समाकल int_0^1 sqrt{frac{1-x}{1+x}} , dx का मा | vedclass

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Question

(A) समाकल $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समाकल्य का परिमेयकरण करते हैं:अंश और हर को $\sqrt{1-x}$ से गुणा करने

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$\frac{\pi}{2} - 1$

Vedclass · Answer

(A) समाकल $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समाकल्य का परिमेयकरण करते हैं:अंश और हर को $\sqrt{1-x}$ से गुणा करने पर:$I = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{(1+x)(1-x)}} \, dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$समाकल को दो भागों में विभाजित करने पर:$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$दूसरे समाकल के लिए,मान लीजिए $u = 1-x^2$,तब $du = -2x \, dx$,अर्थात $x \, dx = -\frac{1}{2} du$.पहला भाग $\left[ \sin^{-1}(x) \right]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ है।दूसरा भाग $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \left[ -\sqrt{1-x^2} \right]_0^1 = -(\sqrt{0} - \sqrt{1}) = 1$ है।अतः,$I = \frac{\pi}{2} - 1$.

समाकल $\int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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