frac{dy}{dx} + y = e^x का हल है | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^x$ है।समाकल

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$2ye^x = e^{2x} + C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^x$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर,$y \cdot e^x = \int e^x \cdot e^x dx + C$ प्राप्त होता है।$y e^x = \int e^{2x} dx + C$।$y e^x = \frac{e^{2x}}{2} + C$।दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2ye^x = e^{2x} + 2C$ प्राप्त होता है।माना $2C = C_1$,अतः $2ye^x = e^{2x} + C_1$।

$\frac{dy}{dx} + y = e^x$ का हल है

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यदि $y = f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (\tan x - y) \sec^2 x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ का हल है,और $y(0) = 0$ है,तो $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ का हल है,जहाँ $y(0) = 1$ है। तो

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