int_{-1}^1 (a x^3 + b x) dx = 0 के लिए | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = a x^3 + b x$. चूंकि $f(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(a x^3 + b x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है। निश्चित समाकल के गुणधर्म के अ

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$a$ और $b$ का कोई भी मान

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(A) माना $f(x) = a x^3 + b x$. चूंकि $f(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(a x^3 + b x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है। निश्चित समाकल के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है। वैकल्पिक रूप से,समाकल का मूल्यांकन करने पर: $\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) dx = \left[ a \frac{x^4}{4} + b \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1$ $= \left( \frac{a(1)^4}{4} + \frac{b(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{a(-1)^4}{4} + \frac{b(-1)^2}{2} \right)$ $= \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) - \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) = 0$. यह परिणाम $a$ और $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।

$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) dx = 0$ के लिए

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समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} \left[ \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right] dx$

यदि $\alpha = 1$ और $\beta = 1 + i\sqrt{2}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के दो मूल हैं,जहाँ $a, b, c \in R$,तो $\int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx =$

$\int_{-1}^{1} \sin^{5} x \cos^{4} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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