TS EAMCET 2001 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $20^{2-3x^2} = (40\sqrt{5})^{3x^2-2}$.
यहाँ $40\sqrt{5} = 20 \times 2\sqrt{5} = 20 \times \sqrt{20} = 20^{3/2}$ होता है।
अतः,$20^{2-3x^2} = (20^{3/2})^{3x^2-2}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $2-3x^2 = \frac{3}{2}(3x^2-2)$.
माना $y = 3x^2-2$,तो $-y = \frac{3}{2}y$ प्राप्त होता है।
इससे $y = 0$ मिलता है,अर्थात $3x^2-2 = 0$.
इसलिए $x^2 = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(D) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = (\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = a \cdot r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$10$ वें पद $(n = 10)$ के लिए,$T_{10} = 1 \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)^9$ होगा।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = e^{i n \theta}$ होता है।
$\theta = \frac{\pi}{6}$ और $n = 9$ रखने पर:
$T_{10} = e^{i 9 (\frac{\pi}{6})} = e^{i \frac{3\pi}{2}}$.
यूलर के सूत्र $e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ का उपयोग करते हुए:
$T_{10} = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 + i(-1) = -i$.

(A) माना $a = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है। तब $\bar{a} = x - iy$ होगा।
इन मानों को दिए गए समीकरण $\bar{a} + a + b = 0$ में रखने पर:
$(x - iy) + (x + iy) + b = 0$
$2x + b = 0$
$x = -\frac{b}{2}$
चूंकि $x$ एक स्थिरांक है,इसलिए यह समीकरण सम्मिश्र तल में एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(C) $5$ अंकों की संख्या $0$ से शुरू नहीं हो सकती।
$5$ भिन्न अंकों का कुल क्रमचय $^5P_5 = 5! = 120$ है।
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ शेष $4$ अंकों को अंतिम $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करके बनाई जाती हैं,जो $^4P_4 = 4! = 24$ है।
अतः,$5$ अंकों की कुल संख्याएँ $120 - 24 = 96$ हैं।

(A) सबसे पहले,$5$ लड़कों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाएं। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$5$ लड़कों को बैठाने के तरीके $(5-1)! = 4!$ हैं।
$5$ लड़कों के बीच $5$ स्थान बनते हैं जहाँ $4$ लड़कियाँ बैठ सकती हैं ताकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें।
इन $5$ स्थानों में $4$ लड़कियों को बैठाने के तरीके $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 5!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $4! \times 5!$ है।

(D) दी गई श्रेणी $S_n = 2^3 + 4^3 + 6^3 + \ldots + (2n)^3$ है।
इसे $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 8k^3 = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ होता है।
अतः,$S_n = 8 \times [\frac{n(n+1)}{2}]^2 = 8 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 2n^2(n+1)^2$।
दिए गए व्यंजक $h n^2(n+1)^2$ से तुलना करने पर,हमें $h = 2$ प्राप्त होता है।

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{2+4+6+\dots+2n}{(n+1)!}$ है।
प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)$ होता है।
अतः,$T_n = \frac{n(n+1)}{(n+1)!} = \frac{1}{(n-1)!}$ जहाँ $n \geq 1$ है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$ है।
माना $m = n-1$,तो $S = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots = e$.

(A) दी गई रेखाएं $x+y=1$,$x=1$,और $y=1$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष:
$P(1, 1)$,$A(1, 0)$,और $B(0, 1)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$a = 1$,$b = 1$,$c = \sqrt{2}$ है।
अंतःकेंद्र के सूत्र का उपयोग करने पर,सही उत्तर $\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}, 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: x+y-4=0$,$L_2: x-y+2=0$ और $L_3: y-2=0$ हैं।
ये तीन रेखाएँ एक त्रिभुज बनाती हैं।
तीनों रेखाओं को स्पर्श करने वाला वृत्त उस त्रिभुज का अंतःवृत्त (incircle) या बहिर्वृत्त (excircle) होता है।
किसी भी त्रिभुज के लिए,एक अंतःवृत्त और तीन बहिर्वृत्त होते हैं।
अतः,दी गई तीनों रेखाओं को स्पर्श करने वाले कुल $1+3=4$ वृत्त हैं।

(A) दी गई रेखाएँ $2x + 3y = 6$ और $2x + 3y = 8$ हैं।
$X$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ रखें:
$2x + 3y = 6$ के लिए,$2x = 6 \Rightarrow x = 3$. अतः,$A = (3, 0)$.
$2x + 3y = 8$ के लिए,$2x = 8 \Rightarrow x = 4$. अतः,$B = (4, 0)$.
रेखा $L$ बिंदु $(2, 2)$ से होकर गुजरती है और $X$-अक्ष को $C(x_1, 0)$ पर काटती है।
दिया गया है कि $A, B$ और $C$ के $x$-निर्देशांक समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $3, 4, x_1$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$2(4) = 3 + x_1$ $\Rightarrow 8 = 3 + x_1$ $\Rightarrow x_1 = 5$.
इसलिए,बिंदु $C$ का मान $(5, 0)$ है।
बिंदु $(2, 2)$ और $(5, 0)$ से होकर जाने वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 0 = \frac{2 - 0}{2 - 5}(x - 5)$
$y = \frac{2}{-3}(x - 5)$
$-3y = 2x - 10$
$2x + 3y = 10$

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+6x+4y-3=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=3$ और $f=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-3, -2)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
अभिलंब केंद्र $(-3, -2)$ और बिंदु $(1, -2)$ से गुजरने वाली एक रेखा है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान $(-2)$ हैं,इसलिए यह रेखा $y = -2$ है।
अतः,अभिलंब का समीकरण $y+2=0$ है।

(B) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ का मूलाक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_1: x^2+y^2+5x+4y-5=0$ और $S_2: x^2+y^2-3x+5y-6=0$।
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर:
$(x^2+y^2+5x+4y-5) - (x^2+y^2-3x+5y-6) = 0$
$(x^2-x^2) + (y^2-y^2) + (5x - (-3x)) + (4y - 5y) + (-5 - (-6)) = 0$
$8x - y + 1 = 0$।
अतः,मूलाक्ष $8x-y+1=0$ है।

(C) हम जानते हैं कि $1+x+x^2 = \frac{1-x^3}{1-x}$ है।
अतः,$\log(1+x+x^2) = \log(1-x^3) - \log(1-x)$।
विस्तार $\log(1-t) = -(t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + \dots)$ का उपयोग करने पर:
$\log(1-x^3) = -(x^3 + \frac{x^6}{2} + \dots)$
$-\log(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$
इन दोनों को जोड़ने पर,विस्तार $x + \frac{x^2}{2} + (\frac{1}{3} - 1)x^3 + \dots$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^3$ का गुणांक $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$ है।

(A) दिया गया विस्तार $(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} C_r x^r$ है।
हमें $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) C_r$ का मान ज्ञात करना है।
$S = \sum_{r=0}^{n} r C_r + \sum_{r=0}^{n} C_r$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$.
साथ ही,$\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$.
इसलिए,$S = n 2^{n-1} + 2^n$.
$S = n 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = (n+2) 2^{n-1}$.

(B) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
भुजा $a$ वाले वर्ग के विकर्ण की लंबाई $d = a\sqrt{2}$ होती है।
दिए गए दो बिंदुओं $(1, -2, 3)$ और $(2, -3, 5)$ के बीच की दूरी विकर्ण की लंबाई $d$ है।
$d = \sqrt{(2-1)^2 + (-3 - (-2))^2 + (5-3)^2}$
$d = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$d = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
चूंकि $d = a\sqrt{2}$,इसलिए $a\sqrt{2} = \sqrt{6}$ है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $P(C) = p$ है। तब $P(B) = 2p$ और $P(A) = 2(2p) = 4p$ होगा।
चूंकि उनमें से कोई एक अवश्य जीतेगा,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होगा:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
$4p + 2p + p = 1$
$7p = 1$
$p = \frac{1}{7}$
अतः,$P(A) = 4p = 4 \times \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$।
$A$ के हारने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ है।

(A) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ में कुल तत्वों की संख्या $n(S) = 100$ है।
एक संख्या पूर्ण घन होती है यदि उसे किसी पूर्णांक $k$ के लिए $k^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सके।
दिए गए समुच्चय में पूर्ण घन संख्याएँ $1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,और $4^3 = 64$ हैं। ध्यान दें कि $5^3 = 125$,जो $100$ से अधिक है।
अतः,अनुकूल परिणामों का समुच्चय $A = \{1, 8, 27, 64\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 4$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ है।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $S$ दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग है। $S$ के लिए संभावित मान $2$ से $12$ तक हैं।
$2$ और $12$ के बीच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
प्रत्येक अभाज्य योग के लिए परिणाम इस प्रकार हैं:
- योग $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ परिणाम
- योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
- योग $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ $\rightarrow 4$ परिणाम
- योग $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ $\rightarrow 6$ परिणाम
- योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,हमारे पास है:
$\alpha+\beta = -b$
साथ ही,$\alpha+h$ और $\beta+h$ समीकरण $x^2+qx+r=0$ के मूल हैं।
इसलिए,इन मूलों का योग है:
$(\alpha+h) + (\beta+h) = -q$
$(\alpha+\beta) + 2h = -q$
$\alpha+\beta = -b$ का मान रखने पर:
$-b + 2h = -q$
$2h = b - q$
$h = \frac{1}{2}(b-q)$

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x-4}{x^2-5x-2k} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर:
$\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k} = \frac{2(x+k) - (x-2)}{(x-2)(x+k)} = \frac{2x + 2k - x + 2}{(x-2)(x+k)} = \frac{x + 2k + 2}{x^2 + (k-2)x - 2k}$.
दोनों पक्षों के हर (denominator) की तुलना करने पर,$x^2 - 5x - 2k = x^2 + (k-2)x - 2k$,जिससे $k-2 = -5$ प्राप्त होता है,अतः $k = -3$.
अंश (numerator) की तुलना करने पर,$x-4 = x + 2k + 2$,जिससे $-4 = 2k + 2$ प्राप्त होता है,अतः $2k = -6$,जिससे $k = -3$ मिलता है।

(D) माना $y = (x-\alpha)(x-\beta)$.
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 2x - (\alpha+\beta) = 0$.
इससे $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दूसरा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ पर न्यूनतम है।
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$y_{min} = \left(\frac{\alpha+\beta}{2} - \alpha\right)\left(\frac{\alpha+\beta}{2} - \beta\right)$
$y_{min} = \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$
$y_{min} = -\frac{1}{4}(\alpha-\beta)(\alpha-\beta) = -\frac{1}{4}(\alpha-\beta)^2$.

(B) दिया गया समीकरण: $20^{2-3x^2} = (40\sqrt{5})^{3x^2-2}$ है।
यहाँ $40\sqrt{5} = 20 \times 2 \times \sqrt{5} = 20 \times \sqrt{20} = 20^{3/2}$ होता है।
अतः,$20^{2-3x^2} = (20^{3/2})^{3x^2-2} = 20^{\frac{3}{2}(3x^2-2)}$।
घातांकों की तुलना करने पर:
$2-3x^2 = \frac{3}{2}(3x^2-2)$
$2-3x^2 = -\frac{3}{2}(2-3x^2)$
$(2-3x^2)(1 + \frac{3}{2}) = 0$
$2-3x^2 = 0$
$3x^2 = 2$
$x^2 = \frac{2}{3}$
$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$।

(A) चूंकि गुणांक परिमेय माने गए हैं,इसलिए संयुग्मी मूल भी मौजूद होंगे। अतः,मूल $1+i, 1-i, 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ हैं।
मूल $1+i$ और $1-i$ के लिए:
योग $= (1+i) + (1-i) = 2$
गुणनफल $= (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1+1 = 2$
द्विघात गुणनखंड $x^2 - 2x + 2 = 0$ है।
मूल $1-\sqrt{2}$ और $1+\sqrt{2}$ के लिए:
योग $= (1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2}) = 2$
गुणनफल $= (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1-2 = -1$
द्विघात गुणनखंड $x^2 - 2x - 1 = 0$ है।
चतुर्थघात समीकरण $(x^2-2x+2)(x^2-2x-1) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 2 = 0$.

(B) दिया गया समीकरण $x^4-2x^3+2x-1=0$ है।
चूंकि $1$,$3$ क्रम का एक मूल है,इसलिए $(x-1)^3$ बहुपद का एक गुणनखंड है।
हम बहुपद को $(x-1)^3(x-k) = 0$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k$ चौथा मूल है।
$(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$ का विस्तार करने पर।
$(x-k)$ से गुणा करने पर: $(x^3-3x^2+3x-1)(x-k) = x^4 - (k+3)x^3 + (3k+3)x^2 - (3k+1)x + k = 0$.
मूल समीकरण $x^4-2x^3+0x^2+2x-1=0$ के साथ तुलना करने पर:
अचर पद से,$k = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,अन्य मूल $-1$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^3-14x^2+56x-64=0$.
मूलों की जाँच करने पर,$x=2$ पर: $2^3-14(2^2)+56(2)-64 = 8-56+112-64 = 0$.
अतः,$(x-2)$ एक गुणनखंड है।
बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2-12x+32=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-4)(x-8)=0$.
मूल $2, 4, 8$ हैं।
चूँकि $\frac{4}{2} = 2$ और $\frac{8}{4} = 2$,सार्व अनुपात $2$ है।
इसलिए,मूल $GP$ में हैं।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3-6x^2+6x-5=0$ है।
मूलों को $h$ से बढ़ाने के लिए,हम $x$ को $(x+h)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
नया समीकरण: $(x+h)^3-6(x+h)^2+6(x+h)-5=0$ होगा।
पदों का विस्तार करने पर: $(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-6(x^2+2xh+h^2)+6(x+h)-5=0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के पदों को समूहित करने पर: $x^3 + (3h-6)x^2 + (3h^2-12h+6)x + (h^3-6h^2+6h-5) = 0$।
चूंकि नए समीकरण में $x^2$ का पद नहीं है,इसलिए $x^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $3h-6=0$।
$h$ के लिए हल करने पर: $3h=6 \Rightarrow h=2$।

(A) माना $a = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है। तब $\bar{a} = x - iy$ होगा।
इन मानों को दिए गए समीकरण $\bar{a} + a + b = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - iy) + (x + iy) + b = 0$
$2x + b = 0$
$x = -\frac{b}{2}$
चूँकि $b$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $-\frac{b}{2}$ एक अचर है। समीकरण $x = \text{constant}$ सम्मिश्र तल में एक ऊर्ध्वाधर सरल रेखा को निरूपित करता है।

(B) सबसे पहले,$5$ लड़कों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाएं। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$5$ लड़कों को बैठाने के तरीके $(5-1)! = 4! = 24$ हैं।
$5$ लड़कों के बीच $5$ स्थान बनते हैं जहाँ $4$ लड़कियाँ बैठ सकती हैं ताकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें।
इन $5$ स्थानों में $4$ लड़कियों को बैठाने के तरीके $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 120$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $4! \times 120 = 2880$ है।
यह $4! \times 5!$ के बराबर है।

(A) द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ का उपयोग करने पर।
$n = \frac{1}{2}$ रखने पर,$(1-x)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{8}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{48}x^3 + \ldots$
दी गई श्रेणी से तुलना करने पर,$\frac{1}{2}x = \frac{1}{4}$ रखने पर $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1 - \frac{1}{2})^{-1/2} = (\frac{1}{2})^{-1/2} = \sqrt{2}$।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{2+4+6+\ldots+2n}{(n+1)!}$ है।
प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)$ होता है।
अतः,$T_n = \frac{n(n+1)}{(n+1)!} = \frac{1}{(n-1)!}$ जहाँ $n \ge 1$ है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$ है।
माना $m = n-1$,तो $S = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots = e$।

(D) दी गई श्रेणी $S_n = 2^3 + 4^3 + 6^3 + \ldots + (2n)^3$ है।
इसे $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 8k^3 = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ होता है।
अतः,$S_n = 8 \times [\frac{n(n+1)}{2}]^2 = 8 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 2n^2(n+1)^2$।
इसे दिए गए व्यंजक $h n^2(n+1)^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $h = 2$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $1+x+x^2 = \frac{1-x^3}{1-x}$.
अतः,$\log(1+x+x^2) = \log(1-x^3) - \log(1-x)$.
$\log(1-u) = -(u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + \dots)$ का उपयोग करने पर:
$\log(1-x^3) = -(x^3 + \frac{x^6}{2} + \dots)$
$-\log(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$
इन दोनों को जोड़ने पर,विस्तार $x + \frac{x^2}{2} + (\frac{1}{3} - 1)x^3 + \dots$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^3$ का गुणांक $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$ है।

(D) हमारे पास है,$\frac{(1-3 x)^2}{(1-2 x)} = (1 - 6x + 9x^2)(1 - 2x)^{-1}$.
द्विपद विस्तार $(1 - y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + \dots$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $(1 - 2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots$.
अतः,व्यंजक $(1 - 6x + 9x^2)(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots)$ है।
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम पदों का गुणा करते हैं:
$1 \times (16x^4) = 16x^4$
$-6x \times (8x^3) = -48x^4$
$9x^2 \times (4x^2) = 36x^4$
इन गुणांकों का योग: $16 - 48 + 36 = 4$.

(A) दिया गया विस्तार $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ है।
हमें योग $S = \sum_{r=0}^n (r+1) C_r$ ज्ञात करना है।
$S = \sum_{r=0}^n r C_r + \sum_{r=0}^n C_r$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$.
साथ ही,$\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$.
अतः,$S = n 2^{n-1} + 2^n$.
$2^{n-1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $S = 2^{n-1} (n + 2)$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin 5 \theta = 5 \sin \theta - 20 \sin ^3 \theta + 16 \sin ^5 \theta$ होता है।
$\sin \theta$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\sin \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\sin \theta} = 5 - 20 \sin ^2 \theta + 16 \sin ^4 \theta$।
$\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 5 - 20(1 - \cos ^2 \theta) + 16(1 - \cos ^2 \theta)^2$
$= 5 - 20 + 20 \cos ^2 \theta + 16(1 - 2 \cos ^2 \theta + \cos ^4 \theta)$
$= -15 + 20 \cos ^2 \theta + 16 - 32 \cos ^2 \theta + 16 \cos ^4 \theta$
$= 16 \cos ^4 \theta - 12 \cos ^2 \theta + 1$।

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$A + C = 180^{\circ}$ और $B + D = 180^{\circ}$।
हमें $\cos A + \cos B + \cos C + \cos D$ का मान ज्ञात करना है।
इसे $(\cos A + \cos C) + (\cos B + \cos D)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos A + \cos C = 2 \cos \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2} = 2 \cos 90^{\circ} \cos \frac{A-C}{2} = 2(0) \cos \frac{A-C}{2} = 0$।
इसी प्रकार,$\cos B + \cos D = 2 \cos \frac{B+D}{2} \cos \frac{B-D}{2} = 2 \cos 90^{\circ} \cos \frac{B-D}{2} = 2(0) \cos \frac{B-D}{2} = 0$।
अतः,$\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$।

(A) दिया गया है,$\tan \theta + \cot \theta = 2$.
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
इन मानों को रखने पर,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 2$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर,$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$,जिसका अर्थ है $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \sin \theta \cos \theta = 1$,अतः $\sin 2 \theta = 1$.
इसका अर्थ है $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = \frac{\pi}{6} + \theta$ और $B = \frac{\pi}{6} - \theta$.
तब $A+B = \left(\frac{\pi}{6} + \theta\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = \frac{\pi}{3}$.
और $A-B = \left(\frac{\pi}{6} + \theta\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = 2\theta$.
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-\theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(2\theta)$.
चूंकि $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए उत्तर $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\operatorname{cosec} \theta = \frac{p+q}{p-q}$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{p-q}{p+q}$.
सूत्र $\sin \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} = \frac{p-q}{p+q}$
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लगाने पर:
$\frac{1 + \tan^2(\theta/2) + 2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2) - 2 \tan(\theta/2)} = \frac{(p+q) + (p-q)}{(p+q) - (p-q)}$
$\frac{(1 + \tan(\theta/2))^2}{(1 - \tan(\theta/2))^2} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1 + \tan(\theta/2)}{1 - \tan(\theta/2)} = \sqrt{\frac{p}{q}}$
चूंकि $\tan(\pi/4) = 1$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{p}{q}}$
अतः,$\cot\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{\tan(\pi/4 + \theta/2)} = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(C) दिया गया समीकरण $(a+2b)x + (a-b)y + (a+5b) = 0$ है।
$a$ और $b$ के आधार पर पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a(x + y + 1) + b(2x - y + 5) = 0$।
$a$ और $b$ के सभी मानों के लिए इसे सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$x + y + 1 = 0$ (समीकरण $1$)
$2x - y + 5 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y + 1) + (2x - y + 5) = 0$
$3x + 6 = 0 \implies x = -2$।
$x = -2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$-2 + y + 1 = 0 \implies y = 1$।
अतः,निश्चित बिंदु $(-2, 1)$ है।

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है। दिया गया है कि $m_1 = 2m_2$ ... $(i)$
हम जानते हैं कि ढालों का योग $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ ... (ii)
और ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ ... (iii)
$(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b} \implies 3m_2 = -\frac{2h}{b} \implies m_2 = -\frac{2h}{3b}$ ... (iv)
$(i)$ को (iii) में प्रतिस्थापित करने पर: $2m_2 \cdot m_2 = \frac{a}{b} \implies 2m_2^2 = \frac{a}{b}$ ... $(v)$
(iv) को $(v)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2 \cdot \frac{4h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
चूंकि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,इसलिए इसका ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ या $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ होगा।
यदि $m = 1$ है,तो रेखा $y = x$ है। समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax^2 + 2hx(x) + b(x)^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
अतः $a + b = -2h$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + b)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
यदि $m = -1$ है,तो रेखा $y = -x$ है। समीकरण में $y = -x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax^2 - 2hx^2 + bx^2 = 0$
अतः $a + b = 2h$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + b)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाएँ $x+3y=10$ और $6x^2+xy-y^2=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
त्रिभुज बनाने वाली तीन रेखाएँ $L_1: x+3y=10$,$L_2: 3x-y=0$,और $L_3: 2x+y=0$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर: $x+3(3x)=10$ $\Rightarrow 10x=10$ $\Rightarrow x=1, y=3$. शीर्ष $B = (1,3)$.
$L_2$ और $L_3$ को हल करने पर: $x=0, y=0$. शीर्ष $A = (0,0)$.
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर: $x+3(-2x)=10$ $\Rightarrow -5x=10$ $\Rightarrow x=-2, y=4$. शीर्ष $C = (-2,4)$.
$A$ से $BC$ $(x+3y=10)$ पर लंब की ढाल $3$ है। समीकरण: $y-0=3(x-0) \Rightarrow 3x-y=0$.
$B$ से $AC$ $(2x+y=0)$ पर लंब की ढाल $1/2$ है। समीकरण: $y-3=\frac{1}{2}(x-1)$ $\Rightarrow 2y-6=x-1$ $\Rightarrow x-2y=-5$.
लंब के समीकरणों $3x-y=0$ और $x-2y=-5$ को हल करने पर: $y=3x$ $\Rightarrow x-2(3x)=-5$ $\Rightarrow -5x=-5$ $\Rightarrow x=1, y=3$.
अतः,लंबकेंद्र $(1,3)$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+6x+4y-3=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=3$ और $f=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-3, -2)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
हमें केंद्र $(-3, -2)$ और दिए गए बिंदु $(1, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए रेखा का समीकरण $y = -2$ होगा।
अतः,अभिलंब का समीकरण $y+2=0$ है।

(B) माना वृत्त $x^2+y^2=p^2$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
अतः $x_1^2+y_1^2=p^2$ है।
वृत्त $x^2+y^2=q^2$ के सापेक्ष $(x_1, y_1)$ का ध्रुवीय समीकरण $x x_1+y y_1=q^2$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=r^2$ को स्पर्श करती है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x x_1+y y_1-q^2=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|0(x_1)+0(y_1)-q^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = r$ है।
$|q^2| = r \sqrt{x_1^2+y_1^2}$ है।
चूंकि $x_1^2+y_1^2=p^2$ है,इसलिए $q^2 = r \sqrt{p^2} = rp$ है।
इस प्रकार,$q^2 = pr$,जो दर्शाता है कि $p, q, r$ $GP$ में हैं।

(B) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के मूलाक्ष का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_1: x^2+y^2+5x+4y-5=0$
दिया गया है $S_2: x^2+y^2-3x+5y-6=0$
$S_1$ में से $S_2$ को घटाने पर:
$(x^2+y^2+5x+4y-5) - (x^2+y^2-3x+5y-6) = 0$
$(5x - (-3x)) + (4y - 5y) + (-5 - (-6)) = 0$
$8x - y + 1 = 0$

(C) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2x-2y+2=0$ और $S_2: x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{16}{5}y+\frac{13}{5}=0$ हैं।
सह-अक्षीय प्रणाली के सीमित बिंदु बिंदु-वृत्तों के केंद्र होते हैं।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ एक बिंदु-वृत्त है यदि $g^2+f^2-c=0$ हो।
मूल अक्ष (radical axis) $S_1 - S_2 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$ है।
प्रणाली का कोई भी वृत्त $S_1 + \lambda(4x+2y-1) = 0$ के रूप में होता है।
बिंदु-वृत्त के लिए,$(1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 - (2-\lambda) = 0$ को हल करने पर,$\lambda = 0$ या $\lambda = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 0$ के लिए केंद्र $(-1, 1)$ और $\lambda = -\frac{3}{5}$ के लिए केंद्र $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2+8x-2y+17=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(y^2-2y+1) + 8x + 17 - 1 = 0$
$(y-1)^2 + 8x + 16 = 0$
$(y-1)^2 = -8x - 16$
$(y-1)^2 = -8(x+2)$
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=4x$ है।
$P(1,2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y(2) = 2(x+1)$ है,जो $y = x+1$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = 1$ है।
अतः,अभिलंब की ढाल $m' = -1$ होगी।
$P(1,2)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -1(x - 1)$ है,जो $x + y = 3$ या $x = 3 - y$ में सरल हो जाता है।
इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4(3 - y)$
$y^2 = 12 - 4y$
$y^2 + 4y - 12 = 0$
$(y - 2)(y + 6) = 0$
इससे $y = 2$ (बिंदु $P$ पर) और $y = -6$ (बिंदु $Q$ पर) प्राप्त होता है।
$y = -6$ के लिए,$x = 3 - (-6) = 9$ है।
अतः,बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(9, -6)$ हैं।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}}$।
$e = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}}$।
अतः,$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$।

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \quad \dots(i)$
$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} \quad \dots(ii)$
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\vec{AD} = \vec{BC}$.
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$\vec{AC} - \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) - (-\vec{AB} + \vec{AD})$
$\vec{AC} - \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{AB} - \vec{BC}$
$\vec{AC} - \vec{BD} = 2\vec{AB}$

(A) किसी फलन $f(x)$ के $x=a$ पर सतत होने के लिए,$x$ के $a$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा का मान $a$ पर फलन के मान के बराबर होना चाहिए,अर्थात $f(a) = \lim_{x \rightarrow a} f(x)$।
दिया गया है $f(x) = \frac{x^2-10x+25}{x^2-7x+10}$,अतः $x \rightarrow 5$ पर सीमा ज्ञात करने पर:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x^2-10x+25}{x^2-7x+10}$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x-2)}$
$x \neq 5$ के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-5)$ को काटने पर:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{x-2}$
अब $x=5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(5) = \frac{5-5}{5-2} = \frac{0}{3} = 0$

(C) दिया गया है $h(x) = x^{x^x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log h(x) = x^x \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = x^x(1 + \log x) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1 + \log x) \log x + x^{x-1}$.
$x = 1$ पर,$h(1) = 1^{1^1} = 1$,इसलिए $\log h(1) = \log 1 = 0$.
$x = 1$ का मान $\frac{h'(x)}{h(x)}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{h'(1)}{h(1)} = 1^1(1 + \log 1) \log 1 + 1^{1-1} = 1(1 + 0)(0) + 1^0 = 0 + 1 = 1$.
चूंकि $\log h(1) = 0$ है,इसलिए $1 + \log h(1) = 1 + 0 = 1$.
अतः,$x = 1$ पर,$\frac{h'(x)}{h(x)} = 1 + \log h(x)$ होगा।

(C) दिया गया है कि,$u=e^{x^2-y^2}$।
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(2x)$।
इसके बाद,$u$ का $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(-2y)$।
अब,$u_x$ को $y$ से गुणा करें:
$y u_x = y \cdot e^{x^2-y^2}(2x) = 2xy e^{x^2-y^2}$।
$u_y$ को $x$ से गुणा करें:
$x u_y = x \cdot e^{x^2-y^2}(-2y) = -2xy e^{x^2-y^2}$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$y u_x + x u_y = 2xy e^{x^2-y^2} - 2xy e^{x^2-y^2} = 0$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $y = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1} x$ है।
तब,$y = \sin^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta$ प्राप्त होता है।
$\theta = \sin^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें $y = 3 \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$।

(C) फलन $u(x, y) = x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ घात $n = 3$ का एक समघातीय फलन है क्योंकि $u(tx, ty) = (tx)(ty)^2 \tan^{-1}\left(\frac{ty}{tx}\right) = t^3 x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = t^3 u(x, y)$ है।
समघातीय फलनों पर यूलर (Euler) की प्रमेय के अनुसार,यदि $u$,$x$ और $y$ में $n$ घात का एक समघातीय फलन है,तो $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = n u$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 u$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y = \cos(\sin x)$.
प्रथम अवकलज $y_1 = \frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x) \cdot \cos x$.
द्वितीय अवकलज $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[-\sin(\sin x) \cdot \cos x]$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $y_2 = -[\cos(\sin x) \cdot \cos x \cdot \cos x + \sin(\sin x) \cdot (-\sin x)]$.
$y_2 = -\cos(\sin x) \cos^2 x + \sin(\sin x) \sin x$.
अब,$y_1 \sin x + y_2 \cos x$ में $y_1$ और $y_2$ का मान रखने पर:
$= [-\sin(\sin x) \cos x] \sin x + [-\cos(\sin x) \cos^2 x + \sin(\sin x) \sin x] \cos x$.
$= -\sin(\sin x) \sin x \cos x - \cos(\sin x) \cos^3 x + \sin(\sin x) \sin x \cos x$.
$= -\cos(\sin x) \cos^3 x$.
चूँकि $y = \cos(\sin x)$,इसलिए यह व्यंजक $-y \cos^3 x$ के बराबर है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2}{x+a}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x) = \frac{(x+a)(2x) - x^2(1)}{(x+a)^2} = \frac{2x^2 + 2ax - x^2}{(x+a)^2} = \frac{x^2 + 2ax}{(x+a)^2}$.
अब,$f^{\prime}(x) = \frac{x^2 + 2ax}{(x+a)^2}$ का अवकलन करके $f^{\prime \prime}(x)$ प्राप्त करें:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{(x+a)^2(2x + 2a) - (x^2 + 2ax)(2)(x+a)}{(x+a)^4}$.
$(x+a)$ को उभयनिष्ठ लेकर सरल करने पर:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{(x+a)(2x + 2a) - 2(x^2 + 2ax)}{(x+a)^3} = \frac{2x^2 + 4ax + 2a^2 - 2x^2 - 4ax}{(x+a)^3} = \frac{2a^2}{(x+a)^3}$.
$x = a$ रखने पर:
$f^{\prime \prime}(a) = \frac{2a^2}{(a+a)^3} = \frac{2a^2}{(2a)^3} = \frac{2a^2}{8a^3} = \frac{1}{4a}$.

(A) दिया गया समीकरण $y = A \cos n x + B \sin n x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -A n \sin n x + B n \cos n x$.
अब,$y_2$ ज्ञात करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = -A n^2 \cos n x - B n^2 \sin n x$.
व्यंजक से $-n^2$ कॉमन लेने पर:
$y_2 = -n^2 (A \cos n x + B \sin n x)$.
चूंकि $y = A \cos n x + B \sin n x$,इसलिए $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$y_2 = -n^2 y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y_2 + n^2 y = 0$.

(D) यहाँ हम खंडशः समाकलन (Integration by parts) की विधि का उपयोग करेंगे: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = (x+1)^2$ और $dv = e^x \, dx$.
तब $du = 2(x+1) \, dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है।
$\int (x+1)^2 e^x \, dx = (x+1)^2 e^x - \int 2(x+1) e^x \, dx$.
अब,$\int (x+1) e^x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
माना $u = (x+1)$ और $dv = e^x \, dx$.
तब $du = dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है।
$\int (x+1) e^x \, dx = (x+1) e^x - \int e^x \, dx = (x+1) e^x - e^x = x e^x$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$\int (x+1)^2 e^x \, dx = (x+1)^2 e^x - 2(x e^x) + C$
$= (x^2 + 2x + 1) e^x - 2x e^x + C$
$= (x^2 + 1) e^x + C$.

(A) उप-स्पर्शरेखा (sub-tangent) की लंबाई का सूत्र $y \cdot \frac{dx}{dy}$ है।
दिया गया है कि उप-स्पर्शरेखा भुज $(x)$ की दोगुनी है,इसलिए अवकल समीकरण है:
$y \cdot \frac{dx}{dy} = 2x$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dx}{x} = 2 \frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{x} dx = 2 \int \frac{1}{y} dy$
$\log |x| = 2 \log |y| + \log |C|$
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर:
$\log |x| = \log |C y^2|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = C y^2$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = 4$.
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 dy = (4 - x^2) dx$.
अब,दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int y^2 dy = \int (4 - x^2) dx$.
समाकलन करने पर:
$\frac{y^3}{3} = 4x - \frac{x^3}{3} + C_1$.
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$y^3 = 12x - x^3 + 3C_1$.
माना $3C_1 = C$,तब:
$x^3 + y^3 = 12x + C$.

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ और $d$ समतलीय सदिश हैं।
चूंकि $a$ और $b$ समतलीय हैं,उनका सदिश गुणनफल $a \times b$ उस समतल के लंबवत एक सदिश है जिसमें $a$ और $b$ स्थित हैं।
इसी प्रकार,चूंकि $c$ और $d$ समतलीय हैं,उनका सदिश गुणनफल $c \times d$ उस समतल के लंबवत एक सदिश है जिसमें $c$ और $d$ स्थित हैं।
चूंकि सभी चार सदिश $a, b, c, d$ एक ही समतल में स्थित हैं,इसलिए सदिश $a \times b$ और $c \times d$ दोनों एक ही समतल के लंबवत हैं।
अतः,$a \times b$ और $c \times d$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ होगा।

(D) दिए गए सदिश $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ हैं।
$\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणन (dot product) सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणन की गणना करें: $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए सदिश परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) मान लीजिए कि रेखा धनात्मक $x$,$y$,और $z$-अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha$,$\beta$,और $\gamma$ कोण बनाती है।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$ है।
रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
मान रखने पर: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ (चूंकि कोण धनात्मक अक्ष के साथ है,इसलिए $\cos \gamma > 0$ है)।
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{3}$।

(D) हम जानते हैं कि एक रेखा के दिक कोज्या (direction cosines) संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ रेखा द्वारा $X, Y,$ और $Z$-अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं।
यहाँ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
इन मानों को संबंध में रखने पर:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \gamma = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$
चूँकि $\gamma$ का मान $0$ और $\pi$ के बीच है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ का अर्थ है $\gamma = \frac{\pi}{3}$ (या $\cos \gamma = -\frac{1}{2}$ का अर्थ है $\gamma = \frac{2\pi}{3}$)।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही कोण $\frac{\pi}{3}$ है।

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से लंब के पाद $(1,2,2)$ तक का सदिश है।
$\vec{n} = (1-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
यहाँ,$(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 2)$ और $(a, b, c) = (1, 2, 2)$ है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-2) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 2z - 4 = 0$
$x + 2y + 2z - 9 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$\vec{AB} = \vec{DC}$ और $\vec{AD} = \vec{BC}$ होता है।
$\triangle ABC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ है।
$\triangle ABD$ में,$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{AD} - \vec{AB})$
चूंकि $\vec{BC} = \vec{AD}$,इसलिए $\vec{BC}$ को $\vec{AD}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2 \vec{AD}$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न में $\vec{AC} - \vec{BD}$ पूछा गया होगा,जिसका मान $2 \vec{AB}$ होता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$x^2 = 8y$ $(i)$
$x = 4$ (ii)
$y = 0$ ($X$-अक्ष) (iii)
समीकरण $(i)$ से,हमें $y = \frac{x^2}{8}$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र परवलय $x^2 = 8y$,रेखा $x = 4$ और $X$-अक्ष द्वारा $x = 0$ से $x = 4$ तक परिबद्ध है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{4} y \, dx$
$A = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{8} \, dx$
$A = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} \right)$
$A = \frac{8}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) एक वर्ग आव्यूह को अदिश आव्यूह कहा जाता है यदि उसके सभी गैर-विकर्ण अवयव शून्य हों और उसके सभी विकर्ण अवयव एक स्थिरांक $k$ के बराबर हों।
यहाँ दिया गया है कि $i \neq j$ के लिए $a_{ij} = 0$ (गैर-विकर्ण अवयव शून्य हैं) और $i = j$ के लिए $a_{ij} = k$ (विकर्ण अवयव स्थिरांक $k$ हैं),इसलिए यह आव्यूह अदिश आव्यूह की परिभाषा को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$.
आव्यूह $A$ को अदिश $h$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$hA = \begin{bmatrix} 0 & 2h \\ 3h & -4h \end{bmatrix}$.
हमें दिया गया है कि $hA = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $-4h = 24 \implies h = -6$.
$2$) $2h = 3a \implies 2(-6) = 3a \implies -12 = 3a \implies a = -4$.
$3$) $3h = 2b \implies 3(-6) = 2b \implies -18 = 2b \implies b = -9$.
अतः,$h, a, b$ के मान $h = -6, a = -4, b = -9$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$ होता है।
सबसे पहले,$AB$ का गुणनफल ज्ञात करें:
$AB = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (-2)(0) + (2)(1) & (-2)(-1) + (2)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 2 & 2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.

(C) माना $\theta = \tan ^{-1} 2$,तब $\tan \theta = 2$ है। हम जानते हैं कि $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ होता है।
अतः,$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) = 1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$।
माना $\phi = \cot ^{-1} 3$,तब $\cot \phi = 3$ है। हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^2 \phi = 1 + \cot ^2 \phi$ होता है।
अतः,$\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$।
इन मानों को जोड़ने पर,हमें $5 + 10 = 15$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि $\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \theta$.
तब,$\sinh \theta = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1$,इसलिए $\cosh^2 \theta = 1 + \sinh^2 \theta$.
$\sinh \theta$ का मान रखने पर:
$\cosh^2 \theta = 1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2+x^2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$.
अतः,$\cosh \theta = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
अब,$\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \frac{x/\sqrt{1-x^2}}{1/\sqrt{1-x^2}} = x$.
इसलिए,$\theta = \tanh^{-1} x$.
अतः,$\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \tanh^{-1} x$.

(B) दिए गए फलन $f(x)$ के लिए:
चरण $1$: $f(-1.75)$ की गणना करें। चूँकि $-1.75 \leq -1$,हम $f(x) = x + 2$ का उपयोग करते हैं।
$f(-1.75) = -1.75 + 2 = 0.25$.
चरण $2$: $f(0.5)$ की गणना करें। चूँकि $-1 < 0.5 < 1$,हम $f(x) = x^2$ का उपयोग करते हैं।
$f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$.
चरण $3$: $f(1.5)$ की गणना करें। चूँकि $1.5 \geq 1$,हम $f(x) = 2 - x$ का उपयोग करते हैं।
$f(1.5) = 2 - 1.5 = 0.5$.
चरण $4$: मानों का योग करें:
$f(-1.75) + f(0.5) + f(1.5) = 0.25 + 0.25 + 0.5 = 1$.

(D) एकैकी (one-one) की जाँच: एक फलन एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो। $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ पर विचार करें। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 \neq 3$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच: एक फलन आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए,एक ऐसा $x \in Z$ मौजूद हो कि $f(x) = y$ हो। किसी भी विषम पूर्णांक $y$ (जहाँ $y \neq 0$) के लिए,ऐसा कोई $x \in Z$ नहीं है कि $f(x) = y$ हो,क्योंकि $f$ का परिसर केवल $0$ और $2$ से विभाजित सम संख्याओं को ही समाहित करता है। अतः,फलन आच्छादक नहीं है।
इसलिए,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} 0, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.
चूँकि $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $g(\pi) = 0$ होगा। चूँकि $0$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $f(g(\pi)) = f(0) = 0$ होगा।
चूँकि $e$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $f(e) = 1$ होगा। चूँकि $1$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $g(f(e)) = g(1) = -1$ होगा।
अतः,$(f \circ g)(\pi) + (g \circ f)(e) = 0 + (-1) = -1$ होगा।

(D) दिया गया है कि $f(x) = (20 - x^4)^{1/4}$ है।
सबसे पहले,$f(1/2)$ की गणना करें:
$f(1/2) = (20 - (1/2)^4)^{1/4} = (20 - 1/16)^{1/4} = (319/16)^{1/4}$।
अब,$f(f(1/2)) = f((319/16)^{1/4})$ की गणना करें:
$f((319/16)^{1/4}) = (20 - ((319/16)^{1/4})^4)^{1/4}$।
$= (20 - 319/16)^{1/4}$।
$= ((320 - 319)/16)^{1/4}$।
$= (1/16)^{1/4}$।
$= (1/2^4)^{1/4} = 1/2 = 2^{-1}$।

(C) दिया गया है $h(x) = x^{x^x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log h(x) = x^x \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
चूँकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$ है,
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = x^x(1 + \log x) \log x + x^{x-1}$
$x = 1$ रखने पर:
$\frac{h^{\prime}(1)}{h(1)} = 1^1(1 + \log 1) \log 1 + 1^{1-1} = 1(1 + 0)(0) + 1 = 1$.
विकल्प $C$ में $x = 1$ रखने पर $1 + \log h(1) = 1 + \log(1) = 1 + 0 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $1 + \log h(x)$ है।

(B) दिया गया वक्र $6y = 7 - x^3$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{6} = -\frac{x^2}{2}$
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m$ है:
$m = -\frac{(1)^2}{2} = -\frac{1}{2}$
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{2}$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है:
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = -(x - 1)$
$2y - 2 = -x + 1$
$x + 2y = 3$

(C) माना $M = xy$ है।
दिया गया है कि $x + y = 7$,इसलिए हम $y = 7 - x$ लिख सकते हैं।
इस मान को $M$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$M = x(7 - x) = 7x - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$M$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dM}{dx} = 7 - 2x$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dM}{dx} = 0$ रखने पर,$7 - 2x = 0$,जिसका अर्थ है $x = \frac{7}{2}$।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $\frac{d^2M}{dx^2} = -2$।
चूंकि $\frac{d^2M}{dx^2} < 0$ है,इसलिए फलन $M$ का मान $x = \frac{7}{2}$ पर अधिकतम है।
अतः अधिकतम मान $M = \frac{7}{2}(7 - \frac{7}{2}) = \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{4}$ है।

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करें:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \tan^2 x + b^2}$
अब,मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$:
$I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k}) + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b/a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{b/a}\right) + C$
$I = \frac{1}{ab} \tan^{-1}\left(\frac{a \tan x}{b}\right) + C$

(B) माना $I = \int \frac{d x}{\sqrt{x}(x+9)}$.
$x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2t \, dt}{t(t^2 + 9)} = \int \frac{2 \, dt}{t^2 + 3^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{t}{3}) + C$.
अब $t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{x}}{3}) + C$.

(NONE) $\int_{-2}^1 f(x) dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करते हैं क्योंकि $f(x)$ की परिभाषा इस बिंदु पर बदलती है।
$\int_{-2}^1 f(x) dx = \int_{-2}^0 (1-2x) dx + \int_0^1 (1+2x) dx$
अब,प्रत्येक भाग का अलग-अलग समाकलन करें:
$\int_{-2}^0 (1-2x) dx = [x - x^2]_{-2}^0 = (0 - 0) - (-2 - (-2)^2) = 0 - (-2 - 4) = 0 - (-6) = 6$
$\int_0^1 (1+2x) dx = [x + x^2]_0^1 = (1 + 1^2) - (0 + 0^2) = 2 - 0 = 2$
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$\int_{-2}^1 f(x) dx = 6 + 2 = 8$

(D) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$.
यहाँ,$m = 8$ और $n = 2$ है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \cos^2 x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{9}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \Gamma(6)} = \frac{\Gamma(\frac{9}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \cdot 120}$.
$\Gamma(n+1) = n \Gamma(n)$ का उपयोग करते हुए,$\Gamma(\frac{9}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$ और $\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$ है।
अतः,समाकलन $\frac{(\frac{105}{16} \sqrt{\pi}) \cdot (\frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{240} = \frac{105 \pi}{32 \cdot 240} = \frac{7 \pi}{512}$ है।

(A) माना $f(x) = a x^3 + b x$.
चूंकि $f(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(a x^3 + b x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,समाकल का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) dx = \left[ a \frac{x^4}{4} + b \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1$
$= \left( \frac{a(1)^4}{4} + \frac{b(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{a(-1)^4}{4} + \frac{b(-1)^2}{2} \right)$
$= \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) - \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) = 0$.
यह परिणाम $a$ और $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।

(C) $n$ अंतरालों के लिए ट्रेपेज़ॉइडल नियम इस प्रकार है:
$\int_{x_0}^{x_n} y \, dx \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) + y_n]$
यहाँ,मान $x_0=1, x_1=2, x_2=3, x_3=4$ हैं,इसलिए स्टेप साइज़ $h = x_1 - x_0 = 2 - 1 = 1$ है।
संगत $y$ मान $y_0 = 0.7111, y_1 = 0.7222, y_2 = 0.7333, y_3 = 0.7444$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2(0.7222 + 0.7333) + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2(1.4555) + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2.9110 + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [4.3665]$
$\int_1^4 y \, dx \approx 2.18325 \approx 2.1833$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = 4$ है।
चरों को अलग करने पर: $y^2 dy = (4 - x^2) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y^2 dy = \int (4 - x^2) dx$।
यह हमें देता है: $\frac{y^3}{3} = 4x - \frac{x^3}{3} + C_1$।
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर: $y^3 = 12x - x^3 + 3C_1$।
माना $3C_1 = C$,तब हल है: $x^3 + y^3 = 12x + C$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \cdot e^x = \int e^x \cdot e^x dx + C$ प्राप्त होता है।
$y e^x = \int e^{2x} dx + C$।
$y e^x = \frac{e^{2x}}{2} + C$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2ye^x = e^{2x} + 2C$ प्राप्त होता है।
माना $2C = C_1$,अतः $2ye^x = e^{2x} + C_1$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dx + y dy = x^2 y dy - x y^2 dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x dx + x y^2 dx = x^2 y dy - y dy$
$x(1 + y^2) dx = y(x^2 - 1) dy$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{x}{x^2 - 1} dx = \frac{y}{1 + y^2} dy$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{2x}{x^2 - 1} dx = \frac{2y}{1 + y^2} dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx = \int \frac{2y}{1 + y^2} dy$
$\ln|x^2 - 1| = \ln|1 + y^2| + \ln C$
गुणधर्म $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\ln|x^2 - 1| = \ln|C(1 + y^2)|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$x^2 - 1 = C(1 + y^2)$

(A) दिया गया है कि $a, b, c, d$ समतलीय सदिश हैं।
चूंकि $a$ और $b$ समतलीय हैं,सदिश $a \times b$,$a$ और $b$ वाले तल के लंबवत है।
इसी प्रकार,$c$ और $d$ समतलीय हैं,इसलिए सदिश $c \times d$,$c$ और $d$ वाले तल के लंबवत है।
चूंकि $a, b, c, d$ सभी एक ही तल में स्थित हैं,इसलिए सदिश $a \times b$ और $c \times d$ दोनों एक ही तल के लंबवत हैं।
अतः,$a \times b$ और $c \times d$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य सदिश होता है,इसलिए $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ होगा।

(B) दिए गए सदिश $a = \hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}$ और $b = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,$(a+b)$ की गणना करें:
$a+b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}$.
इसके बाद,$(a-b)$ की गणना करें:
$a-b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) - (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}$.
चूंकि $(a+b)$ और $(a-b)$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(a+b) \cdot (a-b) = 0$.
$(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}) = 0$.
$(2)(0) + (3)(-1) + (t+3)(t-3) = 0$.
$0 - 3 + (t^2 - 9) = 0$.
$t^2 - 12 = 0$.
$t^2 = 12$.
$t = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(C) दिए गए सदिश $a = \hat{i} + 4 \hat{j}$,$b = 2 \hat{i} - 2 \hat{j}$,और $c = 5 \hat{i} + 9 \hat{j}$ हैं।
हम $3 a + b$ का मान जाँचते हैं:
$3 a + b = 3(\hat{i} + 4 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= (3 \hat{i} + 12 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= (3 + 2) \hat{i} + (12 - 3) \hat{j}$
$= 5 \hat{i} + 9 \hat{j} = c$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है कि,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$.
सदिश गुणनफल और अदिश गुणनफल की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b} \neq 0$ और $\cos \theta \neq 0$):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$.
चूंकि $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है,इसलिए $0 \leq \theta \leq \pi$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) अदिश त्रिक गुणन $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ को सदिशों $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$,$\vec{b} = 0\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
$[\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k}, \hat{k}-\hat{i}] = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= 1(1 \times 1 - (-1) \times 0) - (-1)(0 \times 1 - (-1) \times (-1)) + 0(0 \times 0 - 1 \times (-1))$
$= 1(1 - 0) + 1(0 - 1) + 0(0 + 1)$
$= 1(1) + 1(-1) + 0$
$= 1 - 1 = 0$।

(A) मूल बिंदु $O(0,0,0)$ के सापेक्ष बिंदुओं $P$ और $Q$ के स्थिति सदिश $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ हैं।
कोण $\theta = \angle POQ$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणन (dot product) सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणन की गणना करें:
$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) माना $N$ बिंदु $P(0,2,3)$ से दी गई रेखा पर लंब का पाद है।
माना $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=r$.
तब रेखा पर कोई भी बिंदु $(5r-3, 2r+1, 3r-4)$ के रूप में होगा।
यदि यह बिंदु $N$ है,तो सदिश $\vec{NP}$ के दिक अनुपात $(5r-3-0, 2r+1-2, 3r-4-3)$ अर्थात $(5r-3, 2r-1, 3r-7)$ होंगे।
चूंकि $\vec{NP}$ रेखा के लंबवत है और रेखा के दिक अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5r-3) + 2(2r-1) + 3(3r-7) = 0$.
$25r - 15 + 4r - 2 + 9r - 21 = 0$.
$38r - 38 = 0$,जिससे $r = 1$ प्राप्त होता है।
$r = 1$ का मान बिंदु $(5r-3, 2r+1, 3r-4)$ में रखने पर,हमें $(5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$ प्राप्त होता है।

(D) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है। यह निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ पर मिलता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से इस समतल की दूरी $h$ दी गई है। दूरी का सूत्र $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = h$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}$।
माना $(x, y, z)$ $\triangle ABC$ के केंद्रक के निर्देशांक हैं। तब $x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,और $z = \frac{c}{3}$ होगा।
इससे $a = 3x$,$b = 3y$,और $c = 3z$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दूरी के समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{h^2}$

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से लंब के पाद $(1,2,2)$ को जोड़ने वाला सदिश है।
अतः,$\vec{n} = (1-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(1,2,2)$ और अभिलंब सदिश $(1,2,2)$ के मान रखने पर:
$1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-2) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 2z - 4 = 0$
$x + 2y + 2z - 9 = 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
यहाँ $n=4$ दिया गया है और समीकरण $P(X=4) = 6 P(X=2)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: ${ }^4 C_4 p^4 q^0 = 6 \cdot { }^4 C_2 p^2 q^2$.
हम जानते हैं कि ${ }^4 C_4 = 1$ और ${ }^4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$,इसलिए:
$1 \cdot p^4 = 6 \cdot 6 \cdot p^2 q^2$.
$p^4 = 36 p^2 q^2$.
दोनों पक्षों को $p^2$ से विभाजित करने पर ($p \neq 0$ मानते हुए):
$p^2 = 36 q^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$p = 6q$ (चूंकि $p$ और $q$ प्रायिकताएं हैं,इसलिए वे धनात्मक होनी चाहिए)।
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p = 6(1-p)$.
$p = 6 - 6p$.
$7p = 6$.
$p = \frac{6}{7}$.