यदि दीर्घवृत्त frac{x^2}{16} + frac{y^2}{9} = | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।दीर्घवृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{16

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$3 \leq \alpha \leq 4$

Vedclass · Answer

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।दीर्घवृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ द्वारा दी जाती है।यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = \alpha^2$ की स्पर्श रेखा है यदि केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $\alpha$ के बराबर हो।दूरी $d = \frac{|\pm \sqrt{16m^2 + 9}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \alpha$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\alpha^2 = \frac{16m^2 + 9}{m^2 + 1}$ प्राप्त होता है।माना $t = m^2$,जहाँ $t \geq 0$ है। तब $\alpha^2 = \frac{16t + 9}{t + 1} = 16 - \frac{7}{t + 1}$ है।चूँकि $t \geq 0$ है,$t + 1$ का मान $1$ से $\infty$ तक होता है।अतः,$\frac{7}{t + 1}$ का मान $0$ से $7$ तक होता है।इस प्रकार,$\alpha^2$ का मान $16 - 7 = 9$ से $16 - 0 = 16$ तक होता है।अतः,$9 \leq \alpha^2 \leq 16$,जिसका अर्थ है $3 \leq \alpha \leq 4$।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ पर खींची गई कोई स्पर्श रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = \alpha^2$ को स्पर्श करती है,तो $\alpha$ का परिसर क्या है?

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