વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુએ,સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x + xy$ છે. પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} - xy = x$. આ $\frac{dy}{dx} + P

Vedclass · Accepted Answer

$y=2 e^{\frac{x^2}{2}}-1$

Vedclass · Answer

(A) પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x + xy$ છે. પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} - xy = x$. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = -x$ અને $Q(x) = x$. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે. ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે. $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} dx + c$. ધારો કે $t = -\frac{x^2}{2}$,તો $dt = -x dx$,તેથી $x dx = -dt$. $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -\int e^t dt + c = -e^t + c = -e^{-\frac{x^2}{2}} + c$. વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મૂકતા: $1 \cdot e^0 = -e^0 + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$. આમ,$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + 2$. $e^{-\frac{x^2}{2}}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ અથવા $y = 2e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ મળે છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે તમામ $x \in R$ માટે $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$ નું પાલન કરે છે. તો:

$x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x + 2y^3)\frac{dy}{dx} - y = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module