यदि (1+y^2) dx = (operatorname{Tan}^{-1} y - | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx = (\operatorname{Tan}^{-1} y - x) dy$. दोनों पक्षों को $(1+y^2) dy$ से विभाजित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{\

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$\operatorname{Tan}^{-1} y - 1$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx = (\operatorname{Tan}^{-1} y - x) dy$. दोनों पक्षों को $(1+y^2) dy$ से विभाजित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y - x}{1+y^2}$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$. यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ है। व्यापक हल $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$ है। मान रखने पर: $x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \int \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2} \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} dy + c$. मान लीजिए $u = \operatorname{Tan}^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$. समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$ हो जाता है। अतः,$x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \operatorname{Tan}^{-1} y \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} - e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} + c$. $e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1 + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ प्राप्त होता है। इसकी तुलना $x = f(y) + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ से करने पर,$f(y) = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1$ प्राप्त होता है।

यदि $(1+y^2) dx = (\operatorname{Tan}^{-1} y - x) dy$ का व्यापक हल $x = f(y) + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ है,तो $f(y) =$

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मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$ को संतुष्ट करता है। तो,$f(\log_{e} 5)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x \in R, x \ne 0$ के लिए,यदि $y(x)$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $x \int_{1}^{x} y(t) dt = (x + 1) \int_{1}^{x} t y(t) dt$,तो $y(x)$ का मान क्या होगा? (जहाँ $C$ एक स्थिरांक है)

मान लीजिए $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ अवकल समीकरण $2x^2 y \frac{dy}{dx} - (1 - xy^2) = 0$ का हल है,जहाँ $x > 0$ और $y(2) = \sqrt{\log_e 2}$ है। तो $\alpha + \beta - \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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