TS EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) '$INTELLIGENCE$' शब्द में $12$ अक्षर हैं। '$GENTLE$' को एक ब्लॉक के रूप में मानने पर,शेष अक्षर $I, I, N, I, E, C$ हैं। कुल $7$ वस्तुओं का विन्यास $\frac{7!}{3!} = 840$ तरीके से होता है। '$GENTLE$' के पहले $9$ स्थानों में आने के लिए,यह $1, 2, 3, 4$ स्थानों से शुरू हो सकता है। गणना के अनुसार सही उत्तर $2520$ है।

(A) हम जानते हैं कि ${ }^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$.
दिया गया व्यंजक ${ }^{20}P_5 - { }^{19}P_5$ है।
${ }^{20}P_5 = \frac{20!}{15!} = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 = 1860480$.
${ }^{19}P_5 = \frac{19!}{14!} = 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 = 1395360$.
दोनों मानों को घटाने पर: $1860480 - 1395360 = 465120$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$: $5 \times { }^{19}P_4 = 5 \times (19 \times 18 \times 17 \times 16) = 5 \times 93024 = 465120$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $MOTHER$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $E, H, M, O, R, T$।
शब्दकोश में $MOTHER$ के बाद आने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल क्रमपरिवर्तन में से $MOTHER$ का स्थान घटाएंगे।
$MOTHER$ का स्थान $310$ है।
कुल शब्द = $6! = 720$।
$MOTHER$ के बाद के शब्द = $720 - 310 = 410$।

(D) $5$ उपलब्ध विकल्पों में से किसी भी संख्या में विकल्पों को चुनने के कुल तरीके संचय के योग द्वारा दिए जाते हैं: $\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 2^5 = 32$।
चूंकि छात्र को दो या दो से अधिक विकल्प चुनने हैं,इसलिए हमें उन स्थितियों को बाहर करना होगा जहां $0$ या $1$ विकल्प चुना गया है।
$0$ विकल्प चुनने के तरीके $\binom{5}{0} = 1$ हैं।
$1$ विकल्प चुनने के तरीके $\binom{5}{1} = 5$ हैं।
अतः,दो या दो से अधिक विकल्प चुनने के तरीके $32 - (1 + 5) = 32 - 6 = 26$ हैं।

(C) कुल बिंदुओं की संख्या $(4+1) \times (4+1) = 25$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए $25$ में से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
कुल चयन $\binom{25}{3} = 2300$ हैं।
अब,संरेख बिंदुओं के समूहों को घटाने पर: $50$ (पंक्तियाँ) + $50$ (स्तंभ) + $20$ (मुख्य विकर्ण) + $16$ (अन्य विकर्ण) + $4$ (अन्य विकर्ण) = $140$।
त्रिभुजों की संख्या = $2300 - 140 = 2160$।

(C) $6$ लड़कों और $4$ लड़कियों की व्यवस्था $G, B, B, G, B, B, G, B, B, G$ के रूप में होनी चाहिए।
लड़कियों को व्यवस्थित करने के तरीके $4!$ हैं और लड़कों को व्यवस्थित करने के तरीके $6!$ हैं।
कुल तरीके = $4! \times 6! = 24 \times 720 = 17280$.
$(144)5! = 144 \times 120 = 17280$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक गोल मेज के चारों ओर इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो लड़के या लड़कियाँ एक साथ न हों,तो उन्हें एकांतर क्रम में बैठना होगा।
पहले,एक लड़के को गोल मेज पर एक स्थान पर स्थिर करें। यह $1$ तरीके से किया जा सकता है।
शेष $4$ लड़कों को शेष $4$ स्थानों पर $(4-1)! = 3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
लड़कों के बीच $5$ स्थान हैं जहाँ $5$ लड़कियों को बैठाया जा सकता है।
इन $5$ लड़कियों को इन $5$ स्थानों पर $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $(5-1)! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x+y+z+t=10$ है,जहाँ $x \geq 2$ और $z \geq 5$ है।
माना $x = x' + 2$ जहाँ $x' \geq 0$ है।
माना $z = z' + 5$ जहाँ $z' \geq 0$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(x' + 2) + y + (z' + 5) + t = 10$।
$x' + y + z' + t + 7 = 10$।
$x' + y + z' + t = 3$।
अ-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n=3$ और $r=4$ है।
हलों की संख्या = $\binom{3+4-1}{4-1} = \binom{6}{3}$।
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$।

(A) हमें $4$-अंकीय पूर्णांक $d_1d_2d_3d_4$ ज्ञात करने हैं ताकि $d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 30$,जहाँ $1 \le d_1 \le 9$ और $0 \le d_2, d_3, d_4 \le 9$ हो।
गणना करने पर,हमें $84$ प्राप्त होता है।

(D) $xyz = 60$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले $60$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$.
हमें $2^2, 3^1, 5^1$ कारकों को $x, y, z$ के बीच वितरित करना है।
$2^2$ कारक के लिए,$3$ चरों के बीच वितरित करने के तरीकों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=2$ और $k=3$ है।
$2^2$ के लिए तरीकों की संख्या = $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$.
$3^1$ कारक के लिए,तरीकों की संख्या = $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$.
$5^1$ कारक के लिए,तरीकों की संख्या = $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$.
कुल हलों की संख्या = $6 \times 3 \times 3 = 54$.

(A) $n$ समान वस्तुओं को $r$ व्यक्तियों के बीच वितरित करने के लिए,हम स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हैं: $\binom{n+r-1}{r-1}$.
यहाँ,$n = 8$ (समान सेब) और $r = 3$ (व्यक्ति) हैं।
तरीकों की संख्या $\binom{8+3-1}{3-1} = \binom{10}{2}$ है।
संयोजन की गणना करने पर: $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग है,जो $T_n = n^2$ है।
हमें प्रथम $10$ पदों का योग ज्ञात करना है: $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \sum_{n=1}^{10} n^2$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
$n=10$ रखने पर: $S_{10} = \frac{10(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6}$.
$S_{10} = \frac{2310}{6} = 385$.

(C) दी गई श्रेणी $9, 15, 21, \ldots, (6n+3)$ है। यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 9$ और सार्व अंतर $d = 6$ है।
$n$ पदों वाली समांतर श्रेणी का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
$d = 6$ रखने पर,$P = \frac{(n^2-1) \times 6^2}{12} = \frac{(n^2-1) \times 36}{12} = 3(n^2-1)$।
प्रथम $n$ सम संख्याएँ $2, 4, 6, \ldots, 2n$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 2$ और $d = 2$ है।
इन $n$ सम संख्याओं का प्रसरण $\sigma_{even}^2 = \frac{(n^2-1) \times 2^2}{12} = \frac{(n^2-1) \times 4}{12} = \frac{n^2-1}{3}$ होगा।
पहले समीकरण से,$n^2-1 = \frac{P}{3}$।
इस मान को दूसरे प्रसरण में रखने पर,$\sigma_{even}^2 = \frac{1}{3} \times \frac{P}{3} = \frac{P}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $S = 49^{125} + 49^{124} + \ldots + 49 + 1$। यह $126$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 49$ है।
योगफल सूत्र $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ का उपयोग करने पर,हमें $S = \frac{49^{126} - 1}{49 - 1} = \frac{49^{126} - 1}{48}$ प्राप्त होता है।
दी गई अभिव्यक्ति $48 \times S = 48 \times \frac{49^{126} - 1}{48} = 49^{126} - 1$ है।
हमें सबसे बड़ा $k$ ज्ञात करना है ताकि $49^k + 1$,$49^{126} - 1$ का गुणनखंड हो।
ध्यान दें कि $49^{126} - 1 = (49^{63} - 1)(49^{63} + 1)$।
अतः,$k = 63$ के लिए $49^{63} + 1$,$49^{126} - 1$ का एक गुणनखंड है।
इस प्रकार,सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक $k = 63$ है।

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{a_n \times b_n}$ है,जहाँ $a_n = 5n - 3$ और $b_n = 5n + 2$ है।
सामान्य पद को $T_n = \frac{1}{(5n-3)(5n+2)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5n-3} - \frac{1}{5n+2} \right)$।
$n=1$ से $10$ तक योग करने पर:
$S = \frac{1}{5} \left[ (\frac{1}{2} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{12}) + \dots + (\frac{1}{47} - \frac{1}{52}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{52} \right)$।
$S = \frac{1}{5} \left( \frac{26-1}{52} \right) = \frac{1}{5} \times \frac{25}{52} = \frac{5}{52}$।

(B) माना $m = n+4$ है। चूँकि $n \in \mathbb{N}$,$n \geq 1$,इसलिए $m \geq 5$ है।
दी गई असमिका $2^m + 12 \geq km$ हो जाती है,जिसका अर्थ है कि सभी $m \geq 5$ के लिए $k \leq \frac{2^m + 12}{m}$ है।
सबसे बड़े पूर्णांक $k$ को खोजने के लिए,हमें $m \in \{5, 6, 7, \dots\}$ के लिए फलन $f(m) = \frac{2^m + 12}{m}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।
$m = 5$ के लिए: $f(5) = \frac{2^5 + 12}{5} = \frac{32 + 12}{5} = \frac{44}{5} = 8.8$ है।
$m = 6$ के लिए: $f(6) = \frac{2^6 + 12}{6} = \frac{64 + 12}{6} = \frac{76}{6} \approx 12.66$ है।
$m = 7$ के लिए: $f(7) = \frac{2^7 + 12}{7} = \frac{128 + 12}{7} = \frac{140}{7} = 20$ है।
जैसे-जैसे $m$ बढ़ता है,$m \geq 5$ के लिए $f(m)$ का मान बढ़ता है।
अतः,न्यूनतम मान $m = 5$ पर $8.8$ है।
चूँकि $k \leq f(m)$ सभी $m$ के लिए है,$k$ को $f(m)$ के न्यूनतम मान से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$k \leq 8.8$ है।
सबसे बड़ा पूर्णांक $k = 8$ है।

(A) योग के पैटर्न का अवलोकन करें:
$S_1 = 1^2 = 1$
$S_2 = 3^2 = 9$
$S_3 = 6^2 = 36$
$S_4 = 10^2 = 100$
$S_5 = 15^2 = 225$
वर्गों के आधार $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ हैं।
ये त्रिकोणीय संख्याएँ हैं,जो सूत्र $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा दी जाती हैं।
$n = 10$ के लिए,आधार $k$ $10$वीं त्रिकोणीय संख्या है:
$k = T_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
अतः,$S_{10} = 55^2$,इसलिए $k = 55$.

(C) $(x+y)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r x^{n-r} y^r$ है।
$\left(ax^2 - \frac{8}{bx}\right)^9$ के विस्तार में,प्रारंभ से $3^{\text{rd}}$ पद $T_3$ $(r=2)$ है:
$T_3 = ^9C_2 (ax^2)^7 (-\frac{8}{bx})^2 = ^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2} x^{12}$.
गुणांक $^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2}$ है।
$\left(ax - \frac{2}{bx^2}\right)^9$ के विस्तार में,अंत से $3^{\text{rd}}$ पद प्रारंभ से $8^{\text{th}}$ पद है:
$T_8 = ^9C_7 (ax)^2 (-\frac{2}{bx^2})^7 = ^9C_2 \cdot \frac{-128 a^2}{b^7 x^{12}}$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2} = -^9C_2 \cdot \frac{128 a^2}{b^7} \implies a^5 b^5 = -2$.

(D) दी गई व्यंजक: $E = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{20} \left(30x(1+x)^{29} + (1+x)^{30}\right)$
सरल करने पर: $E = \frac{(1+x)^{49}}{x^{20}} (31x + 1) = 31 \frac{(1+x)^{49}}{x^{19}} + \frac{(1+x)^{49}}{x^{20}}$
अचर पद $(1+x)^{49}$ में $x^{19}$ के गुणांक और $x^{20}$ के गुणांक का योग है।
$(1+x)^{49}$ में $x^{19}$ का गुणांक ${}^{49}C_{19}$ है।
$(1+x)^{49}$ में $x^{20}$ का गुणांक ${}^{49}C_{20}$ है।
अतः,अचर पद $31 \cdot {}^{49}C_{19} + {}^{49}C_{20} = 30 \cdot {}^{49}C_{19} + ({}^{49}C_{19} + {}^{49}C_{20}) = 30 \cdot {}^{49}C_{19} + {}^{50}C_{20}$ है।

(C) दिए गए विस्तार $(2x - 3y)^{13}$ में $x = \frac{7}{2}$ और $y = \frac{3}{7}$ रखने पर,हमें $(7 - \frac{9}{7})^{13}$ प्राप्त होता है।
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद के लिए,अनुपात $\left| \frac{T_{r+1}}{T_r} \right| = \frac{n-r+1}{r} \left| \frac{b}{a} \right|$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $a = 7$,$b = -\frac{9}{7}$,और $n = 13$ है।
गणना करने पर $r = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए तीसरा पद $T_3$ सबसे बड़ा है।
$T_3 = \binom{13}{2} (7)^{11} (-\frac{9}{7})^2 = 78 \cdot 7^9 \cdot 81 = 26 \cdot 3^5 \cdot 7^9$.

(C) हमें $(x^2+2x+2)^8$ में $x^{12}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
माना $f(x) = (x^2+2x+2)^8 = ((x+1)^2+1)^8$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$((x+1)^2+1)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (x+1)^{2k}$.
हमें $x^{12}$ का गुणांक चाहिए।
$(x+1)^{2k}$ पद में $x^{12}$ तब आता है जब $2k \ge 12$,अर्थात $k \ge 6$.
विस्तार में सामान्य पद $\binom{8}{k} \binom{2k}{12} x^{12}$ है।
$k=6, 7, 8$ के लिए योग करने पर:
$k=6$ के लिए: $\binom{8}{6} \binom{12}{12} = 28 \times 1 = 28$.
$k=7$ के लिए: $\binom{8}{7} \binom{14}{12} = 8 \times \binom{14}{2} = 8 \times 91 = 728$.
$k=8$ के लिए: $\binom{8}{8} \binom{16}{12} = 1 \times \binom{16}{4} = 1 \times 1820 = 1820$.
कुल गुणांक = $28 + 728 + 1820 = 2576$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $f(x) = \left(\frac{2-x}{1+2x}\right)^2 = (2-x)^2 (1+2x)^{-2}$ है।
$(2-x)^2 = 4 - 4x + x^2$ का विस्तार।
$(1+2x)^{-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए।
अतः,$f(x) = (4 - 4x + x^2) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$।
$x^6$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$4 \times [x^6 \text{ का गुणांक}] - 4 \times [x^5 \text{ का गुणांक}] + 1 \times [x^4 \text{ का गुणांक}]$।
$= 4 \times (7 \times 64) - 4 \times (-6 \times 32) + (5 \times 16)$।
$= 1792 + 768 + 80 = 2640$।

(A) $(3x - 4y)^{23}$ के विस्तार में $x = \frac{1}{6}$ और $y = \frac{1}{8}$ रखने पर,हमें $(3(\frac{1}{6}) - 4(\frac{1}{8}))^{23} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^{23} = 0^{23}$ प्राप्त होता है।
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद ज्ञात करने के लिए,हम $|T_{r+1}| = |^{n}C_r a^{n-r} b^r|$ पर विचार करते हैं।
यहाँ $a = \frac{1}{2}$ और $b = -\frac{1}{2}$ है।
$|T_{r+1}| = ^{23}C_r (\frac{1}{2})^{23}$।
सबसे बड़ा पद प्राप्त करने के लिए,$^{23}C_r$ का अधिकतम मान $r = 11$ और $r = 12$ पर होता है।
अतः,सबसे बड़े पद $^{23}C_{11} (\frac{1}{2})^{23}$ हैं।

(C) $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{6144}{r} 2^{(6144-r)/2} 3^{r/3}$ है।
पद को परिमेय होने के लिए,$r$ को $3$ का गुणज होना चाहिए और $6144-r$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए।
अतः,$r$ को $6$ का गुणज होना चाहिए। $0 \le r \le 6144$ होने के कारण,$r = 6k$ जहाँ $0 \le k \le 1024$ है।
इसलिए,$K = 1025$ है।
अब,$f(x) = \frac{1-x}{1-x^{32}} = (1-x)(1+x^{32}+x^{64}+\dots)$ है।
अतः,$\alpha_P = 1$ यदि $P$ $32$ का गुणज है,$\alpha_P = -1$ यदि $P-1$ $32$ का गुणज है,और अन्यथा $0$ है।
$K = 1025$ के लिए,$\alpha_{1025} = -1$,$\alpha_{1026} = 0$,और $\alpha_{1024} = 1$ है।
इसलिए,$\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1} = -1 - 0 - 1 = -2$।

(D) माना $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.
हम $25^n$ को $(1 + 24)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 24)^n = 1 + n(24) + \frac{n(n-1)}{2}(24)^2 + \dots + 24^n$.
अतः,$25^n = 1 + 24n + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$f(n) = 1 + 24n - 48n + k + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
$f(n) = 1 - 24n + k + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
$f(n)$ के सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य होने के लिए,$(1 - 24n + k)$ को $24$ से विभाज्य होना चाहिए।
चूंकि $24n$ पहले से ही $24$ से विभाज्य है,इसलिए $(1 + k)$ को $24$ से विभाज्य होना चाहिए।
अतः,$1 + k = 24m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए।
$k$ के न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान के लिए,$m = 1$ रखने पर,$1 + k = 24$,जिससे $k = 23$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांक $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ होता है।
अतः,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ होता है।
यहाँ $n=8$ दिया गया है,इसलिए $\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{9-r}{r}$ होगा।
अब,योग $S = \sum_{r=1}^8 r^3 \left( \frac{9-r}{r} \right) = \sum_{r=1}^8 (9r^2 - r^3)$ है।
$n=8$ के लिए योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{r=1}^8 r^2 = 204$ और $\sum_{r=1}^8 r^3 = 1296$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = 9(204) - 1296 = 1836 - 1296 = 540$।

(B) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांक $C_r = C_{n-r}$ गुणधर्म का पालन करते हैं।
अतः,$C_6 = C_4, C_7 = C_3, C_8 = C_2, C_9 = C_1$ और $C_{10} = C_0$ है।
दी गई अभिव्यक्ति $S = C_0 C_4 + C_1 C_3 + C_2 C_2 + C_3 C_1 + C_4 C_0$ है।
यह अभिव्यक्ति $(1+x)^{20}$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक है।
अतः,$S = ^{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$.

(B) दी गई व्यंजक $x^{3/2}(3+x)^{1/2}$ है।
चूंकि $|x|>3$,हम इसे $x^{3/2} \cdot x^{1/2} (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(1+z)^k = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{k}{r} z^r$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\binom{k}{r} = \frac{k(k-1)\dots(k-r+1)}{r!}$ है।
यहाँ $k = 1/2$ और $z = 3/x$ है।
अतः,$x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} (\frac{3}{x})^r = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} 3^r x^{2-r}$।
हमें $\frac{1}{x^n}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $2-r = -n$ रखने पर,$r = n+2$ प्राप्त होता है।
गुणांक $\binom{1/2}{n+2} 3^{n+2}$ है।
$\binom{1/2}{n+2} = \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)\dots(-(2n+1)/2)}{(n+2)!} = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2} (n+2)!}$।
इसे $3^{n+2}$ से गुणा करने पर,गुणांक $(-1)^{n+1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2}(n+2)!} 3^{n+2}$ प्राप्त होता है।

(D) $\sum_{r=0}^{n} r^3 \cdot C_r$ के लिए सामान्य सूत्र $n(n^2 + 3n)2^{n-3}$ है।
$n=5$ के लिए,हम सूत्र में मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$= 5(5^2 + 3(5))2^{5-3}$
$= 5(25 + 15)2^2$
$= 5(40)(4)$
$= 200 \times 4 = 800$.

(B) माना $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \ldots + \sin 89^{\circ}$.
साइन श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करने पर,$S = \frac{\sin(44.5^{\circ}) \sin(45^{\circ})}{\sin(0.5^{\circ})}$.
हर $D = 2(\cos 1^{\circ} + \cos 2^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1$ है।
पदों को सरल करने पर,$S = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (2(\cos 1^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1)$.
अतः,अनुपात $\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\sin A = -\frac{60}{61}$. चूँकि $A$ $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में नहीं है और $\sin A < 0$ है,इसलिए $A$ $3^{\text{rd}}$ चतुर्थांश में होना चाहिए। $3^{\text{rd}}$ चतुर्थांश में $\cot A > 0$ होता है। $\cos A = -\sqrt{1 - \sin^2 A} = -\frac{11}{61}$. अतः,$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{11}{60}$.
दिया गया है $\cot B = -\frac{40}{9}$. चूँकि $B$ $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में नहीं है और $\cot B < 0$ है,इसलिए $B$ $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में होना चाहिए। $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में $\sec B < 0$ होता है। $\sec B = -\sqrt{1 + \tan^2 B} = -\frac{41}{40}$.
अब,$6 \cot A + 4 \sec B = 6(\frac{11}{60}) + 4(-\frac{41}{40}) = \frac{11}{10} - \frac{41}{10} = -\frac{30}{10} = -3$.

(A) $f(x)$ का आवर्तनांक ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर में त्रिकोणमितीय फलनों के आवर्तनांक ज्ञात करते हैं।
अंश: $2 \sin \left(\frac{\pi x}{3}\right) \cos \left(\frac{2 \pi x}{5}\right) = \sin \left(\frac{11 \pi x}{15}\right) - \sin \left(\frac{\pi x}{15}\right)$.
$\sin \left(\frac{11 \pi x}{15}\right)$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{30}{11}$ है।
$\sin \left(\frac{\pi x}{15}\right)$ का आवर्तनांक $T_2 = 30$ है।
अंश का आवर्तनांक $\text{LCM} \left(\frac{30}{11}, 30\right) = 30$ है।
हर: $\tan \left(\frac{7 \pi x}{2}\right)$ का आवर्तनांक $T_3 = \frac{2}{7}$ है।
$\sec \left(\frac{5 \pi x}{3}\right)$ का आवर्तनांक $T_4 = \frac{6}{5}$ है।
हर का आवर्तनांक $\text{LCM} \left(\frac{2}{7}, \frac{6}{5}\right) = 6$ है।
$f(x)$ का आवर्तनांक $\text{LCM}(30, 6) = 30$ है।

(B) दिया गया है $A+B+C = 2S$.
अतः $2S-A = B+C$,$2S-B = A+C$,और $2S-C = A+B$.
व्यंजक $\sin(2S-A) + \sin(2S-B) + \sin(2S-C) - \sin(2S)$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार,जब $A+B+C = 2S$ हो,तो इसका मान $4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ होता है।

(B) माना $f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
कोसाइन पद का विस्तार करने पर: $f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
$f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \left(\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right) + 3$.
$f(\theta) = \left(5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \sin \theta + \frac{3}{2} \cos \theta + 3$.
यह $A \sin \theta + B \cos \theta + C$ के रूप में है,जहाँ $A = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$,$B = \frac{3}{2}$,और $C = 3$.
$A \sin \theta + B \cos \theta$ का परिसर $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ है।
$A^2 + B^2 = \left(5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 25 - 15\sqrt{3} + \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = 34 - 15\sqrt{3}$.
अतः $f(\theta)$ का परिसर $[3 - \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}, 3 + \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}]$ है।
इस प्रकार,$\alpha = 3 - \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$ और $\beta = 3 + \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$.
अतः $\alpha + \beta = 6$ और $\alpha - \beta = -2\sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$.
व्यंजक में मान रखने पर: $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta - 6) = (-2\sqrt{34 - 15\sqrt{3}})(6 - 6) = 0$.

(C) दिया गया है $3 \sin (\alpha-\beta) = 5 \cos (\alpha+\beta)$.
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर,$3(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 5(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)$.
दोनों पक्षों को $\cos \alpha \cos \beta$ से विभाजित करने पर,$3(\tan \alpha - \tan \beta) = 5(1 - \tan \alpha \tan \beta)$.
हमें $X = \frac{\tan(\pi/4 - \alpha)}{\tan(\pi/4 - \beta)} = \frac{(1 - \tan \alpha)(1 + \tan \beta)}{(1 + \tan \alpha)(1 - \tan \beta)}$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण से,$\tan \alpha = \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}$.
इस मान को $X$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $X = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \cos x$ है।
योग के अस्तित्व के लिए,$|\cos x| < 1$ होना चाहिए।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{1}{1-\cos x} = 4+2 \sqrt{3}$।
$1-\cos x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$।
इसलिए,$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$\cos x = \cos \frac{\pi}{6}$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6} = (12n \pm 1) \frac{\pi}{6}$ है।

(B) माना $u = \cos \alpha + i \sin \alpha$,$v = \cos \beta + i \sin \beta$,और $w = \cos \gamma + i \sin \gamma$ है।
दिया है $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$,इसलिए $u + v + w = 0$ है।
चूंकि $|u| = |v| = |w| = 1$ है,इसलिए $u \bar{u} = 1$,$v \bar{v} = 1$,और $w \bar{w} = 1$ है।
$u + v + w = 0$ से,हमें $\bar{u} + \bar{v} + \bar{w} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = 0$।
यह सरल होकर $uv + vw + wu = 0$ बन जाता है।
अब,$(u + v + w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2(uv + vw + wu) = 0$ पर विचार करें।
चूंकि $uv + vw + wu = 0$ है,इसलिए $u^2 + v^2 + w^2 = 0$ है।
$u^2 = \cos 2 \alpha + i \sin 2 \alpha$,$v^2 = \cos 2 \beta + i \sin 2 \beta$,और $w^2 = \cos 2 \gamma + i \sin 2 \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\cos 2 \alpha + \cos 2 \beta + \cos 2 \gamma) + i(\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma) = 0 + 0i$।
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 3$।
चूँकि $\theta \neq (2n + 1) \frac{\pi}{2}$,$\cos \theta \neq 0$,इसलिए $\cos \theta$ से भाग देने पर $3 \tan \theta + 4 = 3 \sec \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3 \tan \theta + 4)^2 = 9 \sec^2 \theta$।
$9 \tan^2 \theta + 24 \tan \theta + 16 = 9(1 + \tan^2 \theta)$।
$9 \tan^2 \theta + 24 \tan \theta + 16 = 9 + 9 \tan^2 \theta$।
$24 \tan \theta = -7 \implies \tan \theta = -\frac{7}{24}$।
हम जानते हैं कि $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$।
$\tan \theta = -\frac{7}{24}$ रखने पर:
$\sin 2 \theta = \frac{2(-7/24)}{1 + (-7/24)^2} = \frac{-7/12}{1 + 49/576} = \frac{-7/12}{625/576} = -\frac{7}{12} \times \frac{576}{625} = -\frac{336}{625}$।

(C) माना व्यंजक $E = \frac{\cos 15^{\circ} \cos^2 22.5^{\circ} - \sin 75^{\circ} \sin^2 52.5^{\circ}}{\cos^2 15^{\circ} - \cos^2 75^{\circ}}$ है।
चूंकि $\sin 75^{\circ} = \cos 15^{\circ}$,अंश $\cos 15^{\circ} (\cos^2 22.5^{\circ} - \sin^2 52.5^{\circ})$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 22.5^{\circ} - \sin^2 52.5^{\circ} = \cos(75^{\circ}) \cos(-30^{\circ}) = \cos 75^{\circ} \cos 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंश $\cos 15^{\circ} \cos 75^{\circ} \cos 30^{\circ}$ है।
चूंकि $\cos 75^{\circ} = \sin 15^{\circ}$,अंश $\cos 15^{\circ} \sin 15^{\circ} \cos 30^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ} = \frac{1}{4} \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{8}$ है।
हर $\cos^2 15^{\circ} - \cos^2 75^{\circ} = \cos^2 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इस प्रकार,$E = \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4}$।

(A) हमारे पास व्यंजक $E = 16 \sin 12^{\circ} \cos 18^{\circ} \sin 48^{\circ}$ है।
सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$E = 8 \cos 18^{\circ} [2 \sin 48^{\circ} \sin 12^{\circ}]$
$E = 8 \cos 18^{\circ} [\cos 36^{\circ} - \cos 60^{\circ}]$
चूंकि $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए:
$E = 8 \cos 18^{\circ} [\frac{\sqrt{5}-1}{4}] = 2 (\sqrt{5}-1) \cos 18^{\circ}$.
$\cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ रखने पर,हमें $E = \sqrt{10-2\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\tan \theta$ और $\cot \theta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,मूलों का योग $\tan \theta + \cot \theta = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\tan \theta \cdot \cot \theta = \frac{c}{a}$ है।
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,इसलिए $\frac{c}{a} = 1$,जिसका अर्थ है $c = a$।
अब,$\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$।
इसे मूलों के योग के बराबर रखने पर: $\frac{2}{\sin 2\theta} = -\frac{b}{a}$।
चूंकि $a = c$,$a$ को $c$ से प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{\sin 2\theta} = -\frac{b}{c}$।
अतः,$\sin 2\theta = -\frac{2c}{b}$।

(C) दिया गया है $\sin A = -\frac{24}{25}$। चूंकि $A$ चतुर्थ चतुर्थांश में नहीं है और $\sin A < 0$ है,इसलिए $A$ तृतीय चतुर्थांश में होना चाहिए। अतः,$\cos A = -\frac{7}{25}$।
दिया गया है $\cos B = \frac{15}{17}$। चूंकि $B$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\cos B > 0$ है,इसलिए $B$ चतुर्थ चतुर्थांश में होना चाहिए। अतः,$\sin B = -\frac{8}{17}$।
अब,$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = -\frac{304}{425} < 0$।
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B = -\frac{297}{425} < 0$।
चूंकि $\sin(A+B) < 0$ और $\cos(A+B) < 0$ दोनों हैं,इसलिए $(A+B)$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।

(C) हम सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
$4 \cos \frac{7 \theta}{2} \cos \frac{3 \theta}{2} \sin 5 \theta$ पर इसे लागू करने पर:
$= 2 \left( 2 \cos \frac{7 \theta}{2} \cos \frac{3 \theta}{2} \right) \sin 5 \theta$
$= 2 \left( \cos(\frac{7 \theta}{2} + \frac{3 \theta}{2}) + \cos(\frac{7 \theta}{2} - \frac{3 \theta}{2}) \right) \sin 5 \theta$
$= 2 (\cos 5 \theta + \cos 2 \theta) \sin 5 \theta$
$= 2 \cos 5 \theta \sin 5 \theta + 2 \cos 2 \theta \sin 5 \theta$
$2 \sin A \cos A = \sin 2A$ और $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$= \sin 10 \theta + (\sin(5 \theta + 2 \theta) + \sin(5 \theta - 2 \theta))$
$= \sin 10 \theta + \sin 7 \theta + \sin 3 \theta$.

(B) हम जानते हैं कि $\operatorname{coth} x = \frac{\cosh x}{\sinh x}$ और $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ है।
दिया गया व्यंजक: $\operatorname{coth}^2 x - \tanh^2 x = \frac{\cosh^2 x}{\sinh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x}$ है।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{\cosh^4 x - \sinh^4 x}{\sinh^2 x \cosh^2 x}$ प्राप्त होता है।
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{(\cosh^2 x - \sinh^2 x)(\cosh^2 x + \sinh^2 x)}{\sinh^2 x \cosh^2 x}$ मिलता है।
चूंकि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ और $\cosh^2 x + \sinh^2 x = \cosh 2x$ है,व्यंजक $\frac{\cosh 2x}{\sinh^2 x \cosh^2 x}$ बन जाता है।
अंश और हर को $4$ से गुणा करने पर: $\frac{4 \cosh 2x}{4 \sinh^2 x \cosh^2 x} = \frac{4 \cosh 2x}{(2 \sinh x \cosh x)^2} = \frac{4 \cosh 2x}{\sinh^2 2x}$ प्राप्त होता है।
इसे $4 \cdot \frac{\cosh 2x}{\sinh 2x} \cdot \frac{1}{\sinh 2x} = 4 \operatorname{coth} 2x \operatorname{cosech} 2x$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया है $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$.
$\cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $1 + \tan \theta = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \sqrt{2} - 1$.
हमें $\sec 2 \theta + \tan 2 \theta = \frac{1 + \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$ का मान ज्ञात करना है।
इसे सरल करने पर $\frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta} = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \sqrt{2} - 1$ रखने पर,हमें $\sqrt{2} + 1$ प्राप्त होता है।
जो $\cot \theta$ का मान है।
अतः,$\sec 2 \theta + \tan 2 \theta = \cot \theta$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cot A + \cot B + \tan A + \tan B = \cot A \cot B - \tan A \tan B$.
$\sin$ और $\cos$ के रूप में व्यक्त करने पर: $\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B} - \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}$.
बाईं ओर के पदों को जोड़ने पर: $\frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} + \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B} = \frac{\cos^2 A \cos^2 B - \sin^2 A \sin^2 B}{\sin A \sin B \cos A \cos B}$.
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ का उपयोग करने पर: $\sin(A+B) \left( \frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\sin A \sin B \cos A \cos B} \right) = \frac{(\cos A \cos B - \sin A \sin B)(\cos A \cos B + \sin A \sin B)}{\sin A \sin B \cos A \cos B}$.
चूंकि $\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A-B)$,हमें प्राप्त होता है: $\sin(A+B) \frac{\cos(A-B)}{\sin A \sin B \cos A \cos B} = \frac{\cos(A+B) \cos(A-B)}{\sin A \sin B \cos A \cos B}$.
यह मानते हुए कि $\cos(A-B) \neq 0$,हमें $\sin(A+B) = \cos(A+B)$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\tan(A+B) = 1$.
चूंकि $0 \leq A, B \leq \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 \leq A+B \leq \frac{\pi}{2}$. अतः,$A+B = \frac{\pi}{4}$.
इसलिए,$\sin(A+B) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) फलन $f(x) = A \cos x + B \sin x + C$ के रूप में है,जहाँ $A = 2 \sqrt{6} + 1$,$B = 2 \sqrt{2} - \sqrt{3}$,और $C = -6$ है।
$A \cos x + B \sin x$ के चरम मान $\pm \sqrt{A^2 + B^2}$ होते हैं।
पहले,$A^2 + B^2$ की गणना करें:
$A^2 = (2 \sqrt{6} + 1)^2 = 25 + 4 \sqrt{6}$.
$B^2 = (2 \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 11 - 4 \sqrt{6}$.
$A^2 + B^2 = 36$.
अतः,$A \cos x + B \sin x$ का परिसर $[-6, 6]$ है।
$f(x)$ का परिसर $[-12, 0]$ है।
इसलिए,$m = -12$ और $M = 0$.
हमें $\sqrt{|M^2 - m^2|} = \sqrt{|0^2 - (-12)^2|} = \sqrt{144} = 12$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)=\tan ^3\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}\right)$.
माना $\theta = \frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}$. तब $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right) = \tan^3 \theta$.
सर्वसमिका $\cos \phi = \frac{1-\tan^2(\phi/2)}{1+\tan^2(\phi/2)}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin \beta = \frac{\tan^2 \theta - 1}{\tan^2 \theta + 1}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\sin \alpha = \frac{\tan^6 \theta - 1}{\tan^6 \theta + 1}$.
$\tan^2 \theta = \frac{1+\sin \beta}{1-\sin \beta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin \alpha = \frac{\sin \beta(3+\sin^2 \beta)}{1+3\sin^2 \beta}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3+\sin^2 \beta}{1+3\sin^2 \beta} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$.

(C) माना $z = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$. तब $z^7 = 1$.
योग $S = z + z^2 + z^4 = Q + iP$ पर विचार करें।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$Q = -\frac{1}{2}$ और $P = \frac{\sqrt{7}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $P^2 + Q^2 = (\frac{\sqrt{7}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{7}{4} + \frac{1}{4} = 2$.
इस प्रकार,बिंदु $(P, Q)$ त्रिज्या $\sqrt{2}$ वाले वृत्त पर स्थित है।

(A) दिया गया है $\cos \alpha = \frac{l \cos \beta + m}{l + m \cos \beta}$।
सूत्र $\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \frac{l \cos \beta + m}{l + m \cos \beta}}{1 + \frac{l \cos \beta + m}{l + m \cos \beta}}$
$= \frac{l + m \cos \beta - l \cos \beta - m}{l + m \cos \beta + l \cos \beta + m} = \frac{l(1 - \cos \beta) - m(1 - \cos \beta)}{l(1 + \cos \beta) + m(1 + \cos \beta)}$
$= \frac{(l - m)(1 - \cos \beta)}{(l + m)(1 + \cos \beta)} = \frac{l - m}{l + m} \cdot \tan^2 \frac{\beta}{2}$।
अतः,$\left(\frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta}{2}}\right)^2 = \frac{l - m}{l + m}$।

(A) दिया गया है $y = \operatorname{Sec}^{-1} x$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$।
इसे $\frac{dy}{dx} = (x^2-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{|x|}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x > 1$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = x^{-1}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}$।
गुणन नियम का उपयोग करके पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} [x^{-1}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}] = -x^{-2}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} + x^{-1} \cdot (-\frac{1}{2})(x^2-1)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x)$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}} - \frac{1}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{-(x^2-1) - x^2}{x^2(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1-2x^2}{x^2(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$।
सभी $x$ के लिए निरपेक्ष मान को ध्यान में रखते हुए,सामान्य रूप $\frac{1-2x^2}{x|x|(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
अतः,$\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x-1}{2-x}\right) > 0$.
चूंकि आधार $\frac{1}{3} < 1$ है,इसलिए असमिका उलट जाती है: $\frac{x-1}{2-x} < (\frac{1}{3})^0$,जिसका अर्थ है $\frac{x-1}{2-x} < 1$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $\frac{x-1}{2-x} - 1 < 0 \implies \frac{2x-3}{2-x} < 0$.
$-1$ से गुणा करने पर $\frac{2x-3}{x-2} > 0$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु $x = 1.5$ और $x = 2$ हैं।
अंतराल की जांच करने पर,असमिका $x \in (1, 1.5)$ के लिए सत्य है।
अतः,$a = 1$ और $b = 1.5$.
तब $2b = 2(1.5) = 3$.
चूंकि $a = 1$,इसलिए $a+2 = 1+2 = 3$.
अतः,$2b = a+2$.

(B) फलन $f(x) = \log_{\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x})$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए और वर्गमूल परिभाषित होने चाहिए।
$1$. $\sqrt{x^2+x}$ के लिए,$x^2+x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0$. इससे $x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
$2$. $\sqrt{x^2-x}$ के लिए,$x^2-x \ge 0 \implies x(x-1) \ge 0$. इससे $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ प्राप्त होता है।
$3$. इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \cup \{0\}$ है।
$4$. इसके अतिरिक्त,तर्क $\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x} > 0$ होना चाहिए।
$x=0$ पर,व्यंजक $\sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$ हो जाता है,और $\log_{\sqrt{2}}(0)$ अपरिभाषित है।
अतः,हम $x=0$ को हटा देते हैं।
इस प्रकार,प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है।

(C) प्रांत $A$ के लिए,हमें $|x| - x^2 > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $|x|^2 = x^2$,यह $|x| - |x|^2 > 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $|x|(1 - |x|) > 0$.
यह तब होता है जब $0 < |x| < 1$,इसलिए $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$. अतः,$A = (-1, 0) \cup (0, 1)$.
परिसर $B$ के लिए,मान लीजिए $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - x^2}}$.
जैसे $x \to 0$,$|x| - x^2 \to 0^+$,इसलिए $y \to \infty$.
जैसे $|x| \to 1$,$|x| - x^2 \to 0^+$,इसलिए $y \to \infty$.
$|x| - x^2$ का अधिकतम मान $|x| = 1/2$ पर प्राप्त होता है,जो $1/2 - 1/4 = 1/4$ देता है।
हर का न्यूनतम मान $0$ (अपवर्जित) और अधिकतम मान $1/4$ है।
अतः,$\sqrt{|x| - x^2} \in (0, 1/2]$.
इसलिए,$y \in [2, \infty)$,यानी $B = [2, \infty)$.
अंत में,$A \cup B = ((-1, 0) \cup (0, 1)) \cup [2, \infty)$.

(B) $f(x)$ के वास्तविक मान वाला फलन होने के लिए,प्रांत $x+1 \ge 0$ अर्थात $x \ge -1$ होना चाहिए।
जैसे-जैसे $x$,$-1$ से $\infty$ तक बदलता है,$\sqrt{x+1}$ का मान $0$ से $\infty$ तक बदलता है।
परिणामस्वरूप,हर $\sqrt{x+1}+4$ का मान $4$ से $\infty$ तक बदलता है।
अतः,टेंजेंट फलन का तर्क $\theta = \frac{\pi}{\sqrt{x+1}+4}$,$0$ से $\frac{\pi}{4}$ तक बदलता है।
चूंकि टेंजेंट फलन अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में वर्धमान है,इसलिए $f(x) = \tan(\theta)$ का परिसर $[\tan(0), \tan(\frac{\pi}{4})]$ अर्थात $[0, 1]$ होगा।

(C) माना $y = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(x^2-x+a) = x^2+x+a$ प्राप्त होता है।
$yx^2 - yx + ay = x^2 + x + a$.
$(y-1)x^2 - (y+1)x + a(y-1) = 0$.
$f$ के आच्छादक होने के लिए,$x$ में इस द्विघात समीकरण के प्रत्येक $y$ के लिए वास्तविक मूल होने चाहिए।
अतः,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$D = (-(y+1))^2 - 4(y-1)(a(y-1)) \geq 0$.
$(y+1)^2 - 4a(y-1)^2 \geq 0$.
$y^2 + 2y + 1 - 4a(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.
$(1-4a)y^2 + (2+8a)y + (1-4a) \geq 0$.
इसके प्रत्येक $y$ के लिए सत्य होने हेतु,$y^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $1-4a > 0 \Rightarrow a < 1/4$.
साथ ही,$y$ में इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $\leq 0$ होना चाहिए।
$(2+8a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.
$4(1+4a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.
$(1+4a-1+4a)(1+4a+1-4a) \leq 0$.
$(8a)(2) \leq 0$ $\Rightarrow 16a \leq 0$ $\Rightarrow a \leq 0$.
$a < 1/4$ और $a \leq 0$ को संयोजित करने पर,हमें $a \in (-\infty, 0]$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x) = 5^{-|x|} + \operatorname{sgn}(5^{-x})$ के रूप में परिभाषित है।
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $5^{-x} > 0$ है,इसलिए सिग्नम फलन $\operatorname{sgn}(5^{-x}) = 1$ होगा।
अतः,फलन सरल होकर $f(x) = 5^{-|x|} + 1$ हो जाता है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = 5^{-x} + 1$,जो $(1, 2]$ परिसर वाला एक ह्रासमान फलन है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = 5^{x} + 1$,जो $(1, 2)$ परिसर वाला एक वर्धमान फलन है।
चूँकि सभी $x$ के लिए $f(x) = f(-x)$ है,इसलिए फलन बहु-एक है।
साथ ही,फलन का परिसर $(1, 2]$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) फलन $f(x)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसे दो अंतरालों में विश्लेषित करते हैं।
$x \leq \frac{4}{3}$ के लिए,$f(x) = 2x+3$। यह एक निरंतर वर्धमान रैखिक फलन है। इस भाग का परिसर $(-\infty, 2(\frac{4}{3})+3] = (-\infty, \frac{17}{3}]$ है।
$x > \frac{4}{3}$ के लिए,$f(x) = -3x^2+8x$। यह नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-3)} = \frac{4}{3}$ पर है। चूंकि अंतराल $x > \frac{4}{3}$ है,इसलिए फलन इस डोमेन में निरंतर ह्रासमान है। $x = \frac{4}{3}$ पर मान $-3(\frac{16}{9}) + 8(\frac{4}{3}) = -\frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$ है। जैसे-जैसे $x \rightarrow \infty$ होता है,$f(x) \rightarrow -\infty$ होता है। अतः,इस भाग का परिसर $(-\infty, \frac{16}{3})$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,फलन एकैकी नहीं है क्योंकि मान $\frac{16}{3}$,$x = \frac{4}{3}$ पर और किसी $x > \frac{4}{3}$ के लिए भी प्राप्त होता है।
चूंकि परिसर $(-\infty, \frac{17}{3}]$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) नहीं है। अतः,यह एकैकी आच्छादक भी नहीं है। सही उत्तर यह है कि यह आच्छादक नहीं है।

(D) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक कुल फलनों की संख्या $|B|^{|A|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$|A| = 3$ और $|B| = 5$ है।
कुल फलनों की संख्या = $5^3 = 125$ है।
एक फलन एकैकी (one-one) होता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक विशिष्ट प्रतिबिंब हो।
एकैकी फलनों की संख्या $5$ अवयवों में से $3$ को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके,यानी $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ है।
यादृच्छिक रूप से चुने गए फलन के एकैकी होने की प्रायिकता = (एकैकी फलनों की संख्या) / (कुल फलनों की संख्या) है।
प्रायिकता = $\frac{60}{125} = \frac{12}{25}$।

(D) दिया गया फलन $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}} + 1$ है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $y - 1 = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$।
माना $u = 10^x$ है। तब $10^{-x} = \frac{1}{u}$।
अतः,$y - 1 = \frac{u - 1/u}{u + 1/u} = \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1}$।
माना $Y = y - 1$ है। तब $Y(u^2 + 1) = u^2 - 1$।
$Yu^2 + Y = u^2 - 1 \implies Y + 1 = u^2(1 - Y)$।
$u^2 = \frac{1 + Y}{1 - Y} = \frac{1 + (y - 1)}{1 - (y - 1)} = \frac{y}{2 - y}$।
चूंकि $u = 10^x$,हमारे पास $10^{2x} = \frac{y}{2 - y}$ है।
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर: $2x = \log_{10} \left(\frac{y}{2 - y}\right)$।
इसलिए,$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{y}{2 - y}\right)$।

(NONE) दिया गया समीकरण: $3 f(x) + 4 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2-x}{x} \quad \dots (1)$
समीकरण $(1)$ में $x = 3$ रखने पर:
$3 f(3) + 4 f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} \quad \dots (2)$
अब,समीकरण $(1)$ में $x = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$3 f\left(\frac{1}{3}\right) + 4 f(3) = \frac{2 - 1/3}{1/3} = \frac{5/3}{1/3} = 5 \quad \dots (3)$
समीकरण $(2)$ से,$4 f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3} - 3 f(3)$,इसलिए $f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{12} - \frac{3}{4} f(3)$।
इसे समीकरण $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \left(-\frac{1}{12} - \frac{3}{4} f(3)\right) + 4 f(3) = 5$
$-\frac{1}{4} - \frac{9}{4} f(3) + 4 f(3) = 5$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$-1 - 9 f(3) + 16 f(3) = 20$
$7 f(3) = 21$
$f(3) = 3$.

(B) फलन $g(x)$ के $x=3$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x=3$ पर सतत होना चाहिए।
$x=3$ पर सांतत्य: $\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^+} g(x) = g(3)$.
$K \sqrt{3+1} = 3m+2 \implies 2K = 3m+2$ (समीकरण $1$).
$x=3$ पर अवकलनीयता: बायां अवकलज दाएं अवकलज के बराबर होना चाहिए।
$g'(x) = \begin{cases} \frac{K}{2\sqrt{x+1}} &, 0 < x < 3 \\ m &, 3 < x < 5 \end{cases}$.
$x=3$ पर,$\frac{K}{2\sqrt{3+1}} = m \implies \frac{K}{4} = m \implies K = 4m$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ से $K=4m$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $2(4m) = 3m+2 \implies 8m = 3m+2 \implies 5m = 2 \implies m = \frac{2}{5}$.
अतः $K = 4(\frac{2}{5}) = \frac{8}{5}$.
इसलिए,$K+m = \frac{8}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,वाम पक्ष सीमा $(LHL)$,दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(0)$ बराबर होने चाहिए।
$f(0) = p$.
$LHL$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos 3x - \cos x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 \sin(2x) \sin(x)}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 \sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} -2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 = -4$.
अतः,$p = -4$.
$RHL$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(1 + q \sin x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\log(1 + q \sin x)}{q \sin x} \cdot \frac{q \sin x}{x} = 1 \cdot q \cdot 1 = q$.
चूंकि फलन सतत है,$LHL$ = $RHL$ = $f(0)$,इसलिए $q = p = -4$.
अतः,$p + q = -4 + (-4) = -8$.

(D) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$1$. $f(0) = 1$.
$2$. बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1$.
$3$. दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(0) - (1) = -1$.
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = -1 \neq f(0)$,इसलिए $f$,$x = 0$ पर असंतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$1$. $f(1) = 2[1] - \frac{1}{|1|} = 2(1) - 1 = 1$.
$2$. बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(0) - 1 = -1$.
$3$. दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(1) - 1 = 1$.
चूँकि $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$,इसलिए फलन $x = 1$ पर दक्षिण संतत है।

(C) फलन $f(x) = [x^2 - 3]$ है।
हम जानते हैं कि महत्तम पूर्णांक फलन $[g(x)]$ उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ $g(x)$ एक पूर्णांक होता है।
यहाँ,$g(x) = x^2 - 3$ है।
$x \in (-1, 2)$ के लिए,$g(x) = x^2 - 3$ का परिसर:
जब $x = -1$,$g(x) = (-1)^2 - 3 = -2$ है।
जब $x = 0$,$g(x) = 0^2 - 3 = -3$ है।
जब $x = 2$,$g(x) = 2^2 - 3 = 1$ है।
अतः,$x \in (-1, 2)$ के लिए,$g(x)$ अंतराल $(-3, 1)$ में मान लेता है।
इस अंतराल में $g(x)$ जो पूर्णांक मान लेता है,वे $\{-2, -1, 0\}$ हैं।
हमें $x$ के वे मान ज्ञात करने हैं जिनके लिए $x^2 - 3 = k$ हो,जहाँ $k \in \{-2, -1, 0\}$ है।
$1$) $x^2 - 3 = -2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$। चूँकि हम $(-1, 2)$ में देख रहे हैं,केवल $x = 1$ अंतराल में है।
$2$) $x^2 - 3 = -1 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$। चूँकि हम $(-1, 2)$ में देख रहे हैं,केवल $x = \sqrt{2}$ अंतराल में है।
$3$) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$। चूँकि हम $(-1, 2)$ में देख रहे हैं,केवल $x = \sqrt{3}$ अंतराल में है।
इस प्रकार,असंततता के बिंदु $x \in \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ हैं।
असंतत बिंदुओं की कुल संख्या $3$ है।

(C) एक फलन $f(x) = |g(x)|$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ $g(x) = 0$ होता है,बशर्ते $g(x)$ एक रैखिक या बहुपद फलन हो।
दिया गया है $f(x) = 7|2x + 1| - 19|3x - 5|$।
फलन में मापांक पद $|2x + 1|$ और $|3x - 5|$ शामिल हैं।
पद $|2x + 1|$,$2x + 1 = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जिससे $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
पद $|3x - 5|$,$3x - 5 = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जिससे $x = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह फलन इन मापांक फलनों का एक रैखिक संयोजन है,इसलिए यह उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ मापांक के अंदर के व्यंजक शून्य होते हैं।
अतः,फलन $f(x)$,$x = -\frac{1}{2}$ और $x = \frac{5}{3}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) फलन $f(x) = ||x| - 1|$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
साथ ही,फलन $g(x) = |x| - 1$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
फलन $f(x) = |g(x)|$ वहाँ अवकलनीय नहीं होता जहाँ $g(x) = 0$ हो या जहाँ $g(x)$ अवकलनीय न हो।
$g(x) = 0$ रखने पर,हमें $|x| - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|x| = 1$,अतः $x = 1$ या $x = -1$ है।
इसके अतिरिक्त,$g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$,$x \in \{-1, 0, 1\}$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$x$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए $f(x)$ अवकलनीय है,$R - \{-1, 0, 1\}$ है।

(A) $x = 2$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम सबसे पहले ध्यान देते हैं कि $2$ के पड़ोस में $x$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{x})$ धनात्मक है क्योंकि $\frac{\pi}{x}$,$\frac{\pi}{2}$ के निकट है। विशेष रूप से,$2$ के निकट $x$ के लिए,$\frac{\pi}{x}$ अंतराल $(0, \pi)$ में है,जहाँ $\cos(\frac{\pi}{x})$ धनात्मक है।
अतः,$2$ के एक छोटे पड़ोस में $x$ के लिए,$f(x) = x^2 \cos(\frac{\pi}{x})$ है।
अब,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} [x^2 \cos(\frac{\pi}{x})] = 2x \cos(\frac{\pi}{x}) + x^2 [-\sin(\frac{\pi}{x})] \cdot (-\frac{\pi}{x^2}) = 2x \cos(\frac{\pi}{x}) + \pi \sin(\frac{\pi}{x})$।
$x = 2$ पर मान रखने पर:
$f'(2) = 2(2) \cos(\frac{\pi}{2}) + \pi \sin(\frac{\pi}{2}) = 4(0) + \pi(1) = \pi$।
चूँकि $x = 2$ पर अवकलज का अस्तित्व है,इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय है।

(A) दिया गया है $y = f(\cosh x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर,हम प्रथम अवकलज प्राप्त करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(\cosh x) \cdot \frac{d}{dx}(\cosh x) = f^{\prime}(\cosh x) \cdot \sinh x$.
दिया गया है $f^{\prime}(x) = \log(x + \sqrt{x^2-1})$,इसलिए $x$ को $\cosh x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(\cosh x) = \log(\cosh x + \sqrt{\cosh^2 x - 1}) = \log(\cosh x + \sinh x)$.
चूंकि $\cosh x + \sinh x = e^x$,इसलिए $f^{\prime}(\cosh x) = \log(e^x) = x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = x \sinh x$.
अब,गुणन नियम (product rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(x \sinh x) = \sinh x + x \cosh x$.

(D) माना $y = \frac{x-1}{x-\sqrt{x}} e^{2x+1}$.
हम $\frac{x-1}{x-\sqrt{x}}$ व्यंजक को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$\frac{x-1}{x-\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 + x^{-1/2}$.
अतः,$y = (1 + x^{-1/2}) e^{2x+1}$.
अब,गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + x^{-1/2}) \cdot e^{2x+1} + (1 + x^{-1/2}) \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x+1})$.
$\frac{dy}{dx} = (- \frac{1}{2} x^{-3/2}) e^{2x+1} + (1 + x^{-1/2}) \cdot 2 e^{2x+1}$.
$e^{2x+1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{2x+1} [-\frac{1}{2} x^{-3/2} + 2 + 2x^{-1/2}]$.
हमें दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} = \frac{x-1}{x-\sqrt{x}} e^{2x+1} f(x) = (1 + x^{-1/2}) e^{2x+1} f(x)$.
इसलिए,$f(x) = \frac{-\frac{1}{2} x^{-3/2} + 2 + 2x^{-1/2}}{1 + x^{-1/2}}$.
$x = 4$ रखने पर:
$f(4) = \frac{-\frac{1}{2} (4)^{-3/2} + 2 + 2(4)^{-1/2}}{1 + (4)^{-1/2}} = \frac{-\frac{1}{2} (\frac{1}{8}) + 2 + 2(\frac{1}{2})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{16} + 2 + 1}{\frac{3}{2}} = \frac{3 - \frac{1}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{47}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{47}{16} \times \frac{2}{3} = \frac{47}{24}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \log_{(x^2-2x+1)}(x^2-3x+2)$.
हम आधार और पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^2-2x+1 = (x-1)^2$
$x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$
अतः,$f(x) = \log_{(x-1)^2} ((x-1)(x-2))$.
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1}{2} \log_{(x-1)} ((x-1)(x-2)) = \frac{1}{2} [\log_{(x-1)} (x-1) + \log_{(x-1)} (x-2)]$
$f(x) = \frac{1}{2} [1 + \log_{(x-1)} (x-2)] = \frac{1}{2} [1 + \frac{\ln(x-2)}{\ln(x-1)}]$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(x-1) \cdot \frac{1}{x-2} - \ln(x-2) \cdot \frac{1}{x-1}}{(\ln(x-1))^2} \right]$.
$x = 3$ रखने पर:
$f'(3) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(2) \cdot \frac{1}{1} - \ln(1) \cdot \frac{1}{2}}{(\ln(2))^2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(2)}{(\ln(2))^2} \right] = \frac{1}{2 \ln(2)} = \frac{1}{\ln(4)} = \log_4 e$.

(D) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{\log(x^2+1) + y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = \log(x^2+1) + y$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\log(x^2+1)) + \frac{d}{dx}(y)$.
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot (2x) + \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$.
$(2y-1) \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{(x^2+1)(2y-1)}$.

(B) दिया गया है $y = f(x)^{g(x)}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log y = g(x) \log f(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = g'(x) \log f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{g(x)}{f(x)} f'(x) + \log f(x) g'(x) \right]$।
इसे दिए गए समीकरण $\frac{dy}{dx} = y[H(x)f'(x) + G(x)g'(x)]$ के साथ तुलना करने पर,$H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ और $G(x) = \log f(x)$ प्राप्त होता है।
अब,हमें समाकलन $I = \int \frac{G(x)H(x)f'(x)}{g(x)} dx$ का मान ज्ञात करना है।
फलन का मान रखने पर,$I = \int \frac{\log f(x) \cdot \frac{g(x)}{f(x)} \cdot f'(x)}{g(x)} dx = \int \frac{\log f(x) f'(x)}{f(x)} dx$।
माना $u = \log f(x)$,तो $du = \frac{f'(x)}{f(x)} dx$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int u du = \frac{u^2}{2} + c = \frac{[\log f(x)]^2}{2} + c$।

(B) दिया गया है $x = \sqrt{1-\tan y}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 1 - \tan y$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\tan y = 1 - x^2$.
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{d}{dx}(1 - x^2)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$.
हम जानते हैं कि $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$.
$\tan y = 1 - x^2$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec^2 y = 1 + (1 - x^2)^2 = 1 + (1 - 2x^2 + x^4) = x^4 - 2x^2 + 2$.
अब,इस मान को अवकलज समीकरण में रखने पर:
$(x^4 - 2x^2 + 2) \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{x^4 - 2x^2 + 2}$.

(B) दिया गया समीकरण: $(x^2-3x+2) e^{\frac{y}{x-1}} = x+2$.
द्विघात पद का गुणनखंड करने पर: $(x-1)(x-2) e^{\frac{y}{x-1}} = x+2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln((x-1)(x-2)) + \frac{y}{x-1} = \ln(x+2)$.
$y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y = (x-1) [\ln(x+2) - \ln((x-1)(x-2))]$.
$x=0$ पर: $y = (0-1) [\ln(2) - \ln((-1)(-2))] = -1 [\ln(2) - \ln(2)] = 0$.
अब,मूल समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(2x-3) e^{\frac{y}{x-1}} + (x^2-3x+2) e^{\frac{y}{x-1}} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{y}{x-1}) = 1$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए $\frac{d}{dx}(\frac{y}{x-1}) = \frac{(x-1)y' - y}{(x-1)^2}$.
$x=0$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(0-3) e^{\frac{0}{-1}} + (0-0+2) e^{\frac{0}{-1}} \cdot \frac{(-1)y' - 0}{(-1)^2} = 1$.
$-3(1) + 2(1) (-y') = 1$.
$-3 - 2y' = 1$.
$-2y' = 4$.
$y' = -2$.
अतः,$(\frac{dy}{dx})_{x=0} = -2$.

(D) दिया गया समीकरण: $3^x y^x = x^{3y}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(3^x y^x) = \ln(x^{3y})$
$x \ln 3 + x \ln y = 3y \ln x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x \ln 3) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(3y \ln x)$
$\ln 3 + (\ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}) = 3 \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \ln x + 3y \cdot \frac{1}{x}$.
$x = 1$ पर,मूल समीकरण से $y$ का मान ज्ञात करने पर:
$3^1 y^1 = 1^{3y} \implies 3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$.
अब $x = 1$ और $y = \frac{1}{3}$ को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$\ln 3 + \ln(\frac{1}{3}) + 1 \cdot \frac{1}{1/3} \cdot \frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \ln 1 + 3(\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{1}$.
चूँकि $\ln(\frac{1}{3}) = -\ln 3$ और $\ln 1 = 0$:
$\ln 3 - \ln 3 + 3 \frac{dy}{dx} = 0 + 1$.
$3 \frac{dy}{dx} = 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}$.

(D) माना $y = u + v$,जहाँ $u = x^{\log x}$ और $v = (\log x)^x$ है।
$u$ के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log u = (\log x)(\log x) = (\log x)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \implies \frac{du}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$.
$x=e$ पर: $\frac{du}{dx} = e^{\log e} \cdot \frac{2 \log e}{e} = e^1 \cdot \frac{2}{e} = 2$.
अब $v = (\log x)^x$ के लिए: $\log v = x \log(\log x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log(\log x) + \frac{1}{\log x}$.
$\frac{dv}{dx} = (\log x)^x \left[ \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right]$.
$x=e$ पर: $\frac{dv}{dx} = (\log e)^e \left[ \log(\log e) + \frac{1}{\log e} \right] = 1^e [ \log(1) + 1 ] = 1 \cdot [0 + 1] = 1$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 2 + 1 = 3$.

(B) दिया गया है $x = \frac{t^2}{1+t^5}$ और $y = \frac{2t^3}{1+t^5}$.
भागफल नियम $\frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{(1+t^5)(2t) - t^2(5t^4)}{(1+t^5)^2} = \frac{2t + 2t^6 - 5t^6}{(1+t^5)^2} = \frac{2t - 3t^6}{(1+t^5)^2} = \frac{t(2 - 3t^5)}{(1+t^5)^2}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{(1+t^5)(6t^2) - 2t^3(5t^4)}{(1+t^5)^2} = \frac{6t^2 + 6t^7 - 10t^7}{(1+t^5)^2} = \frac{6t^2 - 4t^7}{(1+t^5)^2} = \frac{2t^2(3 - 2t^5)}{(1+t^5)^2}$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t^2(3 - 2t^5)}{(1+t^5)^2} \times \frac{(1+t^5)^2}{t(2 - 3t^5)} = \frac{2t(3 - 2t^5)}{(2 - 3t^5)}$.

(B) दिया गया है $x = \sin 2\theta \cos 3\theta$ और $y = \sin 3\theta \cos 2\theta$।
$\theta$ के सापेक्ष $x$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin 2\theta \cos 3\theta) = \cos 2\theta(2) \cos 3\theta + \sin 2\theta(-\sin 3\theta)(3) = 2\cos 2\theta \cos 3\theta - 3\sin 2\theta \sin 3\theta$।
$\theta$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin 3\theta \cos 2\theta) = \cos 3\theta(3) \cos 2\theta + \sin 3\theta(-\sin 2\theta)(2) = 3\cos 3\theta \cos 2\theta - 2\sin 3\theta \sin 2\theta$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3\cos 3\theta \cos 2\theta - 2\sin 3\theta \sin 2\theta}{2\cos 2\theta \cos 3\theta - 3\sin 2\theta \sin 3\theta}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है $x = 2 \sqrt{2} \sqrt{\cos 2 \theta}$ और $y = 2 \sqrt{2} \sqrt{\sin 2 \theta}$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 8 \cos 2 \theta$ और $y^2 = 8 \sin 2 \theta$ प्राप्त होता है।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d \theta} = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\cos 2 \theta}} \cdot (-2 \sin 2 \theta) = -\frac{2 \sqrt{2} \sin 2 \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}}$.
$\frac{dy}{d \theta} = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\sin 2 \theta}} \cdot (2 \cos 2 \theta) = \frac{2 \sqrt{2} \cos 2 \theta}{\sqrt{\sin 2 \theta}}$.
अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d \theta}{dx/d \theta} = \frac{2 \sqrt{2} \cos 2 \theta / \sqrt{\sin 2 \theta}}{-2 \sqrt{2} \sin 2 \theta / \sqrt{\cos 2 \theta}} = -\frac{\cos 2 \theta \sqrt{\cos 2 \theta}}{\sin 2 \theta \sqrt{\sin 2 \theta}} = -(\cot 2 \theta)^{3/2}$.
जब $\theta = 22 \frac{1}{2}^{\circ} = \frac{45^{\circ}}{2}$,तब $2 \theta = 45^{\circ}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -(\cot 45^{\circ})^{3/2} = -(1)^{3/2} = -1$.

(B) दिया गया है $y = (\sin^{-1} x)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{1 - x^2}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = 2 \sin^{-1} x$.
गुणन नियम का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
पूरे समीकरण को $\sqrt{1 - x^2}$ से गुणा करने पर:
$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = 2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है $y = (1 - x^2) \operatorname{Tanh}^{-1} x$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (1 - x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{Tanh}^{-1} x) + \operatorname{Tanh}^{-1} x \cdot \frac{d}{dx}(1 - x^2)$
$\frac{dy}{dx} = (1 - x^2) \cdot \frac{1}{1 - x^2} + \operatorname{Tanh}^{-1} x \cdot (-2x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 - 2x \operatorname{Tanh}^{-1} x$।
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(1) - 2 \cdot \frac{d}{dx}(x \operatorname{Tanh}^{-1} x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 0 - 2 \left[ x \cdot \frac{1}{1 - x^2} + \operatorname{Tanh}^{-1} x \cdot 1 \right]$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -2 \left[ \frac{x}{1 - x^2} + \operatorname{Tanh}^{-1} x \right]$।
मूल समीकरण से,$\operatorname{Tanh}^{-1} x = \frac{y}{1 - x^2}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -2 \left[ \frac{x}{1 - x^2} + \frac{y}{1 - x^2} \right]$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{2(x + y)}{1 - x^2}$।

(A) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखें: $3x^2-2x-1 = x^3-1$.
$x^3-3x^2+2x = 0$.
$x(x-1)(x-2) = 0$.
अतः,$x=0, 1, 2$.
$x=0$ के लिए,$y=-1$ (प्रथम चतुर्थांश में नहीं है)।
$x=1$ के लिए,$y=0$ (अक्ष पर है,प्रथम चतुर्थांश में नहीं है)।
$x=2$ के लिए,$y=3(2)^2-2(2)-1 = 12-4-1 = 7$.
प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 7)$ है।
अब,$(2, 7)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें:
$y=3x^2-2x-1$ के लिए,$dy/dx = 6x-2$. $x=2$ पर,$m_1 = 6(2)-2 = 10$.
$y=x^3-1$ के लिए,$dy/dx = 3x^2$. $x=2$ पर,$m_2 = 3(2)^2 = 12$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |(m_1-m_2)/(1+m_1m_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |(10-12)/(1+10 \times 12)| = |-2/121| = 2/121$.
अतः,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2/121)$।

(C) दिया गया बिंदु $P(5,2)$ और स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{7}{2}$ है।
$P(5,2)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 2 = \frac{7}{2}(x - 5) \implies 2y - 4 = 7x - 35 \implies 7x - 2y = 31$ है।
स्पर्शरेखा का $x$-अंतःखंड $y=0$ रखकर प्राप्त किया जाता है: $7x = 31 \implies x = \frac{31}{7}$। अतः,स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $A(\frac{31}{7}, 0)$ पर मिलती है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{2}{7}$ है।
$P(5,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{2}{7}(x - 5) \implies 7y - 14 = -2x + 10 \implies 2x + 7y = 24$ है।
अभिलंब का $x$-अंतःखंड $y=0$ रखकर प्राप्त किया जाता है: $2x = 24 \implies x = 12$। अतः,अभिलंब $x$-अक्ष को $B(12, 0)$ पर मिलता है।
त्रिभुज बिंदुओं $P(5,2)$,$A(\frac{31}{7}, 0)$,और $B(12, 0)$ द्वारा बनता है।
$x$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $|12 - \frac{31}{7}| = |\frac{84 - 31}{7}| = \frac{53}{7}$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $2$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{53}{7} \times 2 = \frac{53}{7}$ वर्ग इकाई।

(A) माना बिंदु $P$ $(x_1, y_1)$ है। वक्र $y^2 = x^3 - x + 1$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3x_1^2 - 1}{2y_1}$ प्राप्त होता है।
$P$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2y_1}{3x_1^2 - 1}$ है।
चूंकि अभिलंब अक्षों पर समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी प्रवणता $\pm 1$ होनी चाहिए। वक्र को देखते हुए,हम $m_n = -1$ लेते हैं।
यदि $m_n = -1$ है,तो $\frac{2y_1}{3x_1^2 - 1} = 1 \implies 2y_1 = 3x_1^2 - 1$ प्राप्त होता है।
$y_1^2 = x_1^3 - x_1 + 1$ और $y_1 = \frac{3x_1^2 - 1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\frac{3x_1^2 - 1}{2})^2 = x_1^3 - x_1 + 1$ मिलता है। इसे हल करने पर,$x_1 = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $y_1 = 1$ मिलता है। अतः $P = (1, 1)$ है।
$(1, 1)$ पर स्पर्शरेखा की प्रवणता $m_t = \frac{3(1)^2 - 1}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = x$ या $x - y = 0$ हो जाता है।

(D) दिया गया वक्र $xy^2 + x^2y = 12$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} + 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(1, 3)$ पर,हमें प्राप्त होता है: $3^2 + 2(1)(3) \frac{dy}{dx} + 2(1)(3) + (1)^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
$9 + 6 \frac{dy}{dx} + 6 + \frac{dy}{dx} = 0 \implies 7 \frac{dy}{dx} = -15 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{15}{7}$.
बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 3 = -\frac{15}{7}(x - 1)$ है।
$T$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $-3 = -\frac{15}{7}(x - 1) \implies 21 = 15(x - 1) \implies x - 1 = \frac{21}{15} = \frac{7}{5} \implies x = 1 + \frac{7}{5} = \frac{12}{5}$. अतः $T = (\frac{12}{5}, 0)$.
बिंदु $(1, 3)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 3 = \frac{7}{15}(x - 1)$ है।
$N$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $-3 = \frac{7}{15}(x - 1) \implies -45 = 7(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{45}{7} \implies x = 1 - \frac{45}{7} = -\frac{38}{7}$. अतः $N = (-\frac{38}{7}, 0)$.
$TN = |\frac{12}{5} - (-\frac{38}{7})| = |\frac{12}{5} + \frac{38}{7}| = |\frac{84 + 190}{35}| = \frac{274}{35}$.

(C) रेखा $y = x - 3$ की ढाल $m = 1$ है।
चूंकि बिंदु $P(x_1, y_1)$ वक्र $y = x^2 - x + 1$ पर रेखा के सबसे निकटतम बिंदु है,इसलिए $P$ पर स्पर्शरेखा दी गई रेखा के समानांतर होनी चाहिए।
अतः,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ का मान $1$ के बराबर होना चाहिए।
$2x_1 - 1 = 1 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$.
वक्र के समीकरण में $x_1 = 1$ रखने पर: $y_1 = (1)^2 - 1 + 1 = 1$.
अतः,बिंदु $P$ $(1, 1)$ है।
बिंदु $P(1, 1)$ से रेखा $3x + 4y - 2 = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$d = \frac{|3(1) + 4(1) - 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 - 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$.

(B) दिए गए वक्र $y^2 = 12x - 3$ और $y^2 = 12 - kx$ हैं।
मान लीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
$y^2 = 12x - 3$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 12 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$। मान लीजिए $m_1 = \frac{6}{y_1}$।
$y^2 = 12 - kx$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = -k \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{k}{2y}$। मान लीजिए $m_2 = -\frac{k}{2y_1}$।
चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं,$m_1 m_2 = -1 \implies (\frac{6}{y_1})(-\frac{k}{2y_1}) = -1 \implies \frac{3k}{y_1^2} = 1 \implies y_1^2 = 3k$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ पर,$12x_1 - 3 = 12 - kx_1 \implies x_1(12 + k) = 15 \implies x_1 = \frac{15}{12+k}$।
साथ ही $y_1^2 = 12 - kx_1 = 3k \implies 12 - k(\frac{15}{12+k}) = 3k \implies 12(12+k) - 15k = 3k(12+k) \implies 144 + 12k - 15k = 36k + 3k^2 \implies 3k^2 + 39k - 144 = 0 \implies k^2 + 13k - 48 = 0 \implies (k+16)(k-3) = 0$।
चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = 3$।
वक्र $y^2 = 12 - 3x$ है। $x = 1$ पर,$y^2 = 12 - 3(1) = 9 \implies y = 3$ ($b=3$ लेने पर)।
$(1, 3)$ पर ढाल $m = -\frac{3}{2(3)} = -\frac{1}{2}$ है।
उप-स्पर्शक की लंबाई $|\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{3}{-1/2}| = 6$ है।

(C) दिया गया वक्र $\frac{x^n}{a^n} + \frac{y^n}{b^n} = 2$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर,हम जाँचते हैं कि क्या यह वक्र पर स्थित है: $\frac{a^n}{a^n} + \frac{b^n}{b^n} = 1 + 1 = 2$. अतः,$(a, b)$ वक्र पर स्थित है।
समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{n x^{n-1}}{a^n} + \frac{n y^{n-1}}{b^n} \frac{dy}{dx} = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{n-1}}{a^n} \cdot \frac{b^n}{y^{n-1}} = -\frac{b^n x^{n-1}}{a^n y^{n-1}}$.
बिंदु $(a, b)$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{b^n a^{n-1}}{a^n b^{n-1}} = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होती है।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ है,जिसे सरल करने पर $ay - ab = -bx + ab$ अर्थात $bx + ay = 2ab$ प्राप्त होता है।
$ab$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,यह रेखा $n > 1$ के सभी मानों के लिए एक स्पर्शरेखा है।

(D) दिया गया वक्र $y = x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x + 3$ है।
हमें समय $t$ के सापेक्ष ढाल $m$ के परिवर्तन की दर $\frac{dm}{dt}$ ज्ञात करनी है।
$x$ के सापेक्ष $m$ का अवकलन करने पर,$\frac{dm}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x + 3) = 6x - 4$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$\frac{dm}{dt} = \frac{dm}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = (6x - 4) \frac{dx}{dt}$।
बिंदु $(2, 4)$ पर,$x = 2$ है।
$x = 2$ रखने पर,$\frac{dm}{dt} = (6(2) - 4) \frac{dx}{dt} = (12 - 4) \frac{dx}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार $\frac{dm}{dt} = k \cdot \frac{dx}{dt}$ है।
तुलना करने पर,$k = 8$ प्राप्त होता है।

(D) शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है। $h = 9$ दिए जाने पर,$V = \frac{1}{3} \pi r^2 (9) = 3 \pi r^2$ होता है।
आयतन में सटीक परिवर्तन: $\Delta V = V(2.12) - V(2) = 3 \pi (2.12)^2 - 3 \pi (2)^2 = 3 \pi (4.4944 - 4) = 3 \pi (0.4944) = 1.4832 \pi$.
आयतन में अनुमानित परिवर्तन: $dV = \frac{dV}{dr} \Delta r$.
चूंकि $V = 3 \pi r^2$,इसलिए $\frac{dV}{dr} = 6 \pi r$ होता है।
$r = 2$ और $\Delta r = 2.12 - 2 = 0.12$ के लिए,$dV = 6 \pi (2) (0.12) = 12 \pi (0.12) = 1.44 \pi$.
अतः,सटीक परिवर्तन $1.4832 \pi$ है और अनुमानित परिवर्तन $1.44 \pi$ है।

(C) कण की दूरी $S = f(t) = t^3 - 5t^2 + 8t$ द्वारा दी गई है।
वेग $v(t)$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी का प्रथम अवकलज है:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 5t^2 + 8t) = 3t^2 - 10t + 8$.
त्वरण $a(t)$,समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 10t + 8) = 6t - 10$.
$t = 5 \text{ sec}$ पर त्वरण ज्ञात करने के लिए,त्वरण समीकरण में $t = 5$ रखें:
$a(5) = 6(5) - 10 = 30 - 10 = 20 \text{ cm/sec}^2$.
अतः,$t = 5 \text{ sec}$ पर कण का त्वरण $20 \text{ cm/sec}^2$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रेक्षक की स्थिति मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है। गुब्बारा $y = 30 \ m$ की स्थिर ऊँचाई पर है। मान लीजिए कि समय $t$ पर इसकी क्षैतिज स्थिति $x(t)$ है। दिया गया है कि गुब्बारा $1 \ m/s$ की दर से क्षैतिज रूप से गति कर रहा है,इसलिए $x(t) = 1 \cdot t = t$ (मानते हुए कि $t=0$ पर यह $x=0$ पर है)।
प्रेक्षक से गुब्बारे की दूरी $s = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{t^2 + 30^2}$ द्वारा दी जाती है।
यह ज्ञात करने के लिए कि गुब्बारा किस दर से प्रेक्षक से दूर जा रहा है,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t^2 + 30^2}} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 30^2}}$.
$t = 40 \ s$ पर:
$\frac{ds}{dt} = \frac{40}{\sqrt{40^2 + 30^2}} = \frac{40}{\sqrt{1600 + 900}} = \frac{40}{\sqrt{2500}} = \frac{40}{50} = 0.8 \ m/s$.
अतः,दर $0.8 \ m/s$ है।

(B) माना $H = 15 \text{ ft}$ प्रकाश की ऊँचाई है और $h = 5 \text{ ft}$ व्यक्ति की ऊँचाई है।
माना $x$ प्रकाश स्रोत से व्यक्ति की दूरी है और $s$ उसकी परछाई की लंबाई है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,$\frac{s}{h} = \frac{x+s}{H}$.
मान रखने पर,$\frac{s}{5} = \frac{x+s}{15} \implies 3s = x + s \implies 2s = x$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2 \frac{ds}{dt} = \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{ds}{dt} = \frac{11}{5} \text{ ft/sec}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = 2 \times \frac{11}{5} = \frac{22}{5} \text{ ft/sec}$.
$\frac{dx}{dt}$ को $\text{miles/hour}$ में बदलने के लिए,$\frac{22}{5} \text{ ft/sec} = \frac{22}{5} \times 3600 \text{ ft/hour} = \frac{22 \times 3600}{5 \times 5280} \text{ miles/hour}$.
इसकी गणना करने पर,$\frac{79200}{26400} = 3 \text{ miles/hour}$.
अतः,$K = 3$.

(D) दिया गया है: माप में त्रुटि $\Delta x = 0.03 \text{ cm}$. चूँकि $1 \text{ foot} = 30.48 \text{ cm}$,फीट में त्रुटि $\Delta x = \frac{0.03}{30.48} \text{ feet} \approx 0.001 \text{ feet}$.
बेलन की ऊँचाई $h = 3.5 \text{ feet}$,गोले का व्यास $d = 3.5 \text{ feet}$,इसलिए त्रिज्या $r = 1.75 \text{ feet}$.
चूँकि त्रिज्या समान है,$r = 1.75 \text{ feet}$ लें।
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_1 = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 18.375\pi$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_2 = 4\pi r^2 = 12.25\pi$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = S_1 + S_2 = 30.625\pi$.
अनुमानित त्रुटि $\Delta S = \frac{dS}{dr} \Delta r$.
$S = 6\pi r^2 + 2\pi rh$ होने के कारण,$\frac{dS}{dr} = 12\pi r + 2\pi h = 28\pi$.
$\Delta S = 28\pi \times 0.001 = 0.028\pi \approx 0.1925 \text{ sq feet}$ (गणना के अनुसार)।

(A) मान लीजिए $x$ दीवार से सिरे $A$ की दूरी है और $y$ फर्श से सिरे $B$ की ऊंचाई है। छड़ की लंबाई स्थिर है,इसलिए $x^2 + y^2 = 41^2 = 1681$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,जो $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है $\frac{dx}{dt} = 3 \ ft/min$. जब $y = 9$,तो $x^2 + 9^2 = 1681 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40 \ ft$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $40(3) + 9 \frac{dy}{dt} = 0 \implies 9 \frac{dy}{dt} = -120 \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{40}{3} \ ft/min$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}xy$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( 40 \times (-\frac{40}{3}) + 9 \times 3 \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1600}{3} + 27 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1600 + 81}{3} \right) = -\frac{1519}{6} \ ft^2/min$.

(C) माना व्यास $D = 14 \ cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 7 \ cm$ है। व्यास में त्रुटि $\Delta D = 0.02 \ cm$ है,इसलिए त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = 0.01 \ cm$ है।
अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = 45^{\circ}$ दिया गया है,अतः शंकु की ऊँचाई $h = \frac{r}{\tan(\alpha)} = \frac{r}{\tan(45^{\circ})} = r$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^3$ है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dr} = \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ है।
मान रखने पर,$\Delta V \approx \pi \times (7)^2 \times 0.01 = 49 \pi \times 0.01 = 0.49 \pi$।
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\Delta V \approx 0.49 \times \frac{22}{7} = 0.07 \times 22 = 1.54 \ cm^3$ प्राप्त होता है।

(C) माना शंकु की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है। अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \pi / 3$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(\alpha) = r / h$,इसलिए $r = h \tan(\pi / 3) = h \sqrt{3}$।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$r = h \sqrt{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{1}{3} \pi (h \sqrt{3})^2 h = \pi h^3$ प्राप्त होता है।
चूँकि आयतन $V$ स्थिर है,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$2rh \frac{dr}{dt} = -r^2 \frac{dh}{dt}$,जो सरल होकर $\frac{dr}{dt} = -\frac{r}{2h} \frac{dh}{dt}$ हो जाता है।
दिया है कि $\frac{dh}{dt} = 2$ और $r = h \sqrt{3}$,इसलिए $\frac{dr}{dt} = -\frac{h \sqrt{3}}{2h} (2) = -\sqrt{3}$।
अतः,त्रिज्या के घटने की दर $\sqrt{3} \text{ units/min}$ है।

(A) माना $r$ त्रिज्या है और $A$ वृत्त का क्षेत्रफल है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln A = \ln \pi + 2 \ln r$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{A} = 2 \frac{dr}{r}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ दी गई है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{dr}{r} \times 100)$ है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times 3\% = 6\%$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $6\%$ है।

(B) फलन $f(x) = x + \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,फलन के सुपरिभाषित होने के लिए,हमें $\frac{x-1}{x+1} > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$।
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = 1 + \frac{d}{dx} [\log(x-1) - \log(x+1)]$
$f'(x) = 1 + \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$
$f'(x) = 1 + \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)}$
$f'(x) = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}$
$f'(x) = \frac{x^2 - 1 + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 + 1 > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न हर $x^2 - 1$ पर निर्भर करता है।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$x^2 > 1$,इसलिए $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$। अतः,$f$ अंतराल $(1, \infty)$ में वर्धमान है।
$x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$x^2 > 1$,इसलिए $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$। अतः,$f$ अंतराल $(-\infty, -1)$ में वर्धमान है।
इसलिए,$f$ अपने प्रांत में एकदिष्ट वर्धमान फलन है।