दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 पर | vedclass

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Question

(A) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $P_i = (a \cos 	heta_i, b \sin 	heta_i)$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है। चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसका परिकेंद्र $(r, s)$

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$\frac{1}{2}\left[\frac{3r^2}{a^2}+\frac{3s^2}{b^2}-1\right]$

Vedclass · Answer

(A) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $P_i = (a \cos 	heta_i, b \sin 	heta_i)$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है। चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसका परिकेंद्र $(r, s)$ इसका केंद्रक भी है। अतः,$r = \frac{a}{3} \sum \cos 	heta_i$ और $s = \frac{b}{3} \sum \sin 	heta_i$ है। इससे $\sum \cos 	heta_i = \frac{3r}{a}$ और $\sum \sin 	heta_i = \frac{3s}{b}$ प्राप्त होता है। दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर,$(\sum \cos 	heta_i)^2 + (\sum \sin 	heta_i)^2 = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$ मिलता है। बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $3 + 2(\cos(	heta_1-	heta_2) + \cos(	heta_2-	heta_3) + \cos(	heta_3-	heta_1)) = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$। $6$ से भाग देने पर,औसत $\frac{1}{3} \sum \cos(	heta_i-	heta_j) = \frac{1}{2} \left[ \frac{3r^2}{a^2} + \frac{3s^2}{b^2} - 1 ight]$ प्राप्त होता है।

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