यदि y=f(x) अवकल समीकरण (1+cos^2 x) f'(x) - f( | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ है। $(1+\cos^2 x)$ से विभाजित करने पर,$f'(x) - f(x) \frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x

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$\frac{12}{5}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ है। $(1+\cos^2 x)$ से विभाजित करने पर,$f'(x) - f(x) \frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$ प्राप्त होता है। यह $f'(x) + P(x)f(x) = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x}$ और $Q(x) = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} dx}$ है। माना $u = 1+\cos^2 x$,तो $du = -\sin 2x dx$ है। अतः,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = 1+\cos^2 x$ है। व्यापक हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है। $f(x)(1+\cos^2 x) = \int 4 \sin 2x dx = -2 \cos 2x + C$ है। चूँकि $f(0)=0$,इसलिए $0 = -2 + C \implies C = 2$ है। अतः,$f(x) = \frac{2 - 2 \cos 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin^2 x}{1+\cos^2 x}$ है। $x = \frac{\pi}{3}$ पर,$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{4(3/4)}{1+1/4} = \frac{3}{5/4} = \frac{12}{5}$।

यदि $y=f(x)$ अवकल समीकरण $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ का हल है और $f(0)=0$ है,तो $f(\frac{\pi}{3})=$

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