TS EAMCET 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)(2n+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(2n)(2n+1)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1}$.
તેથી,$S = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + \dots$
આને $S = 1 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots)$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$.
તેથી,$S = 1 - \log_e 2$.
$1 = \log_e e$ હોવાથી,$S = \log_e e - \log_e 2 = \log_e \left(\frac{e}{2}\right)$.

(D) આપેલ છે,$\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
કારણ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$,તેથી:
$1 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$1 = Ax^3 - Ax^2 + Ax + Bx^2 - Bx + B + Cx^3 + Cx^2 + Cx + Dx^2 + Dx + D$.
$x$ ના ઘાતાંક મુજબ પદોને ગોઠવતા:
$1 = (A+C)x^3 + (-A+B+C+D)x^2 + (A-B+C+D)x + (B+D)$.
બંને બાજુ સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+C = 0$ $(i)$
$-A+B+C+D = 0$ (ii)
$A-B+C+D = 0$ (iii)
$B+D = 1$ (iv)
સમીકરણ (ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$(-A+B+C+D) + (A-B+C+D) = 0 + 0$
$2(C+D) = 0$
$C+D = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ છે.
ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ આ સમીકરણના બીજો છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
બીજો વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $HM = 4$,તેથી:
$\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$
$\alpha+\beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \times \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-2x+4=0$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha+\beta=2$ અને $\alpha\beta=4$ મળે.
સમીકરણના બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ અને $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ થાય.
તેથી,$\alpha^9 = (2e^{i\pi/3})^9 = 2^9 e^{i3\pi} = -2^9$ અને $\beta^9 = (2e^{-i\pi/3})^9 = 2^9 e^{-i3\pi} = -2^9$.
આમ,$\alpha^9+\beta^9 = -2^9 - 2^9 = -2 \times 2^9 = -2^{10}$.

(B) પ્રથમ અસમતા માટે: $x^2+5x+6 \geq 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) \geq 0$. આ $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$ માટે સાચું છે.
બીજી અસમતા માટે: $x^2+3x-4 < 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) < 0$. આ $x \in (-4, 1)$ માટે સાચું છે.
આ બંને શરતોનું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યોનો છેદગણ:
છેદગણ: $(-\infty, -3] \cup [-2, \infty) \cap (-4, 1) = (-4, -3] \cup [-2, 1)$.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-42x^2+336x-512=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x-2)(x^2-40x+256)=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-40x+256=0$ ના ઉકેલ મેળવતા $x=8$ અને $x=32$ મળે છે.
આમ,બીજ $2, 8, 32$ છે.
આ વધતી જતી ભૂમિતિ શ્રેણીમાં છે,તેથી સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{8}{2} = 4$ એટલે કે $4:1$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2}x^2 - bx + (8 - 2\sqrt{5}) = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - \sqrt{10}$ થાય.
બે બીજનો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $HM = 4$,તેથી $4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10})}{\frac{b}{\sqrt{2}}}$.
$4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10}) \cdot \sqrt{2}}{b}$.
$4 = \frac{2(8 - \sqrt{20})}{b} = \frac{2(8 - 2\sqrt{5})}{b} = \frac{16 - 4\sqrt{5}}{b}$.
$4b = 16 - 4\sqrt{5}$.
$4$ વડે ભાગતા,$b = 4 - \sqrt{5}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ,$\frac{1+i}{1-i}$ પદને અંશ અને છેદને $(1+i)$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપો:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$
તે જ રીતે,બીજા પદ માટે:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1+i^2-2i}{1-i^2} = \frac{1-1-2i}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકો:
$(i)^4 + (-i)^4 = i^4 + i^4 = 1 + 1 = 2$

(B) આપેલ છે,$|z^2-1|=|z|^2+1$. \\ ધારો કે $z=x+iy$. \\ તેથી,$|(x+iy)^2-1| = |x+iy|^2+1$. \\ $|x^2-y^2+2ixy-1| = x^2+y^2+1$. \\ $|(x^2-y^2-1)+i(2xy)| = x^2+y^2+1$. \\ બંને બાજુ વર્ગ કરતા: \\ $(x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2 = (x^2+y^2+1)^2$. \\ $(x^2-y^2)^2 + 1 - 2(x^2-y^2) + 4x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 + 1 + 2(x^2+y^2)$. \\ $x^4+y^4-2x^2y^2 + 1 - 2x^2+2y^2 + 4x^2y^2 = x^4+y^4+2x^2y^2 + 1 + 2x^2+2y^2$. \\ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: \\ $-2x^2 = 2x^2$. \\ $4x^2 = 0 \implies x=0$. \\ $x=0$ હોવાથી,$z$ એ કાલ્પનિક અક્ષ પર આવેલી છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{(1+i) x-i}{2+i}+\frac{(1+2 i) y+i}{2-i}=1$
પ્રથમ પદને $\frac{2-i}{2-i}$ વડે અને બીજા પદને $\frac{2+i}{2+i}$ વડે ગુણતા:
$\frac{[(1+i)x-i](2-i)}{5} + \frac{[(1+2i)y+i](2+i)}{5} = 1$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(2-i+2i-i^2)x - 2i + i^2}{5} + \frac{(2+i+4i+2i^2)y + 2i + i^2}{5} = 1$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$\frac{(3+i)x - 2i - 1}{5} + \frac{(5i)y + 2i - 1}{5} = 1$
$(3+i)x + (5i)y - 2 = 5$
$(3x-7) + i(x+5y) = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$3x-7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
$x+5y = 0 \Rightarrow y = -\frac{x}{5} = -\frac{7}{15}$
આમ,$(x, y) = \left(\frac{7}{3}, -\frac{7}{15}\right)$.

(C) આપેલ છે,${}^nC_{r-1}=330$,${}^nC_r=462$,અને ${}^nC_{r+1}=462$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$.
કારણ કે ${}^nC_{r+1} = {}^nC_r = 462$,તેથી $\frac{462}{462} = 1$.
તેથી,$\frac{n-r}{r+1} = 1 \implies n-r = r+1 \implies n = 2r+1$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{462}{330}$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{n-r+1}{r} = \frac{462}{330} = \frac{7}{5}$.
સમીકરણમાં $n = 2r+1$ મૂકતા:
$\frac{(2r+1)-r+1}{r} = \frac{7}{5} \implies \frac{r+2}{r} = \frac{7}{5}$.
$5(r+2) = 7r \implies 5r + 10 = 7r \implies 2r = 10 \implies r = 5$.

(C) $t_n$ એ સમતલમાં $n$ બિંદુઓ વડે બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા છે,જ્યાં કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ નથી.
તેથી,$t_n = {}^{n}C_3$.
આપેલ છે કે $t_{n+1} - t_n = 36$.
સૂત્ર મૂકતા: ${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = 36$.
${}^{n+1}C_r = {}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે ${}^{n}C_2 = 36$.
તેથી,$\frac{n(n-1)}{2} = 36$.
$n(n-1) = 72$.
$n^2 - n - 72 = 0$.
$(n-9)(n+8) = 0$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 9$.

(D) પ્રથમ,આપણે $10$ પુરુષોને એક હારમાં ગોઠવીએ છીએ. $10$ પુરુષોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $10!$ છે.
$10$ પુરુષો દ્વારા $11$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $6$ સ્ત્રીઓને એવી રીતે બેસાડી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે.
$11$ માંથી $6$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને $6$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^{11}P_6$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 10! \times ^{11}P_6 = 10! \times \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{10! 11!}{5!}$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$x+y = \frac{2 \pi}{3}$ $(i)$
$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$ (ii)
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$.
$(i)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$2 \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$2 \left(\frac{1}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,સમીકરણ $\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ ગણ ખાલી છે.

(C) પગલું $1$: ઉગમબિંદુને $(1,2)$ પર સ્થળાંતરિત કરતા,જૂની સિસ્ટમનું બિંદુ $(7,5)$ નવી સિસ્ટમમાં $(7-1, 5-2) = (6,3)$ બને છે.
પગલું $2$: બિંદુ $(6,3)$ ને નવી $X$-અક્ષની ઋણ દિશામાં $2$ એકમ ખસેડતા $(6-2, 3) = (4,3)$ મળે છે.
પગલું $3$: બિંદુ $(4,3)$ ને નવી સિસ્ટમના ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવતા. ઘડિયાળની દિશામાં પરિભ્રમણનું સૂત્ર $(x', y') = (x \cos \theta + y \sin \theta, -x \sin \theta + y \cos \theta)$ છે.
$x=4, y=3, \theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$x' = 4 \cos \frac{\pi}{4} + 3 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$
$y' = -4 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,અંતિમ સ્થાન $\left(\frac{7}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(A) ધારો કે $l_1 \equiv 2x + 3y = 5$.
રેખા $AB$ એ $l_1$ ને લંબ હોવાથી,$l_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
તેથી,$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ થાય.
બિંદુ $A\left(1, \frac{1}{3}\right)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ:
$\left(y - \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2}(x - 1)$
$\Rightarrow 2y - \frac{2}{3} = 3x - 3$
$\Rightarrow 3x - 2y = \frac{7}{3}$
$\Rightarrow 9x - 6y = 7$ $(i)$
રેખા $l_1$ નું સમીકરણ $2x + 3y = 5$ છે. તેને $2$ વડે ગુણતા $4x + 6y = 10$ (ii) મળે.
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $13x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{13}$.
$2x + 3y = 5$ માં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $2\left(\frac{17}{13}\right) + 3y = 5$ $\Rightarrow 3y = 5 - \frac{34}{13} = \frac{31}{13}$ $\Rightarrow y = \frac{31}{39}$.
છેદબિંદુ $P$ (જે $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે) $\left(\frac{17}{13}, \frac{31}{39}\right)$ છે.
ધારો કે $B = (x_2, y_2)$. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{1 + x_2}{2} = \frac{17}{13} \Rightarrow x_2 = \frac{21}{13}$
$\frac{1/3 + y_2}{2} = \frac{31}{39} \Rightarrow y_2 = \frac{49}{39}$
આમ,$B = \left(\frac{21}{13}, \frac{49}{39}\right)$.

(B) ધારો કે $f(x, y) = 3x - 5y + a$. બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(3, 4)$ રેખાની એક જ બાજુએ આવેલા હોવાથી,$f(1, 2)$ અને $f(3, 4)$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ.
$f(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$
$f(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$
આમ,$(a - 7)(a - 11) > 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $a < 7$ અથવા $a > 11$ મળે છે.
તેથી,$a \in (-\infty, 7) \cup (11, \infty)$,જે $R - [7, 11]$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x \sec \theta - y \operatorname{cosec} \theta = a$ $(i)$
$x \cos \theta + y \sin \theta = a \cos 2 \theta$ $(ii)$
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
રેખા $(i)$ માટે:
$p = \frac{|-a|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta}} = a \sin \theta \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2 \theta$.
તેથી,$2p = a \sin 2 \theta$.
રેખા $(ii)$ માટે:
$q = \frac{|-a \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = a \cos 2 \theta$.
હવે,$4p^2 + q^2$ ની ગણતરી કરતા:
$4p^2 + q^2 = (a \sin 2 \theta)^2 + (a \cos 2 \theta)^2 = a^2 (\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta) = a^2$.

(D) આપેલ બિંદુઓ $(1, \pi)$,$(1, 0^{\circ})$ અને $(1, \frac{\pi}{2})$ ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં છે.
તેને કાર્તેઝિયન યામ $(x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ માં ફેરવતા:
$(1, \pi) \rightarrow (-1, 0)$
$(1, 0^{\circ}) \rightarrow (1, 0)$
$(1, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0, 1)$
$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(-1, 0)$ થી રેખા $x + y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર:
$d = \frac{|1(-1) + 1(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે $(a, 0)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ છે,જે $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $(b, 0)$ કેન્દ્ર અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-b)^2 + y^2 = R^2$ છે,જે $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બે વર્તુળોની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને $(x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2) - (x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2(b-a)x + a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$ થાય છે.
રેડિકલ ધરી $y$-અક્ષ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $2(b-a)x + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$ એ $x = 0$ દર્શાવે તે માટે અચળ પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$R$ માટે ઉકેલતા,$R^2 = r^2 + b^2 - a^2$,જેનો અર્થ છે કે $R = (r^2 + b^2 - a^2)^{1/2}$.

(B) કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\left[\frac{(x^{1/3})^3+1^3}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} - \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right]^{10}$
$= \left[(x^{1/3}+1) - \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right]^{10} = \left[x^{1/3}+1 - (1+x^{-1/2})\right]^{10} = (x^{1/3}-x^{-1/2})^{10}$.
સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ આ મુજબ છે: ${}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$.
$20 - 2r - 3r = 0$ $\Rightarrow 5r = 20$ $\Rightarrow r = 4$.
પદ ${}^{10}C_4 (-1)^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ છે.

(B) ધારો કે $A \equiv (x_1, y_1, z_1)$,$B \equiv (x_2, y_2, z_2)$ અને $C \equiv (x_3, y_3, z_3)$ છે.
$F(0, 1, 0)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$x_1 + x_2 = 0, y_1 + y_2 = 2, z_1 + z_2 = 0$ $(1)$
$D(2, 1, 0)$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$x_2 + x_3 = 4, y_2 + y_3 = 2, z_2 + z_3 = 0$ $(2)$
$E(2, 0, 0)$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$x_3 + x_1 = 4, y_3 + y_1 = 0, z_3 + z_1 = 0$ $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(x_1 + x_2 + x_3) = 8 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 4$
$2(y_1 + y_2 + y_3) = 4 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 2$
$2(z_1 + z_2 + z_3) = 0 \implies z_1 + z_2 + z_3 = 0$
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ મળે છે.

(C) પ્રથમ,આપણે $10$ પુરુષોને એક હરોળમાં ગોઠવીએ છીએ. $10$ પુરુષોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $10!$ છે.
આનાથી $11$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $6$ સ્ત્રીઓને બેસાડી શકાય છે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે.
$11$ જગ્યાઓમાંથી $6$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને $6$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^{11}P_6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$^{11}P_6 = \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{11!}{5!}$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $10! \times \frac{11!}{5!} = \frac{10! 11!}{5!}$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\left[\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)}-\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})}\right]^{10}$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)} = x^{1/3} + 1$
$\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})} = 1 + x^{-1/2}$
કિંમતો મૂકતા: $\left[(x^{1/3} + 1) - (1 + x^{-1/2})\right]^{10} = (x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$
વ્યાપક પદ $T_{r+1}$ આ મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$ $\Rightarrow 5r = 20$ $\Rightarrow r = 4$
તેથી પદ $T_{4+1} = {}^{10}C_4 = 210$ થાય.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{(1-2 x)^{-1}(1-3 x)^{-2}}{(1-4 x)^{-3}}$ છે.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+ax)^n \approx 1+nax$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-2 x)^{-1} \approx 1 + 2x$.
$(1-3 x)^{-2} \approx 1 + 6x$.
$(1-4 x)^{-3} \approx 1 + 12x$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E \approx \frac{(1+2x)(1+6x)}{(1+12x)} = \frac{1 + 8x + 12x^2}{1+12x}$.
$x^2$ અને તેનાથી મોટી ઘાતને અવગણતા:
$E \approx \frac{1+8x}{1+12x} = (1+8x)(1+12x)^{-1}$.
ફરીથી દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$E \approx (1+8x)(1-12x) = 1 - 12x + 8x - 96x^2$.
$x^2$ ને અવગણતા:
$E \approx 1 - 4x$.

(D) આપેલ છે,$\sin \theta + \cos \theta = p$ $(i)$ અને $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = q$ (ii).
નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) = q$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,આ $p(1 - \sin \theta \cos \theta) = q$ બને છે.
તેથી,$1 - \sin \theta \cos \theta = \frac{q}{p}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta \cos \theta = 1 - \frac{q}{p}$ (iii).
સમીકરણ $(i)$ નો વર્ગ કરતા: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = p^2$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2$.
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2$.
(iii) ને આમાં મૂકતા: $1 + 2(1 - \frac{q}{p}) = p^2$.
$1 + 2 - \frac{2q}{p} = p^2$.
$3 - \frac{2q}{p} = p^2$.
$p$ વડે ગુણતા: $3p - 2q = p^3$.
ગોઠવતા $p^3 - 3p = -2q$,એટલે કે $p(p^2 - 3) = -2q$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$\tan (\pi \cos \theta)=\cot (\pi \sin \theta)$
$\Rightarrow \tan (\pi \cos \theta)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\pi \sin \theta\right)$
$\Rightarrow \pi \cos \theta=\frac{\pi}{2}-\pi \sin \theta$
$\Rightarrow \cos \theta+\sin \theta=\frac{1}{2}$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow \cos \theta \cos \frac{\pi}{4}+\sin \theta \sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$

(A) ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ રેખાઓના ઢાળ છે.
તેથી,$m_1+m_2 = \text{સમાંતર મધ્યક} = \frac{4+9}{2} = \frac{13}{2}$ અને $m_1 m_2 = \text{ગુણોત્તર મધ્યક} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$.
હવે,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $(y-m_1 x)(y-m_2 x) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $y^2 - (m_1+m_2)xy + m_1 m_2 x^2 = 0$ થાય છે.
$m_1+m_2$ અને $m_1 m_2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $y^2 - \frac{13}{2}xy + 6x^2 = 0$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,$2y^2 - 13xy + 12x^2 = 0$ મળે,એટલે કે $12x^2 - 13xy + 2y^2 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-5xy+py^2+3x-8y+2=0$ ને સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, h=-\frac{5}{2}, b=p, g=\frac{3}{2}, f=-4, c=2$ મળે છે.
આ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ હોય.
કિંમતો મૂકતા: $1(p)(2) + 2(-4)(\frac{3}{2})(-\frac{5}{2}) - 1(-4)^2 - p(\frac{3}{2})^2 - 2(-\frac{5}{2})^2 = 0$.
$2p + 30 - 16 - \frac{9p}{4} - \frac{25}{2} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા: $8p + 120 - 64 - 9p - 50 = 0$ $\Rightarrow -p + 6 = 0$ $\Rightarrow p=6$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{5}{2})^2 - 1(6)}}{1+6} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}-6}}{7} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{7} \right| = \frac{2(\frac{1}{2})}{7} = \frac{1}{7}$.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{1}{7}$,આપણી પાસે સામેની બાજુ $1$ અને પાસેની બાજુ $7$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. કર્ણ $\sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{50}$ છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$.

(C) રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ ના છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ માટે,આંશિક વિકલન લેતા:
$ax+hy+g=0$
$hx+by+f=0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ અને $y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2}$.
ઉગમબિંદુથી અંતરનો વર્ગ $D^2 = x_0^2 + y_0^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$D^2 = \frac{c(a+b)-f^2-g^2}{ab-h^2}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $4x^2+4y^2-12x-12y+9=0$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2-3x-3y+\frac{9}{4}=0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x^2-3x)+(y^2-3y)=-\frac{9}{4}$ મળે છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+(y-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$ થાય છે,જે $(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=(\frac{3}{2})^2$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r=\frac{3}{2}$ મળે છે.
કેન્દ્રનું બંને અક્ષોથી અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવાથી (એટલે કે $|h|=|k|=r=\frac{3}{2}$),વર્તુળ બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે.

(C) બિંદુ $(h, k)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{h^2+k^2+2gh+2fk+c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-16=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_1 = \sqrt{h^2+k^2-16}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_2 = \sqrt{h^2+k^2+2h+2k}$ છે.
આપેલ છે કે $L_1 = 2L_2$,તેથી $\sqrt{h^2+k^2-16} = 2\sqrt{h^2+k^2+2h+2k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $h^2+k^2-16 = 4(h^2+k^2+2h+2k)$ મળે છે.
$h^2+k^2-16 = 4h^2+4k^2+8h+8k$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3h^2+3k^2+8h+8k+16=0$ મળે છે.

(D) બે વર્તુળો $S_1 = x^2+y^2+4x-6y+c=0$ અને $S_2 = x^2+y^2-6x+4y-12=0$ ની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+4x-6y+c) - (x^2+y^2-6x+4y-12) = 0$
$10x - 10y + c + 12 = 0$ $(i)$
જો એક વર્તુળ બીજા વર્તુળના પરિઘને દુભાગે,તો સામાન્ય જીવા તે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ નું કેન્દ્ર $(3, -2)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $(3, -2)$ મૂકતા:
$10(3) - 10(-2) + c + 12 = 0$
$30 + 20 + c + 12 = 0$
$62 + c = 0$
$c = -62$

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $C: x^2 + y^2 - 16x - 12y + 64 = 0$ છે.
$(i)$ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની સાપેક્ષ બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીયનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
બિંદુ $(-5, 1)$ માટે,$g = -8, f = -6, c = 64$:
$x(-5) + y(1) - 8(x - 5) - 6(y + 1) + 64 = 0$
$-5x + y - 8x + 40 - 6y - 6 + 64 = 0$
$-13x - 5y + 98 = 0 \Rightarrow 13x + 5y = 98$. જે $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(ii)$ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 - 8(x + x_1) - 6(y + y_1) + 64 = 0$ છે.
$(8, 0)$ માટે:
$8x + 0y - 8(x + 8) - 6(y + 0) + 64 = 0$
$8x - 8x - 64 - 6y + 64 = 0$
$-6y = 0 \Rightarrow y = 0$. જે $(A)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(iii)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (8, 6)$ છે. વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળનો અભિલંબ કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$(2, 6)$ આગળનો અભિલંબ $(2, 6)$ અને $(8, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $y = 6$ છે. જે $(B)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(iv)$ વ્યાસ કેન્દ્ર $(8, 6)$ અને આપેલ બિંદુ $(8, 12)$ માંથી પસાર થાય છે.
બંને બિંદુઓના $x$-યામ સમાન હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $x = 8$ છે. જે $(E)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(i)-(D), (ii)-(A), (iii)-(B), (iv)-(E)$ છે.

(B) ધારો કે $(a, 0)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ છે,જે $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $(b, 0)$ કેન્દ્ર અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-b)^2 + y^2 = R^2$ છે,જે $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બે વર્તુળોની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2) - (x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2) = 0$.
$-2ax + 2bx + a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$2x(b-a) + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$.
રેડિકલ ધરી $y$-અક્ષ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
$2x(b-a) + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$ ને $x = 0$ સાથે સરખાવતા,અચળ પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$R^2 = r^2 + b^2 - a^2$.
$R = (r^2 + b^2 - a^2)^{1/2}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,જ્યાં $4a = 8$,તેથી $a = 2$.
ધારો કે જીવાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. રેખા $y = mx + c$ અને પરવલય $y^2 = 8x$ ના છેદબિંદુઓ $(mx + c)^2 = 8x$ દ્વારા મળે છે,જે $m^2x^2 + (2mc - 8)x + c^2 = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. તો $x_1 + x_2 = -\frac{2mc - 8}{m^2}$ અને $x_1x_2 = \frac{c^2}{m^2}$.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k) = (\frac{x_1 + x_2}{2}, m(\frac{x_1 + x_2}{2}) + c)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $4$ છે અને તે પરવલયની અક્ષ $(y = 0)$ ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $4$ અથવા $-4$ હોવો જોઈએ. આમ,$k = 4$ (ધન લેતા).
જીવાની લંબાઈ $L = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = |x_1 - x_2| \sqrt{1 + m^2} = 8$ (વ્યાસ $8$ છે).
પરવલયની જીવાના ગુણધર્મ મુજબ,ઢાળ $m = \frac{2}{t_1 + t_2}$ અને મધ્યબિંદુનો $y$-યામ $k = 2(t_1 + t_2) = 4$,જે $t_1 + t_2 = 2$ આપે છે.
આમ,$m = \frac{2}{2} = 1$.

(A) શંકુ $S=0$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે.
આપેલ ઉપવલય: $S = x^2+4y^2-2x+20y = 0$.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (2, -4)$.
$T = x(x_1) + 4y(y_1) - (x+x_1) + 10(y+y_1) = 0$.
$(x_1, y_1) = (2, -4)$ મુકતા:
$T = 2x + 4y(-4) - (x+2) + 10(y-4) = 2x - 16y - x - 2 + 10y - 40 = x - 6y - 42$.
$S_1 = (2)^2 + 4(-4)^2 - 2(2) + 20(-4) = 4 + 64 - 4 - 80 = -16$.
$T = S_1$ લેતા:
$x - 6y - 42 = -16$.
$x - 6y = 42 - 16$.
$x - 6y = 26$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે. અહીં $a^2=25$ અને $b^2=16$ છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^2=a^2(1-e^2)$,તેથી $16=25(1-e^2)$,જે $e^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ આપે છે,એટલે કે $e=\frac{3}{5}$.
ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે. અહીં $a^2=4$ છે.
ધારો કે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ છે. નાભિઓ $(\pm ae_1, 0) = (\pm 2e_1, 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$2e_1=3$,તેથી $e_1=\frac{3}{2}$.
અતિવલય માટે,$b^2=a^2(e_1^2-1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2=4((\frac{3}{2})^2-1) = 4(\frac{9}{4}-1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$.

(B) અતિવલય $x^2-y^2=9$ અને સ્પર્શક જીવા $x=9$ આપેલ છે.
$x=9$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$81-y^2=9$ $\Rightarrow y^2=72$ $\Rightarrow y = \pm 6\sqrt{2}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુઓ $P_1(9, 6\sqrt{2})$ અને $P_2(9, -6\sqrt{2})$ છે.
$x^2-y^2=9$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
$P_1(9, 6\sqrt{2})$ આગળ ઢાળ $m_1 = \frac{9}{6\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$P_1$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 6\sqrt{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ થાય.
$P_2(9, -6\sqrt{2})$ આગળ ઢાળ $m_2 = \frac{9}{-6\sqrt{2}} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$P_2$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y + 6\sqrt{2} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ થાય.
વિકલ્પો તપાસતા,$3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ એ વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $x = 0$ ની નજીક $\tan x$ અને $\sin x$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$
હવે,$\tan^3 x$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$\tan^3 x = (x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))^3 = x^3 + x^5 + O(x^7)$
$\sin^3 x$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$\sin^3 x = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))^3 = x^3 - \frac{x^5}{2} + O(x^7)$
બંનેની બાદબાકી કરતા:
$\tan^3 x - \sin^3 x = \frac{3}{2}x^5 + O(x^7)$
અંતે,લક્ષની કિંમત:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{3}{2}x^5}{x^5} = \frac{3}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{a+b+2c}{ab + ac + bc + c^2} = \frac{3}{a+b+c}$
ગુણાકાર કરતા: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab + ac + bc + c^2)$
$(a+b)^2 + c(a+b) + 2c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$ ની સરખામણી $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$ સાથે કરતા:
$ab = 2ab \cos C$
$\cos C = \frac{1}{2}$
તેથી,$\angle C = 60^{\circ}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
સમાન પદો બાદ કરતા: $a^2 + b^2 - c^2 = ab$
કોસાઇન નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ મૂકતા: $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\angle C = 60^{\circ}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$.
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ ને સામાન્ય લેતા:
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)} [(s-c) + (s-a) + (s-b)]$.
કારણ કે $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{\Delta^2}{\Delta^2/s} [3s - (a+b+c)]$.
$a+b+c = 2s$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s [3s - 2s] = s^2$.
કારણ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,તેથી $s = \frac{\Delta}{r}$,એટલે કે $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$.

(A) લઘુગણક $\log_{10}(A)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલ $A > 0$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$(1.6)^{1-x^2} - (0.625)^{6(1+x)} > 0$.
અહીં $1.6 = \frac{8}{5}$ અને $0.625 = \frac{5}{8} = (\frac{8}{5})^{-1}$ છે.
તેથી,$(\frac{8}{5})^{1-x^2} > (\frac{8}{5})^{-6(1+x)}$.
આધાર $\frac{8}{5} > 1$ હોવાથી,ઘાતાંકો માટે અસમતા નીચે મુજબ થશે:
$1 - x^2 > -6(1 + x)$
$1 - x^2 > -6 - 6x$
$x^2 - 6x - 7 < 0$
અવયવ પાડતા: $(x - 7)(x + 1) < 0$.
આ અસમતાનો ઉકેલ $x \in (-1, 7)$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos \left(\frac{x}{3}\right) + \sin \left(\frac{x}{2}\right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(ax)$ નું આવર્તમાન $\frac{2 \pi}{|a|}$ છે અને $\sin(bx)$ નું આવર્તમાન $\frac{2 \pi}{|b|}$ છે.
પ્રથમ પદ $\cos \left(\frac{x}{3}\right)$ માટે, આવર્તમાન $T_1 = \frac{2 \pi}{1/3} = 6 \pi$ છે.
બીજા પદ $\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ માટે, આવર્તમાન $T_2 = \frac{2 \pi}{1/2} = 4 \pi$ છે.
બે આવર્તિય વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ હોય છે.
તેથી, $f(x)$ નું આવર્તમાન = $\text{LCM}(6 \pi, 4 \pi)$.
અહીં $6 \pi = 2 \times 3 \pi$ અને $4 \pi = 2 \times 2 \pi$ હોવાથી, $\text{LCM}(6 \pi, 4 \pi) = 12 \pi$ થાય.
આમ, $f(x)$ નું આવર્તમાન $12 \pi$ છે.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરના પાયા $(B)$ થી બિંદુ $A$ નું અંતર $x$ છે.
$\triangle ABD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
હવે,વ્યક્તિ $AB$ ને લંબ દિશામાં $60 \ m$ ચાલીને બિંદુ $C$ પર પહોંચે છે. આમ,$AC = 60 \ m$ અને $\triangle ABC$ એ $A$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
બિંદુ $C$ થી પાયા $B$ સુધીનું અંતર $BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{60^2 + x^2} = \sqrt{3600 + x^2}$ છે.
$\triangle CBD$ માં,ઉત્સેધકોણ $45^{\circ}$ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = \frac{h}{BC} \Rightarrow 1 = \frac{h}{\sqrt{3600 + x^2}}$.
તેથી,$h^2 = 3600 + x^2$.
સમીકરણમાં $x^2 = \frac{h^2}{3}$ મૂકતા: $h^2 = 3600 + \frac{h^2}{3}$.
$h^2 - \frac{h^2}{3} = 3600 \Rightarrow \frac{2h^2}{3} = 3600$.
$h^2 = 1800 \times 3 = 5400$.
$h = \sqrt{5400} = \sqrt{900 \times 6} = 30 \sqrt{6} \ m$.

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
$D(2, 1, 0)$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x_2+x_3}{2} = 2 \implies x_2+x_3 = 4$
$\frac{y_2+y_3}{2} = 1 \implies y_2+y_3 = 2$
$\frac{z_2+z_3}{2} = 0 \implies z_2+z_3 = 0$
$E(2, 0, 0)$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x_1+x_3}{2} = 2 \implies x_1+x_3 = 4$
$\frac{y_1+y_3}{2} = 0 \implies y_1+y_3 = 0$
$\frac{z_1+z_3}{2} = 0 \implies z_1+z_3 = 0$
$F(0, 1, 0)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x_1+x_2}{2} = 0 \implies x_1+x_2 = 0$
$\frac{y_1+y_2}{2} = 1 \implies y_1+y_2 = 2$
$\frac{z_1+z_2}{2} = 0 \implies z_1+z_2 = 0$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(x_1+x_2+x_3) = 4+4+0 = 8 \implies x_1+x_2+x_3 = 4$
$2(y_1+y_2+y_3) = 2+0+2 = 4 \implies y_1+y_2+y_3 = 2$
$2(z_1+z_2+z_3) = 0+0+0 = 0 \implies z_1+z_2+z_3 = 0$
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ મળે છે.

(D) કુલ શક્ય પરિણામો,$n(S) = 6 \times 6 = 36$.
સરવાળો $10$ કે તેથી વધુ હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામો:
$E = \{(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા,$n(E) = 6$.
માગેલ સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(C) $8$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ છે.
ધારો કે બે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x < y$. આપણે $x < 4$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
કિસ્સો $I$: જો $x = 1$ હોય,તો $y$ બાકીની $7$ સંખ્યાઓમાંથી $(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\})$ કોઈ પણ હોઈ શકે. રીતોની સંખ્યા $= 7$.
કિસ્સો $II$: જો $x = 2$ હોય,તો $y$ બાકીની $6$ સંખ્યાઓમાંથી $(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\})$ કોઈ પણ હોઈ શકે. રીતોની સંખ્યા $= 6$.
કિસ્સો $III$: જો $x = 3$ હોય,તો $y$ બાકીની $5$ સંખ્યાઓમાંથી $(\{4, 5, 6, 7, 8\})$ કોઈ પણ હોઈ શકે. રીતોની સંખ્યા $= 5$.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 7 + 6 + 5 = 18$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{18}{28} = \frac{9}{14}$ છે.

(C) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે અશૂન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{bmatrix}$ માટે,આપણે $|A| = 0$ લઈએ.
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{vmatrix} = 0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3$ માં $R_2$ ઉમેરતા $(R_3 \rightarrow R_3 + R_2)$:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$.
ત્રીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$4 \times \begin{vmatrix} t & t+1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
$4 \times (-t - (t+1)) = 0$.
$4 \times (-2t - 1) = 0$.
$-8t - 4 = 0 \implies t = -\frac{1}{2}$.
આમ,$t$ ની માત્ર એક જ વાસ્તવિક કિંમત $(t = -\frac{1}{2})$ મળે છે,તેથી વાસ્તવિક કિંમતોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) આપેલ છે,$u=\log \left(x^3+y^3+z^3-3 x y z\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^3+y^3+z^3-3 x y z = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x)$.
તેથી,$u = \log(x+y+z) + \log(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x)$.
હવે,આંશિક વિકલન કરતા:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3x^2-3yz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
$u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3y^2-3xz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
$u_z = \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2-3xy}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા:
$u_x+u_y+u_z = \frac{3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}$
$u_x+u_y+u_z = \frac{3}{x+y+z}$
તેથી,$(x+y+z)(u_x+u_y+u_z) = 3$.

(B) આપેલ છે: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=2 \log \left(\frac{x}{2}\right)$,જ્યાં $x>0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \cdot \frac{1}{b} \frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$
$x \frac{d y}{d x} = -2 \sqrt{b^2-y^2} \quad \dots (i)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = -2 \cdot \frac{1}{2} (b^2-y^2)^{-1/2} (-2y) \frac{d y}{d x}$
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{2y}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{d y}{d x}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\sqrt{b^2-y^2} = -\frac{x}{2} \frac{d y}{d x}$ છે. આ કિંમત મૂકતા:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{2y}{-\frac{x}{2} \frac{d y}{d x}} \cdot \frac{d y}{d x} = -\frac{4y}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} + x \frac{d y}{d x} = -4y$.

(D) આપેલ વક્રો છે:
$x^2+p y^2=1$ $(i)$
$q x^2+y^2=1$ (ii)
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2py \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_1 = -\frac{x}{py}$
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2qx + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_2 = -\frac{qx}{y}$
વક્રો લંબ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$:
$(-\frac{x}{py}) \cdot (-\frac{qx}{y}) = -1$
$\frac{qx^2}{py^2} = -1 \implies qx^2 = -py^2$
$(i)$ પરથી,$x^2 = 1 - py^2$. આ કિંમત શરતમાં મૂકતા:
$q(1 - py^2) = -py^2$
$q - qpy^2 = -py^2$
$q = y^2(qp - p) \implies y^2 = \frac{q}{p(q-1)}$
તે જ રીતે,$x^2 = \frac{p(1-q)}{q-p}$. $x^2$ અને $y^2$ ની કિંમત $q x^2 + y^2 = 1$ માં મૂકતા:
$q(\frac{p(1-q)}{q-p}) + \frac{q}{p(q-1)} = 1$
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $p+q = 2pq$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 2$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x-\sin x}{1+\cos x} dx$.
નિત્યસમ $1+\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ અને $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{x}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx - \int \frac{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx$
$I = \frac{1}{2} \int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$.
પ્રથમ પદ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx = x(2\tan(\frac{x}{2})) - \int 1 \cdot 2\tan(\frac{x}{2}) dx = 2x\tan(\frac{x}{2}) - 2 \int \tan(\frac{x}{2}) dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} [2x\tan(\frac{x}{2}) - 2 \int \tan(\frac{x}{2}) dx] - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$
$I = x\tan(\frac{x}{2}) - \int \tan(\frac{x}{2}) dx - \int \tan(\frac{x}{2}) dx = x\tan(\frac{x}{2}) - 2 \int \tan(\frac{x}{2}) dx$.
કારણ કે $\int \tan(\frac{x}{2}) dx = 2 \log |\sec(\frac{x}{2})|$,તેથી:
$I = x\tan(\frac{x}{2}) - 2(2 \log |\sec(\frac{x}{2})|) + C = x\tan(\frac{x}{2}) - 4 \log |\sec(\frac{x}{2})| + C$.
આપેલ પદ $x \tan(\frac{x}{2}) + p \log |\sec(\frac{x}{2})| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = -4$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$\int_0^b \frac{dx}{1+x^2} = \int_b^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$[\tan^{-1} x]_0^b = [\tan^{-1} x]_b^{\infty}$ મળે.
સીમાઓ મૂકતા,$\tan^{-1}(b) - \tan^{-1}(0) = \tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(b)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(0) = 0$ અને $\tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(b)$.
બંને બાજુ $\tan^{-1}(b)$ ઉમેરતા,$2 \tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{2}$ મળે.
તેથી,$\tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$b = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

(C) આપેલ વક્રો $x = -2y^2$ અને $x = 1 - 3y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2y^2 = 1 - 3y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$
જ્યારે $y = 1$,ત્યારે $x = -2(1)^2 = -2$. જ્યારે $y = -1$,ત્યારે $x = -2(-1)^2 = -2$.
છેદબિંદુઓ $(-2, 1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-1$ થી $1$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 3y^2) - (-2y^2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) \, dy$
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^2) \, dy$
$A = 2 [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y+x^2 y) dx + (x+x^3) dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $(x+x^3) dy = -(1+y+x^2 y) dx$.
$dx(x+x^3)$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$.
આને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^2)} - \frac{y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -\frac{1}{x(1+x^2)}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = -\frac{1}{x(1+x^2)}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -2 \tan 2x$ અને $Q = e^x \sec 2x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \tan 2x dx} = e^{-\ln(\sec 2x)} = e^{\ln(\cos 2x)} = \cos 2x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cos 2x = \int (e^x \sec 2x \cdot \cos 2x) dx + C$.
કારણ કે $\sec 2x \cdot \cos 2x = 1$,તેથી:
$y \cos 2x = \int e^x dx + C$.
$y \cos 2x = e^x + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(C) આપેલ છે કે $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ અને $a \times b = 0, b \times c = 0$.
$a \times b = 0$ હોવાથી,સદિશો $a$ અને $b$ એકબીજાને સમાંતર છે.
$b \times c = 0$ હોવાથી,સદિશો $b$ અને $c$ એકબીજાને સમાંતર છે.
સમાંતર સદિશોના સંક્રામક ગુણધર્મ મુજબ,જો $a$ એ $b$ ને સમાંતર હોય અને $b$ એ $c$ ને સમાંતર હોય,તો $a$ એ $c$ ને સમાંતર હોવું જ જોઈએ.
તેથી,બે સમાંતર સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,તેથી $a \times c = 0$.

(C) આપેલ છે કે $a \cdot y = c$ અને $a \times y = b$. કારણ કે $a$ અને $b$ લંબ છે,તેથી $a \cdot b = 0$.
બીજા સમીકરણ સાથે $a$ નો ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$a \times (a \times y) = a \times b$
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \cdot y)a - (a \cdot a)y = a \times b$
$a \cdot y = c$ અને $a \cdot a = |a|^2$ મૂકતા:
$c a - |a|^2 y = a \times b$
$y$ ને કર્તા બનાવતા:
$|a|^2 y = c a - (a \times b)$
$y = \frac{1}{|a|^2} [c a - (a \times b)]$

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $P, Q, R$ અને $S$ ના યામ અનુક્રમે $(3, -4, 5), (0, 0, 4), (-4, 5, 1)$ અને $(-3, 4, 3)$ છે.
બિંદુઓ $(3, -4, 5)$ અને $(0, 0, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$\frac{x-3}{0-3} = \frac{y+4}{0+4} = \frac{z-5}{4-5} = r_1$
$\Rightarrow \frac{x-3}{-3} = \frac{y+4}{4} = \frac{z-5}{-1} = r_1$
બિંદુઓ $(-4, 5, 1)$ અને $(-3, 4, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $RS$ નું સમીકરણ:
$\frac{x+4}{-3+4} = \frac{y-5}{4-5} = \frac{z-1}{3-1} = r_2$
$\Rightarrow \frac{x+4}{1} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-1}{2} = r_2$
રેખા $PQ$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $(-3r_1+3, 4r_1-4, -r_1+5)$ અને રેખા $RS$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $(r_2-4, -r_2+5, 2r_2+1)$ છે.
બંને રેખાઓ છેદતી હોવાથી,યામ સરખાવતા:
$-3r_1+3 = r_2-4 \Rightarrow 3r_1+r_2 = 7$ (સમીકરણ $i$)
$4r_1-4 = -r_2+5 \Rightarrow 4r_1+r_2 = 9$ (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા:
$(4r_1+r_2) - (3r_1+r_2) = 9 - 7 \Rightarrow r_1 = 2$
$r_1 = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$3(2) + r_2 = 7 \Rightarrow r_2 = 1$
$r_2 = 1$ ની કિંમત રેખા $RS$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 1-4 = -3, y = -1+5 = 4, z = 2(1)+1 = 3$
આમ,છેદબિંદુ $(-3, 4, 3)$ છે,જે $-3i+4j+3k$ દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે. કારણ કે અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી દિશા કોસાઇન સમાન છે,એટલે કે $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$. આનો અર્થ એ છે કે $a = b = c$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $x + y + z = d$ સ્વરૂપનું છે.
સમતલ $(-1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-1 + 2 + 3 = d
\Rightarrow d = 4$.
$d$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x + y + z = 4$
$x + y + z - 4 = 0$.

(D) આપેલ રેખાઓ $r = a_1 + \lambda b_1$ અને $r = a_2 + \mu b_2$ છે,જ્યાં $a_1 = 3i + 5j + 7k$,$b_1 = i + 2j + k$,$a_2 = -i - j - k$,અને $b_2 = 7i - 6j + k$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $b_1 \times b_2$ શોધીએ:
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 1 \\ 7 & -6 & 1 \end{vmatrix} = i(2 + 6) - j(1 - 7) + k(-6 - 14) = 8i + 6j - 20k$.
તેનું માન $|b_1 \times b_2| = \sqrt{8^2 + 6^2 + (-20)^2} = \sqrt{64 + 36 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ છે.
આગળ,$a_2 - a_1 = (-i - j - k) - (3i + 5j + 7k) = -4i - 6j - 8k$ શોધીએ.
અદિશ ત્રિગુણક $(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = (-4i - 6j - 8k) \cdot (8i + 6j - 20k) = (-4)(8) + (-6)(6) + (-8)(-20) = -32 - 36 + 160 = 92$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|} = \frac{92}{10\sqrt{5}} = \frac{46}{5\sqrt{5}}$ મળે છે.

(A) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના વિધેય $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = 2P(X=2)$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda e^{-\lambda} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$
$\lambda e^{-\lambda} = \lambda^2 e^{-\lambda}$
અહીં $e^{-\lambda} \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા:
$\lambda = \lambda^2$
$\lambda^2 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda - 1) = 0$.
પોઈસન વિતરણ માટે $\lambda > 0$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $\lambda = 1$.
હવે,$P(X=3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{1^3 e^{-1}}{3 \times 2 \times 1} = \frac{e^{-1}}{6}$.

(B) $X$ નો મધ્યક $\bar{X} = E(X) = \sum_{n=1}^{m} n \cdot P(X=n) = \sum_{n=1}^{m} n \cdot \frac{1}{m} = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m+1}{2}$ છે.
$X$ નું વિચરણ $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$E(X^2) = \sum_{n=1}^{m} n^2 \cdot P(X=n) = \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} n^2 = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} = \frac{(m+1)(2m+1)}{6}$ ગણો.
હવે,$\text{Var}(X) = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \left( \frac{m+1}{2} \right)^2 = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \frac{(m+1)^2}{4}$.
$\frac{m+1}{2}$ સામાન્ય લેતા: $\text{Var}(X) = \frac{m+1}{2} \left[ \frac{2m+1}{3} - \frac{m+1}{2} \right] = \frac{m+1}{2} \left[ \frac{4m+2 - 3m - 3}{6} \right] = \frac{m+1}{2} \cdot \frac{m-1}{6} = \frac{m^2-1}{12}$.

(C) આપેલ વક્રો $x = -2y^2$ અને $x = 1 - 3y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2y^2 = 1 - 3y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$
જ્યારે $y = 1$,ત્યારે $x = -2(1)^2 = -2$. જ્યારે $y = -1$,ત્યારે $x = -2(-1)^2 = -2$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(-2, 1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-1$ થી $1$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_{-1}^{1} |(1 - 3y^2) - (-2y^2)| dy$
$Area = \int_{-1}^{1} |1 - y^2| dy$
વિધેય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$Area = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$
$Area = 2 [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1}$
$Area = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક $A$ એ સમીકરણ $x^2 + 4x - p = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી $A^2 + 4A - pI = 0$ થાય,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-8)(-8) + (5)(2) & (-8)(5) + (5)(4) \\ (2)(-8) + (4)(2) & (2)(5) + (4)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 + 10 & -40 + 20 \\ -16 + 8 & 10 + 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix}$.
હવે,$4A$ ની ગણતરી કરીએ:
$4A = 4 \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix}$.
હવે,આ કિંમતોને $A^2 + 4A - pI = 0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 74 - 32 - p & -20 + 20 - 0 \\ -8 + 8 - 0 & 26 + 16 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} 42 - p & 0 \\ 0 & 42 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $42 - p = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = 42$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
અવલોકન દ્વારા,આપણે અનુમાન લગાવી શકીએ કે $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,પદ $nA - (n-1)I$ ની કિંમત શોધીએ:
$nA - (n-1)I = n \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - (n-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n & n \\ 0 & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n - (n-1) & n - 0 \\ 0 - 0 & n - (n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = A^n$.
આમ,$A^n = nA - (n-1)I$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+5 \\ x+4 & x+6 & x+9 \\ x+8 & x+11 & x+15\end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & 8 & 10\end{array}\right|$.
હવે,પ્રક્રિયા $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 4\end{array}\right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (x+2)(4-4) - 1(8-12) + 3(4-6)$
$\Delta = (x+2)(0) - 1(-4) + 3(-2)$
$\Delta = 0 + 4 - 6 = -2$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$3x + 2y + z = 6$
$3x + 4y + 3z = 14$
$6x + 10y + 8z = a$
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 6 & 10 & 8 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 3(32 - 30) - 2(24 - 18) + 1(30 - 24) = 3(2) - 2(6) + 6 = 6 - 12 + 6 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,સિસ્ટમને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે. અનંત ઉકેલો માટે,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ હોવું જોઈએ.
$A$ નો એડજોઈન્ટ નીચે મુજબ છે:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix}$.
હવે,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$\begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 84 + 2a \\ -36 + 252 - 6a \\ 36 - 252 + 6a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a - 72 \\ 216 - 6a \\ 6a - 216 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ હાર પરથી,$2a - 72 = 0 \implies a = 36$.
અન્ય હાર સાથે ચકાસતા,$216 - 6(36) = 216 - 216 = 0$.
આમ,$a = 36$ માટે,સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.

(C) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને બિન-તુચ્છ ઉકેલો મળે તે માટે,સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{bmatrix}$ છે.
આપણે નિશ્ચાયક $|A| = 0$ લઈએ:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{vmatrix} = 0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$R_2$ ને $R_3$ માં ઉમેરતા $(R_3 \rightarrow R_3 + R_2)$:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$.
ત્રીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$4 \times \begin{vmatrix} t & t+1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
$4 \times (-t - (t+1)) = 0$.
$4 \times (-2t - 1) = 0$.
$-8t - 4 = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}$.
આમ,$t$ નું માત્ર એક જ વાસ્તવિક મૂલ્ય $(t = -\frac{1}{2})$ મળે છે,તેથી વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપણે સૂત્ર $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ છે કે $\cos ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\cos ^{-1} x$.
અહીં $A = \frac{5}{13}$ અને $B = \frac{3}{5}$ છે.
તેથી $\sqrt{1-A^2} = \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
અને $\sqrt{1-B^2} = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} - \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{15-48}{65} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{-33}{65} \right)$.
તેથી,$x = \frac{-33}{65}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $|x| > 1$ માટે $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ થાય છે.
તેથી,$\operatorname{coth}^{-1}(2) = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\operatorname{coth}^{-1}(2) = \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
લઘુગણકીય સ્વરૂપ $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right) = \log \left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \log 3$.

(A) આપેલ છે કે,$f(x) = (p - x^n)^{1/n}$,જ્યાં $p > 0$.
$f[f(x)]$ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ને વિધેય $f$ માં મૂકીશું:
$f[f(x)] = f((p - x^n)^{1/n})$
$= (p - ((p - x^n)^{1/n})^n)^{1/n}$
$= (p - (p - x^n))^{1/n}$
$= (p - p + x^n)^{1/n}$
$= (x^n)^{1/n}$
$= x$.

(B) આપેલ છે કે તમામ $x, y \in R$ માટે $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$.
આ $f(x) = a^x$ પ્રકારનું વિધેય છે.
$f(2) = 9$ આપેલ હોવાથી,$a^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$ (કારણ કે $f$ શૂન્યતર છે).
તેથી,$f(x) = 3^x$.
આમ,$f(6) = 3^6$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x + 1}$.
હવે,$g(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{f(x)}} = \frac{1}{1 + \frac{x + 1}{x}} = \frac{1}{\frac{x + x + 1}{x}} = \frac{x}{2x + 1}$.
$g^{\prime}(x)$ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીશું:
$g^{\prime}(x) = \frac{(1)(2x + 1) - (x)(2)}{(2x + 1)^2} = \frac{2x + 1 - 2x}{(2x + 1)^2} = \frac{1}{(2x + 1)^2}$.
$x = 2$ મૂકતા:
$g^{\prime}(2) = \frac{1}{(2(2) + 1)^2} = \frac{1}{(5)^2} = \frac{1}{25}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=2$
બંને બાજુ $\sqrt{xy}$ વડે ગુણતા: $y+x=2\sqrt{xy}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x+y)^2 = (2\sqrt{xy})^2$
$x^2+y^2+2xy = 4xy$
$x^2+y^2-2xy = 0$
$(x-y)^2 = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x-y=0$,એટલે કે $y=x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$

(D) ધારો કે $f(x) = (x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$.
$(x-1)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^8-1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{x^{16}-1}{x-1}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{16}-1}{x-1}\right) = \frac{(16x^{15})(x-1) - (x^{16}-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{16x^{16} - 16x^{15} - x^{16} + 1}{(x-1)^2} = \frac{15x^{16} - 16x^{15} + 1}{(x-1)^2}$.
આપેલ પદ $\frac{15x^p - 16x^q + 1}{(x-1)^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 16$ અને $q = 15$ મળે છે.
આમ,$(p, q) = (16, 15)$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{2}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ $(i)$
બંને બાજુ વિકલન લેતા:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} dv + \frac{1}{u^2} du$
આપેલ છે કે $u$ અને $v$ માં નિરપેક્ષ ભૂલો $p$ છે,તેથી $du = p$ અને $dv = p$.
આ કિંમતોને વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} p + \frac{1}{u^2} p$
$-\frac{2}{f^2} df = -p \left( \frac{1}{v^2} - \frac{1}{u^2} \right)$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{2}{f^2} df = -p \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \right) \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right)$
સમીકરણ $(i)$ મુજબ $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{2}{f}$ હોવાથી:
$-\frac{2}{f^2} df = -p \left( \frac{2}{f} \right) \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right)$
બંને બાજુ $-\frac{2}{f}$ વડે ભાગતા:
$\frac{df}{f} = p \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right)$
આમ,$f$ માં સાપેક્ષ ભૂલ $p \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ $p V^{1/4} = C$ છે,જ્યાં $C$ અચળાંક છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln p + \frac{1}{4} \ln V = \ln C$.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dp}{p} + \frac{1}{4} \frac{dV}{V} = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} \frac{dV}{V}$.
આપેલ છે કે કદમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{dV}{V} = -\frac{1}{2} \% = -0.5 \%$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} (-0.5 \%) = 0.125 \% = \frac{1}{8} \%$.
આમ,દબાણમાં થતો પ્રતિશત વધારો $\frac{1}{8} \%$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x(\log x-2)(\log x-3)}$.
$t = \log x$ લેતા,તેથી $dt = \frac{dx}{x}$ મળે.
હવે સંકલન $I = \int \frac{dt}{(t-2)(t-3)}$ થશે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(t-2)(t-3)} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t-3}$.
$1 = A(t-3) + B(t-2)$.
$t=2$ માટે $A = -1$ અને $t=3$ માટે $B = 1$ મળે.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1}{t-3} - \frac{1}{t-2} \right) dt$.
$I = \log |t-3| - \log |t-2| + C$.
$I = \log \left| \frac{t-3}{t-2} \right| + C$.
$t = \log x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \log \left| \frac{\log x - 3}{\log x - 2} \right| + C$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \frac{2 + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{2}{2\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$.
અહીં,$f(x) = \tan x$ અને $f'(x) = \sec^2 x$ છે.
તેથી,$I = e^x \tan x + C$.

(D) આપેલ છે કે $\int_0^b \frac{dx}{1+x^2} = \int_b^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}(x) + C$.
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$[\tan^{-1}(x)]_0^b = [\tan^{-1}(x)]_b^{\infty}$
$\tan^{-1}(b) - \tan^{-1}(0) = \lim_{x \to \infty} \tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(b)$
કારણ કે $\tan^{-1}(0) = 0$ અને $\lim_{x \to \infty} \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$,તેથી:
$\tan^{-1}(b) - 0 = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(b)$
$2 \tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{2}$
$\tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{4}$
$b = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$b = 1$.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{1}{2+3x}$. આપણે અંતરાલ $[1,3]$ ને $n=2$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
$h = \frac{3-1}{2} = 1$.
બિંદુઓ $x_0 = 1, x_1 = 2, x_2 = 3$ છે.
$f(x_0) = f(1) = \frac{1}{2+3(1)} = \frac{1}{5} = 0.2$.
$f(x_1) = f(2) = \frac{1}{2+3(2)} = \frac{1}{8} = 0.125$.
$f(x_2) = f(3) = \frac{1}{2+3(3)} = \frac{1}{11} \approx 0.0909$.
Simpson ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]$.
$\int_1^3 f(x) dx \approx \frac{1}{3} [0.2 + 4(0.125) + 0.0909] = \frac{1}{3} [0.2 + 0.5 + 0.0909] = \frac{0.7909}{3} \approx 0.2636$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{29}{110} \approx 0.2636$ મળે છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,$\vec{b} = 3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}$,અને $\vec{c} = 4\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ છે.
બાજુઓના સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
અહીં $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = \sqrt{6}$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{r}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ થાય.
$\left|\begin{matrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}\right| = 0 \Rightarrow x(1-9) - y(1-3) + z(3-1) = 0 \Rightarrow -8x + 2y + 2z = 0 \Rightarrow -4x + y + z = 0$ $(i)$.
કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{c} = 0$ થાય.
$x + y + z = 0$ (ii).
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(x + y + z) - (-4x + y + z) = 0 \Rightarrow 5x = 0 \Rightarrow x = 0$.
(ii) માં $x=0$ મૂકતા,આપણને $y + z = 0 \Rightarrow y = -z$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{r}$ એકમ સદિશ છે,તેથી $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
$0^2 + y^2 + (-y)^2 = 1 \Rightarrow 2y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જો $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તો $z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. જો $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,તો $z = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\vec{r} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$. વિકલ્પ $(C)$ એ $\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓ $AB$ અને $AC$ ના દિકગુણોત્તરો અનુક્રમે $\vec{u} = \langle 1, -1, -1 \rangle$ અને $\vec{v} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ છે.
રેખાઓ $AB$ અને $AC$ સમતલ $ABC$ માં આવેલી હોવાથી,તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ એ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો આપશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-1 - (-2))$
$= \hat{i}(-2) - \hat{j}(3) + \hat{k}(1)$
$= -2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
આમ,દિકગુણોત્તરો $\langle -2, -3, 1 \rangle$ મળે છે.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને સમાન દિકગુણોત્તરો $\langle 2, 3, -1 \rangle$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે ચલ સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો છે.
ધારો કે $Q(x_1, y_1, z_1)$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરનો લંબપાદ છે.
$OQ$ એ સમતલને લંબ હોવાથી,$OQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_1, y_1, z_1)$ છે,જે $(a, b, c)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,કોઈ અચળાંક $k$ માટે $a = kx_1, b = ky_1, c = kz_1$ થાય.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $x_1(x_1 - 1) + y_1(y_1 - 2) + z_1(z_1 - 3) = 0$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 - x_1 - 2y_1 - 3z_1 = 0$ મળે છે.
આ $OP$ વ્યાસવાળા ગોલકનું સમીકરણ છે,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ છે અને $P$ એ નિશ્ચિત બિંદુ $(1, 2, 3)$ છે.

(C) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0) = (-1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\langle a, b, c \rangle$ એ સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર છે.
બિંદુ મૂકતા,આપણને $a(x + 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ મળે છે.
અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા $\alpha$ બનાવે છે,તેથી દિક-કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ થાય.
આમ,દિક-ગુણોત્તર $a, b, c$ ને $1, 1, 1$ તરીકે લઈ શકાય.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x + 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0$
$x + 1 + y - 2 + z - 3 = 0$
$x + y + z - 4 = 0$.

(A) કુલ સિક્કાઓની સંખ્યા $= 2n+1$.
બંને બાજુ છાપ હોય તેવા સિક્કાઓની સંખ્યા $= n$.
સામાન્ય સિક્કાઓની સંખ્યા $= n+1$.
ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળે છે.
બંને બાજુ છાપ હોય તેવો સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{n}{2n+1}$ છે,અને આવા સિક્કા માટે $P(H) = 1$ છે.
સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{n+1}{2n+1}$ છે,અને આવા સિક્કા માટે $P(H) = \frac{1}{2}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(H) = \left(\frac{n}{2n+1}\right) \times 1 + \left(\frac{n+1}{2n+1}\right) \times \frac{1}{2} = \frac{31}{42}$
$\frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{31}{42}$
$\frac{3n+1}{4n+2} = \frac{31}{42}$
$42(3n+1) = 31(4n+2)$
$126n + 42 = 124n + 62$
$2n = 20$
$n = 10$