मान लीजिए [t] उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता ह | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_1^2 |2x - [3x]| dx$ का मान ज्ञात करना है।फलन $[3x]$ का मान $x = \frac{n}{3}$ बिंदुओं पर बदलता है। अंतराल $[1, 2]$ में,असंतत

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$1$

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(A) हमें समाकलन $I = \int_1^2 |2x - [3x]| dx$ का मान ज्ञात करना है।फलन $[3x]$ का मान $x = \frac{n}{3}$ बिंदुओं पर बदलता है। अंतराल $[1, 2]$ में,असंतत बिंदु $x = \frac{4}{3}, \frac{5}{3}$ हैं।हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित करते हैं:$I = \int_1^{4/3} |2x - 3| dx + \int_{4/3}^{5/3} |2x - 4| dx + \int_{5/3}^2 |2x - 5| dx$चूंकि $x \in [1, 4/3]$ के लिए $2x $I = \int_1^{4/3} (3 - 2x) dx + \int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx + \int_{5/3}^2 (5 - 2x) dx$$I = [3x - x^2]_1^{4/3} + [4x - x^2]_{4/3}^{5/3} + [5x - x^2]_{5/3}^2$$I = (4 - 16/9) - (3 - 1) + (20/3 - 25/9) - (16/3 - 16/9) + (10 - 4) - (25/3 - 25/9)$$I = (20/9 - 2) + (35/9 - 32/9) + (6 - 50/9) = 20/9 - 18/9 + 3/9 + 54/9 - 50/9 = 9/9 = 1$.

मान लीजिए $[t]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। तो $\int_1^2 |2x - [3x]| dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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