$\int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) dx=$

मान लीजिए $f(x)=\int_0^x g(t) \log _e\left(\frac{1-t}{1+t}\right) d t$,जहाँ $g$ एक सतत विषम फलन है। यदि $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(f(x)+\frac{x^2 \cos x}{1+e^x}\right) d x=\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^2-\alpha$ है,तो $\alpha$ का मान ............. है।

यदि $\alpha=\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{2 x^2-3 x+2} d x$ है,तो $\sqrt{7} \tan \left(\frac{2 \alpha \sqrt{7}}{\pi}\right)$ का मान $....$ है। (यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\tan ^{-1} x$ का मान $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में है।)

समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} \left[ \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right] dx$

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx =$

$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = $ . . . . . . .