परवलय y^2 = 4x पर एक बिंदु पर अभिलंब बिंदु P | vedclass

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Question

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है जहाँ $a = 1$ है। परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(t^2, 2t)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2t + t^3$ है।यदि यह अभिलंब बिंदु $

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(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है जहाँ $a = 1$ है। परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(t^2, 2t)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2t + t^3$ है।यदि यह अभिलंब बिंदु $P(h, k)$ से गुजरता है,तो $k = -th + 2t + t^3$,जो $t^3 + (2-h)t - k = 0$ में सरल हो जाता है।माना इस त्रिघात समीकरण के मूल $t_1, t_2, t_3$ हैं। ये तीन अभिलंबों के पाद के प्राचल हैं।पाद के निर्देशांक $(t_1^2, 2t_1), (t_2^2, 2t_2), (t_3^2, 2t_3)$ हैं।इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $G(x_g, y_g) = (\frac{t_1^2 + t_2^2 + t_3^2}{3}, \frac{2(t_1 + t_2 + t_3)}{3})$ है।समीकरण $t^3 + (2-h)t - k = 0$ से,$\sum t_i = 0$ और $\sum t_i t_j = 2-h$ है।चूंकि $\sum t_i = 0$,केंद्रक का $y$-निर्देशांक $y_g = 0$ है,जो $G(2,0)$ से मेल खाता है।अब,$x_g = \frac{(\sum t_i)^2 - 2\sum t_i t_j}{3} = \frac{0^2 - 2(2-h)}{3} = \frac{2(h-2)}{3}$ है।$x_g = 2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2(h-2)}{3} = 2$,जिसका अर्थ है $h-2 = 3$,अतः $h = 5$।

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