x + 3 \cot^2 x = 2 + 2 \tan^2 x$
$3 \cot^2 x - \tan^2 x = 2$
माना $t = \tan^2 x$,तो $\cot^2 x = \frac{1}{t}$.
$3(\frac{1}{t}) - t = 2$
$3 - t^2 = 2t$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
$(t + 3)(t - 1) = 0$
चूंकि $t = \tan^2 x \ge 0$,इसलिए $t = 1$.
$\tan^2 x = 1 \implies \tan x = \pm 1$.
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\tan x = 1$ के लिए $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ और $\tan x = -1$ के लिए $x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
ये सभी मान मान्य हैं।
अतः,कुल $4$ हल हैं।

(B) माना त्रिभुज $ABP$ का केंद्रक $G(x, y)$ है।
शीर्षों के निर्देशांक $A(2, 3)$,$B(3, 2)$ और $P(t, t^2)$ हैं।
केंद्रक $G(x, y)$ के लिए सूत्र:
$x = \frac{2 + 3 + t}{3} \implies 3x = 5 + t \implies t = 3x - 5$
$y = \frac{3 + 2 + t^2}{3} \implies 3y = 5 + t^2$
$t = 3x - 5$ को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3y = 5 + (3x - 5)^2$
$3y = 5 + 9x^2 - 30x + 25$
$3y = 9x^2 - 30x + 30$
$3$ से भाग देने पर:
$y = 3x^2 - 10x + 10$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 - 10x - y + 10 = 0$
अतः,केंद्रक का बिंदुपथ $3x^2 - 10x - y + 10 = 0$ है।

(A) माना प्रारंभिक बिंदु $P_0 = (\alpha, \beta)$ है।
चरण $1$: $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई का स्थानांतरण करने पर $P_1 = (\alpha + 3, \beta)$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $y = -x$ के सापेक्ष परावर्तन करने पर $(x, y)$ बिंदु $(-y, -x)$ में परिवर्तित हो जाता है। अतः,$P_2 = (-\beta, -(\alpha + 3)) = (-\beta, -\alpha - 3)$।
चरण $3$: अक्षों का $\theta = \frac{\pi}{4}$ के कोण पर धनात्मक दिशा में घूर्णन। नए निर्देशांक $(x', y')$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ और $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ है। दिया गया है कि $(x', y') = (-4\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$,इसलिए:
$x = (-4\sqrt{2}) \cos \frac{\pi}{4} - (-2\sqrt{2}) \sin \frac{\pi}{4} = -2$.
$y = (-4\sqrt{2}) \sin \frac{\pi}{4} + (-2\sqrt{2}) \cos \frac{\pi}{4} = -6$.
$P_2 = (x, y)$ की तुलना करने पर,$-\beta = -2 \implies \beta = 2$ और $-\alpha - 3 = -6 \implies \alpha = 3$।
अतः,$\alpha + \beta = 3 + 2 = 5$।

(D) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
मूलबिंदु को $(-1, 2)$ पर स्थानांतरित करने पर $x = X - 1$ और $y = Y + 2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $2x^2 - xy + y^2 - 3x + 4y - 5 = 0$ में रखने पर:
$2(X-1)^2 - (X-1)(Y+2) + (Y+2)^2 - 3(X-1) + 4(Y+2) - 5 = 0$
सरल करने पर $2X^2 - XY + Y^2 - 9X + 9Y + 14 = 0$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $a = 2, h = -0.5, b = 1, g = -4.5, f = 4.5, c = 14$ प्राप्त होता है।
अतः $2(f + g + h) = 2(4.5 - 4.5 - 0.5) = -1$.
विकल्प $D$ अर्थात $c - 5(a + b) = 14 - 5(3) = -1$ सही है।

(A) रेखा $L$ बिंदु $A(-2, 4)$ से गुजरती है और इसका झुकाव $\theta = 60^{\circ}$ है।
बिंदु $A(x_1, y_1)$ से $r = 6$ की दूरी पर रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $B(p, q)$ के निर्देशांक $p = x_1 + r \cos \theta$ और $q = y_1 + r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि $B$ $3^{\text{rd}}$ चतुर्थांश में स्थित है,हम रेखा पर विपरीत दिशा में चलते हैं,इसलिए $r = -6$ होगा।
$p = -2 + (-6) \cos 60^{\circ} = -2 - 6(\frac{1}{2}) = -5$.
$q = 4 + (-6) \sin 60^{\circ} = 4 - 3\sqrt{3}$.
हमें $\sqrt{p^2 + q^2 - 8q}$ का मान ज्ञात करना है।
$p^2 + q^2 - 8q = p^2 + (q-4)^2 - 16$.
$p = -5$ और $q = 4 - 3\sqrt{3}$ रखने पर:
$p^2 = 25$.
$(q-4)^2 = (-3\sqrt{3})^2 = 27$.
अतः,$p^2 + (q-4)^2 - 16 = 25 + 27 - 16 = 36$.
इस प्रकार,$\sqrt{p^2 + q^2 - 8q} = \sqrt{36} = 6$.

(C) चरण $1$: अक्षों का स्थानांतरण। मूल निर्देशांक $(x, y) = (2, 3)$ हैं और मूलबिंदु $(h, k) = (3, 2)$ पर स्थानांतरित किया गया है। नए निर्देशांक $(a, b) = (x-h, y-k) = (2-3, 3-2) = (-1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
चरण $2$: अक्षों का घूर्णन। बिंदु $(-1, 1)$ को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर,नए निर्देशांक $(c, d)$ के लिए $c = a \cos \theta + b \sin \theta$ और $d = -a \sin \theta + b \cos \theta$ का उपयोग करते हैं।
चरण $3$: $c$ और $d$ की गणना। चूँकि $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $c = (-1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$ और $d = -(-1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $d - c = \sqrt{2} - 0 = \sqrt{2}$.

(B) अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण से घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$
$y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$
इन मानों को $ax^2+2hxy+by^2=c$ में रखने पर:
$X^2(\frac{a+2h+b}{2}) + XY(b-a) + Y^2(\frac{a-2h+b}{2}) = c$
$25X^2+9Y^2=225$ से तुलना करने पर:
$a+2h+b = 50$
$c = 225 \implies \sqrt{c} = 15$
अतः,$(a+2h+b-\sqrt{c})^2 = (50-15)^2 = 35^2 = 1225$.

(C) बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली और $\theta$ कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण: $\frac{x - 1}{\cos \theta} = \frac{y - 2}{\sin \theta} = r$.
चूंकि $PQ = \frac{1}{2}$,$Q$ के निर्देशांक $(1 + \frac{1}{2} \cos \theta, 2 + \frac{1}{2} \sin \theta)$ हैं।
चूंकि $Q$ रेखा $x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0$ पर स्थित है,मान रखने पर:
$(1 + \frac{1}{2} \cos \theta) + \sqrt{3}(2 + \frac{1}{2} \sin \theta) - 2\sqrt{3} = 0$.
$\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta = -1$.
$\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$.
$\theta = \frac{2\pi}{3}$ के लिए $PQ = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः $X$ और $Y$ अंतःखंड हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |ab| = 12$ दिया गया है,अतः $|ab| = 24$.
रेखा $(12, 4)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{12}{a} + \frac{4}{b} = 1$.
$b = -\frac{24}{a}$ रखने पर,$\frac{12}{a} - \frac{a}{6} = 1 \implies a^2 + 6a - 72 = 0$.
हल करने पर $a = 6$ या $a = -12$ प्राप्त होता है।
यदि $a = -12$ है,तो $b = 2$ होगा। अतः $P = a \cdot b^2 = -12 \cdot 4 = -48$।

(C) दी गई रेखा $5x - 12y + 6 = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m = \frac{5}{12}$ है।
चूंकि रेखा $L$ इस रेखा के लंबवत है,इसकी ढाल $m_L$ को $m_L \times \frac{5}{12} = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,इसलिए $m_L = -\frac{12}{5}$ है।
रेखा $L$ का अभिलंब रूप $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ है,जहाँ $p = 2$ मूल बिंदु से दूरी है।
इस रेखा की ढाल $-\cot \theta = -\frac{12}{5}$ है,जिसका अर्थ है $\cot \theta = \frac{12}{5}$।
अतः,$\tan \theta = \frac{5}{12}$ है।
चूंकि रेखा $Y$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड बनाती है,हम अंतःखंड रूप की जाँच करते हैं: $y = -\frac{12}{5}x + \frac{2}{\sin \theta}$।
$\cot \theta = \frac{12}{5}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin \theta = \frac{5}{13}$ और $\cos \theta = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड $\frac{2}{\sin \theta} = \frac{2}{5/13} = \frac{26}{5} > 0$ है,जो धनात्मक है।
अंत में,$\tan \theta + \cot \theta = \frac{5}{12} + \frac{12}{5} = \frac{25 + 144}{60} = \frac{169}{60}$।

(D) शीर्ष $O(0,0), B(-3,-1), C(-1,-3)$ हैं।
रेखा $BC$ का समीकरण $x + y + 4 = 0$ है।
$O(0,0)$ से $BC$ पर शीर्षलंब की लंबाई $h = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
रेखा $DE$ का समीकरण $x + y + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$ है।
$O(0,0)$ से $DE$ की दूरी $d = \frac{1}{2}$ है।
रेखा $DE$,शीर्षलंब को $d : (h - d)$ के अनुपात में विभाजित करती है।
अनुपात $1 : (4\sqrt{2} - 1)$ प्राप्त होता है।

(D) माना बिंदु $A(3, 5)$ और $B(4, 6)$ हैं। रेखा $L \equiv 6x + 3y + k = 0$,$AB$ को $-5: 4$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $Q = \left( \frac{-5(4) + 4(3)}{-5 + 4}, \frac{-5(6) + 4(5)}{-5 + 4} \right) = (8, 10)$ है।
चूंकि $Q(8, 10)$,$L = 0$ पर स्थित है,इसलिए $6(8) + 3(10) + k = 0 \implies k = -78$ है।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $2x + y - 26 = 0$ है।
बिंदु $P(g, h)$,$2x + y = 26$ और $x - y = -1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $3x = 25 \implies g = \frac{25}{3}$ है।
$x - y = -1$ में $g$ का मान रखने पर: $h = g + 1 = \frac{28}{3}$ है।
अतः,$h = g + 1$।

(A) बिंदु $P(1, 2)$ का रेखा $x + y + 1 = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $Q(x_1, y_1)$ है,जो $\frac{x_1 - 1}{1} = \frac{y_1 - 2}{1} = -2 \frac{1(1) + 1(2) + 1}{1^2 + 1^2} = -4$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x_1 = -3$ और $y_1 = -2$। यानी $Q = (-3, -2)$।
$M$,$PQ$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $M = (-1, 0)$।
बिंदु $Q(-3, -2)$ का रेखा $x - y - 1 = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $R(x_2, y_2)$ है,जो $\frac{x_2 + 3}{1} = \frac{y_2 + 2}{-1} = -2 \frac{1(-3) - 1(-2) - 1}{1^2 + (-1)^2} = 2$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x_2 = -1$ और $y_2 = -4$। यानी $R = (-1, -4)$।
$N$,$QR$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $N = (-2, -3)$।
दूरी $MN = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$।

(B) दी गई रेखाएं $L_1: x+2y+3=0$,$L_2: 2x+4y+9=0$,$L_3: x-2y+3=0$,और $L_4: 3x-6y+11=0$ हैं।
यहाँ $L_1$ और $L_2$ समांतर हैं,तथा $L_3$ और $L_4$ समांतर हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी का उपयोग करके,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{|c_1-c_2||d_1-d_2|}{|a_1b_2-a_2b_1|}$ सूत्र से प्राप्त होता है।
गणना करने पर क्षेत्रफल $\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) माना लंबकेंद्र $H = (5, 8)$ और परिकेंद्र $O = (2, 3)$ है।
परिवृत्त की त्रिज्या $R$,परिकेंद्र $O$ और त्रिभुज के किसी भी शीर्ष के बीच की दूरी है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज की किसी भी भुजा के सापेक्ष लंबकेंद्र $H$ का प्रतिबिंब परिवृत्त पर स्थित होता है।
भुजा $L: x - y = 0$ लें।
$x - y = 0$ के सापेक्ष $H(5, 8)$ का प्रतिबिंब $(x', y')$ इस प्रकार है: $\frac{x' - 5}{1} = \frac{y' - 8}{-1} = -2 \frac{5 - 8}{1^2 + (-1)^2} = -2 \frac{-3}{2} = 3$.
अतः,$x' = 5 + 3 = 8$ और $y' = 8 - 3 = 5$.
बिंदु $(8, 5)$ परिवृत्त पर स्थित है।
त्रिज्या $R$,परिकेंद्र $O(2, 3)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(8, 5)$ के बीच की दूरी है।
$R = \sqrt{(8 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$.

(B) रेखाओं $x-2y+1=0$ और $2x-3y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(5, 3)$ है।
इस बिंदु को $3x-y+k=0$ में रखने पर,$3(5)-3+k=0 \implies k=-12$.
रेखाओं $3x-y-12=0$ और $mx-3y+6=0$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan(45^{\circ}) = |\frac{3-m/3}{1+3(m/3)}| = 1 \implies m=3$.
अतः $m-k = 3 - (-12) = 15$.

(C) रेखाओं $L_1, L_2, L_3$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले शांकव का समीकरण $\lambda_1 L_1 L_2 + \lambda_2 L_2 L_3 + \lambda_3 L_3 L_1 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्त के लिए,$x^2$ का गुणांक और $y^2$ का गुणांक समान होना चाहिए और $xy$ का गुणांक $0$ होना चाहिए।
गणना करने पर,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{5}{7}$ और $\frac{\lambda_3}{\lambda_1} = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{7\lambda_1}{\lambda_2} + \frac{\lambda_3}{\lambda_1} = 7(\frac{5}{7}) - 2 = 3$.

(D) यह जाँचने के लिए कि क्या रेखाएँ संगामी हैं,हम पहले दो समीकरणों को हल करते हैं:
$x+y = -4$ $(1)$
$x-2y = 4$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $3y = -8 \implies y = -8/3$.
$y = -8/3$ को $(1)$ में रखने पर: $x = -4/3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-4/3, -8/3)$ है।
इस बिंदु को तीसरे समीकरण $3x+4y-2=0$ में रखने पर: $3(-4/3) + 4(-8/3) - 2 = -50/3 \neq 0$.
अतः रेखाएँ संगामी नहीं हैं।
रेखाओं की ढाल: $m_1 = -1, m_2 = 1/2, m_3 = -3/4$.
कोई भी दो ढाल समान नहीं हैं और न ही उनका गुणनफल $-1$ है।
भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने पर,तीनों भुजाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए यह एक विषमबाहु त्रिभुज बनाती हैं।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के $(0, b)$ हैं।
दिया है $AB = 15$,अतः $\sqrt{a^2 + b^2} = 15$,जिसका अर्थ है $a^2 + b^2 = 225$.
माना $P(x, y)$,$AB$ पर एक बिंदु है ताकि $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$ हो।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{3a}{5}$ और $y = \frac{2b}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $a = \frac{5x}{3}$ और $b = \frac{5y}{2}$.
इन मानों को $a^2 + b^2 = 225$ में रखने पर:
$(\frac{5x}{3})^2 + (\frac{5y}{2})^2 = 225$.
$\frac{25x^2}{9} + \frac{25y^2}{4} = 225$.
$25$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 9$,या $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जहाँ $x = 9 \cos \theta$ और $y = 6 \sin \theta$ है।

(B) मान लीजिए रेखा $(L)$ निर्देशांक अक्षों को $(a, 0)$ और $(0, b)$ पर काटती है।
अक्षों और रेखा $(L)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3})$ है।
यह बिंदु $(x, y)$ वक्र $3x + 2y - 3xy = 0$ पर स्थित है,इसलिए $x = \frac{a}{3}$ और $y = \frac{b}{3}$,जिसका अर्थ है $a = 3x$ और $b = 3y$.
रेखा $(L)$ का समीकरण $\frac{X}{a} + \frac{Y}{b} = 1$ है।
$a = 3x$ और $b = 3y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{X}{3x} + \frac{Y}{3y} = 1$ प्राप्त होता है,या $\frac{X}{x} + \frac{Y}{y} = 3$.
वक्र के समीकरण का उपयोग करने पर,ये सभी रेखाएँ बिंदु $(2, 3)$ पर संगामी हैं।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
दिया गया है कि $P$ की $(1, 4)$ से दूरी $5$ है,अतः: $\sqrt{(x-1)^2 + (y-4)^2} = 5 \implies (x-1)^2 + (y-4)^2 = 25 \implies x^2 + y^2 - 2x - 8y - 8 = 0$.
साथ ही,$P$ की रेखा $2x + 3y - 1 = 0$ से दूरी $5$ है,अतः: $\frac{|2x + 3y - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = 5 \implies |2x + 3y - 1| = 5\sqrt{13}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2x + 3y - 1)^2 = 325 \implies 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x - 6y - 324 = 0$.

(C) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के $(0, b)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(3, 2)$ से गुजरती है,$\frac{3}{a} + \frac{2}{b} = 1$।
बिंदु $P(h, k)$,$AB$ को $2: 3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र से: $h = \frac{3a}{5} \implies a = \frac{5h}{3}$ और $k = \frac{2b}{5} \implies b = \frac{5k}{2}$।
मान रखने पर: $\frac{3}{5h/3} + \frac{2}{5k/2} = 1 \implies \frac{9}{5h} + \frac{4}{5k} = 1 \implies 9k + 4h = 5hk$।
अतः,$4x + 9y = 5xy$।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\triangle PAB$ के लिए: $\frac{1}{2} |x - y + 1|$।
$\triangle PAC$ के लिए: $|1 - y|$।
दोनों क्षेत्रफलों को बराबर रखने पर: $\frac{1}{2} |x - y + 1| = |1 - y|
\implies |x - y + 1| = |2 - 2y|$।
इससे दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $x + y - 1 = 0$ और $x - 3y + 3 = 0$।
उनका गुणनफल करने पर: $(x + y - 1)(x - 3y + 3) = x^2 - 2xy - 3y^2 + 2x + 6y - 3 = 0$।

(B) रेखाओं के समीकरण हैं:
$AB: x+y-2=0$
$BC: x-y+2=0$
$CA: y=0$
बिंदु $P(x, y)$ के लिए लंबवत दूरियाँ:
$a = \frac{|x+y-2|}{\sqrt{2}}, b = \frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}, c = |y|$
चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,$2b = a+c$ होगा।
अतः,$\sqrt{2}|x-y+2| = |x+y-2| + \sqrt{2}|y|$
जिससे,$\sqrt{2}|y| = |x-y+2| - |x+y-2|$ प्राप्त होता है।

(D) माना रेखा $L$ द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है। बिंदु $B$ के निर्देशांक $(2 + 4 \cos \theta, 3 + 4 \sin \theta)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं।
चूंकि $B$,रेखा $4x - 3y - 19 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$4(2 + 4 \cos \theta) - 3(3 + 4 \sin \theta) - 19 = 0$
$8 + 16 \cos \theta - 9 - 12 \sin \theta - 19 = 0$
$16 \cos \theta - 12 \sin \theta = 20$
$4$ से भाग देने पर,हमें $4 \cos \theta - 3 \sin \theta = 5$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर $\tan \theta = -3/4$ प्राप्त होता है। अतः,कोण $\pi - \operatorname{Tan}^{-1}(3/4)$ होगा।

(C) माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। $(1, 1)$ और $(2, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{3-1}{2-1} = 2$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(45^{\circ}) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$.
$1 = |\frac{m - 2}{1 + 2m}|$.
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $1 + 2m = m - 2$ या $1 + 2m = -(m - 2)$.
स्थिति $1$: $m = -3$. चूंकि ढाल ऋणात्मक है,यह एक मान्य समाधान है।
स्थिति $2$: $1 + 2m = -m + 2 \implies 3m = 1 \implies m = \frac{1}{3}$. यह धनात्मक है,इसलिए हम इसे अस्वीकार करते हैं।
$m = -3$ ढाल और $(4, -3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - (-3) = -3(x - 4)$ है,जो $y + 3 = -3x + 12$ या $3x + y = 9$ में सरल होता है।
$9$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $a = 3$ और $y$-अंतःखंड $b = 9$ है।
अंतःखंडों का योग $a + b = 3 + 9 = 12$ है।

(D) रेखा का समीकरण $4x - 3y + 8 = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{4}{3}$ है।
चूंकि लंब रेखा बिंदु $(2, -3)$ से गुजरती है,इसकी ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{3}{4}$ है।
लंब रेखा का समीकरण $y - (-3) = -\frac{3}{4}(x - 2)$ है,जो सरल होकर $3x + 4y + 6 = 0$ बनता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $M(a, b)$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$4a - 3b = -8$ $(1)$
$3a + 4b = -6$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $4$ से और $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $16a - 12b = -32$ और $9a + 12b = -18$ प्राप्त होता है।
दोनों को जोड़ने पर $25a = -50$ मिलता है,इसलिए $a = -2$ है।
$a = -2$ को $(2)$ में रखने पर: $3(-2) + 4b = -6$,इसलिए $-6 + 4b = -6$,जिसका अर्थ है $b = 0$ है।
अतः,$M(a, b) = (-2, 0)$ है।
हमें $a^3 - b^3 = k^3$ दिया गया है,इसलिए $(-2)^3 - (0)^3 = k^3$,जिसका अर्थ है $-8 = k^3$ है।
इसलिए,$k = \sqrt[3]{-8} = -2$ है।

(D) रेखाओं के परिवार का समीकरण $ax + by + c = 0$ और शर्त $4a^2 + 9b^2 - c^2 - 12ab = 0$ दी गई है।
शर्त को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $4a^2 - 12ab + 9b^2 = c^2$,जो $(2a - 3b)^2 = c^2$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $c = \pm(2a - 3b)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $c = 2a - 3b$. इसे रेखा के समीकरण में रखने पर: $ax + by + (2a - 3b) = 0 \implies a(x + 2) + b(y - 3) = 0$.
यह रेखा निश्चित बिंदु $(-2, 3)$ से गुजरती है।
स्थिति $2$: $c = -(2a - 3b) = -2a + 3b$. इसे रेखा के समीकरण में रखने पर: $ax + by + (-2a + 3b) = 0 \implies a(x - 2) + b(y + 3) = 0$.
यह रेखा निश्चित बिंदु $(2, -3)$ से गुजरती है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$(2, -3)$ और $(-2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा शर्त को पूरा करती है।

(A) समचतुर्भुज की भुजाएँ $x+y+c_1=0$ और $7x-y+c_2=0$ के समांतर हैं।
चूँकि केंद्र $(1,3)$ है,विकर्ण भुजाओं के बीच के कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
केंद्र $(1,3)$ से गुजरने वाली भुजाओं के समांतर रेखाएँ $x+y-4=0$ और $7x-y-4=0$ हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।
भुजाओं की ढाल $m_1 = -1$ और $m_2 = 7$ है।
$x+y-4=0$ और $7x-y-4=0$ के कोण समद्विभाजक $\frac{x+y-4}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7x-y-4}{\sqrt{50}}$ हैं।
सरल करने पर,$5(x+y-4) = \pm (7x-y-4)$।
स्थिति $1$: $5x+5y-20 = 7x-y-4 \implies x-3y+8=0$।
स्थिति $2$: $5x+5y-20 = -7x+y+4 \implies 3x+y-6=0$।
शीर्ष $A(\alpha, \beta)$ रेखा $15x-5y=6$ और एक विकर्ण पर स्थित है।
$3x+y=6$ और $15x-5y=6$ को हल करने पर: $x=1.2, y=2.4$। $\alpha+\beta = 3.6 = \frac{18}{5}$।

(D) दिया गया समीकरण: $S \equiv 2x^2 - xy - y^2 - 3x + 3y = 0$।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,हम $\frac{\partial S}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial S}{\partial y} = 0$ को हल करके नया मूल बिंदु $(h, k)$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{\partial S}{\partial x} = 4x - y - 3 = 0$ और $\frac{\partial S}{\partial y} = -x - 2y + 3 = 0$।
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 1, y = 1$ प्राप्त होता है,अतः $(h, k) = (1, 1)$।
घूर्णन द्वारा $xy$-पद को हटाने के लिए,हम सूत्र $\tan 2\theta = \frac{B}{A - C}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ है।
यहाँ $A = 2, B = -1, C = -1$ है।
अतः,$\tan 2\theta = \frac{-1}{2 - (-1)} = \frac{-1}{3}$।
चूंकि $h = 1$ और $k = 1$,हमारे पास $h = k$ है,इसलिए $\tan 2\theta = -\frac{h}{3k} = -\frac{1}{3}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के समांतर रेखाओं का युग्म होने के लिए $h^2=ab$ और $af^2=bg^2$ होना आवश्यक है।
यहाँ $a=4, h=6, b=9$ है।
$h^2=ab$ शर्त संतुष्ट होती है $(36=36)$।
$af^2=bg^2$ से $4f^2=9g^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f/g = 3/2$।
अतः,$\frac{f}{g} + \frac{g}{f} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6}$।

(C) द्विघात समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ में,यदि रेखाएँ परस्पर लंब हैं तो $A + B = 0$ होता है।
यहाँ $A = a^2-3$ और $B = -2a$ है।
अतः,$(a^2-3) + (-2a) = 0 \implies a^2 - 2a - 3 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(a-3)(a+1) = 0$,अर्थात $a = 3$ या $a = -1$।
निश्चायक $\Delta = 0$ की शर्त की जाँच करने पर,$a = 3$ के लिए समीकरण रेखाओं का युग्म निरूपित करता है,जबकि $a = -1$ के लिए यह संभव नहीं है।
अतः,सही उत्तर $a = 3$ है।

(B) माना मूल समीकरण $f(x, y) = 2x^2+xy-6y^2-13x+9y+15=0$ है।
जब मूल बिंदु को $(a, b)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो हम $x = X+a$ और $y = Y+b$ प्रतिस्थापित करते हैं।
केंद्र $(a, b)$ ज्ञात करने के लिए,$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x+y-13 = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = x-12y+9 = 0$ हल करने पर,हमें $a=3$ और $b=1$ प्राप्त होता है।
मूल समीकरण में $x=X+3$ और $y=Y+1$ रखने पर,अचर पद $k$ का मान $0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है: $f(x, y) = 2x^2 + 5xy - 3y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$.
सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ को आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ को हल करके प्राप्त किया जाता है।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x + 5y + 2g = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$4(-1) + 5(-1) + 2g = 0 \implies -4 - 5 + 2g = 0 \implies 2g = 9 \implies g = 4.5$.
$\frac{\partial f}{\partial y} = 5x - 6y + 2f = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$5(-1) - 6(-1) + 2f = 0 \implies -5 + 6 + 2f = 0 \implies 1 + 2f = 0 \implies f = -0.5$.
अतः,$g + f = 4.5 + (-0.5) = 4$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) समीकरणों का युग्म $3x^2 + 2hxy - 3y^2 = 0$ दो लंबवत रेखाओं को दर्शाता है क्योंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $3 + (-3) = 0$ है।
वर्ग की भुजाएँ होने के लिए,रेखाएँ लंबवत होनी चाहिए।
दूसरा समीकरण $3x^2 + 2hxy - 3y^2 + 2x - 4y + c = 0$ अन्य दो भुजाओं को दर्शाता है,जो पहले युग्म के समानांतर होनी चाहिए।
समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होनी चाहिए।
गणना करने पर $h = 2$ और $c = -8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{h}{c} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$.

(D) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 4xy - 2y^2 = 0$ है। इसे $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = a$,$H = 2$,और $B = -2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$.
दिया गया है $\tan \theta = 2\sqrt{10}$,इसलिए $2\sqrt{10} = \left| \frac{2\sqrt{4 + 2a}}{a - 2} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $10 = \frac{4 + 2a}{a^2 - 4a + 4} \implies 5a^2 - 21a + 18 = 0$.
चूंकि $a \in \mathbb{Z}$,इसलिए $a = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं का समीकरण $3x^2 + 4xy - 2y^2 = 0$ है। प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $6x^2 + 2hxy + 4y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$4(\frac{y}{x})^2 + 2h(\frac{y}{x}) + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{4} = -\frac{h}{2}$ और $m_1 m_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।
ढाल का अनुपात $2:3$ दिया गया है,इसलिए $m_1 = 2k$ और $m_2 = 3k$ लें।
तब $m_1 m_2 = 6k^2 = \frac{3}{2} \implies k^2 = \frac{1}{4} \implies k = \pm \frac{1}{2}$।
यदि $k = \frac{1}{2}$ है,तो $m_1 = 1$ और $m_2 = \frac{3}{2}$ है।
तब $m_1 + m_2 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$।
चूंकि $m_1 + m_2 = -\frac{h}{2}$,इसलिए $-\frac{h}{2} = \frac{5}{2} \implies h = -5$।
यदि $k = -\frac{1}{2}$ है,तो $m_1 = -1$ और $m_2 = -\frac{3}{2}$ है।
तब $m_1 + m_2 = -\frac{5}{2} = -\frac{h}{2} \implies h = 5$।
रेखाओं के धनात्मक $X$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाने के लिए,ढाल $m_1$ और $m_2$ धनात्मक होने चाहिए।
अतः,$m_1 = 1$ और $m_2 = \frac{3}{2}$ होना चाहिए,जो $h = -5$ के अनुरूप है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx'+2fy'+c=0$ है।
बिंदुओं $(-1,0), (-1,1)$ और $(1,1)$ को समीकरण में रखने पर:
$1$) $(-1,0)$ के लिए: $1-2g+c=0 \implies c=2g-1$.
$2$) $(-1,1)$ के लिए: $2-2g+2f+c=0$.
$c=2g-1$ रखने पर: $2f+1=0 \implies f=-1/2$.
$3$) $(1,1)$ के लिए: $2+2g+2f+c=0$.
$f=-1/2$ और $c=2g-1$ रखने पर: $4g=0 \implies g=0$ और $c=-1$.
समीकरण $x^2+y^2-y-1=0$ प्राप्त होता है।
$ax^2+ay^2+2gx+2fy-2=0$ के रूप में लाने के लिए $2$ से गुणा करने पर: $2x^2+2y^2-2y-2=0$.
तुलना करने पर $a=2$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y-23=0$ है। केंद्र $(3, -2)$ और त्रिज्या $r = 6$ है।
बिंदु $P(-1, -5)$ वृत्त के अंदर स्थित है क्योंकि $CP = 5 < 6$ है।
न्यूनतम दूरी वाला बिंदु $A$,रेखा $CP$ पर स्थित है।
$A = C + \frac{r}{CP} \vec{CP} = (3, -2) + \frac{6}{5}(-4, -3) = (-\frac{9}{5}, -\frac{28}{5})$.

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0$ है। $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -1$,$f = 2$,और $c = -11$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - (-11)} = \sqrt{16} = 4$ है।
जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{3}$ है। माना $d$ केंद्र $(1, -2)$ से जीवा $2x + 3y + k = 0$ की लंबवत दूरी है।
सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर,$d = \frac{|2(1) + 3(-2) + k|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|k - 4|}{\sqrt{13}}$ प्राप्त होता है।
वृत्त में,$r^2 = d^2 + (L/2)^2$ होता है। मान रखने पर,$16 = d^2 + 3$,जिससे $d^2 = 13$ और $d = \sqrt{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{|k - 4|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$,जिसका अर्थ है $|k - 4| = 13$।
इससे $k = 17$ या $k = -9$ प्राप्त होता है।
$k$ के सभी संभावित मानों का योग $17 + (-9) = 8$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+2y+c=0$ है। वृत्त का केंद्र $C = (3, -1)$ है।
चूंकि $x-2y=0$ बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा है,त्रिज्या $CP$ स्पर्श रेखा के लंबवत है।
स्पर्श रेखा का ढाल $m_1 = 1/2$ है। अतः,अभिलंब $CP$ का ढाल $m_2 = -2$ है।
केंद्र $C(3, -1)$ से गुजरने वाली और $-2$ ढाल वाली अभिलंब रेखा का समीकरण $y+1 = -2(x-3)$ अर्थात $2x+y-5=0$ है।
बिंदु $P$ स्पर्श रेखा $x-2y=0$ और अभिलंब $2x+y-5=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $x=2y$,अतः $2(2y)+y-5=0 \implies 5y=5 \implies y=1$. अतः $x=2$. इस प्रकार $P = (2, 1)$.
बिंदु $P(2, 1)$ और $(6, 3)$ के बीच की दूरी:
$d = \sqrt{(6-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ है। इसका केंद्र $C(2, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)} = \sqrt{4+1+4} = 3$ है।
माना $P = (-3, 1)$ है। व्यास $PC$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - (-3))(x - 2) + (y - 1)(y - (-1)) = 0$ होगा।
यह सरल होकर $(x+3)(x-2) + (y-1)(y+1) = 0$ बनता है,जो $x^2+x-6 + y^2-1 = 0$ या $x^2+y^2+x-7=0$ है।
स्पर्श बिंदु $A$ और $B$ इस वृत्त पर स्थित हैं क्योंकि $\angle PAC = 90^\circ$ और $\angle PBC = 90^\circ$ है।
अतः,$\triangle PAB$ के परिवृत्त का समीकरण वह वृत्त है जिसका व्यास $PC$ है,जो $x^2+y^2+x-7=0$ है।

(D) माना स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + c$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ के लिए,त्रिज्या $r = 4$ और केंद्र $(0, 0)$ है।
रेखा $mx - y + c = 0$ के स्पर्शरेखा होने की शर्त $\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$ है,इसलिए $c^2 = 16(m^2 + 1)$।
वृत्त $(x - 9)^2 + y^2 = 16$ के लिए,केंद्र $(9, 0)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
रेखा $mx - y + c = 0$ के स्पर्शरेखा होने की शर्त $\frac{|9m + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$ है,इसलिए $(9m + c)^2 = 16(m^2 + 1)$।
$16(m^2 + 1)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,$c^2 = (9m + c)^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $c = -(9m + c)$ या $c = 9m + c$।
स्थिति $1$: $c = 9m + c \implies 9m = 0 \implies m = 0$।
स्थिति $2$: $c = -9m - c \implies 2c = -9m \implies c = -\frac{9m}{2}$।
$c = -\frac{9m}{2}$ को $c^2 = 16(m^2 + 1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{81m^2}{4} = 16m^2 + 16 \implies 81m^2 = 64m^2 + 64 \implies 17m^2 = 64 \implies m^2 = \frac{64}{17}$।
अतः,$m = \pm \frac{8}{\sqrt{17}}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही ढाल $\frac{8}{\sqrt{17}}$ है।

(D) बिंदु $(-1, -2)$ से गुजरने वाली $m$ ढाल की रेखा का समीकरण $y + 2 = m(x + 1)$ है,जिसे $mx - y + (m - 2) = 0$ लिखा जा सकता है।
यह रेखा वृत्त $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4$ की स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(3, 4)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|m(3) - 4 + m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$|2m - 3| = \sqrt{m^2 + 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2m - 3)^2 = m^2 + 1$
$3m^2 - 12m + 8 = 0$
यहाँ $m_1 + m_2 = 4$ और $m_1 m_2 = \frac{8}{3}$ है।
$|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2} = \sqrt{16 - \frac{32}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$।
अतः,$\sqrt{3}|m_1 - m_2| = 4$।

(B) दिया गया है $f(x) = (x^2+x+1)^{(x^2-3x-4)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln(f(x)) = (x^2-3x-4) \ln(x^2+x+1)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = (2x-3) \ln(x^2+x+1) + (x^2-3x-4) \cdot \frac{2x+1}{x^2+x+1}$.
$x \in [4, \infty)$ के लिए,$x^2+x+1 > 0$ और $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1) \ge 0$.
चूंकि $x \ge 4$,$(2x-3) > 0$ और $\ln(x^2+x+1) > 0$,और $(x^2-3x-4) \ge 0$ और $(2x+1) > 0$.
अतः,$f'(x) = f(x) [ (2x-3) \ln(x^2+x+1) + \frac{(x^2-3x-4)(2x+1)}{x^2+x+1} ] > 0$ सभी $x > 4$ के लिए.
इसलिए,$f(x)$ एक एकदिष्ट वर्धमान फलन है।

(A) एक फलन $f(x)$ मोनोटोनिक होता है यदि वह अपने पूरे डोमेन में या तो निरंतर वर्धमान हो या निरंतर ह्रासमान हो।
इसका अर्थ है कि इसका अवकलज $f'(x)$ अपना चिह्न नहीं बदलता है।
दिया गया फलन $f(x) = 4x^3 + ax^2 + 3x - 2$ है,इसका अवकलज है:
$f'(x) = 12x^2 + 2ax + 3$.
फलन के मोनोटोनिक होने के लिए $f'(x) \geq 0$ या $f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
चूंकि $x^2$ का गुणांक $12 > 0$ है,परवलय $f'(x)$ ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
यह स्थिति तब होती है जब विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ हो।
विविक्तकर $D = (2a)^2 - 4(12)(3) = 4a^2 - 144$.
$D \leq 0$ रखने पर,$4a^2 - 144 \leq 0$,जिसका अर्थ है $a^2 \leq 36$.
अतः,$-6 \leq a \leq 6$,यानी $a \in [-6, 6]$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(-6, 6)$ सही उत्तर है।

(B) फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने के अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2} - \log(x^2 + x + 1) \right) = x - \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$.
$f'(x) = \frac{x(x^2 + x + 1) - (2x + 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{x^3 + x^2 + x - 2x - 1}{x^2 + x + 1} = \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^2 + x + 1}$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x + 1) - 1(x + 1) = (x^2 - 1)(x + 1) = (x - 1)(x + 1)^2$.
अतः,$f'(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)^2}{x^2 + x + 1}$.
चूंकि $x^2 + x + 1 > 0$ और $(x + 1)^2 \ge 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए,$f'(x)$ का चिह्न $(x - 1)$ पर निर्भर करता है।
जब $x > 1$ होता है,तो $f'(x) > 0$ होता है,इसलिए फलन $(1, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया है $f(x) = |x^2 - 3x + 2| + 2x - 3$ अंतराल $[-2, 1]$ पर।
चूंकि $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$,$x \in [-2, 1]$ के लिए,$(x - 1) \le 0$ और $(x - 2) < 0$,इसलिए $(x - 1)(x - 2) \ge 0$ है।
अतः,$|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2$ होगा।
इसलिए $f(x) = x^2 - 3x + 2 + 2x - 3 = x^2 - x - 1$ है।
$[-2, 1]$ पर चरम मानों की जांच करने के लिए:
$f'(x) = 2x - 1$. $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 1/2$ प्राप्त होता है,जो $[-2, 1]$ में है।
मानों की गणना:
$f(-2) = (-2)^2 - (-2) - 1 = 5$.
$f(1) = (1)^2 - (1) - 1 = -1$.
$f(1/2) = (1/2)^2 - (1/2) - 1 = -5/4$.
यहाँ निरपेक्ष अधिकतम $M = 5$ और निरपेक्ष न्यूनतम $m = -5/4$ है।
अतः $M - 4m = 5 - 4(-5/4) = 5 + 5 = 10$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x+1} = \frac{(x+1)^2+1}{x+1} = (x+1) + \frac{1}{x+1}$.
माना $u = x+1$. तो $f(u) = u + \frac{1}{u}$.
स्थानीय चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(u) = 1 - \frac{1}{u^2}$.
$f'(u) = 0$ रखने पर,हमें $u^2 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $u = 1$ या $u = -1$.
$u = 1$ के लिए,$x+1 = 1 \implies x = 0$. $f(0) = 0 + \frac{1}{1} = 2$. यह स्थानीय न्यूनतम मान $m = 2$ है जो $\beta = 0$ पर प्राप्त होता है.
$u = -1$ के लिए,$x+1 = -1 \implies x = -2$. $f(-2) = -2 + \frac{1}{-1} = -2 - 1 = -3$. चूँकि $x < -1$ के लिए $f(x) \le -2$ होता है,इसलिए स्थानीय अधिकतम मान $l = -2$ है जो $\alpha = -2$ पर प्राप्त होता है.
अतः,$l = -2, m = 2, \alpha = -2, \beta = 0$.
इसलिए $\frac{l+m}{\alpha+\beta} = \frac{-2+2}{-2+0} = \frac{0}{-2} = 0$.

(B) दिया गया है कि $xy = 4$,इसलिए हम $x = \frac{4}{y}$ लिख सकते हैं।
मान लीजिए $f(y) = \sqrt{x} + \frac{y^2}{2} = \sqrt{\frac{4}{y}} + \frac{y^2}{2} = 2y^{-1/2} + \frac{y^2}{2}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(y)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(y) = 2(-\frac{1}{2})y^{-3/2} + \frac{1}{2}(2y) = -y^{-3/2} + y$।
$f'(y) = 0$ रखने पर,$y = y^{-3/2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^{5/2} = 1$,अतः $y = 1$।
जब $y = 1$ है,तो $x = \frac{4}{1} = 4$ होगा।
$y = 1$ पर व्यंजक का मान $f(1) = \sqrt{4} + \frac{1^2}{2} = 2 + 0.5 = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
चूँकि $f''(y) = \frac{3}{2}y^{-5/2} + 1 > 0$ सभी $y > 0$ के लिए सत्य है,इसलिए फलन का $y = 1$ पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{ax + b}{x^2 - 5x + 4}$। चूँकि स्थानीय अधिकतम $(2, -1)$ पर है,इसलिए $f(2) = -1$ होगा।
$x = 2$ को फलन में रखने पर: $f(2) = \frac{2a + b}{(2 - 1)(2 - 4)} = \frac{2a + b}{(1)(-2)} = \frac{2a + b}{-2} = -1$।
इससे $2a + b = 2$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x = 2$ पर स्थानीय अधिकतम के लिए,अवकलज $f'(2) = 0$ होगा।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए $f'(x) = \frac{a(x^2 - 5x + 4) - (ax + b)(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 4)^2}$।
$f'(2) = 0$ रखने पर: $a(4 - 10 + 4) - (2a + b)(4 - 5) = 0$।
$a(-2) - (2a + b)(-1) = 0 \implies -2a + 2a + b = 0 \implies b = 0$।
$b = 0$ को $2a + b = 2$ में रखने पर,$2a = 2$ प्राप्त होता है,अतः $a = 1$।
इस प्रकार,$a + b = 1 + 0 = 1$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$ ज्ञात करें।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर $6(x - a)(x - 2a) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 18a$ ज्ञात करें।
$x = a$ पर,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ ($a > 0$ होने के कारण),इसलिए $x = a$ एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है। अतः,$p = a$।
$x = 2a$ पर,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a > 0$ ($a > 0$ होने के कारण),इसलिए $x = 2a$ एक स्थानीय निम्नतम बिंदु है। अतः,$q = 2a$।
शर्त $p^2 = q$ दी गई है,मान रखने पर: $a^2 = 2a$।
चूंकि $a > 0$,$a$ से विभाजित करने पर $a = 2$ प्राप्त होता है।

(D) मध्यमान प्रमेय $(MVT)$ के अनुसार,यदि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,तो $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $t$ ऐसा होता है कि $f^{\prime}(t) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
चूंकि $f$ अंतराल $[a, b]$ से $[c, d]$ तक एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए $f(a) = c$ और $f(b) = d$ है।
इन मानों को $MVT$ सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{\prime}(t) = \frac{d - c}{b - a}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{d - c}{b - a}$ अंतराल $(a, b)$ में किसी बिंदु $t$ पर वक्र $y = f(t)$ की स्पर्श रेखा की ढाल को दर्शाता है।

(D) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कहता है कि यदि कोई फलन $f(x)$,$[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है,तो कम से कम एक $c \in (a,b)$ ऐसा मौजूद होता है कि $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ हो।
$A. f(x) = |x-1|$. यह फलन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $[1,3]$ का अंतिम बिंदु है। अतः,$LMVT$ लागू नहीं होता है। हालाँकि,यदि हम छेदक रेखा की ढाल लें,तो $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{2-0}{2} = 1$। $x > 1$ के लिए,$f'(x) = 1$। कोई भी $c \in (1,3)$ इसे संतुष्ट करता है। विकल्पों को देखते हुए,$A-II$ अभीष्ट मिलान है।
$B. f(x) = \log x$. $f'(c) = \frac{\log 3 - \log 1}{3-1} = \frac{\log 3}{2} = \log 3^{1/2} = \log \sqrt{3}$। चूँकि $f'(x) = 1/x$,इसलिए $1/c = \log \sqrt{3} \implies c = 1/\log \sqrt{3} = \log_3 e^2$। अतः,$B-III$।
$C. f(x) = x^2+x+1$. $f'(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{(9+3+1)-(1+1+1)}{2} = \frac{13-3}{2} = 5$। चूँकि $f'(x) = 2x+1$,इसलिए $2c+1 = 5 \implies 2c = 4 \implies c = 2$। अतः,$C-II$।
$D. f(x) = e^x$. $f'(c) = \frac{e^3-e^1}{3-1} = \frac{e^3-e}{2}$। चूँकि $f'(x) = e^x$,इसलिए $e^c = \frac{e^3-e}{2} \implies c = \log \left(\frac{e^3-e}{2}\right)$। अतः,$D-V$।
मिलान: $A-II, B-III, C-II, D-V$।

(C) दिया गया है $x = t - \sin t$ और $y = 1 - \cos t$.
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = \sin t$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \sin^2(t/2)} = \cot(t/2)$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cot(t/2)) = \frac{d}{dt}(\cot(t/2)) \cdot \frac{dt}{dx} = -\frac{1}{2} \csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{1 - \cos t} = -\frac{1}{2} \csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{2 \sin^2(t/2)} = -\frac{1}{4} \csc^4(t/2)$.
दिया गया है कि $t=K$ पर $\frac{d^2y}{dx^2} = -1$:
$-\frac{1}{4} \csc^4(K/2) = -1 \implies \csc^4(K/2) = 4 \implies \csc^2(K/2) = 2 \implies \sin^2(K/2) = 1/2$.
चूंकि $K>0$,$\sin(K/2) = 1/\sqrt{2}$,इसलिए $K/2 = \pi/4$,जिसका अर्थ है $K = \pi/2$.
अब,सीमा का मान ज्ञात करें:
$\lim_{t \rightarrow K} \frac{y}{x} = \lim_{t \rightarrow \pi/2} \frac{1 - \cos t}{t - \sin t} = \frac{1 - \cos(\pi/2)}{\pi/2 - \sin(\pi/2)} = \frac{1 - 0}{\pi/2 - 1} = \frac{1}{(\pi - 2)/2} = \frac{2}{\pi - 2}$.

(C) माना $I = \int \frac{2 \sin x - 3 \cos x}{4 \cos x - 3 \sin x} dx$.
अंश को $A \cdot (\text{हर}) + B \cdot \frac{d}{dx}(\text{हर})$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$2 \sin x - 3 \cos x = A(4 \cos x - 3 \sin x) + B(-4 \sin x - 3 \cos x)$.
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-3A - 4B = 2$ और $4A - 3B = -3$.
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $3$ से और दूसरे को $4$ से गुणा करने पर: $-9A - 12B = 6$ और $16A - 12B = -12$.
घटाने पर: $25A = -18 \implies A = -\frac{18}{25}$.
$A$ का मान रखने पर: $4(-\frac{18}{25}) - 3B = -3 \implies -\frac{72}{25} + 3 = 3B \implies 3B = \frac{3}{25} \implies B = \frac{1}{25}$.
अतः,$I = \int \frac{-\frac{18}{25}(4 \cos x - 3 \sin x) + \frac{1}{25}(-4 \sin x - 3 \cos x)}{4 \cos x - 3 \sin x} dx$.
$I = -\frac{18}{25} \int 1 dx + \frac{1}{25} \int \frac{-4 \sin x - 3 \cos x}{4 \cos x - 3 \sin x} dx$.
$I = -\frac{18}{25}x + \frac{1}{25} \log |4 \cos x - 3 \sin x| + c$.
व्यवस्थित करने पर $\frac{1}{25}[\log |4 \cos x - 3 \sin x| - 18x] + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \left( \frac{1-\log x}{1+(\log x)^2} \right)^2 dx$.
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \left( \frac{1-t}{1+t^2} \right)^2 e^t dt$.
यह $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + c$ के रूप में है।
यहाँ $I = \int e^t \frac{1-2t+t^2}{(1+t^2)^2} dt = \int e^t \left( \frac{1+t^2-2t}{(1+t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{2t}{(1+t^2)^2} \right) dt$.
यदि $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ है,तो $f'(t) = \frac{-2t}{(1+t^2)^2}$ होगा।
अतः,$I = e^t \left( \frac{1}{1+t^2} \right) + c$.
$t = \log x$ वापस रखने पर,$I = \frac{e^{\log x}}{1+(\log x)^2} + c = \frac{x}{1+(\log x)^2} + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int(x+2) \sqrt{x^2-x+2} \, dx$.
हम $x+2 = A \frac{d}{dx}(x^2-x+2) + B = A(2x-1) + B = 2Ax + (B-A)$ लिखते हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर,$2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$ और $B-A = 2 \implies B = \frac{5}{2}$.
अतः,$I = \int \left[ \frac{1}{2}(2x-1) + \frac{5}{2} \right] \sqrt{x^2-x+2} \, dx = \frac{1}{2} \int (2x-1) \sqrt{x^2-x+2} \, dx + \frac{5}{2} \int \sqrt{x^2-x+2} \, dx$.
प्रथम भाग के लिए,$u = x^2-x+2$ लेने पर,$du = (2x-1)dx$,अतः $\frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{3} (x^2-x+2)^{3/2}$.
दूसरे भाग के लिए,$\int \sqrt{(x-1/2)^2 + 7/4} \, dx = \frac{x-1/2}{2} \sqrt{x^2-x+2} + \frac{7/8} \ln |(x-1/2) + \sqrt{x^2-x+2}|$.
इस प्रकार,$I = \frac{1}{3} (x^2-x+2)^{3/2} + \frac{5}{8} (2x-1) \sqrt{x^2-x+2} + \frac{35}{16} \ln |x-1/2 + \sqrt{x^2-x+2}| + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$f(x) = (x^2-x+2)^{3/2}$,$g(x) = (2x-1) \sqrt{x^2-x+2}$,$h(x) = \ln |x-1/2 + \sqrt{x^2-x+2}|$.
$f(-1) = 8$,$g(-1) = -6$,$h(1/2) = 0$ (क्योंकि $\ln(1) = 0$).
अतः $f(-1)+g(-1)+h(1/2) = 8-6+0 = 2$.

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \left( \frac{1}{x^2} + \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx$ है।
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int \frac{1}{x^2} dx + \int \frac{\sin^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx + \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$.
प्रत्येक पद को सरल करें: $I = \int x^{-2} dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx + \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$.
समाकलन ज्ञात करें: $\int x^{-2} dx = -\frac{1}{x}$.
दूसरे पद के लिए,$u = \cos x$ लें,तो $du = -\sin x dx$,इसलिए $\int \sec x \tan x dx = \sec x$.
तीसरे पद के लिए,$v = \sin x$ लें,तो $dv = \cos x dx$,इसलिए $\int \csc x \cot x dx = -\csc x$.
अतः,$I = -\frac{1}{x} + \sec x - \csc x + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x^3}{x^4+3 x^2+2} d x$.
$t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{dt}{2}$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{t}{t^2+3t+2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{t}{(t+1)(t+2)} dt$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{t}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}$.
$A$ और $B$ का मान ज्ञात करने पर: $t = A(t+2) + B(t+1)$.
$t = -1$ के लिए,$A = -1$. $t = -2$ के लिए,$B = 2$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int \left(\frac{2}{t+2} - \frac{1}{t+1}\right) dt$.
$I = \frac{1}{2} [2 \log|t+2| - \log|t+1|] + c$.
$I = \log|x^2+2| - \frac{1}{2} \log|x^2+1| + c = \log \left(\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\right) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2+9) \sqrt{x^2+16}}$.
$x = 4 \tan \theta$ रखने पर,$dx = 4 \sec^2 \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $\sqrt{x^2+16} = \sqrt{16 \tan^2 \theta + 16} = 4 \sec \theta$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{4 \sec^2 \theta \ d\theta}{(16 \tan^2 \theta + 9)(4 \sec \theta)} = \int \frac{\sec \theta \ d\theta}{16 \tan^2 \theta + 9} = \int \frac{\cos \theta \ d\theta}{16 \sin^2 \theta + 9 \cos^2 \theta}$।
चूंकि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,हर $7 \sin^2 \theta + 9$ हो जाता है।
$I = \int \frac{\cos \theta \ d\theta}{7 \sin^2 \theta + 9}$।
$u = \sin \theta$ रखने पर,$du = \cos \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{du}{7u^2 + 9} = \frac{1}{7} \int \frac{du}{u^2 + (3/\sqrt{7})^2} = \frac{1}{3 \sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{u \sqrt{7}}{3} \right) + c = \frac{1}{3 \sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{7} \sin \theta}{3} \right) + c$।
चूंकि $x = 4 \tan \theta$,इसलिए $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}$।
अतः,$I = \frac{1}{3 \sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+16}} \right) + c$।
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,$K = \frac{\sqrt{7}}{3}$।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int (1+\tan^2 x)(1+2x \tan x) dx$ है।
चूंकि $1+\tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए $I = \int \sec^2 x (1+2x \tan x) dx$ होगा।
मान लीजिए $f(x) = x \tan^2 x$ है।
तब $f'(x) = \tan^2 x + x(2 \tan x \sec^2 x) = \tan^2 x + 2x \tan x \sec^2 x$ होगा।
हम जानते हैं कि $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ है।
अतः $f'(x) = \sec^2 x - 1 + 2x \tan x \sec^2 x = \sec^2 x (1 + 2x \tan x) - 1$ होगा।
इस प्रकार,$\int \sec^2 x (1 + 2x \tan x) dx = \int (f'(x) + 1) dx = f(x) + x + c = x \tan^2 x + x + c$ होगा।
विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $B$ है।

(B) हमारे पास समाकल्य $\sqrt{\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x}}$ है।
सर्वसमिकाओं $1-\sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$ और $1+\sin 2x = (\cos x + \sin x)^2$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{\frac{(\cos x - \sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2}} = \left| \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right| = \left| \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \right| = |\tan(\frac{\pi}{4} - x)|$.
दिया गया है $\frac{5\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4}$,अतः $\frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - x < \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{4}$,जो सरल होकर $-\frac{3\pi}{2} < \frac{\pi}{4} - x < -\pi$ हो जाता है।
इस अंतराल में,$\tan(\frac{\pi}{4} - x)$ धनात्मक है,इसलिए $|\tan(\frac{\pi}{4} - x)| = \tan(\frac{\pi}{4} - x)$.
अब,$\int \tan(\frac{\pi}{4} - x) dx = -\ln|\sec(\frac{\pi}{4} - x)| + c$।

(B) माना $I = \int x \operatorname{Tan}^{-1} \sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}} \, dx$ है।
$x^2 = \cos \theta$ रखने पर,$2x \, dx = -\sin \theta \, d\theta$,जिसका अर्थ है $x \, dx = -\frac{1}{2} \sin \theta \, d\theta$।
समाकलन $I = \int \operatorname{Tan}^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} \left(-\frac{1}{2} \sin \theta\right) d\theta$ हो जाता है।
$\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \cot(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर।
अतः,$I = -\frac{1}{2} \int (\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}) \sin \theta \, d\theta = -\frac{\pi}{4} \int \sin \theta \, d\theta + \frac{1}{4} \int \theta \sin \theta \, d\theta$।
$I = \frac{\pi}{4} \cos \theta + \frac{1}{4} [-\theta \cos \theta + \int \cos \theta \, d\theta] = \frac{\pi}{4} \cos \theta - \frac{1}{4} \theta \cos \theta + \frac{1}{4} \sin \theta + c$।
चूँकि $\cos \theta = x^2$,$\theta = \operatorname{Cos}^{-1} x^2$,और $\sin \theta = \sqrt{1-x^4}$ है,
$I = \frac{x^2}{4} (\pi - \operatorname{Cos}^{-1} x^2) + \frac{1}{4} \sqrt{1-x^4} + c$।

(D) माना $I = \int \frac{1}{(2 \cos x+\sin x)^2} d x$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{(2 + \tan x)^2} d x$.
माना $u = 2 + \tan x$.
तब $du = \sec^2 x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{u^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{u} + c$.
$u = 2 + \tan x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{2 + \tan x} + c$.
चूंकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए:
$I = -\frac{1}{2 + \frac{\sin x}{\cos x}} + c = -\frac{\cos x}{2 \cos x + \sin x} + c$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(C) हमारे पास $I_1 + I_2 = \int (\sin^6 x + \cos^6 x) \, dx$ है।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^2 x$ और $b = \cos^2 x$:
$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,यह $\sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$।
अतः,$\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4}(2 \sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{3}{4} \sin^2(2x)$।
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,हमें $1 - \frac{3}{4} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{3}{8} + \frac{3}{8} \cos 4x = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} \cos 4x$ प्राप्त होता है।
इसका समाकलन करने पर: $\int (\frac{5}{8} + \frac{3}{8} \cos 4x) \, dx = \frac{5x}{8} + \frac{3 \sin 4x}{32} + c = \frac{1}{32}(20x + 3 \sin 4x) + c$।

(A) हमारे पास $I = \int \frac{x+\cos x}{1-\sin x} dx$ है।
सर्वसमिका $\frac{1}{1-\sin x} = \sec^2(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})$ का उपयोग करते हुए।
अतः $I = \int x \sec^2(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}) dx + \int \frac{\cos x}{1-\sin x} dx$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = x \cdot 2 \tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}) - \int 2 \tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}) dx + \int \frac{\cos x}{1-\sin x} dx$।
सरल करने पर,हमें $I = x \tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}) + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{(x+2) \sqrt{x^2+x+2}} \, dx$ को हल करने के लिए,हम $x+2 = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।
अतः $dx = -\frac{1}{t^2} \, dt$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = -\int \frac{1}{\sqrt{4t^2 - 3t + 1}} \, dt$
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करके,हमें $\operatorname{Sinh}^{-1}$ के रूप में उत्तर प्राप्त होता है।

(D) $I_2$ के लिए,अंश और हर को $e^{4x}$ से गुणा करें:
$I_2 = \int \frac{e^{-x} \cdot e^{4x}}{e^{-4x} \cdot e^{4x} + e^{-2x} \cdot e^{4x} + 1 \cdot e^{4x}} dx = \int \frac{e^{3x}}{1 + e^{2x} + e^{4x}} dx$.
माना $e^x = t$,तो $e^x dx = dt$,इसलिए $dx = \frac{dt}{t}$.
$I_1 = \int \frac{t}{t^4 + t^2 + 1} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{dt}{t^4 + t^2 + 1}$.
$I_2 = \int \frac{t^3}{t^4 + t^2 + 1} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{t^2}{t^4 + t^2 + 1} dt$.
$I_2 - I_1 = \int \frac{t^2 - 1}{t^4 + t^2 + 1} dt = \int \frac{1 - 1/t^2}{t^2 + 1 + 1/t^2} dt = \int \frac{1 - 1/t^2}{(t + 1/t)^2 - 1} dt$.
माना $u = t + 1/t$,तो $du = (1 - 1/t^2) dt$.
$I_2 - I_1 = \int \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \log \left| \frac{u - 1}{u + 1} \right| + c$.
$u = e^x + e^{-x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I_2 - I_1 = \frac{1}{2} \log \left| \frac{e^x + e^{-x} - 1}{e^x + e^{-x} + 1} \right| + c$.

(C) माना $I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} dx$ है।
$\sqrt{x} = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \cos^2 \theta$ और $dx = -2 \cos \theta \sin \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \frac{1}{\cos^2 \theta} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} (-2 \cos \theta \sin \theta) d\theta$।
$\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \tan(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$I = -2 \int \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \tan(\theta/2) d\theta$।
चूँकि $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ और $\cos \theta = \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)$,इसलिए $I = -4 \int \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)} d\theta$।
अंश और हर को $\cos^2(\theta/2)$ से विभाजित करने पर,$I = 4 \int \left( \frac{1}{1 - \tan^2(\theta/2)} - 1 \right) d\theta$।
इसका सरलीकरण $2 \log \left| \frac{1+\tan(\theta/2)}{1-\tan(\theta/2)} \right| - 2\theta + c$ होता है।
$\tan(\theta/2) = \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}$ रखने पर,हमें $f(x) = \log \left( \frac{1+\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}} \right)$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx$.
इसे हल करने के लिए,हम अंश को हर के अवकलज के रूप में व्यक्त करते हैं:
$3x+2 = k \frac{d}{dx}(4x^2+4x+5) + m = k(8x+4) + m = 8kx + (4k+m)$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $8k = 3 \implies k = \frac{3}{8}$ और $4k+m = 2 \implies 4(\frac{3}{8}) + m = 2 \implies \frac{3}{2} + m = 2 \implies m = \frac{1}{2}$.
अतः,$I = \int \frac{\frac{3}{8}(8x+4) + \frac{1}{2}}{4x^2+4x+5} dx = \frac{3}{8} \int \frac{8x+4}{4x^2+4x+5} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(2x+1)^2 + 2^2} dx$.
$I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + c$.
$I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{8} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{2}) + c$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$A = \frac{3}{8}$ और $B = \frac{1}{8}$.
इसलिए,$A+B = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^{ax}(\sin bx - \cos bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} [a \sin bx - b \cos bx - (a \cos bx + b \sin bx)] + c = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} [(a-b) \sin bx - (a+b) \cos bx] + c$.
यहाँ,$a = 4$ और $b = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int e^{4x}(\sin 3x - \cos 3x) dx = \frac{e^{4x}}{4^2+3^2} [(4-3) \sin 3x - (4+3) \cos 3x] + c$
$= \frac{e^{4x}}{16+9} [1 \sin 3x - 7 \cos 3x] + c$
$= \frac{e^{4x}}{25}(\sin 3x - 7 \cos 3x) + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) हम $\int e^{ax} f(x) dx = \frac{e^{ax}}{a} [f(x) - \frac{f'(x)}{a} + \frac{f''(x)}{a^2} - \frac{f'''(x)}{a^3} + \dots]$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = -1$ और $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4$ है।
अवकलन ज्ञात करने पर:
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$
$f''(x) = 6x - 4$
$f'''(x) = 6$
$f^{(4)}(x) = 0$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\int e^{-x} f(x) dx = \frac{e^{-x}}{-1} [f(x) - \frac{f'(x)}{-1} + \frac{f''(x)}{(-1)^2} - \frac{f'''(x)}{(-1)^3}] + c$
$= -e^{-x} [f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x)] + c$
$= -e^{-x} [(x^3 - 2x^2 + 3x - 4) + (3x^2 - 4x + 3) + (6x - 4) + 6] + c$
$= -e^{-x} [x^3 + (-2+3)x^2 + (3-4+6)x + (-4+3-4+6)] + c$
$= -e^{-x} [x^3 + x^2 + 5x + 1] + c$.

(A) माना $I = \int \frac{x^2 \operatorname{Tan}^{-1} x}{(1+x^2)^2} dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \operatorname{Tan}^{-1} x$ और $dv = \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$.
$v$ ज्ञात करने के लिए,$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx - \int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए,$dx = \sec^2 \theta d\theta$,हमें प्राप्त होता है $\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^4 \theta} d\theta = \int \cos^2 \theta d\theta = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{1}{2} (\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x + \frac{x}{2(1+x^2)}$.
अतः,$v = \operatorname{Tan}^{-1} x - (\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x + \frac{x}{2(1+x^2)}) = \frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{x}{2(1+x^2)}$.
अब,$I = uv - \int v du = \operatorname{Tan}^{-1} x (\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{x}{2(1+x^2)}) - \int (\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{x}{2(1+x^2)}) \frac{1}{1+x^2} dx$.
$I = \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{2} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} - \frac{1}{2} \int \frac{\operatorname{Tan}^{-1} x}{1+x^2} dx + \frac{1}{2} \int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$.
$I = \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{2} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} - \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{4} - \frac{1}{4(1+x^2)} + c$.
$I = \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{4} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} - \frac{1}{4(1+x^2)} + c$.

(D) माना $I = \int \frac{\log x}{(1+x)^3} dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log x$ और $dv = (1+x)^{-3} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{x} dx$ और $v = \int (1+x)^{-3} dx = -\frac{1}{2(1+x)^2}$।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{\log x}{2(1+x)^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x(1+x)^2} dx$।
$\frac{1}{x(1+x)^2}$ के लिए आंशिक भिन्न (Partial fractions) का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{x(1+x)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2}$।
अतः समाकलन करने पर: $\log|x| - \log|1+x| + \frac{1}{1+x} = \log\left|\frac{x}{1+x}\right| + \frac{1}{1+x}$।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1+x} - \frac{\log x}{(1+x)^2} + \log\left|\frac{x}{1+x}\right| \right] + c$।

(A) माना $I = \int \frac{3^x(x \log 3 - 1)}{x^2} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left( \frac{x \cdot 3^x \log 3}{x^2} - \frac{3^x}{x^2} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{3^x \log 3}{x} - \frac{3^x}{x^2} \right) dx$.
भागफल नियम का अवकलन याद करें। मान लीजिए $f(x) = \frac{3^x}{x}$.
तब $f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(3^x) - 3^x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(3^x) = 3^x \log 3$,इसलिए:
$f'(x) = \frac{x \cdot 3^x \log 3 - 3^x \cdot 1}{x^2} = \frac{3^x(x \log 3 - 1)}{x^2}$.
अतः,$\int f'(x) dx = f(x) + c$.
इसलिए,$I = \frac{3^x}{x} + c$.

(C) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $I = \int x^3 \sin 3x \, dx$.
खंडशः समाकलन के लिए सारणीबद्ध विधि का उपयोग करते हुए:
$u = x^3$,$dv = \sin 3x \, dx$
$u' = 3x^2$,$v = -\frac{1}{3} \cos 3x$
$u'' = 6x$,$v_1 = -\frac{1}{9} \sin 3x$
$u''' = 6$,$v_2 = \frac{1}{27} \cos 3x$
$u'''' = 0$,$v_3 = \frac{1}{81} \sin 3x$
$I = (x^3)(-\frac{1}{3} \cos 3x) - (3x^2)(-\frac{1}{9} \sin 3x) + (6x)(\frac{1}{27} \cos 3x) - (6)(\frac{1}{81} \sin 3x) + c$
$I = -\frac{x^3}{3} \cos 3x + \frac{x^2}{3} \sin 3x + \frac{2x}{9} \cos 3x - \frac{2}{27} \sin 3x + c$
$\frac{1}{27}[f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x]$ रूप प्राप्त करने के लिए $\frac{27}{27}$ से गुणा करने पर:
$I = \frac{1}{27}[-9x^3 \cos 3x + 9x^2 \sin 3x + 6x \cos 3x - 2 \sin 3x] + c$
$I = \frac{1}{27}[(-9x^3 + 6x) \cos 3x + (9x^2 - 2) \sin 3x] + c$
अतः,$f(x) = -9x^3 + 6x$ और $g(x) = 9x^2 - 2$.
$f(1) = -9(1)^3 + 6(1) = -9 + 6 = -3$.
$g(1) = 9(1)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$.
$f(1) + g(1) = -3 + 7 = 4$.

(C) माना $I = \int_0^2 \sqrt{(x+3)(2-x)} \, dx$.
वर्गमूल के अंदर के पद का विस्तार करने पर: $(x+3)(2-x) = -x^2 - x + 6 = 6 - (x^2 + x)$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $6 - (x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{25}{4} - (x + \frac{1}{2})^2$.
अतः,$I = \int_0^2 \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (x + \frac{1}{2})^2} \, dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \frac{2x + 1}{4} \sqrt{(x+3)(2-x)} + \frac{25}{8} \sin^{-1}\left(\frac{2x + 1}{5}\right) \right]_0^2$.
$x=2$ पर मान रखने पर: $\frac{5}{4} \sqrt{0} + \frac{25}{8} \sin^{-1}(1) = \frac{25}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{25\pi}{16}$.
$x=0$ पर मान रखने पर: $\frac{1}{4} \sqrt{6} + \frac{25}{8} \sin^{-1}(\frac{1}{5})$.
अतः,$I = \left( \frac{25\pi}{16} \right) - \left( \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{25}{8} \sin^{-1}(\frac{1}{5}) \right) = \frac{25\pi}{16} - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{25}{8} \sin^{-1}(\frac{1}{5})$.

(C) समाकलन $I = \int_0^{\pi / 4} x^2 \sin 2x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
मान लीजिए $u = x^2$ और $dv = \sin 2x \, dx$. तब $du = 2x \, dx$ और $v = -\frac{\cos 2x}{2}$.
$I = \left[ -\frac{x^2 \cos 2x}{2} \right]_0^{\pi / 4} - \int_0^{\pi / 4} \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) (2x) \, dx$
$I = \left[ -\frac{x^2 \cos 2x}{2} \right]_0^{\pi / 4} + \int_0^{\pi / 4} x \cos 2x \, dx$
प्रथम पद का मान: $-\frac{(\pi/4)^2 \cos(\pi/2)}{2} - 0 = 0$ (क्योंकि $\cos(\pi/2) = 0$).
अब $\int_0^{\pi / 4} x \cos 2x \, dx$ का मूल्यांकन पुनः खंडशः समाकलन द्वारा करते हैं:
मान लीजिए $u = x$ और $dv = \cos 2x \, dx$. तब $du = dx$ और $v = \frac{\sin 2x}{2}$.
$\int_0^{\pi / 4} x \cos 2x \, dx = \left[ \frac{x \sin 2x}{2} \right]_0^{\pi / 4} - \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin 2x}{2} \, dx$
$= \left( \frac{(\pi/4) \sin(\pi/2)}{2} - 0 \right) - \left[ -\frac{\cos 2x}{4} \right]_0^{\pi / 4}$
$= \frac{\pi}{8} + \left[ \frac{\cos 2x}{4} \right]_0^{\pi / 4} = \frac{\pi}{8} + \left( \frac{\cos(\pi/2)}{4} - \frac{\cos 0}{4} \right)$
$= \frac{\pi}{8} + (0 - \frac{1}{4}) = \frac{\pi-2}{8}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{5 \cos ^2 x+16 \sin ^2 x+8 \sin x \cos x} d x$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x}{5 + 16 \tan^2 x + 8 \tan x} d x$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$.
जब $x = 0, u = 0$. जब $x = \pi/4, u = 1$.
$I = \int_0^1 \frac{du}{16u^2 + 8u + 5} = \int_0^1 \frac{du}{(4u+1)^2 + 4} = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{d(4u+1)}{(4u+1)^2 + 2^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{4u+1}{2} \right) \right]_0^1 = \frac{1}{8} [\tan^{-1}(\frac{5}{2}) - \tan^{-1}(\frac{1}{2})]$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{8} \tan^{-1} \left( \frac{5/2 - 1/2}{1 + (5/2)(1/2)} \right) = \frac{1}{8} \tan^{-1} \left( \frac{2}{1 + 5/4} \right) = \frac{1}{8} \tan^{-1} \left( \frac{2}{9/4} \right) = \frac{1}{8} \tan^{-1} \left( \frac{8}{9} \right)$.

(A) माना $I = \int_{8}^{18} \frac{1}{(x+2) \sqrt{x-3}} \, dx$.
$t = \sqrt{x-3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 = x-3$,जिससे $x = t^2+3$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 8$,तब $t = \sqrt{8-3} = \sqrt{5}$.
जब $x = 18$,तब $t = \sqrt{18-3} = \sqrt{15}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{15}} \frac{2t \, dt}{(t^2+3+2)t} = \int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{15}} \frac{2 \, dt}{t^2+5}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{5}}) \right]_{\sqrt{5}}^{\sqrt{15}}$.
$I = \frac{2}{\sqrt{5}} \left[ \tan^{-1}(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}) - \tan^{-1}(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}) \right]$.
$I = \frac{2}{\sqrt{5}} \left[ \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \tan^{-1}(1) \right]$.
$I = \frac{2}{\sqrt{5}} \left[ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{2}{\sqrt{5}} \left[ \frac{\pi}{12} \right] = \frac{\pi}{6 \sqrt{5}}$.

(B) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec x}{3 \cos x+4 \sin x} d x$.
अंश और हर को $\sec x$ से गुणा करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x}{3 + 4 \tan x} d x$.
माना $u = 3 + 4 \tan x$. तब $du = 4 \sec^2 x d x$,अतः $\sec^2 x d x = \frac{du}{4}$.
जब $x = 0$,तब $u = 3 + 4(0) = 3$.
जब $x = \pi / 4$,तब $u = 3 + 4(1) = 7$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_3^7 \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} [\log |u|]_3^7$.
$I = \frac{1}{4} (\log 7 - \log 3) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{7}{3}\right)$.

(C) समाकलन $I = \int_{-4}^5 \frac{1}{\sqrt{20+x-x^2}} dx$ को हल करने के लिए,वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाएं:
$20+x-x^2 = -(x^2-x-20) = -(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-20) = -((x-\frac{1}{2})^2 - \frac{81}{4}) = \frac{81}{4} - (x-\frac{1}{2})^2$.
अब समाकलन $I = \int_{-4}^5 \frac{1}{\sqrt{(\frac{9}{2})^2 - (x-\frac{1}{2})^2}} dx$ हो जाता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-u^2}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = [\sin^{-1}(\frac{x-1/2}{9/2})]_{-4}^5 = [\sin^{-1}(\frac{2x-1}{9})]_{-4}^5$.
सीमाओं पर मान रखने पर:
$I = \sin^{-1}(\frac{2(5)-1}{9}) - \sin^{-1}(\frac{2(-4)-1}{9}) = \sin^{-1}(\frac{9}{9}) - \sin^{-1}(\frac{-9}{9}) = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(-1)$.
चूंकि $\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$ और $\sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$I = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$.

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\cos x - \sqrt{3} \sin x}$.
हर को फिर से लिखने के लिए $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2(\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x)} = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin(\frac{\pi}{6} - x)}$.
सर्वसमिका $\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(\frac{\pi}{6} - x) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - x)) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sec(x + \frac{\pi}{3}) dx$.
$\sec(u)$ का समाकलन $\log|\sec u + \tan u|$ होता है।
$I = \frac{1}{2} [\log|\sec(x + \frac{\pi}{3}) + \tan(x + \frac{\pi}{3})|]_0^{\frac{\pi}{2}}$.
सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:
$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sec(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x = 0$ के लिए,$\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$ और $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
$I = \frac{1}{2} [\log|-\frac{3}{\sqrt{3}}| - \log|2 + \sqrt{3}|] = \frac{1}{2} [\log(\sqrt{3}) - \log(2 + \sqrt{3})]$.
इसका सरलीकरण $\frac{1}{2} \log(\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}})$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4-3} = 2\sqrt{3} - 3$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \log(2\sqrt{3} - 3)$.

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan x} \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan(\frac{\pi}{2} - x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cot x} \, dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \, dx$.
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$2I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} \, dx = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$.
माना $u = \sin x - \cos x$,तब $du = (\cos x + \sin x) \, dx$.
जब $x=0, u=-1$; जब $x=\frac{\pi}{2}, u=1$.
$2I = \sqrt{2} \int_{-1}^1 \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \sqrt{2} [\sin^{-1} u]_{-1}^1 = \sqrt{2} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \sqrt{2} \pi$.
अतः,$I = \frac{\sqrt{2} \pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(D) माना $I = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ है।
चूंकि $f(x) = \sin ^4 x \cos ^6 x$ एक सम फलन है,$f(-x) = \sin ^4(-x) \cos ^6(-x) = \sin ^4 x \cos ^6 x = f(x)$,हम लिख सकते हैं:
$I = 2 \int_{0}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$।
गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 4 \int_{0}^{a/2} f(x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(2a-x) = f(x)$ और $f(a-x) = f(x)$,हम देखते हैं कि $\sin ^4 x \cos ^6 x$ का आवर्तकाल $\pi/2$ है।
अतः,$I = 2 \times 4 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx = 8 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$।
वालिस के सूत्र $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2}$ (यदि $m, n$ सम हैं) का उपयोग करने पर:
$I = 8 \times \frac{3 \times 1 \times 5 \times 3 \times 1}{10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2} = 8 \times \frac{45}{3840} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{64}$।

(D) दिया गया है $\int_0^{2 \pi} \sin^m x \cos^n x \, dx = 4 \int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx$। चूंकि $\int_0^{2 \pi} f(x) \, dx = 4 \int_0^{\pi/2} f(x) \, dx$ चतुर्थांशों में $\sin$ और $\cos$ के सम फलनों के लिए सत्य है,इसका अर्थ है कि $m$ और $n$ सम होने चाहिए।
दिया गया है $\int_0^{2 \pi} \sin^p x \cos^n x \, dx = 0$। चूंकि $n$ सम है,$\cos^n x \ge 0$। समाकल के $0$ होने के लिए,$\sin^p x$ को विषम होना चाहिए,इसलिए $p$ विषम है।
दिया गया है $\int_0^{\pi} \sin^p x \cos^q x \, dx = 0$। चूंकि $p$ विषम है,$\sin^p x$ $\pi/2$ के सापेक्ष सममित है लेकिन चिह्न बदलता है। समाकल के $0$ होने के लिए,$\cos^q x$ को विषम होना चाहिए,इसलिए $q$ विषम है।
अब,$a = m + n + p = \text{सम} + \text{सम} + \text{विषम} = \text{विषम}$।
और $b = m + n + q = \text{सम} + \text{सम} + \text{विषम} = \text{विषम}$।
अतः,$a$ और $b$ दोनों विषम संख्याएँ हैं।

(A) हमें समाकलन $I = \int_1^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है।
माना $t = x^2$,तो $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{2\sqrt{t}}$।
जब $x=1$,तो $t=1$। जब $x=2$,तो $t=4$।
अतः,$I = \int_1^4 [t] \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_1^4 \frac{[t]}{\sqrt{t}} dt$।
हम समाकलन को उन अंतरालों में विभाजित करते हैं जहाँ $[t]$ अचर है:
$I = \frac{1}{2} \left( \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{t}} dt + \int_2^3 \frac{2}{\sqrt{t}} dt + \int_3^4 \frac{3}{\sqrt{t}} dt \right)$।
प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int_1^2 t^{-1/2} dt = [2\sqrt{t}]_1^2 = 2(\sqrt{2}-1)$।
$\int_2^3 2t^{-1/2} dt = [4\sqrt{t}]_2^3 = 4(\sqrt{3}-\sqrt{2})$।
$\int_3^4 3t^{-1/2} dt = [6\sqrt{t}]_3^4 = 6(2-\sqrt{3}) = 12-6\sqrt{3}$।
इन सबका योग करने पर:
$I = \frac{1}{2} [2\sqrt{2}-2 + 4\sqrt{3}-4\sqrt{2} + 12-6\sqrt{3}] = \frac{1}{2} [10 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}] = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$।

(D) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{\log 2 - \log(1+x)}{\sqrt{1-x^2}} dx$ है।
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\sin \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = -1$,तब $\theta = \pi$ और जब $x = 1$,तब $\theta = 0$।
$I = \int_{\pi}^0 \frac{\log 2 - \log(1+\cos \theta)}{\sqrt{1-\cos^2 \theta}} (-\sin \theta) d\theta = \int_0^{\pi} \frac{\log 2 - \log(2 \cos^2(\theta/2))}{\sin \theta} \sin \theta d\theta$।
$I = \int_0^{\pi} (\log 2 - \log 2 - 2 \log(\cos(\theta/2))) d\theta = -2 \int_0^{\pi} \log(\cos(\theta/2)) d\theta$।
$u = \theta/2$ लेने पर,$d\theta = 2du$ प्राप्त होता है।
$I = -2 \int_0^{\pi/2} \log(\cos u) (2 du) = -4 \int_0^{\pi/2} \log(\cos u) du$।
मानक समाकलन $\int_0^{\pi/2} \log(\cos u) du = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर।
$I = -4 \times (-\frac{\pi}{2} \log 2) = 2 \pi \log 2$।

(B) समाकलन $I = \int_{-2}^4 |2-x^2| dx$ है।
$2-x^2 = 0$ का मान $x = \pm \sqrt{2}$ पर होता है।
अंतराल $[-2, 4]$ होने के कारण,हम समाकलन को $x = -\sqrt{2}$ और $x = \sqrt{2}$ पर विभाजित करते हैं।
$I = \int_{-2}^{-\sqrt{2}} (x^2-2) dx + \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2-x^2) dx + \int_{\sqrt{2}}^4 (x^2-2) dx$.
पहले भाग का मान: $[\frac{x^3}{3} - 2x]_{-2}^{-\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}+4}{3}$.
दूसरे भाग का मान: $[2x - \frac{x^3}{3}]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
तीसरे भाग का मान: $[\frac{x^3}{3} - 2x]_{\sqrt{2}}^4 = \frac{40+4\sqrt{2}}{3}$.
कुल योग: $I = \frac{16\sqrt{2}+44}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3} + 12$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \tan^{14}(\frac{x}{2}) dx$. माना $t = \frac{x}{2}$,तब $dx = 2dt$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\frac{\pi}{4}$.
$I = 2 \int_0^{\pi/4} \tan^{14}(t) dt$.
रिडक्शन फॉर्मूला $I_n = \int \tan^n(t) dt = \frac{\tan^{n-1}(t)}{n-1} - I_{n-2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\int_0^{\pi/4} \tan^n(t) dt = \frac{1}{n-1} - \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2}(t) dt$ है।
इसे $n=14, 12, \dots, 2$ के लिए बार-बार लागू करने पर:
$I_{14} = \frac{1}{13} - I_{12} = \frac{1}{13} - (\frac{1}{11} - I_{10}) = \frac{1}{13} - \frac{1}{11} + \frac{1}{9} - \frac{1}{7} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - \int_0^{\pi/4} 1 dt$.
चूंकि $\int_0^{\pi/4} 1 dt = \frac{\pi}{4}$,हमें $I = 2 [ \sum_{k=1}^7 \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} - \frac{\pi}{4} ]$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक $2 [ \sum_{n=1}^7 f(n) - \frac{\pi}{4} ]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(n) = \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास $I_n = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx$ है।
$I_n = \int 1 \cdot (x^2+1)^{-n} dx$ पर विचार करें।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = (x^2+1)^{-n}$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = -n(x^2+1)^{-n-1} \cdot 2x dx = -2nx(x^2+1)^{-n-1} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I_n = x(x^2+1)^{-n} - \int x \cdot (-2nx)(x^2+1)^{-n-1} dx$.
$I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n \int \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}} dx$.
$I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n \int \frac{(x^2+1)-1}{(x^2+1)^{n+1}} dx$.
$I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n \left[ \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx - \int \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}} dx \right]$.
$I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n I_n - 2n I_{n+1}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2n I_{n+1} = \frac{x}{(x^2+1)^n} + (2n-1) I_n$ प्राप्त होता है।
अतः,$2n I_{n+1} - (2n-1) I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + c$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n}$ है।
इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \left(\frac{k}{n}\right) e^{k/n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $x = \frac{k}{n}$,तब $dx = \frac{1}{n}$। जब $k=1, x \rightarrow 0$ और जब $k=2n, x \rightarrow 2$।
यह योग एक निश्चित समाकल में बदल जाता है: $S = \int_{0}^{2} x e^x dx$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u=x$ और $dv=e^x dx$:
$S = [x e^x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^x dx$।
$S = (2 e^2 - 0) - [e^x]_{0}^{2}$।
$S = 2 e^2 - (e^2 - e^0) = 2 e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$।

(D) दिया गया व्यापक हल $y = Ae^x + B \sin x$ है।
चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = Ae^x + B \cos x$.
चरण $2$: पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = Ae^x - B \sin x$.
अचर $A$ और $B$ को विलुप्त करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\cos x + \sin x) y'' - (\cos x - \sin x) y' - (\cos x + \sin x) y = 0$.
यहाँ $f(x) = \cos x + \sin x$,$g(x) = -\cos x + \sin x$,$h(x) = -\cos x - \sin x$.
अतः $f(x) + g(x) + h(x) = (\cos x + \sin x) + (-\cos x + \sin x) + (-\cos x - \sin x) = -\cos x + \sin x$.