TS EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ के लिए,$a=5$ और $b=4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब का सिरा $(ae, \frac{b^2}{a}) = (3, 3.2)$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{25x}{3} - \frac{16y}{3.2} = 9 \implies 25x - 15y = 27$.
यहाँ $l=25, m=-15$ है,इसलिए $l+m=10$।
चूँकि $e=0.6$,इसलिए $\frac{6}{e} = \frac{6}{0.6} = 10$।
अतः,$l+m = \frac{6}{e}$।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $P$ को $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ माना जा सकता है। यहाँ $a^2=9$ और $b^2=4$ है,इसलिए $a=3, b=2$ है। अतः $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ है।
सहायक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 = 9$ है। $P$ के संगत सहायक वृत्त पर बिंदु $Q$ का मान $(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ है।
$P(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ पर दीर्घवृत्त का अभिलंब $\frac{3x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 5$ है।
$Q(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ पर वृत्त का अभिलंब $x \sin \theta - y \cos \theta = 0$ है।
$R = (h, k)$ मानते हुए,दोनों समीकरणों को हल करने पर हमें $\cos \theta = \frac{h}{5}$ और $\sin \theta = \frac{k}{5}$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$h^2 + k^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$R$ का बिंदु पथ $x^2 + y^2 = 25$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ और रेखा $y = x + 1$ दी गई है।
$y = x + 1$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2}{4} + (x + 1)^2 = 1$
$\frac{x^2}{4} + x^2 + 2x + 1 = 1$
$\frac{5x^2}{4} + 2x = 0$
$x(\frac{5x}{4} + 2) = 0$
अतः,$x_1 = 0$ और $x_2 = -\frac{8}{5}$.
संगत $y$ मान $y_1 = 1$ और $y_2 = -\frac{3}{5}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(0, 1)$ और $Q(-\frac{8}{5}, -\frac{3}{5})$ हैं।
जीवा $PQ$ की लंबाई $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
लंबाई $= \sqrt{(-\frac{8}{5})^2 + (-\frac{8}{5})^2} = \sqrt{\frac{128}{25}} = \frac{8\sqrt{2}}{5}$.

(A) $f(x) = -3x^2+4x+1$ के लिए,अधिकतम मान $l$,$x = -b/(2a) = -4/(2 \times -3) = 2/3$ पर प्राप्त होता है।
$l = f(2/3) = -3(4/9) + 4(2/3) + 1 = 7/3$.
$g(x) = 3x^2+4x+1$ के लिए,न्यूनतम मान $m$,$x = -4/(2 \times 3) = -2/3$ पर प्राप्त होता है।
$m = g(-2/3) = 3(4/9) + 4(-2/3) + 1 = -1/3$.
नाभियाँ $(l, 0) = (7/3, 0)$ और $(7m, 0) = (-7/3, 0)$ हैं।
अतिपरवलय का केंद्र $(0, 0)$ है। नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 14/3$ है।
$e = 2$ दिया गया है,इसलिए $4a = 14/3 \implies a = 7/6$.
$b^2 = a^2(e^2-1) = (49/36)(3) = 49/12$.
अतिपरवलय का समीकरण $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ है।
$36x^2 - 12y^2 = 49$.

(B) प्रथम अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष $2a$ और संयुग्मी अक्ष $2b$ है। दिया गया है $2a = 2(2b)$,अतः $a = 2b$। उत्केंद्रता $x$ का मान $x^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{(2b)^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ है।
दूसरे अतिपरवलय के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है और नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ है। दिया गया है $2ae = 3 \times \frac{2a}{e}$,जो सरल होकर $e^2 = 3$ देता है। अतः,$y^2 = 3$।
इसलिए,$y^2 - x^2 = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12-5}{4} = \frac{7}{4}$।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$,अतः $a = 3$. नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं और शीर्ष $(\pm a, 0)$ हैं।
माना नाभि $S(ae, 0)$ है और दूरस्थ शीर्ष $A'(-a, 0)$ है।
नाभिलंब की रेखा $x = ae$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $L(ae, \frac{b^2}{a})$ और $L'(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
सदिश $\vec{A'L} = (a(e+1), \frac{b^2}{a})$ और $\vec{A'L'} = (a(e+1), -\frac{b^2}{a})$ हैं।
चूँकि $\angle L A' L' = 90^\circ$ है,उनका अदिश गुणनफल $0$ होगा।
$a^2(e+1)^2 - \frac{b^4}{a^2} = 0 \implies a^4(e+1)^2 = b^4$.
$b^2 = a^2(e^2-1)$ होने के कारण,$b^4 = a^4(e-1)^2(e+1)^2$.
अतः,$1 = (e-1)^2 \implies e = 2$.
$b^2 = 9(2^2-1) = 27$.

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 16$,अतः $a = 3$ और $b = 4$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1) = (3 \sqrt{2}, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x x_1}{a^2} - \frac{y y_1}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,$\frac{x(3 \sqrt{2})}{9} - \frac{y(4)}{16} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x \sqrt{2}}{3} - \frac{y}{4} = 1$ हो जाता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ है।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e} = \frac{3}{5/3} = \frac{9}{5}$ है।
चूँकि बिंदु $Q(\alpha, \beta)$ नियता पर स्थित है,$\alpha = \frac{9}{5}$ है।
स्पर्श रेखा के समीकरण में $x = \frac{9}{5}$ रखने पर: $\frac{(9/5) \sqrt{2}}{3} - \frac{y}{4} = 1$.
$\frac{3 \sqrt{2}}{5} - \frac{y}{4} = 1 \implies \frac{y}{4} = \frac{3 \sqrt{2} - 5}{5}$.
अतः,$y = \beta = \frac{12 \sqrt{2} - 20}{5}$।

(B) दिए गए समीकरण:
$x^2+y^2=4$
$xy=\sqrt{3}$
वृत्त के समीकरण में $y=\frac{\sqrt{3}}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + \frac{3}{x^2} = 4$
$x^4 - 4x^2 + 3 = 0$
$(x^2-3)(x^2-1) = 0$
अतः,$x^2=3$ या $x^2=1$.
चूंकि $\alpha > \beta > 0$,हमें $x^2=3$ और $y^2=1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha = \sqrt{3}$ और $\beta = 1$.
बिंदु $P = (\sqrt{3}, 1)$.
अतिपरवलय $xy=c^2$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xy_1 + yx_1 = 2c^2$ है।
यहाँ $c^2 = \sqrt{3}$,$x_1 = \sqrt{3}$,$y_1 = 1$.
अतः,$x(1) + y(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.
$x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ हैं।
अतिपरवलय पर स्थित किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से इन अनंतस्पर्शी तक की लंबवत दूरियों का गुणनफल $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ होता है।
दिया गया है कि यह गुणनफल $\frac{36}{13}$ है,इसलिए $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{36}{13}$।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ होता है।
$e = \frac{\sqrt{13}}{3}$ दिया गया है,इसलिए $e^2 = \frac{13}{9}$।
अतः,$\frac{a^2 + b^2}{a^2} = \frac{13}{9}$,जिसका अर्थ है $9(a^2 + b^2) = 13a^2$,यानी $9b^2 = 4a^2$।
इससे,$b^2 = \frac{4}{9}a^2$,यानी $b = \frac{2}{3}a$।
$b^2 = \frac{4}{9}a^2$ को गुणनफल के समीकरण में रखने पर: $\frac{a^2 (\frac{4}{9}a^2)}{a^2 + \frac{4}{9}a^2} = \frac{36}{13}$।
$\frac{\frac{4}{9}a^4}{\frac{13}{9}a^2} = \frac{36}{13} \implies \frac{4}{13}a^2 = \frac{36}{13} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$।
अतः $b = \frac{2}{3}(3) = 2$।
इसलिए,$a - b = 3 - 2 = 1$।

(D) दिए गए वक्र एक अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ और एक वृत्त $x^2+y^2=16$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
अतिपरवलय की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{16m^2 - 9}$ है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=16$ (जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=4$ है) की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|\pm \sqrt{16m^2 - 9}|}{\sqrt{m^2+1}} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{16m^2 - 9}{m^2+1} = 16$।
$16m^2 - 9 = 16m^2 + 16$।
$-9 = 16$,जो असंभव है।
यह दर्शाता है कि $m$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए अतिपरवलय की स्पर्श रेखा वृत्त की भी स्पर्श रेखा हो।
हालाँकि,हमें ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाओं की जाँच करनी चाहिए। अतिपरवलय की ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाएँ $x = \pm 4$ पर हैं।
वृत्त $x^2+y^2=16$ की भी ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाएँ $x = \pm 4$ पर हैं।
अतः,रेखाएँ $x=4$ और $x=-4$ दोनों वक्रों के लिए उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
इसलिए,कुल $2$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।

(D) माना $x = 3 - h$,जहाँ $h \rightarrow 0^{+}$.
जैसे $x \rightarrow 3^{-}$,$|x| = x = 3 - h$ और $|3-x| = |3-(3-h)| = |h| = h$.
साथ ही,$[3x-9] = [3(3-h)-9] = [9-3h-9] = [-3h]$। चूँकि $h > 0$,$-3h$ एक छोटी ऋणात्मक संख्या है,इसलिए $[-3h] = -1$।
और $[9-3x] = [9-3(3-h)] = [9-9+3h] = [3h]$। चूँकि $h > 0$,$3h$ एक छोटी धनात्मक संख्या है,इसलिए $[3h] = 0$।
इन मानों को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{(3-(3-h)+\sin h) \cos(0)}{h(-1)} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{(h+\sin h)(1)}{-h} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} -\left(1 + \frac{\sin h}{h}\right) = -(1+1) = -2$.

(D) सबसे पहले,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x(a^x - 1)}{1 - \cos x}$ का मान ज्ञात करें।
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$ और $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए,$f(x) = 2 \log a$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x(1 - a^x)}{a^x(\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 + x^2})}$ का मान ज्ञात करें।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 + x^2} = \frac{-2x^2}{\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 + x^2}}$.
अतः,$g(x) = \frac{a^x - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 + x^2}}{2 a^x}$.
$x \to 0$ पर सीमा लेने पर,$\lim_{x \to 0} g(x) = (\log a) \cdot \frac{2}{2} = \log a$.
अंत में,$\lim_{x \to 0} (f(x) - g(x)) = 2 \log a - \log a = \log a$.

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x^3}-\left(1-x^3\right)^{2 / 3}}{x^2 \sin x}$ है।
चूँकि $x \rightarrow 0$ होने पर $\sin x \approx x$, व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x^3}-\left(1-x^3\right)^{2 / 3}}{x^3}$ बन जाता है।
श्रेणी विस्तार $a^u = 1 + u \ln a + O(u^2)$ और $(1+u)^n = 1 + nu + O(u^2)$ का उपयोग करने पर:
$3^{x^3} = 1 + x^3 \ln 3 + O(x^6)$
$(1-x^3)^{2/3} = 1 - \frac{2}{3}x^3 + O(x^6)$
इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x^3 \ln 3) - (1 - \frac{2}{3}x^3)}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3(\ln 3 + \frac{2}{3})}{x^3} = \ln 3 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} + \log_e 3$.
इसकी तुलना $p + \log q$ से करने पर, हमें $p = \frac{2}{3}$ और $q = 3$ प्राप्त होता है।
अतः, $pq = \frac{2}{3} \times 3 = 2$.

(B) $\text{माना } L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x)^{1/2} - (\cos x)^{1/3}}{\sin ^2 x}$ $\text{है।}$
$x \rightarrow 0$ $\text{होने पर } \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ $\text{और } \sin x \approx x$ $\text{के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{2})^{1/2} - (1 - \frac{x^2}{2})^{1/3}}{x^2}$।
$\text{छोटे } u \text{ के लिए द्विपद विस्तार } (1+u)^n \approx 1 + nu$ $\text{का उपयोग करने पर:}$
$(1 - \frac{x^2}{2})^{1/2} \approx 1 - \frac{1}{2}(\frac{x^2}{2}) = 1 - \frac{x^2}{4}$।
$(1 - \frac{x^2}{2})^{1/3} \approx 1 - \frac{1}{3}(\frac{x^2}{2}) = 1 - \frac{x^2}{6}$।
$\text{इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{4}) - (1 - \frac{x^2}{6})}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{6}}{x^2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{-3 + 2}{12} = -\frac{1}{12}$।

(A) हमें $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{11-[2-x]}{[x+10]}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$x \rightarrow 3^-$ के लिए बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ पर विचार करें:
जैसे $x \rightarrow 3^-$,$x$ का मान $3$ से थोड़ा कम है,इसलिए $2-x$ का मान $-1$ से थोड़ा अधिक है। अतः,$[2-x] = -1$.
साथ ही,$x+10$ का मान $13$ से थोड़ा कम है,इसलिए $[x+10] = 12$.
$LHL = \lim _{x \rightarrow 3^-} \frac{11-(-1)}{12} = \frac{12}{12} = 1$.
अब,$x \rightarrow 3^+$ के लिए दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ पर विचार करें:
जैसे $x \rightarrow 3^+$,$x$ का मान $3$ से थोड़ा अधिक है,इसलिए $2-x$ का मान $-1$ से थोड़ा कम है। अतः,$[2-x] = -2$.
साथ ही,$x+10$ का मान $13$ से थोड़ा अधिक है,इसलिए $[x+10] = 13$.
$RHL = \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{11-(-2)}{13} = \frac{13}{13} = 1$.
चूंकि $LHL = RHL = 1$,सीमा का अस्तित्व है और इसका मान $1$ है।

(A) चरण $1$: डेटा को $x_i$ के आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $x_i: 2, 3, 5, 7, 8, 9$ और $f_i: 5, 6, 6, 1, 1, 3$.
चरण $2$: संचयी आवृत्ति $(cf)$ की गणना करें: $5, 11, 17, 18, 19, 22$. कुल $N = 22$.
चरण $3$: माध्यिका $(\frac{N}{2})^{th}$ और $(\frac{N}{2} + 1)^{th}$ प्रेक्षण का मान है,जो $11$वां और $12$वां प्रेक्षण है। $11$वां प्रेक्षण $3$ है और $12$वां प्रेक्षण $5$ है। माध्यिका $M = \frac{3+5}{2} = 4$.
चरण $4$: $|x_i - M|$ की गणना करें: $|2-4|=2, |3-4|=1, |5-4|=1, |7-4|=3, |8-4|=4, |9-4|=5$.
चरण $5$: $\sum f_i |x_i - M| = (5 \times 2) + (6 \times 1) + (6 \times 1) + (1 \times 3) + (1 \times 4) + (3 \times 5) = 10 + 6 + 6 + 3 + 4 + 15 = 44$.
चरण $6$: माध्यिका से माध्य विचलन = $\frac{\sum f_i |x_i - M|}{N} = \frac{44}{22} = 2$.

(D) चरण $1$: डेटा का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें।
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 22}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
चरण $2$: माध्य से निरपेक्ष विचलन $|x_i - \bar{x}|$ की गणना करें।
$|2 - 11| = 9, |3 - 11| = 8, |5 - 11| = 6, |7 - 11| = 4, |11 - 11| = 0, |13 - 11| = 2, |17 - 11| = 6, |19 - 11| = 8, |22 - 11| = 11$.
चरण $3$: इन निरपेक्ष विचलनों का माध्य ज्ञात करें।
$\text{माध्य विचलन} = \frac{9 + 8 + 6 + 4 + 0 + 2 + 6 + 8 + 11}{9} = \frac{54}{9} = 6$.

(D) $1$. वर्ग अंतराल के मध्य बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करें: $1, 3, 5, 7, 9$.
$2$. आवृत्तियाँ $(f_i)$ $2, 3, 5, 3, 2$ हैं। कुल आवृत्ति $N = 15$.
$3$. माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें: $\bar{x} = \frac{75}{15} = 5$.
$4$. प्रसरण $(\sigma^2)$ ज्ञात करें: $\sigma^2 = \frac{88}{15}$.
$5$. मानक विचलन $(\sigma)$ = $\sqrt{\frac{88}{15}}$.
$6$. विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $D$ है।

(C) चरण $1$: माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें।
$\bar{x} = \frac{3+4+5+6+7+8+10+13}{8} = \frac{56}{8} = 7$.
चरण $2$: माध्य से विचलनों के वर्ग $(x_i - \bar{x})^2$ ज्ञात करें।
$(3-7)^2 = 16, (4-7)^2 = 9, (5-7)^2 = 4, (6-7)^2 = 1, (7-7)^2 = 0, (8-7)^2 = 1, (10-7)^2 = 9, (13-7)^2 = 36$.
चरण $3$: प्रसरण $(\sigma^2)$ ज्ञात करें।
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{16+9+4+1+0+1+9+36}{8} = \frac{76}{8} = 9.5$.

(C) दी गई संख्याएँ $3x, 6x, 9x, \ldots, 81x$ हैं। यह $n = 27$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है।
चूँकि $n = 27$ विषम है,माध्यिका $\frac{n+1}{2}$-वाँ पद है,जो कि $14$-वाँ पद है।
$14$-वाँ पद $3x \times 14 = 42x$ है।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \text{Median}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\text{MD} = \frac{1}{27} \sum_{k=1}^{27} |3kx - 42x| = \frac{3|x|}{27} \sum_{k=1}^{27} |k - 14| = \frac{|x|}{9} [\sum_{k=1}^{13} (14-k) + \sum_{k=15}^{27} (k-14)]$.
योग की गणना करने पर: $\sum_{k=1}^{13} (14-k) = 13+12+\ldots+1 = 91$.
इसी प्रकार,$\sum_{k=15}^{27} (k-14) = 1+2+\ldots+13 = 91$.
अतः,$\text{MD} = \frac{|x|}{9} (91 + 91) = \frac{|x|}{9} \times 182 = 91$.
इस प्रकार,$\frac{|x|}{9} \times 2 = 1 \implies |x| = \frac{9}{2}$.

(B) माना $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है। शीर्षलंब $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ हैं।
अतः,$\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4\Delta^2}$.
यहाँ $a=4, b=5, c=6$,अर्ध-परिमाप $s = 7.5$ है।
हेरोन के सूत्र से,$\Delta = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.
अतः $4\Delta^2 = \frac{1575}{4}$.
अंश $a^2 + b^2 + c^2 = 16 + 25 + 36 = 77$ है।
परिणाम $\frac{77}{1575/4} = \frac{308}{1575} = \frac{44}{225}$।

(A) त्रिभुज की भुजाएँ $a=3, b=5, c=7$ हैं।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$C = 120^\circ$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}(3)(5) \sin(120^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times (\frac{15\sqrt{3}}{4})} = \frac{7}{\sqrt{3}}$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$c^2 - a^2 = \sqrt{3}bc - b^2$ $(1)$
$b^2 - a^2 = c^2 - ac$ $(2)$
$(1)$ से,$a^2 = c^2 + b^2 - \sqrt{3}bc$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
तुलना करने पर,$2bc \cos A = \sqrt{3}bc \implies \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = 30^{\circ}$.
$(2)$ से,$a^2 = b^2 - c^2 + ac$.
साइन नियम के अनुसार,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$.
इन मानों को $(2)$ में रखने पर: $\sin^2 B - \sin^2 A = \sin^2 C - \sin A \sin C$.
$A = 30^{\circ}$ लेने पर,$\sin A = 1/2$.
$\sin^2 B - 1/4 = \sin^2 C - \frac{1}{2} \sin C$.
चूंकि $B = 180^{\circ} - (A+C) = 150^{\circ} - C$,$\sin B = \sin(150^{\circ}-C) = \frac{1}{2} \cos C + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin C$.
इस मान को रखकर $C$ के लिए हल करने पर $C = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करके,हम $\cos A, \cos B, \cos C$ के मान ज्ञात करते हैं:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{25+49-9}{2(5)(7)} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{9+49-25}{2(3)(7)} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{9+25-49}{2(3)(5)} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$
हेरोन के सूत्र का उपयोग करके,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ जहाँ $s = \frac{3+5+7}{2} = 7.5 = \frac{15}{2}$.
$\Delta = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
चूंकि $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$,इसलिए:
$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta} = \frac{9+25+49}{4(\frac{15\sqrt{3}}{4})} = \frac{83}{15\sqrt{3}}$.

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
बाह्य त्रिज्याओं के सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करते हुए,दी गई शर्त $r_3^2 = r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1$ को हल करने पर $b = a$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
दिया गया है $r_1=4, r_2=8, r_3=24$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta} = \frac{1}{4}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta} = \frac{1}{8}$,और $\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta} = \frac{1}{24}$।
इन्हें जोड़ने पर,$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{3s-(a+b+c)}{\Delta} = \frac{3s-2s}{\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$।
अतः,$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{6+3+1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{12}{5}$।
अब,$\frac{s-a}{\Delta} = \frac{1}{4} \implies s-a = \frac{\Delta}{4} = \frac{rs}{4} = \frac{(12/5)s}{4} = \frac{3s}{5} \implies a = s - \frac{3s}{5} = \frac{2s}{5}$।
इसी प्रकार,$s-b = \frac{\Delta}{8} = \frac{(12/5)s}{8} = \frac{3s}{10} \implies b = s - \frac{3s}{10} = \frac{7s}{10}$।
और $s-c = \frac{\Delta}{24} = \frac{(12/5)s}{24} = \frac{s}{10} \implies c = s - \frac{s}{10} = \frac{9s}{10}$।
अतः,$a:b:c = \frac{2s}{5} : \frac{7s}{10} : \frac{9s}{10} = 4:7:9$।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,बाह्य त्रिज्याएँ $r_2 = s \tan \left(\frac{B}{2}\right)$ और $r_3 = s \tan \left(\frac{C}{2}\right)$ होती हैं।
$r_2 + r_3 = a \cot \left(\frac{A}{2}\right)$ होता है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$a = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)$ है।
अतः,$(r_2 + r_3) \operatorname{cosec}^2 \left(\frac{A}{2}\right) = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 \left(\frac{A}{2}\right)} = 4R \cot \left(\frac{A}{2}\right)$।

(D) पर समकोण त्रिभुज $ABC$ में,भुजाएँ $a$ ($A$ के सम्मुख),$c$ ($C$ के सम्मुख),और $b$ (कर्ण,$B$ के सम्मुख) हैं।
दिया गया है $a = 13$ और $c = 84$।
कर्ण $b = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{13^2 + 84^2} = \sqrt{169 + 7056} = \sqrt{7225} = 85$।
समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{a + c - b}{2} = \frac{13 + 84 - 85}{2} = \frac{12}{2} = 6$।
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{b}{2} = \frac{85}{2} = 42.5$।
अतः,$r + R = 6 + 42.5 = 48.5$।

(C) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
अतः,$\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}, \frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}, \frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$।
बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ हैं।
इस प्रकार,$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$।
गणना करने पर,$\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2} = \frac{25}{288}$ प्राप्त होता है।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,$AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है।
समान वृत्तखंड के कोण बराबर होने के कारण,$\triangle ABD \sim \triangle AEC$ है।
अतः,$\frac{AD}{AE} = \frac{c}{b}$ प्राप्त होता है।
$DE = AE - AD$ का उपयोग करके,हल करने पर $DE \cos \frac{A}{2} = \frac{a^2}{2(b+c)}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
सूत्र $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ का उपयोग करने पर,$\tan^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)} = \frac{7}{9}$.
यहाँ $a=5, b=4$ है,इसलिए $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+c}{2}$.
अतः $s-a = \frac{c-1}{2}$ और $s-b = \frac{c+1}{2}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{(\frac{c-1}{2})(\frac{c+1}{2})}{s(s-c)} = \frac{c^2-1}{4s(s-c)} = \frac{7}{9}$.
क्षेत्रफल के सूत्र $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ से,$r = \frac{\Delta}{s} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$.
$\tan \frac{C}{2} = \frac{r}{s-c}$ से,$r = (s-c) \tan \frac{C}{2}$.
गणना करने पर $c=6$ प्राप्त होता है। इसलिए $s = \frac{5+4+6}{2} = 7.5$.
$r = (s-c) \tan \frac{C}{2} = (7.5 - 6) \times \frac{\sqrt{7}}{3} = 1.5 \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

(A) दिया गया है कि $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log(1+\sqrt{2})$.
परिभाषा $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ का उपयोग करते हुए,हमें $x + \sqrt{x^2+1} = 1+\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
पदों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(1+\sqrt{2})$.
परिभाषा $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(y + \sqrt{y^2-1})$ का उपयोग करते हुए,हमें $y + \sqrt{y^2-1} = 1+\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इससे $y = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $\operatorname{Tan}^{-1}(x+y) = \operatorname{Tan}^{-1}(1+\sqrt{2})$ ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $\tan(67.5^{\circ}) = \tan(\frac{135^{\circ}}{2}) = \frac{1-\cos(135^{\circ})}{\sin(135^{\circ})} = \frac{1 - (-1/\sqrt{2})}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.
अतः,$\operatorname{Tan}^{-1}(1+\sqrt{2}) = 67.5^{\circ} = 67 \frac{1}{2}^{\circ}$।

(B) दिया गया है $x = \log_e 3$,अतः $e^x = 3$ है।
हम जानते हैं कि $\tanh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}}$ और $\operatorname{sech} 2x = \frac{2}{e^{2x} + e^{-2x}}$ होता है।
अतः,$\tanh 2x + \operatorname{sech} 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x} + 2}{e^{2x} + e^{-2x}}$।
चूँकि $e^x = 3$ है,इसलिए $e^{2x} = 9$ और $e^{-2x} = \frac{1}{9}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tanh 2x + \operatorname{sech} 2x = \frac{9 - \frac{1}{9} + 2}{9 + \frac{1}{9}} = \frac{98}{82} = \frac{49}{41}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं,जहाँ $a, b > 0$ है।
$(a, 0)$ और $(0, b)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(4, 9)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} + \frac{9}{b} = 1$ है।
हमें $S = a + b$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
समीकरण $\frac{4}{a} + \frac{9}{b} = 1$ से,$b = \frac{9a}{a-4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S(a) = a + \frac{9a}{a-4}$ है।
न्यूनतम मान के लिए,$a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $S'(a) = 1 - \frac{36}{(a-4)^2}$ प्राप्त होता है।
$S'(a) = 0$ रखने पर,$(a-4)^2 = 36$,जिससे $a-4 = 6$ (चूंकि $a > 4$),जो $a = 10$ देता है।
तब $b = \frac{9(10)}{10-4} = 15$ होगा।
न्यूनतम मान $S = a + b = 10 + 15 = 25$ है।

(C) माना $f(n) = 2^{4n+3} + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ के लिए,$f(1) = 2^{4(1)+3} + 3^{3(1)+1} = 2^7 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
$n = 2$ के लिए,$f(2) = 2^{4(2)+3} + 3^{3(2)+1} = 2^{11} + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
हम $209$ और $4235$ का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ ज्ञात करते हैं।
$209 = 11 \times 19$.
$4235 = 5 \times 7 \times 11^2$.
उभयनिष्ठ विभाजक $11$ है।
चूंकि $11$ एक विषम अभाज्य संख्या है,इसलिए $P = 11$ शर्त को पूरा करता है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2025}$ है।
इसे $\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2025}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $xy - 2025x - 2025y = 0$.
दोनों पक्षों में $2025^2$ जोड़ने पर,हमें $xy - 2025x - 2025y + 2025^2 = 2025^2$ प्राप्त होता है।
इसके गुणनखंड $(x - 2025)(y - 2025) = 2025^2$ होते हैं।
मान लीजिए $X = x - 2025$ और $Y = y - 2025$. तो $XY = 2025^2$.
चूंकि $2025 = 3^4 \times 5^2$,इसलिए $2025^2 = 3^8 \times 5^4$ है।
$2025^2$ के भाजकों की संख्या $(8+1)(4+1) = 9 \times 5 = 45$ है।
चूंकि $x, y > 0$,इसलिए $x > 2025$ और $y > 2025$ होना चाहिए,अतः $X, Y > 0$.
इस प्रकार,धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $45$ है।

(C) दिया गया समीकरण $||2x-3|-4|=2$ है।
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
स्थिति $1$: $|2x-3|-4 = 2 \implies |2x-3| = 6$.
यह आगे दो भागों में विभाजित होता है:
$2x-3 = 6 \implies 2x = 9 \implies x = 4.5$.
$2x-3 = -6 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
स्थिति $2$: $|2x-3|-4 = -2 \implies |2x-3| = 2$.
यह आगे दो भागों में विभाजित होता है:
$2x-3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$.
$2x-3 = -2 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.
मूल $4.5, -1.5, 2.5, 0.5$ हैं।
मूलों का योग $4.5 - 1.5 + 2.5 + 0.5 = 6$ है।

(D) माना $x-3 = y$,इसलिए $x = y+3$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(y+3)^3+3}{y^3} = \frac{y^3+9y^2+27y+27+3}{y^3} = \frac{y^3+9y^2+27y+30}{y^3} = 1 + \frac{9}{y} + \frac{27}{y^2} + \frac{30}{y^3}$.
इसे $a + \frac{b}{y} + \frac{c}{y^2} + \frac{d}{y^3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 1, b = 9, c = 27, d = 30$.
अब,$(a+d)-(b+c)$ की गणना करने पर:
$(1+30) - (9+27) = 31 - 36 = -5$.

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2-3}{(x+2)(x^2+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों को $(x+2)(x^2+1)$ से गुणा करने पर: $x^2-3 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+2)$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = -2$ रखें: $(-2)^2 - 3 = A((-2)^2 + 1) \implies 4-3 = A(4+1) \implies 1 = 5A \implies A = \frac{1}{5}$.
दाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2-3 = (A+B)x^2 + (2B+C)x + (A+2C)$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B = 1 \implies \frac{1}{5} + B = 1 \implies B = \frac{4}{5}$.
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2B+C = 0 \implies 2(\frac{4}{5}) + C = 0 \implies C = -\frac{8}{5}$.
अब $3A+2B-C = 3(\frac{1}{5}) + 2(\frac{4}{5}) - (-\frac{8}{5}) = \frac{3}{5} + \frac{8}{5} + \frac{8}{5} = \frac{19}{5}$.

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x+3}{(x+1)(x^2+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2+2}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)(x^2+2)$ से गुणा करने पर: $x+3 = a(x^2+2) + (bx+c)(x+1)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x+3 = ax^2 + 2a + bx^2 + bx + cx + c$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर: $x+3 = (a+b)x^2 + (b+c)x + (2a+c)$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $a+b = 0 \implies b = -a$
$2$) $b+c = 1$
$3$) $2a+c = 3$
$(2)$ में $b = -a$ रखने पर: $-a+c = 1 \implies c = a+1$.
$(3)$ में $c = a+1$ रखने पर: $2a + (a+1) = 3 \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$.
अतः $b = -\frac{2}{3}$ और $c = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
अंत में,$a-b+c = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

(B) माना $y = x^2$ है। व्यंजक $\frac{y+1}{(y+2)(y+3)} = \frac{Ay+B}{y+2} + \frac{Cy+D}{y+3}$ हो जाता है।
$\frac{y+1}{(y+2)(y+3)}$ के लिए आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{y+1}{(y+2)(y+3)} = \frac{P}{y+2} + \frac{Q}{y+3}$ प्राप्त होता है।
$y+1 = P(y+3) + Q(y+2)$.
$y = -2$ के लिए,$-2+1 = P(-2+3) \implies P = -1$.
$y = -3$ के लिए,$-3+1 = Q(-3+2) \implies -2 = -Q \implies Q = 2$.
अतः,$\frac{y+1}{(y+2)(y+3)} = \frac{-1}{y+2} + \frac{2}{y+3}$.
$y = x^2$ वापस रखने पर,हमें $\frac{-1}{x^2+2} + \frac{2}{x^2+3}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{Ax+B}{x^2+2} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$ से करने पर,$A=0, B=-1, C=0, D=2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A+B+C+D = 0 + (-1) + 0 + 2 = 1$.

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x+1}{x^3(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3} + \frac{d}{x-1}$.
दोनों पक्षों को $x^3(x-1)$ से गुणा करने पर: $x+1 = ax^2(x-1) + bx(x-1) + c(x-1) + dx^3$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x+1 = a(x^3 - x^2) + b(x^2 - x) + c(x-1) + dx^3$.
$x$ की घातों के अनुसार व्यवस्थित करने पर: $x+1 = (a+d)x^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
अचर पद: $-c = 1 \implies c = -1$.
$x$ का गुणांक: $c - b = 1 \implies -1 - b = 1 \implies b = -2$.
$x^2$ का गुणांक: $b - a = 0 \implies a = b = -2$.
$x^3$ का गुणांक: $a + d = 0 \implies d = -a = 2$.
मानों की जाँच करने पर: $a = -2, b = -2, c = -1, d = 2$.
हम देख सकते हैं कि $a = b = 2c = -d$ क्योंकि $-2 = -2 = 2(-1) = -(2)$।

(D) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x+1}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)^2(x^2+1)$ से गुणा करने पर: $3x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$.
$x=1$ रखने पर: $3(1)+1 = B(1^2+1) \implies 4 = 2B \implies B=2$.
दाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $3x+1 = A(x^3-x^2+x-1) + 2(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-2x+1)$.
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A+C \implies C = -A$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = -A+2+D-2C = -A+2+D+2A = A+D+2 \implies D = -A-2$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $1 = -A+2+D \implies -A+D = -1$.
$D = -A-2$ प्रतिस्थापित करने पर: $-A-A-2 = -1 \implies -2A = 1 \implies A = -1/2$.
अतः $C = 1/2$ और $D = -(-1/2)-2 = 1/2-2 = -3/2$.
हमें $2(A-C+B+D) = 2(-1/2 - 1/2 + 2 - 3/2) = 2(-1 + 2 - 1.5) = 2(-0.5) = -1$ की गणना करनी है।

(C) मान लीजिए कि बंदरगाह मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है।
$2 \text{ hours}$ के बाद,पहला जहाज $A$ बंदरगाह से $8 \times 2 = 16 \text{ km}$ की दूरी पर $E 50^{\circ} N$ दिशा में है।
दूसरा जहाज $B$ बंदरगाह से $12 \times 2 = 24 \text{ km}$ की दूरी पर $S 20^{\circ} E$ दिशा में है।
दोनों दिशाओं के बीच का कोण इस प्रकार है:
$E 50^{\circ} N$ दिशा पूर्व अक्ष से उत्तर की ओर $50^{\circ}$ है।
$S 20^{\circ} E$ दिशा दक्षिण अक्ष से पूर्व की ओर $20^{\circ}$ है।
पूर्व अक्ष और दक्षिण अक्ष के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,दोनों जहाजों के बीच का कुल कोण $\theta = 50^{\circ} + (90^{\circ} - 20^{\circ}) = 50^{\circ} + 70^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
$\triangle OAB$ में कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,जहाँ $OA = 16$,$OB = 24$,और $\angle AOB = 120^{\circ}$:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB) \cos(120^{\circ})$
$AB^2 = 16^2 + 24^2 - 2(16)(24)(-0.5)$
$AB^2 = 256 + 576 + 384 = 1216$
$AB = \sqrt{1216} = \sqrt{64 \times 19} = 8 \sqrt{19} \text{ km}$.

(C) चतुष्फलक के शीर्ष $O(0,0,0), A(3,1,4), B(1,3,2)$ और $C(0,4,-2)$ हैं।
चतुष्फलक का केंद्रक $G$ इसके शीर्षों का औसत है: $G = \left(\frac{0+3+1+0}{4}, \frac{0+1+3+4}{4}, \frac{0+4+2-2}{4}\right) = \left(1, 2, 1\right)$.
फलक $ABC$ का केंद्रक $G_1$ शीर्षों $A, B$ और $C$ का औसत है: $G_1 = \left(\frac{3+1+0}{3}, \frac{1+3+4}{3}, \frac{4+2-2}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
हमें वह बिंदु $P$ ज्ञात करना है जो रेखाखंड $GG_1$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$ जहाँ $m=1, n=2$,$G(1,2,1)$ और $G_1(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3})$ है:
$x = \frac{1(\frac{4}{3}) + 2(1)}{1+2} = \frac{\frac{4}{3} + 2}{3} = \frac{10}{9}$.
$y = \frac{1(\frac{8}{3}) + 2(2)}{1+2} = \frac{\frac{8}{3} + 4}{3} = \frac{20}{9}$.
$z = \frac{1(\frac{4}{3}) + 2(1)}{1+2} = \frac{\frac{4}{3} + 2}{3} = \frac{10}{9}$.
अतः,बिंदु $\left(\frac{10}{9}, \frac{20}{9}, \frac{10}{9}\right)$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(2, p, 2)$ और $B(p, -2, p)$ हैं। बिंदु $P\left(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5}, \frac{8}{5}\right)$ रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$\frac{m(-2) + n(p)}{m+n} = -\frac{1}{5}$
$-10m + 5np = -m - n$
$9m = n(5p + 1) \implies \frac{m}{n} = \frac{5p+1}{9}$
$P$ के $x$-निर्देशांक का उपयोग करते हुए:
$\frac{m(p) + n(2)}{m+n} = \frac{8}{5}$
$5mp + 10n = 8m + 8n$
$m(5p - 8) = -2n \implies \frac{m}{n} = \frac{-2}{5p-8} = \frac{2}{8-5p}$
दोनों अनुपातों की तुलना करने पर:
$\frac{5p+1}{9} = \frac{2}{8-5p}$
$(5p+1)(8-5p) = 18$
$40p - 25p^2 + 8 - 5p = 18$
$25p^2 - 35p + 10 = 0$
$5p^2 - 7p + 2 = 0$
$(5p-2)(p-1) = 0$
चूंकि $p$ एक पूर्णांक है,इसलिए $p = 1$.
तब $\frac{m}{n} = \frac{5(1)+1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
हमें $\frac{3m+n}{3n} = \frac{3(m/n) + 1}{3} = \frac{3(2/3) + 1}{3} = \frac{2+1}{3} = 1$ ज्ञात करना है।
चूंकि $p=1$,इसलिए परिणाम $p$ है।

(B) शतरंज बोर्ड में $8 \times 8 = 64$ वर्ग होते हैं। $64$ में से $3$ वर्गों को चुनने के कुल तरीके $\binom{64}{3} = \frac{64 \times 63 \times 62}{3 \times 2 \times 1} = 41664$ हैं।
एक पंक्ति में $3$ वर्गों को एक साथ रखने के लिए,$8$ वर्गों की प्रत्येक पंक्ति में $3$ लगातार वर्ग चुनने के $8 - 3 + 1 = 6$ तरीके हैं। चूंकि $8$ पंक्तियाँ हैं,पंक्तियों के लिए कुल तरीके $8 \times 6 = 48$ हैं।
इसी तरह,स्तंभों के लिए,$8$ स्तंभ हैं और प्रति स्तंभ $6$ तरीके हैं,इसलिए $8 \times 6 = 48$ तरीके हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $48 + 48 = 96$ है।
प्रायिकता $\frac{96}{41664} = \frac{1}{434}$ है।

(D) $52$ पत्तों में से $3$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_3 = 22100$ हैं।
अनुकूल परिणामों की गणना करने पर,कुल अनुकूल तरीके $576$ प्राप्त होते हैं।
अतः,प्रायिकता = $\frac{576}{22100} = \frac{144}{5525}$.

(D) दी गई असमिका $x + \frac{10}{x} \leq 11$ है।
चूंकि $x \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,इसलिए $x$ हमेशा धनात्मक है।
$x$ से गुणा करने पर,$x^2 + 10 \leq 11x$,जो $x^2 - 11x + 10 \leq 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(x - 1)(x - 10) \leq 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $1 \leq x \leq 10$ के लिए सत्य है।
इस शर्त को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ हैं।
ऐसे कुल $10$ पूर्णांक हैं।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $50$ है।
अतः प्रायिकता $\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$ है।

(A) जब एक सिक्के को $7$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^7 = 128$ होती है।
हमें ठीक $3$ चित प्राप्त करने के तरीके खोजने हैं ताकि कोई भी दो चित लगातार न हों।
मान लीजिए $4$ पट (tails) $T, T, T, T$ हैं। ये $5$ स्थान बनाते हैं जहाँ चित रखे जा सकते हैं: $\_ T \_ T \_ T \_ T \_$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो चित लगातार न हों,हमें इन $5$ उपलब्ध स्थानों में से $3$ स्थानों का चयन करना होगा।
$5$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $10$ है।
प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{10}{128} = \frac{5}{64}$ है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(1, 1, \lambda)$ की समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से दूरी $d_1$ है:
$d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|3 + 4 - 12\lambda + 13|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$.
बिंदु $(-3, 0, 1)$ की समतल से दूरी $d_2$ है:
$d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-9 + 0 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
चूंकि बिंदु समान दूरी पर हैं,$d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$.
इसका अर्थ है $|20 - 12\lambda| = 8$,जो दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $20 - 12\lambda = 8 \implies 12\lambda = 12 \implies \lambda = 1$.
स्थिति $2$: $20 - 12\lambda = -8 \implies 12\lambda = 28 \implies \lambda = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
अतः,$\lambda$ के मान $1$ और $\frac{7}{3}$ हैं।

(D) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{AB} = (6-2, -3-1, 2-(-1)) = (4, -4, 3)$.
$\vec{AC} = (-3-2, 12-1, 4-(-1)) = (-5, 11, 5)$.
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -4 & 3 \\ -5 & 11 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-20-33) - \hat{j}(20+15) + \hat{k}(44-20) = -53\hat{i} - 35\hat{j} + 24\hat{k}$.
समतल का समीकरण $-53(x-2) - 35(y-1) + 24(z+1) = 0$ है।
$-53x + 106 - 35y + 35 + 24z + 24 = 0$.
$-53x - 35y + 24z + 165 = 0$.
$53x + by + cz + d = 0$ के रूप में लाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$53x + 35y - 24z - 165 = 0$.
यहाँ,$b = 35$,$c = -24$,और $d = -165$.
अतः,$\frac{d}{b+c} = \frac{-165}{35 - 24} = \frac{-165}{11} = -15$.

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{PF}$ है।
$\vec{PF} = (1-2, -2-0, 0-(-3)) = (-1, -2, 3)$।
चूंकि समतल का समीकरण $ax+by-3z+d=0$ है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, -3)$ है।
$(a, b, -3)$ की तुलना $k(-1, -2, 3)$ से करने पर,हमें $k(-1) = a$,$k(-2) = b$ और $k(3) = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -1$।
इसलिए,$a = -1(-1) = 1$ और $b = -1(-2) = 2$।
समतल का समीकरण $x+2y-3z+d=0$ है।
चूंकि बिंदु $F(1,-2,0)$ समतल पर स्थित है,इसलिए $1 + 2(-2) - 3(0) + d = 0$।
$1 - 4 + d = 0 \implies -3 + d = 0 \implies d = 3$।
हमें $a+b+d = 1 + 2 + 3 = 6$ ज्ञात करना है।

(C) दिए गए समतल $P_1: -4x - 2y + 2z + \alpha = 0$ और $P_2: 2x + y - z + 1 = 0$ हैं।
सबसे पहले,$P_1$ को $-2$ से विभाजित करने पर: $2x + y - z - \frac{\alpha}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
माना $k = -\frac{\alpha}{2}$ है। समतल $2x + y - z + k = 0$ और $2x + y - z + 1 = 0$ हैं।
दो समांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d = 2$,$A = 2$,$B = 1$,$C = -1$,$D_1 = k$,और $D_2 = 1$ है।
$2 = \frac{|k - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{6}}$।
$|k - 1| = 2\sqrt{6}$।
$k - 1 = 2\sqrt{6}$ या $k - 1 = -2\sqrt{6}$।
$k = 1 + 2\sqrt{6}$ या $k = 1 - 2\sqrt{6}$।
चूंकि $k = -\frac{\alpha}{2}$ है,इसलिए $\alpha = -2k$ है।
$\alpha_1 = -2(1 + 2\sqrt{6}) = -2 - 4\sqrt{6}$ और $\alpha_2 = -2(1 - 2\sqrt{6}) = -2 + 4\sqrt{6}$।
$\alpha$ के मानों का गुणनफल $\alpha_1 \alpha_2 = (-2 - 4\sqrt{6})(-2 + 4\sqrt{6}) = (-2)^2 - (4\sqrt{6})^2 = 4 - 16(6) = 4 - 96 = -92$ है।

(D) रेखा $A(1, 2, 1)$ और $B(2, -1, -1)$ से गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = \bar{i} - 3\bar{j} - 2\bar{k}$ है। रेखा का समीकरण $\vec{r} = (1 + t)\bar{i} + (2 - 3t)\bar{j} + (1 - 2t)\bar{k}$ है।
समतल $P(1, 0, 0)$,$Q(0, 2, 0)$ और $R(0, 0, 3)$ से गुजरता है। समतल का अंतःखंड रूप $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ है,जो $6x + 3y + 2z = 6$ हो जाता है।
रेखा के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर: $6(1 + t) + 3(2 - 3t) + 2(1 - 2t) = 6$.
$6 + 6t + 6 - 9t + 2 - 4t = 6$.
$14 - 7t = 6 \implies 7t = 8 \implies t = \frac{8}{7}$.
$t = \frac{8}{7}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $x = \frac{15}{7}, y = -\frac{10}{7}, z = -\frac{9}{7}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $\frac{1}{7}(15\bar{i} - 10\bar{j} - 9\bar{k})$ है।

(A) रेखा पर किसी भी बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = (1)\bar{i} + (t-3)\bar{j} + (-2t)\bar{k}$ है।
मान लीजिए समतल $\pi: \vec{r} \cdot (2\bar{i} + 3\bar{j} + 5\bar{k}) = 0$ है। बिंदु $P$ की समतल से दूरी $d = \frac{|(1)(2) + (t-3)(3) + (-2t)(5)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3t - 9 - 10t|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7t - 7|}{\sqrt{38}}$ है।
न्यूनतम दूरी के लिए,अंश को शून्य के बराबर रखने पर: $-7t - 7 = 0 \implies t = -1$.
$t = -1$ को रेखा के समीकरण में रखने पर,हमें $P$ का स्थिति सदिश प्राप्त होता है: $\vec{p} = \bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}$.
सदिश $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = (\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) - (\bar{i} - 3\bar{j}) = -\bar{j} + 2\bar{k}$.
$P(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k})$ से गुजरने वाले और $\vec{AP} = -\bar{j} + 2\bar{k}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = \vec{p} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k})$ है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = (-4)(-1) + (2)(2) = 4 + 4 = 8$.
अतः,समीकरण $\bar{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = 8$ है।

(B) जब तीन पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ होती है।
तीन पासों पर संख्याओं का योग $3$ से $18$ तक हो सकता है।
इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $3, 5, 7, 11, 13, 17$ हैं।
प्रत्येक योग प्राप्त करने के तरीकों की गणना करने पर:
योग $= 3$: $1$ तरीका।
योग $= 5$: $6$ तरीके।
योग $= 7$: $15$ तरीके।
योग $= 11$: $27$ तरीके।
योग $= 13$: $21$ तरीके।
योग $= 17$: $3$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 6 + 15 + 27 + 21 + 3 = 73$।
प्रायिकता $\frac{73}{216}$ है।

(C) शतरंज की बिसात में $8 \times 8 = 64$ वर्ग होते हैं। दो वर्गों को चुनने के कुल तरीके $\binom{64}{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 2016$ हैं।
यदि दो वर्ग क्षैतिज या लंबवत रूप से आसन्न हैं तो उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है।
क्षैतिज आसन्न जोड़ों की संख्या: प्रत्येक पंक्ति में $7$ जोड़े हैं,और $8$ पंक्तियाँ हैं,इसलिए $8 \times 7 = 56$।
लंबवत आसन्न जोड़ों की संख्या: प्रत्येक स्तंभ में $7$ जोड़े हैं,और $8$ स्तंभ हैं,इसलिए $8 \times 7 = 56$।
कुल आसन्न जोड़े = $56 + 56 = 112$।
उन जोड़ों की संख्या जिनमें कोई उभयनिष्ठ भुजा नहीं है,$2016 - 112 = 1904$ है।
प्रायिकता $\frac{1904}{2016}$ है।
दोनों को $112$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1904 \div 112}{2016 \div 112} = \frac{17}{18}$ प्राप्त होता है।

(B) आव्यूह $P$ में $9$ अवयव हैं: $5$ विषम $(1, 3, 5, 7, 9)$ और $4$ सम $(2, 4, 6, 8)$ हैं।
$3$ अवयवों को चुनने के कुल तरीके $\binom{9}{3} = 84$ हैं।
घटना $A$: $3$ अवयवों का योग विषम है। यह तब होता है जब हम ($3$ विषम) या ($1$ विषम,$2$ सम) चुनते हैं।
$A$ के लिए तरीके = $\binom{5}{3} + \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 10 + 30 = 40$.
अतः,$P(A) = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$.
घटना $B$: एक पंक्ति या स्तंभ में $3$ अवयव चुनना। कुल $6$ तरीके हैं।
$P(B) = \frac{6}{84} = \frac{1}{14}$.
$P(A|B)$ के लिए,हमें पंक्ति या स्तंभ में ऐसे अवयव चाहिए जिनका योग विषम हो।
पंक्तियाँ: $R_2(4,5,6)$ का योग $15$ (विषम) है।
स्तंभ: $C_2(2,5,8)$ का योग $15$ (विषम) है।
ऐसे $2$ सेट हैं।
अतः,$P(A \cap B) = \frac{2}{84}$.
$P(A|B) = \frac{2/84}{6/84} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(A|B) = \frac{10}{21} + \frac{1}{3} = \frac{17}{21}$.

(C) दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.
सबसे पहले,हम $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/3} = \frac{3}{4}$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$ ज्ञात करते हैं।
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{6+4-3}{12} = \frac{7}{12}$.
अतः,$P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
साथ ही,$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
तब,$P(A^c|B^c) = \frac{P(A^c \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{5/12}{2/3} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{8}$.
अंत में,$P(A^c|B^c) + P(A|B) = \frac{5}{8} + \frac{3}{4} = \frac{5+6}{8} = \frac{11}{8}$.

(C) कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए घटनाएं $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
घटना $A$ पहले ड्रा में फेस कार्ड निकालने की घटना है। एक डेक में $12$ फेस कार्ड होते हैं ($4$ गुलाम,$4$ बेगम,$4$ बादशाह)।
अतः,$P(A) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$।
घटना $B$ दूसरे ड्रा में चिड़ी का पत्ता निकालने की घटना है। एक डेक में $13$ चिड़ी के पत्ते होते हैं।
अतः,$P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(B|A) = P(B) = \frac{1}{4}$।
हमें $P(\overline{B}|A)$ ज्ञात करना है।
पूरक घटनाओं के गुण का उपयोग करते हुए,$P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A)$।
$P(\overline{B}|A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) पात्र में गेंदों की कुल संख्या = $7 + 5 + 3 = 15$ है।
यह दिया गया है कि पहली निकाली गई गेंद लाल है और दूसरी निकाली गई गेंद सफेद है,इसलिए इन दो गेंदों को पात्र से हटा दिया जाता है।
पात्र में बची हुई गेंदों की संख्या = $15 - 2 = 13$ है।
बची हुई गेंदों में शामिल हैं:
लाल गेंदें = $7 - 1 = 6$
सफेद गेंदें = $5 - 1 = 4$
काली गेंदें = $3$
कुल बची हुई गेंदें = $6 + 4 + 3 = 13$
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि तीसरी निकाली गई गेंद लाल नहीं है।
लाल न होने वाली गेंदों की संख्या = $4 \text{ (सफेद)} + 3 \text{ (काली)} = 7$ है।
अतः,तीसरी गेंद के लाल न होने की प्रायिकता = $\frac{\text{लाल न होने वाली गेंदों की संख्या}}{\text{कुल बची हुई गेंदें}} = \frac{7}{13}$।

(C) दिया गया है कि $P(B) = 0.4$ और $P(A \cap \bar{B}) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
मान लीजिए $P(A \cap B) = x$. तो $P(A) = x + 0.5$.
साथ ही,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = (x + 0.5) + 0.4 - x = 0.9$.
अब,पद $P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right)$ पर विचार करें।
परिभाषा के अनुसार,$P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$.
चूंकि $B \cap (A \cup \bar{B}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{B}) = (B \cap A) \cup \emptyset = A \cap B$,इसलिए $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = P(A \cap B) = x$.
साथ ही,$P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = (x + 0.5) + (1 - 0.4) - 0.5 = x + 0.6$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर: $0.9 + \frac{x}{x + 0.6} = 1.15$.
$\frac{x}{x + 0.6} = 1.15 - 0.9 = 0.25 = \frac{1}{4}$.
$4x = x + 0.6 \implies 3x = 0.6 \implies x = 0.2$.
अतः,$P(A) = x + 0.5 = 0.2 + 0.5 = 0.7$.

(B) मान लीजिए $U_A, U_B,$ और $U_C$ क्रमशः पात्र $A, B,$ और $C$ चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि पात्र को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(U_A) = P(U_B) = P(U_C) = \frac{1}{3}$.
मान लीजिए $W$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(W|U_A) = \frac{6}{6+2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$P(W|U_B) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$
$P(W|U_C) = \frac{4}{4+4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W) = P(U_A)P(W|U_A) + P(U_B)P(W|U_B) + P(U_C)P(W|U_C)$
$P(W) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$
$P(W) = \frac{1}{3} \times (\frac{6}{8} + \frac{5}{8} + \frac{4}{8}) = \frac{1}{3} \times \frac{15}{8} = \frac{5}{8}$.

(A) बेयज़ प्रमेय के अनुसार,प्रायिकता $P(B_2|A)$ इस प्रकार दी जाती है:
$P(B_2|A) = \frac{P(B_2) \times P(A|B_2)}{P(B_1) \times P(A|B_1) + P(B_2) \times P(A|B_2) + P(B_3) \times P(A|B_3)}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(B_2|A) = \frac{0.30 \times 0.04}{(0.25 \times 0.05) + (0.30 \times 0.04) + (0.45 \times 0.03)}$
$P(B_2|A) = \frac{0.012}{0.0125 + 0.012 + 0.0135}$
$P(B_2|A) = \frac{0.012}{0.038}$
$P(B_2|A) = \frac{12}{38} = \frac{6}{19}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=3) = P(X=5)$,इसलिए $\frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}$।
दोनों पक्षों से $e^{-\lambda}$ और $\lambda^3$ को हटाने पर,हमें $\frac{1}{6} = \frac{\lambda^2}{120}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda^2 = \frac{120}{6} = 20$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = \sqrt{20}$।
अब,हमें $P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$ ज्ञात करना है।
$\lambda = \sqrt{20}$ और $\lambda^2 = 20$ रखने पर,हमें $P(X=4) = \frac{e^{-\sqrt{20}} (20)^2}{24} = \frac{400}{24 e^{\sqrt{20}}} = \frac{50}{3 e^{\sqrt{20}}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएं हैं कि टायर क्रमशः $C_1, C_2, C_3$ कंपनियों द्वारा आपूर्ति किए जाते हैं। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि चुना गया टायर खराब है।
दी गई प्रायिकताएं हैं:
$P(E_1) = 0.40, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.25$
$P(D|E_1) = 0.02, P(D|E_2) = 0.03, P(D|E_3) = 0.04$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,खराब टायर के $C_2$ द्वारा आपूर्ति किए जाने की प्रायिकता $P(E_2|D) = \frac{P(E_2)P(D|E_2)}{P(E_1)P(D|E_1) + P(E_2)P(D|E_2) + P(E_3)P(D|E_3)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.03}{(0.40 \times 0.02) + (0.35 \times 0.03) + (0.25 \times 0.04)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.0105}{0.008 + 0.0105 + 0.0100} = \frac{0.0105}{0.0285}$
$P(E_2|D) = \frac{105}{285} = \frac{21}{57} = \frac{7}{19}$

(C) मान लीजिए $B_1$ और $B_2$ क्रमशः पहले और दूसरे बक्से को चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि बक्सा यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $E$ काली गेंद निकालने की घटना है।
मान लीजिए $n_1$ और $n_2$ क्रमशः पहले और दूसरे बक्से में काली गेंदों की संख्या है। चूंकि प्रत्येक बक्से में $10$ गेंदें हैं,$P(E|B_1) = \frac{n_1}{10}$ और $P(E|B_2) = \frac{n_2}{10}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि गेंद काली है तो उसके दूसरे बक्से से होने की प्रायिकता है:
$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{n_2}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{n_1}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{n_2}{10}} = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$ है।
दिया गया है कि $P(B_2|E) = \frac{1}{5}$,इसलिए $\frac{n_2}{n_1 + n_2} = \frac{1}{5}$,जिसका अर्थ है $5n_2 = n_1 + n_2$,या $n_1 = 4n_2$ है।
चूंकि $n_1$ और $n_2$ $0$ और $10$ के बीच के पूर्णांक हैं,हम $n_2$ के लिए संभावित मानों की जांच करते हैं:
यदि $n_2 = 1$,तो $n_1 = 4$ है।
यदि $n_2 = 2$,तो $n_1 = 8$ है।
इस प्रकार,$n_1$ का मान $4$ या $8$ हो सकता है।

(B) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ है।
दिया गया है कि $\frac{P(X=5)}{P(X=2)} = \frac{1}{7500}$,इसलिए $\frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}} = \frac{\lambda^3}{5 \times 4 \times 3} = \frac{\lambda^3}{60} = \frac{1}{7500}$ है।
अतः,$\lambda^3 = \frac{60}{7500} = \frac{1}{125}$ है।
घनमूल लेने पर,$\lambda = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
दूसरी शर्त की जाँच करने पर: $\frac{P(X=5)}{P(X=3)} = \frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}} = \frac{\lambda^2}{5 \times 4} = \frac{\lambda^2}{20}$ है।
$\lambda = \frac{1}{5}$ रखने पर,$\frac{(1/5)^2}{20} = \frac{1/25}{20} = \frac{1}{500}$ प्राप्त होता है।
यह शर्त संतुष्ट होती है। अतः,वितरण का माध्य $\lambda = \frac{1}{5}$ है।

(C) दिया गया है $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n=7$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ है।
$P(X=3) = P(X=5)$ के अनुसार:
$\binom{7}{3} p^3 (1-p)^{7-3} = \binom{7}{5} p^5 (1-p)^{7-5}$
$\binom{7}{3} p^3 (1-p)^4 = \binom{7}{5} p^5 (1-p)^2$
चूँकि $\binom{7}{3} = 35$ और $\binom{7}{5} = 21$ है,इसलिए:
$35 p^3 (1-p)^4 = 21 p^5 (1-p)^2$
दोनों पक्षों को $7 p^3 (1-p)^2$ से विभाजित करने पर:
$5 (1-p)^2 = 3 p^2$
$5 (1 - 2p + p^2) = 3 p^2$
$5 - 10p + 5p^2 = 3p^2$
$2p^2 - 10p + 5 = 0$
द्विघात सूत्र $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 40}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{15}}{2}$
चूँकि $0 \le p \le 1$ है,इसलिए $p = \frac{5 - \sqrt{15}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) त्रुटियों की संख्या $\lambda = n \times p_{error}$ पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण का पालन करती है।
यहाँ $n = 40$ पृष्ठ हैं और त्रुटि की दर प्रति $10$ पृष्ठों पर $1$ है,इसलिए त्रुटियों की औसत संख्या $\lambda = 40 \times \frac{1}{10} = 4$ है।
$X$ त्रुटियाँ होने की प्रायिकता $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें प्रायिकता ज्ञात करनी है कि त्रुटियाँ अधिकतम $2$ हैं,जो $p = P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$p = e^{-4} \left( \frac{4^0}{0!} + \frac{4^1}{1!} + \frac{4^2}{2!} \right) = e^{-4} (1 + 4 + 8) = 13 e^{-4}$.
हमें $e^2 p$ का मान ज्ञात करना है।
$e^2 p = e^2 \times 13 e^{-4} = 13 e^{-2}$.

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = \frac{4}{3}$ और प्रसरण $npq = \frac{10}{9}$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{10/9}{4/3} = \frac{10}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ है।
$np = \frac{4}{3}$ में $p = \frac{1}{6}$ रखने पर,$n(\frac{1}{6}) = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है $n = 8$।
हमें $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$ ज्ञात करना है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{8}{k} (\frac{1}{6})^k (\frac{5}{6})^{8-k}$ है।
$P(X=6) = \binom{8}{6} (\frac{1}{6})^6 (\frac{5}{6})^2 = 28 \times \frac{25}{6^8} = \frac{700}{6^8}$।
$P(X=7) = \binom{8}{7} (\frac{1}{6})^7 (\frac{5}{6})^1 = 8 \times \frac{5}{6^8} = \frac{40}{6^8}$।
$P(X=8) = \binom{8}{8} (\frac{1}{6})^8 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{6^8} = \frac{1}{6^8}$।
इनका योग करने पर,$P(X \geq 6) = \frac{700 + 40 + 1}{6^8} = \frac{741}{6^8}$।

(A) माना $X$,$n = 5$ इकाइयों के नमूने में दोषपूर्ण इकाइयों की संख्या है।
इकाई के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $p = \frac{1}{8}$ है,और इकाई के दोषपूर्ण न होने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{7}{8}$ है।
चूंकि परीक्षण स्वतंत्र हैं,$X$ द्विपद बंटन $B(n, p) = B(5, \frac{1}{8})$ का पालन करता है।
अधिकतम एक दोषपूर्ण इकाई होने की प्रायिकता $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = \binom{5}{0} (\frac{1}{8})^0 (\frac{7}{8})^5 = 1 \times 1 \times (\frac{7}{8})^5 = \frac{16807}{32768}$.
$P(X = 1) = \binom{5}{1} (\frac{1}{8})^1 (\frac{7}{8})^4 = 5 \times \frac{1}{8} \times \frac{2401}{4096} = \frac{12005}{32768}$.
$P(X \le 1) = \frac{16807 + 12005}{32768} = \frac{28812}{32768} = \frac{7203}{8192}$.
दिए गए विकल्पों में से कोई भी गणना किए गए परिणाम $\frac{7203}{8192}$ से मेल नहीं खाता है।

(D) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3$ तीन पासों पर आने वाली संख्याओं को दर्शाने वाले यादृच्छिक चर हैं।
प्रत्येक $X_i$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से समान प्रायिकता $P(X_i = k) = \frac{1}{6}$ के साथ मान ले सकता है।
एक पासे का माध्य (अपेक्षित मान) $E[X_i] = \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(X_i = k) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$ है।
मान लीजिए $S$ तीन पासों पर आने वाली संख्याओं का योग है,इसलिए $S = X_1 + X_2 + X_3$ है।
प्रत्याशा की रैखिकता के गुणधर्म के अनुसार,योग का माध्य $E[S] = E[X_1 + X_2 + X_3] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$ होगा।
एक पासे के माध्य का मान रखने पर,हमें $E[S] = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5$ प्राप्त होता है।
अतः,संख्याओं के योग का माध्य $10.5$ है।

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का योग सम या विषम हो सकता है।
सम योग वाले परिणामों की संख्या $18$ है,और विषम योग वाले परिणामों की संख्या $18$ है।
अतः,$P(\text{योग सम}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ और $P(\text{योग विषम}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$।
मान लीजिए $X$ वह यादृच्छिक चर है जो $A$ द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाता है।
यदि योग सम है,तो $X = \frac{1}{2}$ प्रायिकता $\frac{1}{2}$ के साथ।
यदि योग विषम है,तो $X = 1$ प्रायिकता $\frac{1}{2}$ के साथ।
$X$ का अंकगणितीय माध्य (अपेक्षित मान) $E(X) = \sum x_i p_i = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) + (1 \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ है।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए: $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 1$.
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 3 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^k} + 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{3^k}$.
पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $3 \times \frac{1}{1 - 1/3} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$.
दूसरा भाग एक अंकगणितीय-गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{k=0}^{\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$. $x = 1/3$ के लिए,यह $\frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$S = \frac{9}{2} + 2 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 6$.
चूंकि $c \times S = 1$,इसलिए $c = 1/6$.
अब,$P(X=3) = \frac{(2(3)+3)c}{3^3} = \frac{9c}{27} = \frac{c}{3}$.
$c = 1/6$ रखने पर,हमें $P(X=3) = \frac{1/6}{3} = \frac{1}{18}$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: $k$ का मान ज्ञात कीजिए। प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$3k + k + k + 2k + k = 1 \implies 8k = 1 \implies k = \frac{1}{8}$.
चरण $2$: माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ की गणना करें।
$E(X) = 2(3k) + 3(k) + 5(k) + 7(2k) + 12(k) = 6k + 3k + 5k + 14k + 12k = 40k$.
चूंकि $k = \frac{1}{8}$,$E(X) = 40 \times \frac{1}{8} = 5$.
चरण $3$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ की गणना करें।
$E(X^2) = 2^2(3k) + 3^2(k) + 5^2(k) + 7^2(2k) + 12^2(k) = 12k + 9k + 25k + 98k + 144k = 288k$.
चूंकि $k = \frac{1}{8}$,$E(X^2) = 288 \times \frac{1}{8} = 36$.
चरण $4$: प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ की गणना करें।
$Var(X) = 36 - (5)^2 = 36 - 25 = 11$.
चरण $5$: मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{11}$।

(A) एक असतत यादृच्छिक चर के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3k^3 + 2k^2 + (7 - 19k) = 1$.
$3k^3 + 2k^2 - 19k + 6 = 0$.
मानों की जाँच करने पर,यदि $k = \frac{1}{3}$ है,तो $3(\frac{1}{27}) + 2(\frac{1}{9}) - 19(\frac{1}{3}) + 6 = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} - \frac{57}{9} + \frac{54}{9} = 0$.
अतः,$k = \frac{1}{3}$ एक मूल है।
अब,$P(X=3) = 7 - 19k = 7 - 19(\frac{1}{3}) = 7 - \frac{19}{3} = \frac{21 - 19}{3} = \frac{2}{3}$.

(C) मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $3$ प्रयासों में चुनी गई गणित की पुस्तकों की संख्या को दर्शाता है।
कुल पुस्तकों की संख्या = $3 + 2 = 5$.
एक प्रयास में गणित की पुस्तक चुनने की प्रायिकता $p = \frac{3}{5}$ है।
भौतिकी की पुस्तक चुनने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।
चूंकि प्रत्येक चयन के बाद पुस्तकों को वापस रखा जाता है,इसलिए परीक्षण स्वतंत्र हैं और यादृच्छिक चर $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है,जहाँ $n = 3$ और $p = \frac{3}{5}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $E[X] = np$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $E[X] = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है।