a त्रिज्या वाले सभी वृत्तों के परिवार का अवकल | vedclass

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Question

(B) त्रिज्या और केंद्र $(h, k)$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ है। चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $h$ और $k$ हैं,इसलिए हम

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$(1 + y_1^2)^3 = a^2 y_2^2$

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(B) त्रिज्या और केंद्र $(h, k)$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ है। चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $h$ और $k$ हैं,इसलिए हम $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करेंगे। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x - h) + 2(y - k)y_1 = 0$,जिसका अर्थ है $(x - h) = -(y - k)y_1$. पुनः अवकलन करने पर: $1 + y_1^2 + (y - k)y_2 = 0$,इसलिए $(y - k) = -\frac{1 + y_1^2}{y_2}$. $(y - k)$ का मान पहले अवकलित समीकरण में रखने पर: $(x - h) = -(-\frac{1 + y_1^2}{y_2})y_1 = \frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2}$. अब $(x - h)$ और $(y - k)$ के मानों को मूल वृत्त समीकरण में रखने पर: $(\frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2})^2 + (-\frac{1 + y_1^2}{y_2})^2 = a^2$. इसे सरल करने पर: $\frac{y_1^2(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} + \frac{(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} = a^2$. $(1 + y_1^2)^2$ को कॉमन लेने पर: $\frac{(1 + y_1^2)^2 (y_1^2 + 1)}{y_2^2} = a^2$. अतः,$(1 + y_1^2)^3 = a^2 y_2^2$ प्राप्त होता है।

$a$ त्रिज्या वाले सभी वृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण क्या है?

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$x$-अक्ष पर नाभियों और मूलबिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण बनाइए।

$y$-अक्ष पर नाभियों और मूलबिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

समतल में मूल बिंदु पर $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार के संगत अवकल समीकरण है:

$y = A + Bx + C{e^{ - x}}$ से स्वेच्छ अचरों $A, B$ और $C$ का विलोपन करने पर प्राप्त अवकल समीकरण है:

$y=a \sin (x+b)$ वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए,जहाँ $a$ और $b$ स्वेच्छ अचर हैं।

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