જો $A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ એ સમીકરણ $x^2 + 4x - p = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તો $p$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\omega$ એ સંકર સંખ્યા $\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}$ છે. તો $\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right| = 0$ નું સમાધાન કરતી ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ $z$ ની સંખ્યા કેટલી થાય?

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક છે. જો $s_n = \alpha^n + \beta^n$ અને $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+s_1 & 1+s_2 \\ 1+s_1 & 1+s_2 & 1+s_3 \\ 1+s_2 & 1+s_3 & 1+s_4\end{array}\right| = k \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$ હોય,તો $k =$

જો $A$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક હોય અને $X$ એ તે જ કક્ષાનો બીજો શ્રેણિક હોય,તો $|XA + AX^T|$ ની કિંમત શું થાય? (જ્યાં $|P|$ એ શ્રેણિક $P$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે).

જો $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતો $2$જા ક્રમનો નિશ્ચાયક તમામ આવા નિશ્ચાયકોના ગણમાંથી પસંદ કરવામાં આવે,તો પસંદ કરેલ નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોય તેની સંભાવના શોધો.

ગણ $\{0, 1, 2, 3\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ શ્રેણિકો $A$ ની કુલ સંખ્યા શોધો,જેથી $AA^{T}$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $9$ થાય.