TS EAMCET 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)(2n+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{(2n)(2n+1)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1}$।
अतः,$S = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + \dots$
इसे $S = 1 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि $\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$।
इसलिए,$S = 1 - \log_e 2$।
चूँकि $1 = \log_e e$,इसलिए $S = \log_e e - \log_e 2 = \log_e \left(\frac{e}{2}\right)$।

(D) दिया गया है,$\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
चूँकि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$,हमारे पास है:
$1 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$1 = Ax^3 - Ax^2 + Ax + Bx^2 - Bx + B + Cx^3 + Cx^2 + Cx + Dx^2 + Dx + D$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को समूहित करने पर:
$1 = (A+C)x^3 + (-A+B+C+D)x^2 + (A-B+C+D)x + (B+D)$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C = 0$ $(i)$
$-A+B+C+D = 0$ (ii)
$A-B+C+D = 0$ (iii)
$B+D = 1$ (iv)
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर:
$(-A+B+C+D) + (A-B+C+D) = 0 + 0$
$2(C+D) = 0$
$C+D = 0$.

(D) दिया गया समीकरण $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ है।
मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ इस समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
मूलों के बीच हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $HM = 4$,इसलिए:
$\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$
$\alpha+\beta$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर:
$\frac{2 \times \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta=2$ और $\alpha\beta=4$ है।
समीकरण के मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ हैं।
ध्रुवीय रूप में,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ है।
अतः,$\alpha^9 = (2e^{i\pi/3})^9 = 2^9 e^{i3\pi} = -2^9$ और $\beta^9 = (2e^{-i\pi/3})^9 = 2^9 e^{-i3\pi} = -2^9$ है।
इसलिए,$\alpha^9+\beta^9 = -2^9 - 2^9 = -2 \times 2^9 = -2^{10}$।

(B) प्रथम असमिका के लिए: $x^2+5x+6 \geq 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) \geq 0$. यह $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$ के लिए सत्य है।
दूसरी असमिका के लिए: $x^2+3x-4 < 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) < 0$. यह $x \in (-4, 1)$ के लिए सत्य है।
इन दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाले $x$ के मानों का सर्वनिष्ठ समुच्चय:
सर्वनिष्ठ: $(-\infty, -3] \cup [-2, \infty) \cap (-4, 1) = (-4, -3] \cup [-2, 1)$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-42x^2+336x-512=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x-2)(x^2-40x+256)=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $x^2-40x+256=0$ को हल करने पर $x=8$ और $x=32$ प्राप्त होते हैं।
अतः,मूल $2, 8, 32$ हैं।
ये वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r = \frac{8}{2} = 4$ अर्थात $4:1$ है।

(C) माना द्विघात समीकरण $\sqrt{2}x^2 - bx + (8 - 2\sqrt{5}) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - \sqrt{10}$ है।
दो मूलों का हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $HM = 4$,इसलिए $4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10})}{\frac{b}{\sqrt{2}}}$.
$4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10}) \cdot \sqrt{2}}{b}$.
$4 = \frac{2(8 - \sqrt{20})}{b} = \frac{2(8 - 2\sqrt{5})}{b} = \frac{16 - 4\sqrt{5}}{b}$.
$4b = 16 - 4\sqrt{5}$.
$4$ से भाग देने पर,$b = 4 - \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,$\frac{1+i}{1-i}$ पद को अंश और हर में $(1+i)$ से गुणा करके सरल करें:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$
इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1+i^2-2i}{1-i^2} = \frac{1-1-2i}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में रखें:
$(i)^4 + (-i)^4 = i^4 + i^4 = 1 + 1 = 2$

(B) दिया गया है,$|z^2-1|=|z|^2+1$. \\ मान लीजिए $z=x+iy$. \\ तब,$|(x+iy)^2-1| = |x+iy|^2+1$. \\ $|x^2-y^2+2ixy-1| = x^2+y^2+1$. \\ $|(x^2-y^2-1)+i(2xy)| = x^2+y^2+1$. \\ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: \\ $(x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2 = (x^2+y^2+1)^2$. \\ $(x^2-y^2)^2 + 1 - 2(x^2-y^2) + 4x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 + 1 + 2(x^2+y^2)$. \\ $x^4+y^4-2x^2y^2 + 1 - 2x^2+2y^2 + 4x^2y^2 = x^4+y^4+2x^2y^2 + 1 + 2x^2+2y^2$. \\ समीकरण को सरल करने पर: \\ $-2x^2 = 2x^2$. \\ $4x^2 = 0 \implies x=0$. \\ चूंकि $x=0$,इसलिए $z$ काल्पनिक अक्ष पर स्थित है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{(1+i) x-i}{2+i}+\frac{(1+2 i) y+i}{2-i}=1$
पहले पद को $\frac{2-i}{2-i}$ से और दूसरे पद को $\frac{2+i}{2+i}$ से गुणा करने पर:
$\frac{[(1+i)x-i](2-i)}{5} + \frac{[(1+2i)y+i](2+i)}{5} = 1$
अंश का विस्तार करने पर:
$\frac{(2-i+2i-i^2)x - 2i + i^2}{5} + \frac{(2+i+4i+2i^2)y + 2i + i^2}{5} = 1$
चूँकि $i^2 = -1$:
$\frac{(3+i)x - 2i - 1}{5} + \frac{(5i)y + 2i - 1}{5} = 1$
$(3+i)x + (5i)y - 2 = 5$
$(3x-7) + i(x+5y) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x-7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
$x+5y = 0 \Rightarrow y = -\frac{x}{5} = -\frac{7}{15}$
अतः,$(x, y) = \left(\frac{7}{3}, -\frac{7}{15}\right)$.

(C) दिया गया है,${}^nC_{r-1}=330$,${}^nC_r=462$,और ${}^nC_{r+1}=462$।
हम जानते हैं कि $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$।
चूंकि ${}^nC_{r+1} = {}^nC_r = 462$,इसलिए $\frac{462}{462} = 1$।
अतः,$\frac{n-r}{r+1} = 1 \implies n-r = r+1 \implies n = 2r+1$।
अब,अनुपात $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{462}{330}$ पर विचार करें।
सूत्र $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{n-r+1}{r} = \frac{462}{330} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $n = 2r+1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2r+1)-r+1}{r} = \frac{7}{5} \implies \frac{r+2}{r} = \frac{7}{5}$।
$5(r+2) = 7r \implies 5r + 10 = 7r \implies 2r = 10 \implies r = 5$।

(C) $t_n$ एक समतल में $n$ बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुजों की संख्या है,जहाँ कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं हैं।
अतः,$t_n = {}^{n}C_3$.
दिया गया है कि $t_{n+1} - t_n = 36$.
सूत्र का उपयोग करने पर: ${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = 36$.
${}^{n+1}C_r = {}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है ${}^{n}C_2 = 36$.
इसलिए,$\frac{n(n-1)}{2} = 36$.
$n(n-1) = 72$.
$n^2 - n - 72 = 0$.
$(n-9)(n+8) = 0$.
चूँकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 9$।

(D) सबसे पहले,हम $10$ पुरुषों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं। $10$ पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $10!$ है।
$10$ पुरुषों द्वारा $11$ स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ $6$ महिलाओं को इस प्रकार बैठाया जा सकता है कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें।
$11$ में से $6$ स्थानों को चुनकर $6$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^{11}P_6$ है।
कुल तरीकों की संख्या $= 10! \times ^{11}P_6 = 10! \times \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{10! 11!}{5!}$.

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$x+y = \frac{2 \pi}{3}$ $(i)$
$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$ (ii)
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$.
$(i)$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$2 \left(\frac{1}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए समीकरण $\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,समीकरणों के निकाय का हल समुच्चय रिक्त है।

(C) चरण $1$: मूलबिंदु को $(1,2)$ पर स्थानांतरित करने पर,पुरानी प्रणाली का बिंदु $(7,5)$ नई प्रणाली में $(7-1, 5-2) = (6,3)$ हो जाता है।
चरण $2$: बिंदु $(6,3)$ को नई $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2$ इकाई स्थानांतरित करने पर $(6-2, 3) = (4,3)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: बिंदु $(4,3)$ को नई प्रणाली के मूलबिंदु के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर। दक्षिणावर्त घूर्णन का सूत्र $(x', y') = (x \cos \theta + y \sin \theta, -x \sin \theta + y \cos \theta)$ है।
$x=4, y=3, \theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$x' = 4 \cos \frac{\pi}{4} + 3 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$
$y' = -4 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अंतिम स्थिति $\left(\frac{7}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(A) माना $l_1 \equiv 2x + 3y = 5$.
चूंकि रेखा $AB$,$l_1$ के लंबवत है,इसलिए $l_1$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
अतः,$AB$ की ढाल $m_{AB} = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ है।
बिंदु $A\left(1, \frac{1}{3}\right)$ से गुजरने वाली और $\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा $AB$ का समीकरण:
$\left(y - \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2}(x - 1)$
$\Rightarrow 2y - \frac{2}{3} = 3x - 3$
$\Rightarrow 3x - 2y = \frac{7}{3}$
$\Rightarrow 9x - 6y = 7$ $(i)$
रेखा $l_1$ का समीकरण $2x + 3y = 5$ है। इसे $2$ से गुणा करने पर $4x + 6y = 10$ (ii) प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $13x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{13}$.
$2x + 3y = 5$ में $x$ का मान रखने पर: $2\left(\frac{17}{13}\right) + 3y = 5$ $\Rightarrow 3y = 5 - \frac{34}{13} = \frac{31}{13}$ $\Rightarrow y = \frac{31}{39}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ($AB$ का मध्य-बिंदु) $\left(\frac{17}{13}, \frac{31}{39}\right)$ है।
माना $B = (x_2, y_2)$. चूंकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है:
$\frac{1 + x_2}{2} = \frac{17}{13} \Rightarrow x_2 = \frac{21}{13}$
$\frac{1/3 + y_2}{2} = \frac{31}{39} \Rightarrow y_2 = \frac{49}{39}$
अतः,$B = \left(\frac{21}{13}, \frac{49}{39}\right)$.

(B) माना $f(x, y) = 3x - 5y + a$ है। बिंदुओं $(1, 2)$ और $(3, 4)$ के रेखा के एक ही ओर स्थित होने के लिए,$f(1, 2)$ और $f(3, 4)$ के चिह्न समान होने चाहिए।
$f(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$
$f(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$
अतः,$(a - 7)(a - 11) > 0$।
इस असमिका को हल करने पर,हमें $a < 7$ या $a > 11$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a \in (-\infty, 7) \cup (11, \infty)$,जो $R - [7, 11]$ है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x \sec \theta - y \operatorname{cosec} \theta = a$ $(i)$
$x \cos \theta + y \sin \theta = a \cos 2 \theta$ $(ii)$
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
रेखा $(i)$ के लिए:
$p = \frac{|-a|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta}} = a \sin \theta \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2 \theta$.
अतः,$2p = a \sin 2 \theta$.
रेखा $(ii)$ के लिए:
$q = \frac{|-a \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = a \cos 2 \theta$.
अब,$4p^2 + q^2$ की गणना करने पर:
$4p^2 + q^2 = (a \sin 2 \theta)^2 + (a \cos 2 \theta)^2 = a^2 (\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta) = a^2$.

(D) दिए गए बिंदु $(1, \pi)$,$(1, 0^{\circ})$ और $(1, \frac{\pi}{2})$ ध्रुवीय रूप में हैं।
इन्हें कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ में बदलने पर:
$(1, \pi) \rightarrow (-1, 0)$
$(1, 0^{\circ}) \rightarrow (1, 0)$
$(1, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0, 1)$
$(1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
बिंदु $(-1, 0)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी:
$d = \frac{|1(-1) + 1(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(B) माना $(a, 0)$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ है,जिसे $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $(b, 0)$ केंद्र और $R$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-b)^2 + y^2 = R^2$ है,जिसे $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दो वृत्तों की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होती है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2) - (x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $2(b-a)x + a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$ है।
चूंकि रेडिकल अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए इसका समीकरण $x = 0$ होना चाहिए।
समीकरण $2(b-a)x + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$ के $x = 0$ को दर्शाने के लिए,अचर पद शून्य होना चाहिए।
अतः,$a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$।
$R$ के लिए हल करने पर,$R^2 = r^2 + b^2 - a^2$,जिसका अर्थ है $R = (r^2 + b^2 - a^2)^{1/2}$।

(B) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\left[\frac{(x^{1/3})^3+1^3}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} - \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right]^{10}$
$= \left[(x^{1/3}+1) - \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right]^{10} = \left[x^{1/3}+1 - (1+x^{-1/2})\right]^{10} = (x^{1/3}-x^{-1/2})^{10}$.
व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है: ${}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$.
$20 - 2r - 3r = 0$ $\Rightarrow 5r = 20$ $\Rightarrow r = 4$.
पद ${}^{10}C_4 (-1)^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ है।

(B) माना $A \equiv (x_1, y_1, z_1)$,$B \equiv (x_2, y_2, z_2)$ और $C \equiv (x_3, y_3, z_3)$ है।
चूंकि $F(0, 1, 0)$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$x_1 + x_2 = 0, y_1 + y_2 = 2, z_1 + z_2 = 0$ $(1)$
चूंकि $D(2, 1, 0)$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$x_2 + x_3 = 4, y_2 + y_3 = 2, z_2 + z_3 = 0$ $(2)$
चूंकि $E(2, 0, 0)$ भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$x_3 + x_1 = 4, y_3 + y_1 = 0, z_3 + z_1 = 0$ $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(x_1 + x_2 + x_3) = 8 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 4$
$2(y_1 + y_2 + y_3) = 4 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 2$
$2(z_1 + z_2 + z_3) = 0 \implies z_1 + z_2 + z_3 = 0$
$\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
मान रखने पर,केंद्रक $\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,हम $10$ पुरुषों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं। $10$ पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $10!$ है।
यह $11$ संभावित अंतराल (सिरों सहित) बनाता है जहाँ $6$ महिलाओं को बैठाया जा सकता है ताकि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें।
$11$ स्थानों में से $6$ स्थानों को चुनने और $6$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^{11}P_6$ द्वारा दी जाती है।
$^{11}P_6 = \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{11!}{5!}$।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $10! \times \frac{11!}{5!} = \frac{10! 11!}{5!}$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $\left[\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)}-\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})}\right]^{10}$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)} = x^{1/3} + 1$
$\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})} = 1 + x^{-1/2}$
मान रखने पर: $\left[(x^{1/3} + 1) - (1 + x^{-1/2})\right]^{10} = (x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$
व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$ $\Rightarrow 5r = 20$ $\Rightarrow r = 4$
अतः पद $T_{4+1} = {}^{10}C_4 = 210$ होगा।

(C) दिया गया व्यंजक $E = \frac{(1-2 x)^{-1}(1-3 x)^{-2}}{(1-4 x)^{-3}}$ है।
छोटे $x$ के लिए द्विपद प्रसार $(1+ax)^n \approx 1+nax$ का उपयोग करने पर:
$(1-2 x)^{-1} \approx 1 + 2x$.
$(1-3 x)^{-2} \approx 1 + 6x$.
$(1-4 x)^{-3} \approx 1 + 12x$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E \approx \frac{(1+2x)(1+6x)}{(1+12x)} = \frac{1 + 8x + 12x^2}{1+12x}$.
$x^2$ और उच्च घातों को नगण्य मानने पर:
$E \approx \frac{1+8x}{1+12x} = (1+8x)(1+12x)^{-1}$.
पुनः द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर:
$E \approx (1+8x)(1-12x) = 1 - 12x + 8x - 96x^2$.
$x^2$ को नगण्य मानने पर:
$E \approx 1 - 4x$.

(D) दिया गया है,$\sin \theta + \cos \theta = p$ $(i)$ और $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = q$ (ii).
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) = q$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,यह $p(1 - \sin \theta \cos \theta) = q$ बन जाता है।
अतः,$1 - \sin \theta \cos \theta = \frac{q}{p}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta \cos \theta = 1 - \frac{q}{p}$ (iii).
समीकरण $(i)$ का वर्ग करने पर: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = p^2$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2$.
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2$.
(iii) को इसमें प्रतिस्थापित करने पर: $1 + 2(1 - \frac{q}{p}) = p^2$.
$1 + 2 - \frac{2q}{p} = p^2$.
$3 - \frac{2q}{p} = p^2$.
$p$ से गुणा करने पर: $3p - 2q = p^3$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $p^3 - 3p = -2q$,अर्थात $p(p^2 - 3) = -2q$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है,$\tan (\pi \cos \theta)=\cot (\pi \sin \theta)$
$\Rightarrow \tan (\pi \cos \theta)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\pi \sin \theta\right)$
$\Rightarrow \pi \cos \theta=\frac{\pi}{2}-\pi \sin \theta$
$\Rightarrow \cos \theta+\sin \theta=\frac{1}{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow \cos \theta \cos \frac{\pi}{4}+\sin \theta \sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$

(A) माना $m_1$ और $m_2$ रेखाओं की ढाल हैं।
तब,$m_1+m_2 = \text{समांतर माध्य} = \frac{4+9}{2} = \frac{13}{2}$ और $m_1 m_2 = \text{गुणोत्तर माध्य} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$.
अब,मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण $(y-m_1 x)(y-m_2 x) = 0$ है।
यह $y^2 - (m_1+m_2)xy + m_1 m_2 x^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
$m_1+m_2$ और $m_1 m_2$ के मान रखने पर,हमें $y^2 - \frac{13}{2}xy + 6x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y^2 - 13xy + 12x^2 = 0$ मिलता है,जो कि $12x^2 - 13xy + 2y^2 = 0$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x^2-5xy+py^2+3x-8y+2=0$ की तुलना सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, h=-\frac{5}{2}, b=p, g=\frac{3}{2}, f=-4, c=2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है यदि $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ हो।
मान रखने पर: $1(p)(2) + 2(-4)(\frac{3}{2})(-\frac{5}{2}) - 1(-4)^2 - p(\frac{3}{2})^2 - 2(-\frac{5}{2})^2 = 0$.
$2p + 30 - 16 - \frac{9p}{4} - \frac{25}{2} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर: $8p + 120 - 64 - 9p - 50 = 0$ $\Rightarrow -p + 6 = 0$ $\Rightarrow p=6$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{5}{2})^2 - 1(6)}}{1+6} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}-6}}{7} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{7} \right| = \frac{2(\frac{1}{2})}{7} = \frac{1}{7}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{7}$,हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है जिसकी सम्मुख भुजा $1$ और आसन्न भुजा $7$ है। कर्ण $\sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{50}$ है।
अतः,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$.

(C) सरल रेखाओं के युग्म $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ के लिए,आंशिक अवकलन का उपयोग करने पर:
$ax+hy+g=0$
$hx+by+f=0$
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ और $y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2}$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु से दूरी का वर्ग $D^2 = x_0^2 + y_0^2$ है।
मान रखने और सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D^2 = \frac{c(a+b)-f^2-g^2}{ab-h^2}$.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2+4y^2-12x-12y+9=0$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $x^2+y^2-3x-3y+\frac{9}{4}=0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x^2-3x)+(y^2-3y)=-\frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+(y-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$ हो जाता है,जो कि $(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=(\frac{3}{2})^2$ है।
इसे मानक रूप $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ से तुलना करने पर,केंद्र $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ और त्रिज्या $r=\frac{3}{2}$ है।
चूंकि केंद्र की दोनों अक्षों से दूरी त्रिज्या के बराबर है (अर्थात $|h|=|k|=r=\frac{3}{2}$),इसलिए वृत्त दोनों अक्षों को स्पर्श करता है।

(C) एक बिंदु $(h, k)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{h^2+k^2+2gh+2fk+c}$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त $x^2+y^2-16=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1 = \sqrt{h^2+k^2-16}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2x+2y=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2 = \sqrt{h^2+k^2+2h+2k}$ है।
दिया गया है कि $L_1 = 2L_2$,इसलिए $\sqrt{h^2+k^2-16} = 2\sqrt{h^2+k^2+2h+2k}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $h^2+k^2-16 = 4(h^2+k^2+2h+2k)$ प्राप्त होता है।
$h^2+k^2-16 = 4h^2+4k^2+8h+8k$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $3h^2+3k^2+8h+8k+16=0$ प्राप्त होता है।

(D) दो वृत्तों $S_1 = x^2+y^2+4x-6y+c=0$ और $S_2 = x^2+y^2-6x+4y-12=0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2+4x-6y+c) - (x^2+y^2-6x+4y-12) = 0$
$10x - 10y + c + 12 = 0$ $(i)$
यदि एक वृत्त दूसरे वृत्त की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो उभयनिष्ठ जीवा उस वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है जिसे समद्विभाजित किया जा रहा है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ का केंद्र $(3, -2)$ है।
समीकरण $(i)$ में $(3, -2)$ रखने पर:
$10(3) - 10(-2) + c + 12 = 0$
$30 + 20 + c + 12 = 0$
$62 + c = 0$
$c = -62$

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $C: x^2 + y^2 - 16x - 12y + 64 = 0$ है।
$(i)$ वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ होता है।
बिंदु $(-5, 1)$ के लिए,$g = -8, f = -6, c = 64$:
$x(-5) + y(1) - 8(x - 5) - 6(y + 1) + 64 = 0$
$-5x + y - 8x + 40 - 6y - 6 + 64 = 0$
$-13x - 5y + 98 = 0 \Rightarrow 13x + 5y = 98$. यह $(D)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 - 8(x + x_1) - 6(y + y_1) + 64 = 0$ है।
$(8, 0)$ के लिए:
$8x + 0y - 8(x + 8) - 6(y + 0) + 64 = 0$
$8x - 8x - 64 - 6y + 64 = 0$
$-6y = 0 \Rightarrow y = 0$. यह $(A)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (8, 6)$ है। वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब केंद्र से होकर गुजरता है।
$(2, 6)$ पर अभिलंब $(2, 6)$ और $(8, 6)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान हैं,रेखा का समीकरण $y = 6$ है। यह $(B)$ से मेल खाता है।
$(iv)$ व्यास केंद्र $(8, 6)$ और दिए गए बिंदु $(8, 12)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $x$-निर्देशांक समान हैं,रेखा का समीकरण $x = 8$ है। यह $(E)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(i)-(D), (ii)-(A), (iii)-(B), (iv)-(E)$ है।

(B) मान लीजिए कि $(a, 0)$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ है,जिसे $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए कि $(b, 0)$ केंद्र और $R$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-b)^2 + y^2 = R^2$ है,जिसे $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों वृत्तों की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होती है।
$(x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2) - (x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2) = 0$.
$-2ax + 2bx + a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$2x(b-a) + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$.
चूंकि रेडिकल अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए इसका समीकरण $x = 0$ है।
$2x(b-a) + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$ की तुलना $x = 0$ से करने पर,अचर पद शून्य होना चाहिए:
$a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$R^2 = r^2 + b^2 - a^2$.
$R = (r^2 + b^2 - a^2)^{1/2}$.

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,जहाँ $4a = 8$,इसलिए $a = 2$.
माना जीवा का समीकरण $y = mx + c$ है। रेखा $y = mx + c$ और परवलय $y^2 = 8x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(mx + c)^2 = 8x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो $m^2x^2 + (2mc - 8)x + c^2 = 0$ में सरल हो जाते हैं।
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। तो $x_1 + x_2 = -\frac{2mc - 8}{m^2}$ और $x_1x_2 = \frac{c^2}{m^2}$।
जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k) = (\frac{x_1 + x_2}{2}, m(\frac{x_1 + x_2}{2}) + c)$ है।
चूँकि वृत्त की त्रिज्या $4$ है और यह परवलय के अक्ष $(y = 0)$ को स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $4$ या $-4$ होना चाहिए। अतः,$k = 4$ (धनात्मक लेने पर)।
जीवा की लंबाई $L = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = |x_1 - x_2| \sqrt{1 + m^2} = 8$ (व्यास $8$ है)।
परवलय की जीवा के गुण के अनुसार,ढाल $m = \frac{2}{t_1 + t_2}$ और मध्य-बिंदु का $y$-निर्देशांक $k = 2(t_1 + t_2) = 4$,जो $t_1 + t_2 = 2$ देता है।
अतः,$m = \frac{2}{2} = 1$।

(A) शंकु $S=0$ के लिए मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ होता है।
दिया गया दीर्घवृत्त: $S = x^2+4y^2-2x+20y = 0$.
मध्य-बिंदु $(x_1, y_1) = (2, -4)$.
$T = x(x_1) + 4y(y_1) - (x+x_1) + 10(y+y_1) = 0$.
$(x_1, y_1) = (2, -4)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2x + 4y(-4) - (x+2) + 10(y-4) = 2x - 16y - x - 2 + 10y - 40 = x - 6y - 42$.
$S_1 = (2)^2 + 4(-4)^2 - 2(2) + 20(-4) = 4 + 64 - 4 - 80 = -16$.
$T = S_1$ रखने पर:
$x - 6y - 42 = -16$.
$x - 6y = 42 - 16$.
$x - 6y = 26$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है। यहाँ $a^2=25$ और $b^2=16$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(1-e^2)$,अतः $16=25(1-e^2)$,जिससे $e^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ प्राप्त होता है,अर्थात $e=\frac{3}{5}$।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है। यहाँ $a^2=4$ है।
माना अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1$ है। नाभियाँ $(\pm ae_1, 0) = (\pm 2e_1, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$2e_1=3$,अतः $e_1=\frac{3}{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2=a^2(e_1^2-1)$।
मान रखने पर,$b^2=4((\frac{3}{2})^2-1) = 4(\frac{9}{4}-1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$।

(B) अतिपरवलय $x^2-y^2=9$ और स्पर्श जीवा $x=9$ दी गई है।
$x=9$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$81-y^2=9$ $\Rightarrow y^2=72$ $\Rightarrow y = \pm 6\sqrt{2}$.
अतः,स्पर्श बिंदु $P_1(9, 6\sqrt{2})$ और $P_2(9, -6\sqrt{2})$ हैं।
$x^2-y^2=9$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
$P_1(9, 6\sqrt{2})$ पर ढाल $m_1 = \frac{9}{6\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$P_1$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 6\sqrt{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9)$ है,जो सरल करने पर $3x - 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ होता है।
$P_2(9, -6\sqrt{2})$ पर ढाल $m_2 = \frac{9}{-6\sqrt{2}} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$P_2$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y + 6\sqrt{2} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9)$ है,जो सरल करने पर $3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ विकल्प $B$ है।

(B) $x = 0$ के निकट $\tan x$ और $\sin x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$
अब,$\tan^3 x$ का विस्तार करने पर:
$\tan^3 x = (x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))^3 = x^3 + x^5 + O(x^7)$
$\sin^3 x$ का विस्तार करने पर:
$\sin^3 x = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))^3 = x^3 - \frac{x^5}{2} + O(x^7)$
दोनों को घटाने पर:
$\tan^3 x - \sin^3 x = \frac{3}{2}x^5 + O(x^7)$
अंत में,सीमा का मान:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{3}{2}x^5}{x^5} = \frac{3}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$
बाएँ पक्ष का लघुत्तम $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{a+b+2c}{ab + ac + bc + c^2} = \frac{3}{a+b+c}$
वज्र-गुणन करने पर: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab + ac + bc + c^2)$
$(a+b)^2 + c(a+b) + 2c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$ की तुलना $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$ से करने पर:
$ab = 2ab \cos C$
$\cos C = \frac{1}{2}$
अतः,$\angle C = 60^{\circ}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
बाएँ पक्ष का लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर: $\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
वज्र-गुणन करने पर: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
समान पदों को घटाने पर: $a^2 + b^2 - c^2 = ab$
कोसाइन नियम के अनुसार: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ रखने पर: $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
अतः,$\angle C = 60^{\circ}$।

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$.
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)} [(s-c) + (s-a) + (s-b)]$.
चूंकि $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{\Delta^2}{\Delta^2/s} [3s - (a+b+c)]$.
$a+b+c = 2s$ का उपयोग करने पर:
$s [3s - 2s] = s^2$.
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$,इसलिए $s = \frac{\Delta}{r}$,अर्थात $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$.

(A) लघुगणक $\log_{10}(A)$ के $R$ में परिभाषित होने के लिए,तर्क $A > 0$ होना चाहिए।
अतः,$(1.6)^{1-x^2} - (0.625)^{6(1+x)} > 0$।
यहाँ $1.6 = \frac{8}{5}$ और $0.625 = \frac{5}{8} = (\frac{8}{5})^{-1}$ है।
इसलिए,$(\frac{8}{5})^{1-x^2} > (\frac{8}{5})^{-6(1+x)}$।
चूंकि आधार $\frac{8}{5} > 1$ है,इसलिए घातांकों के लिए असमिका इस प्रकार होगी:
$1 - x^2 > -6(1 + x)$
$1 - x^2 > -6 - 6x$
$x^2 - 6x - 7 < 0$
गुणनखंड करने पर: $(x - 7)(x + 1) < 0$।
इस असमिका का हल $x \in (-1, 7)$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \cos \left(\frac{x}{3}\right) + \sin \left(\frac{x}{2}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\cos(ax)$ का आवर्तकाल $\frac{2 \pi}{|a|}$ होता है और $\sin(bx)$ का आवर्तकाल $\frac{2 \pi}{|b|}$ होता है।
प्रथम पद $\cos \left(\frac{x}{3}\right)$ के लिए, आवर्तकाल $T_1 = \frac{2 \pi}{1/3} = 6 \pi$ है।
द्वितीय पद $\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ के लिए, आवर्तकाल $T_2 = \frac{2 \pi}{1/2} = 4 \pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
अतः, $f(x)$ का आवर्तकाल = $\text{LCM}(6 \pi, 4 \pi)$ होगा।
चूंकि $6 \pi = 2 \times 3 \pi$ और $4 \pi = 2 \times 2 \pi$, इसलिए $\text{LCM}(6 \pi, 4 \pi) = 12 \pi$ है।
अतः, $f(x)$ का आवर्तकाल $12 \pi$ है।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार के आधार $(B)$ से बिंदु $A$ की दूरी $x$ है।
$\triangle ABD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
अब,व्यक्ति $AB$ के लंबवत $60 \ m$ चलकर बिंदु $C$ पर पहुँचता है। अतः,$AC = 60 \ m$ और $\triangle ABC$,$A$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
बिंदु $C$ से आधार $B$ की दूरी $BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{60^2 + x^2} = \sqrt{3600 + x^2}$ है।
$\triangle CBD$ में,उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = \frac{h}{BC} \Rightarrow 1 = \frac{h}{\sqrt{3600 + x^2}}$.
अतः,$h^2 = 3600 + x^2$.
समीकरण में $x^2 = \frac{h^2}{3}$ रखने पर: $h^2 = 3600 + \frac{h^2}{3}$.
$h^2 - \frac{h^2}{3} = 3600 \Rightarrow \frac{2h^2}{3} = 3600$.
$h^2 = 1800 \times 3 = 5400$.
$h = \sqrt{5400} = \sqrt{900 \times 6} = 30 \sqrt{6} \ m$.

(B) माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
चूंकि $D(2, 1, 0)$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_2+x_3}{2} = 2 \implies x_2+x_3 = 4$
$\frac{y_2+y_3}{2} = 1 \implies y_2+y_3 = 2$
$\frac{z_2+z_3}{2} = 0 \implies z_2+z_3 = 0$
चूंकि $E(2, 0, 0)$ भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_1+x_3}{2} = 2 \implies x_1+x_3 = 4$
$\frac{y_1+y_3}{2} = 0 \implies y_1+y_3 = 0$
$\frac{z_1+z_3}{2} = 0 \implies z_1+z_3 = 0$
चूंकि $F(0, 1, 0)$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_1+x_2}{2} = 0 \implies x_1+x_2 = 0$
$\frac{y_1+y_2}{2} = 1 \implies y_1+y_2 = 2$
$\frac{z_1+z_2}{2} = 0 \implies z_1+z_2 = 0$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(x_1+x_2+x_3) = 4+4+0 = 8 \implies x_1+x_2+x_3 = 4$
$2(y_1+y_2+y_3) = 2+0+2 = 4 \implies y_1+y_2+y_3 = 2$
$2(z_1+z_2+z_3) = 0+0+0 = 0 \implies z_1+z_2+z_3 = 0$
$\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,केंद्रक $\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ प्राप्त होता है।

(D) कुल प्रतिदर्श बिंदु,$n(S) = 6 \times 6 = 36$.
योग $10$ या उससे अधिक होने के अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या,$n(E) = 6$.
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(C) $8$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ हैं।
मान लीजिए कि दो चुनी गई संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $x < y$ है। हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $x < 4$ हो।
स्थिति $I$: यदि $x = 1$ है,तो $y$ शेष $7$ संख्याओं $(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\})$ में से कोई भी हो सकती है। तरीकों की संख्या $= 7$ है।
स्थिति $II$: यदि $x = 2$ है,तो $y$ शेष $6$ संख्याओं $(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\})$ में से कोई भी हो सकती है। तरीकों की संख्या $= 6$ है।
स्थिति $III$: यदि $x = 3$ है,तो $y$ शेष $5$ संख्याओं $(\{4, 5, 6, 7, 8\})$ में से कोई भी हो सकती है। तरीकों की संख्या $= 5$ है।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 7 + 6 + 5 = 18$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{18}{28} = \frac{9}{14}$ है।

(C) समघात रैखिक समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$.
दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{bmatrix}$ के लिए,हम $|A| = 0$ रखते हैं।
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{vmatrix} = 0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3$ में $R_2$ को जोड़ने पर $(R_3 \rightarrow R_3 + R_2)$:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$.
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$4 \times \begin{vmatrix} t & t+1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
$4 \times (-t - (t+1)) = 0$.
$4 \times (-2t - 1) = 0$.
$-8t - 4 = 0 \implies t = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $t$ का केवल एक ही वास्तविक मान $(t = -\frac{1}{2})$ प्राप्त होता है,इसलिए वास्तविक मानों की संख्या $1$ है।

(D) दिया गया है,$u=\log \left(x^3+y^3+z^3-3 x y z\right)$.
हम जानते हैं कि $x^3+y^3+z^3-3 x y z = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x)$.
अतः,$u = \log(x+y+z) + \log(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x)$.
अब,आंशिक अवकलन करने पर:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3x^2-3yz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
$u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3y^2-3xz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
$u_z = \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2-3xy}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
इन तीनों का योग करने पर:
$u_x+u_y+u_z = \frac{3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}$
$u_x+u_y+u_z = \frac{3}{x+y+z}$
अतः,$(x+y+z)(u_x+u_y+u_z) = 3$.

(B) दिया गया है: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=2 \log \left(\frac{x}{2}\right)$,जहाँ $x>0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \cdot \frac{1}{b} \frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$
$x \frac{d y}{d x} = -2 \sqrt{b^2-y^2} \quad \dots (i)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = -2 \cdot \frac{1}{2} (b^2-y^2)^{-1/2} (-2y) \frac{d y}{d x}$
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{2y}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{d y}{d x}$
समीकरण $(i)$ से,$\sqrt{b^2-y^2} = -\frac{x}{2} \frac{d y}{d x}$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{2y}{-\frac{x}{2} \frac{d y}{d x}} \cdot \frac{d y}{d x} = -\frac{4y}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} + x \frac{d y}{d x} = -4y$.

(D) दिए गए वक्र हैं:
$x^2+p y^2=1$ $(i)$
$q x^2+y^2=1$ (ii)
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2py \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_1 = -\frac{x}{py}$
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2qx + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_2 = -\frac{qx}{y}$
चूंकि वक्र लंबकोणीय हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$:
$(-\frac{x}{py}) \cdot (-\frac{qx}{y}) = -1$
$\frac{qx^2}{py^2} = -1 \implies qx^2 = -py^2$
$(i)$ से,$x^2 = 1 - py^2$. इस मान को शर्त में रखने पर:
$q(1 - py^2) = -py^2$
$q - qpy^2 = -py^2$
$q = y^2(qp - p) \implies y^2 = \frac{q}{p(q-1)}$
इसी प्रकार,$x^2 = \frac{p(1-q)}{q-p}$. $x^2$ और $y^2$ के मान को $q x^2 + y^2 = 1$ में रखने पर:
$q(\frac{p(1-q)}{q-p}) + \frac{q}{p(q-1)} = 1$
सरल करने पर,हमें $p+q = 2pq$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 2$.

(A) माना $I = \int \frac{x-\sin x}{1+\cos x} dx$.
सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ और $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{x}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx - \int \frac{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx$
$I = \frac{1}{2} \int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$.
प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$\int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx = x(2\tan(\frac{x}{2})) - \int 1 \cdot 2\tan(\frac{x}{2}) dx = 2x\tan(\frac{x}{2}) - 2 \int \tan(\frac{x}{2}) dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} [2x\tan(\frac{x}{2}) - 2 \int \tan(\frac{x}{2}) dx] - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$
$I = x\tan(\frac{x}{2}) - \int \tan(\frac{x}{2}) dx - \int \tan(\frac{x}{2}) dx = x\tan(\frac{x}{2}) - 2 \int \tan(\frac{x}{2}) dx$.
चूंकि $\int \tan(\frac{x}{2}) dx = 2 \log |\sec(\frac{x}{2})|$,इसलिए:
$I = x\tan(\frac{x}{2}) - 2(2 \log |\sec(\frac{x}{2})|) + C = x\tan(\frac{x}{2}) - 4 \log |\sec(\frac{x}{2})| + C$.
दिए गए व्यंजक $x \tan(\frac{x}{2}) + p \log |\sec(\frac{x}{2})| + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = -4$ प्राप्त होता है।

(D) हमें दिया गया है,$\int_0^b \frac{dx}{1+x^2} = \int_b^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$[\tan^{-1} x]_0^b = [\tan^{-1} x]_b^{\infty}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,$\tan^{-1}(b) - \tan^{-1}(0) = \tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(b)$।
चूंकि $\tan^{-1}(0) = 0$ और $\tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(b)$।
दोनों पक्षों में $\tan^{-1}(b)$ जोड़ने पर,$2 \tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$b = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$।

(C) दिए गए वक्र $x = -2y^2$ और $x = 1 - 3y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-2y^2 = 1 - 3y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$
जब $y = 1$,तो $x = -2(1)^2 = -2$। जब $y = -1$,तो $x = -2(-1)^2 = -2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$y$ के सापेक्ष $-1$ से $1$ तक के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 3y^2) - (-2y^2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) \, dy$
चूंकि फलन सम है,$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^2) \, dy$
$A = 2 [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया अवकल समीकरण है: $(1+y+x^2 y) dx + (x+x^3) dy = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x+x^3) dy = -(1+y+x^2 y) dx$।
$dx(x+x^3)$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$।
इसे सरल करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^2)} - \frac{y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -\frac{1}{x(1+x^2)}$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = -\frac{1}{x(1+x^2)}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -2 \tan 2x$ और $Q = e^x \sec 2x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \tan 2x dx} = e^{-\ln(\sec 2x)} = e^{\ln(\cos 2x)} = \cos 2x$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cos 2x = \int (e^x \sec 2x \cdot \cos 2x) dx + C$.
चूंकि $\sec 2x \cdot \cos 2x = 1$,इसलिए:
$y \cos 2x = \int e^x dx + C$.
$y \cos 2x = e^x + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(C) दिया गया है कि $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ और $a \times b = 0, b \times c = 0$ है।
चूंकि $a \times b = 0$,इसलिए सदिश $a$ और $b$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि $b \times c = 0$,इसलिए सदिश $b$ और $c$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
समांतर सदिशों के संक्रामक गुण के अनुसार,यदि $a, b$ के समांतर है और $b, c$ के समांतर है,तो $a, c$ के समांतर होगा।
अतः,दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $a \times c = 0$।

(C) दिया गया है $a \cdot y = c$ और $a \times y = b$। चूँकि $a$ और $b$ लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = 0$।
दूसरे समीकरण के साथ $a$ का क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$a \times (a \times y) = a \times b$
सदिश त्रिक गुणनफल नियम $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करने पर:
$(a \cdot y)a - (a \cdot a)y = a \times b$
$a \cdot y = c$ और $a \cdot a = |a|^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$c a - |a|^2 y = a \times b$
$y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$|a|^2 y = c a - (a \times b)$
$y = \frac{1}{|a|^2} [c a - (a \times b)]$

(B) माना चार बिंदुओं $P, Q, R$ और $S$ के निर्देशांक क्रमशः $(3, -4, 5), (0, 0, 4), (-4, 5, 1)$ और $(-3, 4, 3)$ हैं।
बिंदुओं $(3, -4, 5)$ और $(0, 0, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण:
$\frac{x-3}{0-3} = \frac{y+4}{0+4} = \frac{z-5}{4-5} = r_1$
$\Rightarrow \frac{x-3}{-3} = \frac{y+4}{4} = \frac{z-5}{-1} = r_1$
बिंदुओं $(-4, 5, 1)$ और $(-3, 4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $RS$ का समीकरण:
$\frac{x+4}{-3+4} = \frac{y-5}{4-5} = \frac{z-1}{3-1} = r_2$
$\Rightarrow \frac{x+4}{1} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-1}{2} = r_2$
रेखा $PQ$ पर एक सामान्य बिंदु $(-3r_1+3, 4r_1-4, -r_1+5)$ है और रेखा $RS$ पर एक सामान्य बिंदु $(r_2-4, -r_2+5, 2r_2+1)$ है।
चूंकि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$-3r_1+3 = r_2-4 \Rightarrow 3r_1+r_2 = 7$ (समीकरण $i$)
$4r_1-4 = -r_2+5 \Rightarrow 4r_1+r_2 = 9$ (समीकरण $ii$)
समीकरण $ii$ से समीकरण $i$ को घटाने पर:
$(4r_1+r_2) - (3r_1+r_2) = 9 - 7 \Rightarrow r_1 = 2$
$r_1 = 2$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर:
$3(2) + r_2 = 7 \Rightarrow r_2 = 1$
$r_2 = 1$ का मान रेखा $RS$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 1-4 = -3, y = -1+5 = 4, z = 2(1)+1 = 3$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3, 4, 3)$ है,जो $-3i+4j+3k$ को दर्शाता है।

(C) माना समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है। चूँकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाता है,इसलिए दिक कोज्याएँ समान हैं,अर्थात $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$। इसका अर्थ है कि $a = b = c$।
अतः,समतल का समीकरण $x + y + z = d$ के रूप में है।
चूँकि समतल बिंदु $(-1, 2, 3)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$-1 + 2 + 3 = d
\Rightarrow d = 4$।
$d$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y + z = 4$
$x + y + z - 4 = 0$।

(D) दी गई रेखाएं $r = a_1 + \lambda b_1$ और $r = a_2 + \mu b_2$ हैं,जहाँ $a_1 = 3i + 5j + 7k$,$b_1 = i + 2j + k$,$a_2 = -i - j - k$,और $b_2 = 7i - 6j + k$ है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $b_1 \times b_2$ की गणना करते हैं:
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 1 \\ 7 & -6 & 1 \end{vmatrix} = i(2 + 6) - j(1 - 7) + k(-6 - 14) = 8i + 6j - 20k$.
इसका परिमाण $|b_1 \times b_2| = \sqrt{8^2 + 6^2 + (-20)^2} = \sqrt{64 + 36 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ है।
इसके बाद,$a_2 - a_1 = (-i - j - k) - (3i + 5j + 7k) = -4i - 6j - 8k$ ज्ञात करते हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल $(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = (-4i - 6j - 8k) \cdot (8i + 6j - 20k) = (-4)(8) + (-6)(6) + (-8)(-20) = -32 - 36 + 160 = 92$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|} = \frac{92}{10\sqrt{5}} = \frac{46}{5\sqrt{5}}$ है।

(A) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ होता है।
दिया गया है कि $P(X=1) = 2P(X=2)$।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda e^{-\lambda} = 2 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$
$\lambda e^{-\lambda} = \lambda^2 e^{-\lambda}$
चूंकि $e^{-\lambda} \neq 0$,दोनों पक्षों को $e^{-\lambda}$ से विभाजित करने पर:
$\lambda = \lambda^2$
$\lambda^2 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda - 1) = 0$।
पॉइसन वितरण के लिए $\lambda > 0$ होना चाहिए,इसलिए $\lambda = 1$।
अब,$P(X=3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{1^3 e^{-1}}{3 \times 2 \times 1} = \frac{e^{-1}}{6}$।

(B) $X$ का माध्य $\bar{X} = E(X) = \sum_{n=1}^{m} n \cdot P(X=n) = \sum_{n=1}^{m} n \cdot \frac{1}{m} = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m+1}{2}$ है।
$X$ का प्रसरण $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$E(X^2) = \sum_{n=1}^{m} n^2 \cdot P(X=n) = \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} n^2 = \frac{1}{m} \cdot \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} = \frac{(m+1)(2m+1)}{6}$ की गणना करें।
अब,$\text{Var}(X) = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \left( \frac{m+1}{2} \right)^2 = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} - \frac{(m+1)^2}{4}$.
$\frac{m+1}{2}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: $\text{Var}(X) = \frac{m+1}{2} \left[ \frac{2m+1}{3} - \frac{m+1}{2} \right] = \frac{m+1}{2} \left[ \frac{4m+2 - 3m - 3}{6} \right] = \frac{m+1}{2} \cdot \frac{m-1}{6} = \frac{m^2-1}{12}$.

(C) दिए गए वक्र $x = -2y^2$ और $x = 1 - 3y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-2y^2 = 1 - 3y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$
जब $y = 1$,तो $x = -2(1)^2 = -2$. जब $y = -1$,तो $x = -2(-1)^2 = -2$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष $-1$ से $1$ तक के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$Area = \int_{-1}^{1} |(1 - 3y^2) - (-2y^2)| dy$
$Area = \int_{-1}^{1} |1 - y^2| dy$
चूंकि फलन $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,हम लिख सकते हैं:
$Area = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$
$Area = 2 [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1}$
$Area = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $A$ समीकरण $x^2 + 4x - p = 0$ को संतुष्ट करता है,इसलिए $A^2 + 4A - pI = 0$ होगा,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-8)(-8) + (5)(2) & (-8)(5) + (5)(4) \\ (2)(-8) + (4)(2) & (2)(5) + (4)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 + 10 & -40 + 20 \\ -16 + 8 & 10 + 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix}$.
अब,$4A$ की गणना करते हैं:
$4A = 4 \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix}$.
अब,इन मानों को समीकरण $A^2 + 4A - pI = 0$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
आव्यूहों को जोड़ने पर:
$\begin{bmatrix} 74 - 32 - p & -20 + 20 - 0 \\ -8 + 8 - 0 & 26 + 16 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} 42 - p & 0 \\ 0 & 42 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $42 - p = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $p = 42$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
अवलोकन द्वारा,हम अनुमान लगाते हैं कि $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अब,व्यंजक $nA - (n-1)I$ का मूल्यांकन करें:
$nA - (n-1)I = n \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - (n-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n & n \\ 0 & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n - (n-1) & n - 0 \\ 0 - 0 & n - (n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = A^n$.
अतः,$A^n = nA - (n-1)I$ सही है।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+5 \\ x+4 & x+6 & x+9 \\ x+8 & x+11 & x+15\end{array}\right|$.
संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & 8 & 10\end{array}\right|$.
अब,संक्रिया $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 4\end{array}\right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (x+2)(4-4) - 1(8-12) + 3(4-6)$
$\Delta = (x+2)(0) - 1(-4) + 3(-2)$
$\Delta = 0 + 4 - 6 = -2$.

(D) दी गई समीकरणों की प्रणाली है:
$3x + 2y + z = 6$
$3x + 4y + 3z = 14$
$6x + 10y + 8z = a$
माना $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 6 & 10 & 8 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 3(32 - 30) - 2(24 - 18) + 1(30 - 24) = 3(2) - 2(6) + 6 = 6 - 12 + 6 = 0$.
चूंकि $|A| = 0$,प्रणाली का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं। अनंत हलों के लिए,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ होना चाहिए।
$A$ का एड्जॉइंट इस प्रकार है:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix}$.
अब,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ की गणना करते हैं:
$\begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 84 + 2a \\ -36 + 252 - 6a \\ 36 - 252 + 6a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a - 72 \\ 216 - 6a \\ 6a - 216 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
पहली पंक्ति से,$2a - 72 = 0 \implies a = 36$.
अन्य पंक्तियों के साथ जांचने पर,$216 - 6(36) = 216 - 216 = 0$.
अतः,$a = 36$ के लिए,प्रणाली के अनंत हल हैं।

(C) समघाती रैखिक समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{bmatrix}$ है।
हम सारणिक $|A| = 0$ रखते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{vmatrix} = 0$।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$।
$R_2$ को $R_3$ में जोड़ने पर $(R_3 \rightarrow R_3 + R_2)$:
$|A| = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$।
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$4 \times \begin{vmatrix} t & t+1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$।
$4 \times (-t - (t+1)) = 0$।
$4 \times (-2t - 1) = 0$।
$-8t - 4 = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $t$ का केवल एक ही वास्तविक मान $(t = -\frac{1}{2})$ प्राप्त होता है,इसलिए वास्तविक मानों की संख्या $1$ है।

(C) हम सूत्र $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ का उपयोग करेंगे।
दिया गया है $\cos ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\cos ^{-1} x$.
यहाँ $A = \frac{5}{13}$ और $B = \frac{3}{5}$ है।
तब $\sqrt{1-A^2} = \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
और $\sqrt{1-B^2} = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} - \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{15-48}{65} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{-33}{65} \right)$.
अतः,$x = \frac{-33}{65}$.

(D) हम जानते हैं कि $|x| > 1$ के लिए $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ होता है।
अतः,$\operatorname{coth}^{-1}(2) = \tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\operatorname{coth}^{-1}(2) = \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \tanh ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।
लघुगणकीय रूप $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right) = \log \left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \log 3$।

(A) दिया गया है,$f(x) = (p - x^n)^{1/n}$,जहाँ $p > 0$ है।
$f[f(x)]$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ को फलन $f$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f[f(x)] = f((p - x^n)^{1/n})$
$= (p - ((p - x^n)^{1/n})^n)^{1/n}$
$= (p - (p - x^n))^{1/n}$
$= (p - p + x^n)^{1/n}$
$= (x^n)^{1/n}$
$= x$.

(B) दिया गया है कि सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$ है।
यह $f(x) = a^x$ के रूप का एक फलन है।
चूंकि $f(2) = 9$ है,इसलिए $a^2 = 9$,जिसका अर्थ है $a = 3$ (क्योंकि $f$ शून्येतर है)।
अतः,$f(x) = 3^x$।
इसलिए,$f(6) = 3^6$।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x + 1}$।
अब,$g(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{f(x)}} = \frac{1}{1 + \frac{x + 1}{x}} = \frac{1}{\frac{x + x + 1}{x}} = \frac{x}{2x + 1}$।
$g^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ का उपयोग करते हैं:
$g^{\prime}(x) = \frac{(1)(2x + 1) - (x)(2)}{(2x + 1)^2} = \frac{2x + 1 - 2x}{(2x + 1)^2} = \frac{1}{(2x + 1)^2}$।
$x = 2$ रखने पर:
$g^{\prime}(2) = \frac{1}{(2(2) + 1)^2} = \frac{1}{(5)^2} = \frac{1}{25}$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=2$
दोनों पक्षों को $\sqrt{xy}$ से गुणा करने पर: $y+x=2\sqrt{xy}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x+y)^2 = (2\sqrt{xy})^2$
$x^2+y^2+2xy = 4xy$
$x^2+y^2-2xy = 0$
$(x-y)^2 = 0$
इसका अर्थ है कि $x-y=0$,अर्थात $y=x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$

(D) माना $f(x) = (x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$ है।
$(x-1)$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^8-1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{x^{16}-1}{x-1}$।
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{16}-1}{x-1}\right) = \frac{(16x^{15})(x-1) - (x^{16}-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{16x^{16} - 16x^{15} - x^{16} + 1}{(x-1)^2} = \frac{15x^{16} - 16x^{15} + 1}{(x-1)^2}$।
दिए गए व्यंजक $\frac{15x^p - 16x^q + 1}{(x-1)^2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = 16$ और $q = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,$(p, q) = (16, 15)$।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{2}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ $(i)$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} dv + \frac{1}{u^2} du$
दिया गया है कि $u$ और $v$ में निरपेक्ष त्रुटियाँ $p$ हैं,इसलिए $du = p$ और $dv = p$ है।
इन मानों को अवकल समीकरण में रखने पर:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} p + \frac{1}{u^2} p$
$-\frac{2}{f^2} df = -p \left( \frac{1}{v^2} - \frac{1}{u^2} \right)$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$-\frac{2}{f^2} df = -p \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \right) \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right)$
समीकरण $(i)$ के अनुसार $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{2}{f}$ है,इसलिए:
$-\frac{2}{f^2} df = -p \left( \frac{2}{f} \right) \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right)$
दोनों पक्षों को $-\frac{2}{f}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{df}{f} = p \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right)$
अतः,$f$ में सापेक्ष त्रुटि $p \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$ है।

(A) दिया गया संबंध $p V^{1/4} = C$ है,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln p + \frac{1}{4} \ln V = \ln C$.
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dp}{p} + \frac{1}{4} \frac{dV}{V} = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} \frac{dV}{V}$.
दिया गया है कि आयतन में प्रतिशत कमी $\frac{dV}{V} = -\frac{1}{2} \% = -0.5 \%$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{dp}{p} = -\frac{1}{4} (-0.5 \%) = 0.125 \% = \frac{1}{8} \%$.
अतः,दाब में प्रतिशत वृद्धि $\frac{1}{8} \%$ है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{x(\log x-2)(\log x-3)}$.
$t = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $I = \int \frac{dt}{(t-2)(t-3)}$ हो जाता है।
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{(t-2)(t-3)} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t-3}$.
$1 = A(t-3) + B(t-2)$.
$t=2$ के लिए $A = -1$ और $t=3$ के लिए $B = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \left( \frac{1}{t-3} - \frac{1}{t-2} \right) dt$.
$I = \log |t-3| - \log |t-2| + C$.
$I = \log \left| \frac{t-3}{t-2} \right| + C$.
$t = \log x$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \log \left| \frac{\log x - 3}{\log x - 2} \right| + C$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{2 + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{2}{2\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \tan x$ और $f'(x) = \sec^2 x$ है।
अतः,$I = e^x \tan x + C$।

(D) दिया गया है कि $\int_0^b \frac{dx}{1+x^2} = \int_b^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$।
हम जानते हैं कि $\int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}(x) + C$ होता है।
सीमाओं को लागू करने पर:
$[\tan^{-1}(x)]_0^b = [\tan^{-1}(x)]_b^{\infty}$
$\tan^{-1}(b) - \tan^{-1}(0) = \lim_{x \to \infty} \tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(b)$
चूँकि $\tan^{-1}(0) = 0$ और $\lim_{x \to \infty} \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$\tan^{-1}(b) - 0 = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(b)$
$2 \tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{2}$
$\tan^{-1}(b) = \frac{\pi}{4}$
$b = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$b = 1$.

(C) माना $f(x) = \frac{1}{2+3x}$ है। हम अंतराल $[1,3]$ को $n=2$ समान भागों में विभाजित करते हैं।
$h = \frac{3-1}{2} = 1$.
बिंदु $x_0 = 1, x_1 = 2, x_2 = 3$ हैं।
$f(x_0) = f(1) = \frac{1}{2+3(1)} = \frac{1}{5} = 0.2$.
$f(x_1) = f(2) = \frac{1}{2+3(2)} = \frac{1}{8} = 0.125$.
$f(x_2) = f(3) = \frac{1}{2+3(3)} = \frac{1}{11} \approx 0.0909$.
Simpson के नियम का उपयोग करते हुए: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]$.
$\int_1^3 f(x) dx \approx \frac{1}{3} [0.2 + 4(0.125) + 0.0909] = \frac{1}{3} [0.2 + 0.5 + 0.0909] = \frac{0.7909}{3} \approx 0.2636$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{29}{110} \approx 0.2636$ प्राप्त होता है।

(C) माना शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,$\vec{b} = 3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}$,और $\vec{c} = 4\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ हैं।
भुजा सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
चूंकि $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = \sqrt{6}$,इसलिए तीनों भुजाओं की लंबाई समान है।
अतः,यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(C) माना इकाई सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{r}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ होगा।
$\left|\begin{matrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}\right| = 0 \Rightarrow x(1-9) - y(1-3) + z(3-1) = 0 \Rightarrow -8x + 2y + 2z = 0 \Rightarrow -4x + y + z = 0$ $(i)$.
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{c} = 0$ होगा।
$x + y + z = 0$ (ii).
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $(x + y + z) - (-4x + y + z) = 0 \Rightarrow 5x = 0 \Rightarrow x = 0$.
(ii) में $x=0$ रखने पर,हमें $y + z = 0 \Rightarrow y = -z$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{r}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
$0^2 + y^2 + (-y)^2 = 1 \Rightarrow 2y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
यदि $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$,तो $z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. यदि $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,तो $z = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\vec{r} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$. विकल्प $(C)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$ है।

(A) माना रेखाओं $AB$ और $AC$ के दिक अनुपात क्रमशः $\vec{u} = \langle 1, -1, -1 \rangle$ और $\vec{v} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ हैं।
चूंकि रेखाएं $AB$ और $AC$ समतल $ABC$ में स्थित हैं,इसलिए उनका सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ समतल के अभिलंब के दिक अनुपात प्रदान करेगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-1 - (-2))$
$= \hat{i}(-2) - \hat{j}(3) + \hat{k}(1)$
$= -2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
अतः,दिक अनुपात $\langle -2, -3, 1 \rangle$ हैं।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें समान दिक अनुपात $\langle 2, 3, -1 \rangle$ प्राप्त होते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि चर समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ है,जहाँ $a, b, c$ समतल के अभिलंब के दिक अनुपात हैं।
मान लीजिए $Q(x_1, y_1, z_1)$ मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद है।
चूँकि $OQ$ समतल पर लंब है,$OQ$ के दिक अनुपात $(x_1, y_1, z_1)$ हैं,जो $(a, b, c)$ के समानुपाती होने चाहिए।
अतः,किसी स्थिरांक $k$ के लिए $a = kx_1, b = ky_1, c = kz_1$ है।
इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x_1(x_1 - 1) + y_1(y_1 - 2) + z_1(z_1 - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 - x_1 - 2y_1 - 3z_1 = 0$ मिलता है।
यह $OP$ व्यास वाले एक गोले का समीकरण है,जहाँ $O$ मूल बिंदु है और $P$ निश्चित बिंदु $(1, 2, 3)$ है।

(C) बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (-1, 2, 3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\langle a, b, c \rangle$ समतल के अभिलंब के दिक-अनुपात हैं।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a(x + 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए दिक-कोसाइन $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ हैं।
अतः,दिक-अनुपात $a, b, c$ को $1, 1, 1$ के रूप में लिया जा सकता है।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$1(x + 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0$
$x + 1 + y - 2 + z - 3 = 0$
$x + y + z - 4 = 0$.

(A) कुल सिक्कों की संख्या $= 2n+1$.
दोनों तरफ चित वाले सिक्कों की संख्या $= n$.
निष्पक्ष सिक्कों की संख्या $= n+1$.
मान लीजिए $H$ वह घटना है कि सिक्का उछालने पर चित आता है।
दोनों तरफ चित वाला सिक्का चुनने की प्रायिकता $\frac{n}{2n+1}$ है,और ऐसे सिक्के के लिए $P(H) = 1$ है।
निष्पक्ष सिक्का चुनने की प्रायिकता $\frac{n+1}{2n+1}$ है,और ऐसे सिक्के के लिए $P(H) = \frac{1}{2}$ है।
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(H) = \left(\frac{n}{2n+1}\right) \times 1 + \left(\frac{n+1}{2n+1}\right) \times \frac{1}{2} = \frac{31}{42}$
$\frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{31}{42}$
$\frac{3n+1}{4n+2} = \frac{31}{42}$
$42(3n+1) = 31(4n+2)$
$126n + 42 = 124n + 62$
$2n = 20$
$n = 10$