MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया व्यंजक: $(p \wedge q) \wedge [(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)]$
वर्ग कोष्ठक के अंदर के पद पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q) \equiv (p \vee \sim p) \wedge q$
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv T$ (पुनरुक्ति),इसलिए:
$T \wedge q \equiv q$
इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(p \wedge q) \wedge q$
साहचर्य और वर्गसम नियमों का उपयोग करने पर:
$p \wedge (q \wedge q) \equiv p \wedge q$
अतः,व्यंजक $p \wedge q$ के समतुल्य है।

(D) हम दिए गए कथनों को तार्किक रूप में लिखते हैं:
$S_1 = p \rightarrow q$
$S_2 = p \rightarrow \sim q$
$S_3 = \sim p \vee q$
$S_4 = p \wedge q$
हम जानते हैं कि तार्किक तुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ होती है।
इसे $S_1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $S_1 = p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ प्राप्त होता है।
चूंकि $S_3 = \sim p \vee q$,इसलिए $S_1 \equiv S_3$ है।

(C) दिए गए कथन हैं:
$p$: बारिश हो रही है
$q$: मौसम सुहावना है
कथन "न तो बारिश हो रही है और न ही मौसम सुहावना है" का अर्थ है "बारिश नहीं हो रही है और मौसम सुहावना नहीं है".
इसे $(\sim p) \wedge (\sim q)$ के रूप में लिखा जा सकता है.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) $p \wedge (q \rightarrow r)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम डी मॉर्गन के नियम और निहितार्थ (implication) के गुणों का उपयोग करते हैं:
$\sim [p \wedge (q \rightarrow r)]$
चूंकि $q \rightarrow r \equiv \sim q \vee r$,इसलिए:
$\equiv \sim [p \wedge (\sim q \vee r)]$
डी मॉर्गन का नियम $\sim (A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$ लागू करने पर:
$\equiv \sim p \vee \sim (\sim q \vee r)$
पुनः डी मॉर्गन का नियम $\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$ लागू करने पर:
$\equiv \sim p \vee (q \wedge \sim r)$

(C) माना $p: -7$ एक पूर्णांक है।
माना $q: \sqrt{-7}$ एक सम्मिश्र संख्या है।
$S_1$ का तार्किक रूप $p \rightarrow q$ है।
$S_2$ का तार्किक रूप $\sim p \lor q$ है।
हम जानते हैं कि $p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q$ होता है।
अतः,$S_1$ और $S_2$ समतुल्य कथन हैं।

(C) माना $p: 3+6 > 8$ और $q: 2+3 < 6$ है।
दिए गए कथन का तार्किक रूप $p \wedge q$ है।
निषेध के नियम (डी मॉर्गन नियम) के अनुसार,$\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$ होता है।
यहाँ,$\sim p$ का मान $3+6 \leq 8$ है और $\sim q$ का मान $2+3 \geq 6$ है।
अतः,सही निषेध $3+6 \leq 8 \text{ या } 2+3 \geq 6$ है।

(C) माना $p$: दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
$q$: उनके क्षेत्रफल समान हैं।
दिए गए कथन का तार्किक रूप $p \rightarrow q$ है।
दिए गए कथन का प्रतिलोम (Inverse) $\sim p \rightarrow \sim q$ है।
प्रतिलोम का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) $\sim(\sim q) \rightarrow \sim(\sim p)$ अर्थात $q \rightarrow p$ है।
अतः,कथन है: यदि दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं,तो वे सर्वांगसम हैं।

(D) दिया गया कथन: $\sim p \rightarrow q$ है।
कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिलोम $\sim A \rightarrow \sim B$ होता है।
अतः,$\sim p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim(\sim p) \rightarrow \sim q$ है,जो $p \rightarrow \sim q$ के रूप में सरल होता है।
एक निहितार्थ $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge (\sim B)$ होता है।
इस प्रकार,$p \rightarrow \sim q$ का निषेध $p \wedge \sim(\sim q)$ है,जो $p \wedge q$ के रूप में सरल होता है।

(D) दिया गया कथन $\forall x \in N, P(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x)$ कथन '$x^2+x$ एक सम संख्या है' है।
सार्वत्रिक क्वांटिफायर कथन $\forall x, P(x)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम $\sim(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \sim P(x)$ नियम का उपयोग करते हैं।
यहाँ,'$x^2+x$ एक सम संख्या है' का निषेध '$x^2+x$ एक सम संख्या नहीं है' है।
अतः,कथन का निषेध $\exists x \in N$ इस प्रकार है कि $x^2+x$ एक सम संख्या नहीं है।

(D) माना $p$: बारिश हो रही है और $q$: मौसम सुहावना है।
दिया गया कथन "यह सत्य नहीं है कि,यदि बारिश हो रही है तो मौसम सुहावना नहीं है" है।
प्रतीकात्मक रूप से,इसे $\sim(p \rightarrow \sim q)$ के रूप में लिखा जाता है।
तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q)$।
चूंकि $\sim(\sim q) \equiv q$,इसलिए व्यंजक $p \wedge q$ में सरल हो जाता है।
अतः,कथन "बारिश हो रही है और मौसम सुहावना है" है।

(B) रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ हैं,जिन्हें $(\sqrt{3}x - y) = 0$ और $(x - \sqrt{3}y) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
उनका संयुक्त समीकरण $(\sqrt{3}x - y)(x - \sqrt{3}y) = 0$ है।
विस्तार करने पर,$\sqrt{3}x^2 - 3xy - xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$।
$\sqrt{3}(x^2 + y^2) = 4xy$।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ रेखाओं की प्रवणता (slopes) हैं।
तब $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{m_1+m_2}{1-m_1 m_2}$।
मान रखने पर,हमें $\tan(\alpha+\beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{1-\frac{a}{b}} = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b-a}{b}} = \frac{-2h}{b-a} = \frac{2h}{a-b}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ हैं। चूँकि वे रेखा $y=3$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए इन रेखाओं द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $60^{\circ}$ और $120^{\circ}$ होना चाहिए।
इन रेखाओं की ढलान $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं।
इन्हें पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3}x - y = 0$ और $\sqrt{3}x + y = 0$ प्राप्त होता है।
संयुक्त समीकरण $(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(\sqrt{3}x)^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x^2 - y^2 = 0$ हो जाता है।

(D) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ है।
द्विघात समीकरण के गुणों से:
$m_1+m_2 = \tan \alpha + \tan \beta = -\frac{2h}{b}$
$m_1m_2 = \tan \alpha \tan \beta = \frac{a}{b}$
$\tan(\alpha+\beta)$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$
मान रखने पर:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{1 - \frac{a}{b}} = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b-a}{b}} = \frac{-2h}{b-a} = \frac{2h}{a-b}$

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 = 0 \Rightarrow 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = 0$.
अतः,रेखाएँ $2x - y = 0$ और $x - 2y = 0$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
बिंदु $(2, -1)$ और रेखा $2x - y = 0$ के लिए,दूरी $d_1 = \frac{|2(2) - 1(-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}}$.
बिंदु $(2, -1)$ और रेखा $x - 2y = 0$ के लिए,दूरी $d_2 = \frac{|1(2) - 2(-1)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
दूरियों का गुणनफल $d_1 \times d_2 = \frac{5}{\sqrt{5}} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{20}{5} = 4$ इकाई है।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-4xy+y^2=0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $1-4(\frac{y}{x})+(\frac{y}{x})^2=0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \tan \theta = \frac{y}{x}$,तो $m^2-4m+1=0$।
रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ हैं।
द्विघात समीकरण से,मूलों का योग $\tan \alpha + \tan \beta = 4$ और मूलों का गुणनफल $\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1$ है।
हमें $\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{1}{\tan^2 \alpha} + \frac{1}{\tan^2 \beta} = \frac{\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta}{(\tan \alpha \cdot \tan \beta)^2}$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = (\tan \alpha + \tan \beta)^2 - 2 \tan \alpha \tan \beta$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = (4)^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$।
अतः,$\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{14}{1^2} = 14$।

(C) रेखाओं के युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ के लिए,मान लीजिए ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
हमारे पास $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।
दिया गया है कि एक ढाल दूसरे का दोगुना है,इसलिए $m_1 = 2m_2$ लें।
ढालों के योग में यह मान रखने पर: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow 3m_2 = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow m_2 = -\frac{2h}{3b}$।
ढालों के गुणनफल में यह मान रखने पर: $m_1m_2 = (2m_2)m_2 = 2m_2^2 = \frac{a}{b}$।
अतः,$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b} \Rightarrow 2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$।
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{h^2}{ab} = \frac{9}{8}$।
इसलिए,$h^2:ab = 9:8$।

(C) दोनों रेखाओं की ढाल $m_1 = 1+\sqrt{2}$ और $m_2 = \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ है।
$m_2$ का परिमेयकरण करने पर: $m_2 = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \sqrt{2}-1$।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण $y = (1+\sqrt{2})x$ और $y = (\sqrt{2}-1)x$ हैं।
अतः,$(1+\sqrt{2})x - y = 0$ और $(\sqrt{2}-1)x - y = 0$।
उनका संयुक्त समीकरण: $[(1+\sqrt{2})x - y][(\sqrt{2}-1)x - y] = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2 = 0$।

(C) $ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म के बीच के न्यून कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ है।
दिया गया है कि $\theta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.
अतः,$1 = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $1 = \frac{4(h^2-ab)}{(a+b)^2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $(a+b)^2 = 4h^2 - 4ab$.
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर,$a^2 + 2ab + b^2 = 4h^2 - 4ab$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4h^2 = a^2 + 6ab + b^2$ प्राप्त होता है।

(C) रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं और रेखा $x=3$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए मूल बिंदु $O$ पर कोण $60^{\circ}$ है।
$x$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,रेखाएँ $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ और $-30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $m_2 = \tan(-30^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ हैं,जिन्हें $x - \sqrt{3}y = 0$ और $x + \sqrt{3}y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संयुक्त समीकरण $(x - \sqrt{3}y)(x + \sqrt{3}y) = 0$ है,जो सरल होकर $x^2 - 3y^2 = 0$ हो जाता है।

(A) दी गई रेखाओं का समीकरण: $mx^2+2hxy+ny^2=0$.
दी गई शर्त: $(m+3n)(3m+n)=4h^2$.
शर्त का विस्तार करने पर: $3m^2+10mn+3n^2=4h^2$.
रेखाओं $ax^2+2hxy+by^2=0$ के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ है।
यहाँ $a=m$ और $b=n$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-mn}}{m+n}\right|$.
दी गई शर्त से,$h^2-mn = \frac{3(m+n)^2}{4}$.
अतः,$\sqrt{h^2-mn} = \frac{\sqrt{3}|m+n|}{2}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\tan \theta = \sqrt{3}$.
इस प्रकार,$\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया समीकरण $ax^2 - bxy - y^2 = 0$ है। $x^2$ से भाग देने पर,हमें $-(\frac{y}{x})^2 - b(\frac{y}{x}) + a = 0$ प्राप्त होता है,जो $(\frac{y}{x})^2 + b(\frac{y}{x}) - a = 0$ है।
मान लीजिए $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ रेखाओं की ढाल हैं।
ये द्विघात समीकरण $m^2 + bm - a = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\tan \alpha + \tan \beta = -b$ और $\tan \alpha \tan \beta = -a$ है।
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{-b}{1 - (-a)} = \frac{-b}{1+a}$.

(D) सरल रेखाओं के एक युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
दिए गए समीकरण $(k^2+2) x^2 + 3xy - 6y^2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = (k^2+2)$ और $b = -6$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त $a + b = 0$ में रखने पर:
$(k^2+2) + (-6) = 0$
$k^2 - 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$.

(C) दिया गया समीकरण $(x^2+y^2) \sin \theta + 2xy = 0$ है,जिसे $(\sin \theta)x^2 + 2xy + (\sin \theta)y^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = \sin \theta$,$h = 1$,और $b = \sin \theta$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\alpha$ है। कोण के लिए सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1^2 - (\sin \theta)(\sin \theta)}}{\sin \theta + \sin \theta} \right|$।
$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{2 \sin \theta} \right| = \left| \frac{2\cos \theta}{2 \sin \theta} \right| = |\cot \theta|$।
चूंकि $\alpha$ न्यून कोण है,$\tan \alpha = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$।

(B) माना रेखाओं की ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ है।
समीकरण $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ के लिए,$m_{1} + m_{2} = \frac{-2h}{b}$ और $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$ है।
ढाल का अनुपात $m_{1}:m_{2} = 5:3$ दिया गया है,इसलिए $m_{1} = 5k$ और $m_{2} = 3k$ लें।
अतः $m_{1} + m_{2} = 8k = \frac{-2h}{b} \Rightarrow k = \frac{-h}{4b}$।
साथ ही $m_{1}m_{2} = 15k^{2} = \frac{a}{b}$।
दूसरे समीकरण में $k$ का मान रखने पर: $15 \left( \frac{-h}{4b} \right)^{2} = \frac{a}{b}$।
$15 \left( \frac{h^{2}}{16b^{2}} \right) = \frac{a}{b}$।
$\frac{15h^{2}}{16b} = a$।
अतः,$\frac{h^{2}}{ab} = \frac{16}{15}$।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2-3 x y-4 y^2=0$ है। इसे $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=1, H=-\frac{3}{2}, B=-4$ प्राप्त होता है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{A-B} = \frac{xy}{H}$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2-y^2}{1-(-4)} = \frac{xy}{-3/2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2-y^2}{5} = -\frac{2xy}{3}$.
$3(x^2-y^2) = -10xy$.
$3x^2+10xy-3y^2=0$.
इसे दिए गए समीकरण $3x^2-kxy-3y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-k=10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k=-10$.

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $k x^2 + x y - y^2 = 0$ है।
चूंकि रेखाएं निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती हैं,इसलिए उनकी ढाल $m = \pm 1$ होनी चाहिए।
समीकरण में $y = mx$ रखने पर,हमें $k x^2 + x(mx) - (mx)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें $k + m - m^2 = 0$ मिलता है।
$m = 1$ के लिए,$k + 1 - 1^2 = 0 \Rightarrow k = 0$.
$m = -1$ के लिए,$k - 1 - (-1)^2 = 0$ $\Rightarrow k - 1 - 1 = 0$ $\Rightarrow k = 2$.
अतः,$k$ के मान $0$ और $2$ हैं।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
$px^2 - qy^2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = p$,$h = 0$,और $b = -q$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के भिन्न और वास्तविक होने के लिए शर्त $h^2 - ab > 0$ है।
मान रखने पर,हमें $0^2 - (p)(-q) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः $pq > 0$ होता है।

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है। मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ रेखाओं की प्रवणताएँ हैं।
हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।
प्रवणताओं का अंतर $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2$ द्वारा दिया जाता है।
$(m_1 - m_2)^2 = \left(-\frac{2h}{b}\right)^2 - 4\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{4h^2}{b^2} - \frac{4a}{b} = \frac{4h^2 - 4ab}{b^2}$.
दिया गया है कि $4ab = 3h^2$,इसे समीकरण में रखने पर:
$(m_1 - m_2)^2 = \frac{4h^2 - 3h^2}{b^2} = \frac{h^2}{b^2}$.
अतः,$m_1 - m_2 = \pm \frac{h}{b}$.
$m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ और $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ को हल करने पर:
$2m_1 = -\frac{2h}{b} + \frac{h}{b} = -\frac{h}{b} \Rightarrow m_1 = -\frac{h}{2b}$.
$2m_2 = -\frac{2h}{b} - \frac{h}{b} = -\frac{3h}{b} \Rightarrow m_2 = -\frac{3h}{2b}$.
अनुपात $m_1 : m_2 = \left(-\frac{h}{2b}\right) : \left(-\frac{3h}{2b}\right) = 1 : 3$ है।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2+8xy+5y^2=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $A=a$,$2H=8$ (अतः $H=4$),और $B=5$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
ढालों का योग $m_1+m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{8}{5}$ है।
ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{5}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,ढालों का योग उनके गुणनफल का दोगुना है:
$m_1+m_2 = 2(m_1m_2)$
$-\frac{8}{5} = 2\left(\frac{a}{5}\right)$
$-\frac{8}{5} = \frac{2a}{5}$
$2a = -8$
$a = -4$.

(C) दिया गया समीकरण $y^2 - 9xy + 18x^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(y - 3x)(y - 6x) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $y = 3x$ और $y = 6x$ हैं।
तीसरी रेखा $y = 9$ है।
त्रिभुज के शीर्ष बिंदु इस प्रकार हैं:
$1$. $y = 3x$ और $y = 6x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$2$. $y = 3x$ और $y = 9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 9)$ है।
$3$. $y = 6x$ और $y = 9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{3}{2}, 9)$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(9 - 9) + 3(9 - 0) + \frac{3}{2}(0 - 9)| = \frac{27}{4}$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया अनुपात $\frac{\frac{n!}{2!(n-2)!}}{\frac{n!}{4!(n-4)!}} = \frac{2}{1}$ है।
यह $\frac{n!}{2!(n-2)!} \times \frac{4!(n-4)!}{n!} = 2$ में सरल हो जाता है।
$n!$ को काटने और फैक्टोरियल का विस्तार करने पर,हमें मिलता है $\frac{4 \times 3 \times 2!}{2! \times (n-2)(n-3)(n-4)!} \times (n-4)! = 2$.
$\frac{12}{(n-2)(n-3)} = 2$.
$(n-2)(n-3) = 6$.
$n^2 - 5n + 6 = 6$.
$n^2 - 5n = 0$.
$n(n-5) = 0$.
चूंकि पद $\frac{n!}{4!(n-4)!}$ को परिभाषित होने के लिए $n \ge 4$ होना चाहिए,इसलिए $n = 5$ है।

(D) $ABRACADABRA$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A$ ($5$ बार),$B$ ($2$ बार),$R$ ($2$ बार),$C$ ($1$ बार),$D$ ($1$ बार)।
यहाँ $5$ स्वर हैं,जो सभी $A$ हैं। हम इन $5$ $A$'s को एक इकाई $(AAAAA)$ के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $7$ वस्तुएँ हैं: $(AAAAA), B, B, R, R, C, D$।
यहाँ $B$ दो बार और $R$ दो बार दोहराया गया है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{7!}{2!2!} = \frac{5040}{4} = 1260$ है।

(C) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं।
हार के लिए,दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anti-clockwise) व्यवस्थाओं को समान माना जाता है,इसलिए $n$ अलग-अलग मोतियों से हार बनाने के तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ होती है।
यहाँ $n = 8$ दिया गया है,इसलिए तरीकों की संख्या $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2}$ होगी।
$\frac{5040}{2} = 2520$.

(B) $5$ प्रश्नों में से प्रत्येक का उत्तर $2$ तरीकों से दिया जा सकता है (सत्य या असत्य)।
$5$ प्रश्नों के लिए उत्तरों के कुल संभावित क्रम $= 2^5 = 32$ हैं।
चूंकि किसी भी छात्र ने सभी सही उत्तर नहीं लिखे हैं,इसलिए हम उस $1$ क्रम को बाहर कर देते हैं जो सभी सही उत्तरों को दर्शाता है।
अतः,छात्रों की अधिकतम संख्या $= 32 - 1 = 31$ है।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्णों की संख्या का सूत्र: $\frac{n(n-3)}{2} = 44$ है।
यह दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $44$ है,इसलिए:
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 11)(n + 8) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $n = 11$ है।

(D) हमें $7$ व्यंजनों में से $3$ और $4$ स्वरों में से $2$ का चयन करना है।
अक्षरों के चयन के तरीकों की संख्या $= {}^{7}C_{3} \times {}^{4}C_{2}$.
$= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 35 \times 6 = 210$.
इन $5$ चयनित अक्षरों को आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शब्दों की संख्या $= 210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$.

(B) दिए गए अंक $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ हैं। इसमें $4$ विषम अंक $(1, 1, 3, 3)$ और $3$ सम अंक $(2, 2, 4)$ हैं।
$7$ अंकों की संख्या में,विषम स्थान $1, 3, 5$ और $7$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
सम स्थान $2, 4$ और $6$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
चूंकि विषम अंक हमेशा विषम स्थानों पर होने चाहिए,इसलिए $4$ विषम अंकों को $4$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!2!} = 6$ हैं।
अब,$3$ सम अंकों को $3$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $= 6 \times 3 = 18$ है।

(B) समिति को निम्नलिखित तरीकों से बनाया जा सकता है:
$(5 \text{ पुरुष})$,$(4 \text{ पुरुष}, 1 \text{ महिला})$,$(3 \text{ पुरुष}, 2 \text{ महिलाएं})$
$\therefore$ तरीकों की संख्या $= \binom{6}{5} + (\binom{6}{4} \times \binom{4}{1}) + (\binom{6}{3} \times \binom{4}{2})$
$= 6 + (15 \times 4) + (20 \times 6)$
$= 6 + 60 + 120 = 186$

(B) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
संभावित योग $2$ से $12$ तक है। इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 2: (1, 1) \rightarrow 1 \text{ परिणाम}$
योग $= 3: (1, 2), (2, 1) \rightarrow 2 \text{ परिणाम}$
योग $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \rightarrow 4 \text{ परिणाम}$
योग $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \rightarrow 6 \text{ परिणाम}$
योग $= 11: (5, 6), (6, 5) \rightarrow 2 \text{ परिणाम}$
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ हैं।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(D) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
माना $A$ डबलेट प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं,इसलिए $n(A) = 6$ है।
माना $B$ योग $10$ प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $(4,6), (5,5), (6,4)$ हैं,इसलिए $n(B) = 3$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ परिणाम $(5,5)$ है,इसलिए $n(A \cap B) = 1$ है।
डबलेट या $10$ का योग प्राप्त करने वाले परिणामों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 3 - 1 = 8$ है।
वे परिणाम जो न तो डबलेट हैं और न ही जिनका योग $10$ है,उनकी संख्या $36 - 8 = 28$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{28}{36} = \frac{7}{9}$ है।

(A) माना $H$ चित प्राप्त करने की घटना है और $D$ पासे पर $4$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की घटना है।
$P(H) = \frac{1}{2}$.
पासे पर $4$ से बड़ी संख्याएँ ${5, 6}$ हैं,इसलिए $P(D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(H \cap D) = P(H) \times P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
हमें $H \cup D$ की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(H \cup D) = P(H) + P(D) - P(H \cap D)$ द्वारा दी जाती है।
$P(H \cup D) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ की प्रायिकता इस प्रकार दी जाती है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} - P(A \cap B)$
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} - P(A \cap B)$
$\frac{5}{6} = \frac{5}{6} - P(A \cap B)$
इसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = 0$ है।
चूंकि घटनाओं $A$ और $B$ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $0$ है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।

(C) दिया गया है कि $P(E_1 \cup E_2) = 0.6$ और $P(E_1 \cap E_2) = 0.2$ है।
हम जानते हैं कि $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ होता है।
मान रखने पर: $0.6 = P(E_1) + P(E_2) - 0.2$,जिसका अर्थ है कि $P(E_1) + P(E_2) = 0.8$ है।
हमें $P(E_1') + P(E_2')$ का मान ज्ञात करना है।
पूरक घटना के नियम $P(E') = 1 - P(E)$ का उपयोग करने पर:
$P(E_1') + P(E_2') = (1 - P(E_1)) + (1 - P(E_2)) = 2 - (P(E_1) + P(E_2))$।
योग $P(E_1) + P(E_2) = 0.8$ रखने पर:
$P(E_1') + P(E_2') = 2 - 0.8 = 1.2$।

(D) माना कोण $x, 2x, 3x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,त्रिभुज के कोण $A = 30^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$।
मान रखने पर,$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$।
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$।
$1/2$ से गुणा करने पर,$a : b : c = \sin 30^{\circ} : \sin 60^{\circ} : \sin 90^{\circ} = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$।
पूरे अनुपात को $2$ से गुणा करने पर,$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$।

(D) माना कि $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
तब $\sin A = \frac{a}{k}$,$\sin B = \frac{b}{k}$,और $\sin C = \frac{c}{k}$.
त्रिभुज का परिमाप $a+b+c$ है।
कोणों के ज्या का समांतर माध्य $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,$a+b+c = 6 \times \left( \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \right)$.
मान रखने पर,$a+b+c = 2(\sin A + \sin B + \sin C) = 2 \left( \frac{a+b+c}{k} \right)$.
अतः,$1 = \frac{2}{k}$,जिसका अर्थ है $k = 2$.
चूँकि $\sin A = \frac{a}{k}$ और $a=1$,इसलिए $\sin A = \frac{1}{2}$.
अतः,$A = \frac{\pi^c}{6}$.

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ के कोण $A, B, C$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2B = A + C$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $B = 60^{\circ}$ और $A + C = 120^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = k$,इसलिए $a = k \sin A$ और $c = k \sin C$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a}{c} \sin 2C + \frac{c}{a} \sin 2A = \frac{k \sin A}{k \sin C} (2 \sin C \cos C) + \frac{k \sin C}{k \sin A} (2 \sin A \cos A)$
$= 2 \sin A \cos C + 2 \sin C \cos A$
$= 2(\sin A \cos C + \cos A \sin C)$
$= 2 \sin(A + C)$
$= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।

(B) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$,इसलिए $A+B = \pi-C$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2ab \sin \frac{1}{2}(A+B-C) = 2ab \sin \frac{1}{2}((\pi-C)-C)$
$= 2ab \sin \frac{1}{2}(\pi-2C) = 2ab \sin (\frac{\pi}{2}-C)$
$= 2ab \cos C$
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
अतः,$2ab \cos C = 2ab \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) = a^2+b^2-c^2$.

(A) हम ज्या नियम (Sine Rule) जानते हैं: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
इसका अर्थ है $a \sin B = b \sin A$ ... $(1)$.
हमें शर्त दी गई है: $a \cos B = b \cos A$ ... $(2)$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a \sin B}{a \cos B} = \frac{b \sin A}{b \cos A} \Rightarrow \tan B = \tan A$.
चूंकि $A$ और $B$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B$.
अतः,त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$b = k \sin B$ और $c = k \sin C$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b \sin B - c \sin C}{\sin (B - C)} = \frac{(k \sin B) \sin B - (k \sin C) \sin C}{\sin (B - C)}$
$= \frac{k(\sin^2 B - \sin^2 C)}{\sin (B - C)}$
सर्वसमिका $\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B - C) \sin(B + C)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{k \sin(B - C) \sin(B + C)}{\sin (B - C)}$
$= k \sin(B + C)$
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$।
अतः,व्यंजक $k \sin A = a$ हो जाता है।

(A) माना $I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} dx$ ... $(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x)}{1+e^{(\frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x)}} dx$
$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\frac{1}{e^x}} dx$
$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x \cos x}{e^x+1} dx$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} dx$
$2I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$
चूंकि $\cos x$ एक सम फलन है,$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx$:
$2I = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

(D) माना $I = \int_5^{10} \frac{d x}{(x-1)(x-2)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$.
$I = \int_5^{10} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} \right) d x$.
$I = [\log |x-2| - \log |x-1|]_5^{10}$.
$I = [\log |\frac{x-2}{x-1}|]_5^{10}$.
$I = \log |\frac{10-2}{10-1}| - \log |\frac{5-2}{5-1}|$.
$I = \log |\frac{8}{9}| - \log |\frac{3}{4}|$.
$I = \log |\frac{8}{9} \times \frac{4}{3}| = \log |\frac{32}{27}|$.

(A) माना $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$.
चूंकि $f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x} = f(x)$,अतः फलन सम (even) है।
गुणधर्म $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = 2 \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x dx$। सीमाएं $0$ से $\pi$ बदलकर $1$ से $-1$ हो जाएंगी।
$I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$.
$I = 2\pi [\tan^{-1} t]_0^1 = 2\pi (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi^2}{2}$.

(B) माना $I = \int_0^2 |2x - 3| \, dx$.
चूँकि $x < \frac{3}{2}$ के लिए $|2x - 3| = 3 - 2x$ और $x \ge \frac{3}{2}$ के लिए $|2x - 3| = 2x - 3$ होता है,इसलिए हम समाकलन को $x = \frac{3}{2}$ पर विभाजित करते हैं।
$I = \int_0^{3/2} (3 - 2x) \, dx + \int_{3/2}^2 (2x - 3) \, dx$.
प्रथम भाग का मूल्यांकन: $\int_0^{3/2} (3 - 2x) \, dx = [3x - x^2]_0^{3/2} = (3(\frac{3}{2}) - (\frac{3}{2})^2) - 0 = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$.
द्वितीय भाग का मूल्यांकन: $\int_{3/2}^2 (2x - 3) \, dx = [x^2 - 3x]_{3/2}^2 = (2^2 - 3(2)) - ((\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2})) = (4 - 6) - (\frac{9}{4} - \frac{9}{2}) = -2 - (-\frac{9}{4}) = -2 + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$ ... $(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin(\pi/2 - x)}{4+3 \cos(\pi/2 - x)}\right) d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) d x$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \left[ \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) + \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) \right] d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log \left( \frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x} \times \frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x} \right) d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log(1) d x$
चूंकि $\log(1) = 0$ है,इसलिए $2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$।

(A) माना $I = \int_0^4 x[x] \, dx$.
चूँकि $[x]$ एक स्टेप फलन है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं पर विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^1 x[0] \, dx + \int_1^2 x[1] \, dx + \int_2^3 x[2] \, dx + \int_3^4 x[3] \, dx$.
$I = 0 + \int_1^2 x \, dx + \int_2^3 2x \, dx + \int_3^4 3x \, dx$.
$I = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 + 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_2^3 + 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_3^4$.
$I = \left( \frac{4-1}{2} \right) + (9-4) + \frac{3}{2}(16-9)$.
$I = \frac{3}{2} + 5 + \frac{21}{2}$.
$I = \frac{3+21}{2} + 5 = \frac{24}{2} + 5 = 12 + 5 = 17$.

(A) माना $I = \int_0^1 |5x - 3| dx$.
चूँकि $5x - 3 = 0$ पर $x = \frac{3}{5}$ है,हम समाकलन को $x = \frac{3}{5}$ पर विभाजित करते हैं।
$0 \le x < \frac{3}{5}$ के लिए,$|5x - 3| = -(5x - 3) = 3 - 5x$.
$\frac{3}{5} \le x \le 1$ के लिए,$|5x - 3| = 5x - 3$.
अतः,$I = \int_0^{3/5} (3 - 5x) dx + \int_{3/5}^1 (5x - 3) dx$.
$I = [3x - \frac{5x^2}{2}]_0^{3/5} + [\frac{5x^2}{2} - 3x]_{3/5}^1$.
$I = (3(\frac{3}{5}) - \frac{5}{2}(\frac{9}{25})) - (0) + ((\frac{5}{2} - 3) - (\frac{5}{2}(\frac{9}{25}) - 3(\frac{3}{5})))$.
$I = (\frac{9}{5} - \frac{9}{10}) + (-\frac{1}{2} - (\frac{9}{10} - \frac{9}{5}))$.
$I = \frac{9}{10} + (-\frac{1}{2} - (-\frac{9}{10})) = \frac{9}{10} - \frac{1}{2} + \frac{9}{10} = \frac{18}{10} - \frac{5}{10} = \frac{13}{10}$.

(C) माना $I = \int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin(\pi - x) \cos^4(\pi - x) \, dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin x (-\cos x)^4 \, dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin x \cos^4 x \, dx \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \sin x \cos^4 x \, dx$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin x \cos^4 x \, dx$
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x \, dx$। जब $x=0, t=1$ और जब $x=\pi, t=-1$।
$2I = \pi \int_1^{-1} t^4 (-dt) = \pi \int_{-1}^1 t^4 \, dt$
चूंकि $t^4$ एक सम फलन है,$\int_{-1}^1 t^4 \, dt = 2 \int_0^1 t^4 \, dt$।
$2I = 2\pi \left[ \frac{t^5}{5} \right]_0^1 = 2\pi \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{2\pi}{5}$
$I = \frac{\pi}{5}$

(C) माना $ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} dx $ $(1)$
गुणधर्म $ \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x)}{1 - \sin(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx $
$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \cos x \sin x} dx $ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} + \frac{\cos x - \sin x}{1 - \sin x \cos x} \right) dx $
$ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x + \cos x - \sin x}{1 - \sin x \cos x} dx $
$ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 dx = 0 $
अतः,$ I = 0 $.

(A) माना $I = \int \tan ^{-1}(\sec x+\tan x) d x$.
हम जानते हैं कि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ और $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए $\sec x + \tan x = \frac{1+\sin x}{\cos x}$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
अतः,$\frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})} = \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}$.
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$I = \int \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) d x = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + c$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समाकलन $I = \int_2^5 2[x] \, dx$ दिया गया है।
चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,यह $1$ लंबाई के अंतराल में स्थिर पूर्णांक मान लेता है।
हम समाकलन को पूर्णांकों $3$ और $4$ पर विभाजित करते हैं:
$I = 2 \left( \int_2^3 [x] \, dx + \int_3^4 [x] \, dx + \int_4^5 [x] \, dx \right)$
$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$ है।
$x \in [3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$ है।
$x \in [4, 5)$ के लिए,$[x] = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 2 \left( \int_2^3 2 \, dx + \int_3^4 3 \, dx + \int_4^5 4 \, dx \right)$
$I = 2 \left( [2x]_2^3 + [3x]_3^4 + [4x]_4^5 \right)$
$I = 2 \left( (6 - 4) + (12 - 9) + (20 - 16) \right)$
$I = 2 \left( 2 + 3 + 4 \right) = 2 \times 9 = 18$.

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x$.
हम $\tan^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x + (x-1)}{1 - x(x-1)}$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x-1)) d x$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करते हुए,माना $f(x) = \tan^{-1}(x-1)$.
अतः $\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}((1-x)-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(-x) d x = -\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x$.
इस मान को समाकलन में वापस रखने पर:
$I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x - \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x = 0$.

(A) व्यंजक $a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}$ आव्यूह $A$ के सारणिक का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार दर्शाता है,जो $|A|$ के बराबर है।
$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 3(2 \times 6 - 1 \times 2) - 2(1 \times 6 - 1 \times 3) + 4(1 \times 2 - 2 \times 3)$
$|A| = 3(12 - 2) - 2(6 - 3) + 4(2 - 6)$
$|A| = 3(10) - 2(3) + 4(-4)$
$|A| = 30 - 6 - 16$
$|A| = 8$
अतः,$a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = 8$.

(A) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$ है।
दूसरे स्तंभ के अवयव $a_{12} = -1$,$a_{22} = 2$,और $a_{32} = 3$ हैं।
सह-खंड $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक (minor) है।
$A_{12}$ के लिए: $A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = -(12 - (-1)) = -(13) = -13$.
$A_{22}$ के लिए: $A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = +(4 - (-2)) = +(6) = 6$.
$A_{32}$ के लिए: $A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 6) = -(-5) = 5$.
अतः,सह-खंड $-13, 6, 5$ हैं।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 3 \\ -4 & 3 & 2 \\ -4 & -7 & 3 \end{bmatrix}$ है।
दूसरी पंक्ति के अवयवों $(a_{21}, a_{22}, a_{23})$ के सहखंड ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक (minor) है।
$1$. अवयव $a_{21} = -4$ के लिए:
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} = -(18 - (-21)) = -(18 + 21) = -39$.
$2$. अवयव $a_{22} = 3$ के लिए:
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = +(15 - (-12)) = 15 + 12 = 27$.
$3$. अवयव $a_{23} = 2$ के लिए:
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -7 \end{vmatrix} = -(-35 - (-24)) = -(-35 + 24) = -(-11) = 11$.
अतः,सहखंड $-39, 27, 11$ हैं।

(C) माना कि तीन संख्याएँ $x, y,$ और $z$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$x + y + z = 6$ $(1)$
$x + 3z = 7$ $(2)$
$3x + y + z = 12$ $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(3x + y + z) - (x + y + z) = 12 - 6$
$2x = 6 \Rightarrow x = 3$
$x = 3$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$3 + 3z = 7$
$3z = 4 \Rightarrow z = \frac{4}{3}$
$x = 3$ और $z = \frac{4}{3}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3 + y + \frac{4}{3} = 6$
$y = 6 - 3 - \frac{4}{3} = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9-4}{3} = \frac{5}{3}$
अतः,संख्याओं का गुणनफल $xyz = (3) \times (\frac{5}{3}) \times (\frac{4}{3}) = \frac{20}{3}$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y = \frac{dp}{dx} + \sqrt{a^2 p^2 - b^2}$ है,जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$ है।
$p = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dp}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d^2y}{dx^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $y = \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2}$ हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - \frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt{a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y - \frac{d^2y}{dx^2})^2 = a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$y^2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^2 - 2y(\frac{d^2y}{dx^2}) = a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $m = 2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$m + n = 2 + 2 = 4$ होगा।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5+4 \frac{\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)}{\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)}+\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)=x^2-1$.
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$ से गुणा करने पर:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right) \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5 + 4 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) + \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = (x^2-1) \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $m = 3$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$m=3$ और $n=2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $y^2 = 8ax + 8a^2$ $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 8a$
$\Rightarrow a = \frac{y}{4} \frac{dy}{dx}$
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$y^2 = 8 \left( \frac{y}{4} \frac{dy}{dx} \right) x + 8 \left( \frac{y}{4} \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + 8 \left( \frac{y^2}{16} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + \frac{y^2}{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
हर को हटाने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$2y^2 = 4xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
इस अवकल समीकरण में,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,जिसकी कोटि $1$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2$ है। अतः,इसकी घात (degree) $2$ है।

(A) दिया गया हल $y=a \cos x+b \sin x+c e^{-x}$ है।
चूंकि हल में $3$ स्वेच्छ अचर $(a, b, c)$ हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \sqrt{\frac{d y}{d x}}$
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके वर्गमूल के चिह्न को हटाना होगा:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \frac{d y}{d x}$
अवकल समीकरण की कोटि उसमें मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि होती है,जो $2$ है ($\frac{d^2 y}{d x^2}$ से)।
अवकल समीकरण की घात समीकरण को वर्गमूल और भिन्नों से मुक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है। यहाँ,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ की घात $2$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{dy}{dx}}-4 \frac{dy}{dx}-7x=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{\frac{dy}{dx}}=4 \frac{dy}{dx}+7x$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = (4 \frac{dy}{dx} + 7x)^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 56x(\frac{dy}{dx}) + 49x^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि $1$ और घात $2$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(0, k)$ है। चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{(0-0)^2 + (k-0)^2} = |k|$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-0)^2 + (y-k)^2 = k^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2ky + k^2 = k^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ky$ प्राप्त होता है।
स्वेच्छ अचर $k$ को हटाने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2k \frac{dy}{dx}$.
वृत्त के समीकरण से,$k = \frac{x^2+y^2}{2y}$.
$k$ का यह मान अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{x^2+y^2}{2y} \right) \frac{dy}{dx}$.
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{y} \frac{dy}{dx}$.
$y$ से गुणा करने पर:
$2xy + 2y^2 \frac{dy}{dx} = (x^2+y^2) \frac{dy}{dx}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x^2+y^2) \frac{dy}{dx} - 2y^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$.
$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} = 2xy$.
अतः,$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दिया गया है कि मुख्य अक्ष,लघु अक्ष का दोगुना है,इसलिए $2a = 2(2b)$,जिसका अर्थ है $a = 2b$।
$a = 2b$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2}{(2b)^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,या $x^2 + 4y^2 = 4b^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(x^2 + 4y^2) = \frac{d}{dx}(4b^2)$ प्राप्त होता है।
अतः $2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0$ होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $x + 4y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $(h, 0)$ वृत्त का केंद्र है और $r$ त्रिज्या है। वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-h) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $x-h = -y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
इस मान को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(-y \frac{dy}{dx})^2 + y^2 = r^2$,अतः $y^2 (\frac{dy}{dx})^2 + y^2 = r^2$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} (\frac{dy}{dx})^2 + y^2 (2 \frac{dy}{dx} \frac{d^2y}{dx^2}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$।
$2y \frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर: $(\frac{dy}{dx})^2 + y \frac{d^2y}{dx^2} + 1 = 0$।

(B) चूंकि वृत्त मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित होने चाहिए। माना केंद्र $(h, 0)$ है और त्रिज्या $h$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + y^2 = h^2$ है,जो सरल होकर $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 = h^2$ अर्थात $x^2 + y^2 - 2hx = 0$ $(1)$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2h = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $h = x + y\frac{dy}{dx}$ हो जाता है।
$h$ का यह मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2(x + y\frac{dy}{dx})x = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ के बराबर है।

(D) दी गई रेखाओं का कुल: $y = mx + \frac{4}{m}$ $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = m$
$m$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \left(\frac{dy}{dx}\right)x + \frac{4}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}$
दोनों पक्षों को $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर:
$y\left(\frac{dy}{dx}\right) = x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - y\left(\frac{dy}{dx}\right) + 4 = 0$

(A) मूल बिंदु पर शीर्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ है,जहाँ $a > 0$ एक स्वेच्छ अचर है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow a = \frac{2x}{4(dy/dx)} = \frac{x}{2(dy/dx)}$.
$a$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = 4 \left( \frac{x}{2(dy/dx)} \right) y$
$x^2 = \frac{2xy}{dy/dx}$
$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$
$x$ से भाग देने पर (चूंकि $x \neq 0$):
$x \frac{dy}{dx} = 2y$
$x \frac{dy}{dx} - 2y = 0$.

(A) मूल बिंदु $(0,0)$ पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y\frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान मूल समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ में रखने पर:
$y^2 = 4\left(\frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)\left(x + \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)$
$y^2 = 2y\frac{dy}{dx}\left(x + \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)$
$y$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $y \neq 0$):
$y = 2x\frac{dy}{dx} + y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\frac{dy}{dx} - y = 0$ प्राप्त होता है,जो $-y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x\frac{dy}{dx} - y$ के बराबर है।

(B) दिया गया है $y = \log_{10} x + \log_x 10 + \log_x x + \log_{10} 10$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{\log_e x}{\log_e 10} + \frac{\log_e 10}{\log_e x} + 1 + 1$।
$y = \frac{\log_e x}{\log_e 10} + \frac{\log_e 10}{\log_e x} + 2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 10} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) + \log_e 10 \cdot \frac{d}{dx}((\log_e x)^{-1}) + 0$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 10} \cdot \frac{1}{x} + \log_e 10 \cdot (-1)(\log_e x)^{-2} \cdot \frac{1}{x}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_e 10} - \frac{\log_e 10}{x(\log_e x)^2}$।

(A) दिया गया समीकरण: $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = -A \omega \sin \omega t + B \omega \cos \omega t$
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -A \omega^2 \cos \omega t - B \omega^2 \sin \omega t$
$-\omega^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 (A \cos \omega t + B \sin \omega t)$
चूंकि $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$,इसलिए हम समीकरण में $y$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$

(C) $y$-अक्ष के समानांतर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए शीर्ष $y$-अक्ष पर स्थित है,अतः $h=0$। इस प्रकार,समीकरण $x^2 = 4a(y-k)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = 4a \frac{dy}{dx} \implies 4a = \frac{2x}{dy/dx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 = 4a \frac{d^2y}{dx^2}$.
प्रथम अवकलज से $4a$ का मान द्वितीय अवकलज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 = \left( \frac{2x}{dy/dx} \right) \frac{d^2y}{dx^2}$.
सरल करने पर:
$1 = \frac{x}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2}$
$\implies \frac{dy}{dx} = x \frac{d^2y}{dx^2}$
$\implies x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x+y \frac{dy}{dx}=\sec(x^2+y^2)$ है।
माना $u = x^2+y^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x + y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{du}{dx}$ है।
मूल समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2} \frac{du}{dx} = \sec(u)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{du}{\sec(u)} = 2 dx$,अर्थात $\cos(u) du = 2 dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \cos(u) du = \int 2 dx$ प्राप्त होता है।
परिणामस्वरूप $\sin(u) = 2x + c$ प्राप्त होता है।
$u = x^2+y^2$ वापस रखने पर,व्यापक हल $\sin(x^2+y^2) = 2x + c$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,किसी पिंड के तापमान में परिवर्तन की दर,पिंड के तापमान $T$ और आसपास के माध्यम के तापमान $T_s$ के अंतर के समानुपाती होती है।
यहाँ,$T_s = 32^{\circ} F$ है।
चूंकि पिंड गर्म है,इसलिए समय $t$ बढ़ने के साथ इसका तापमान $T$ घटता है,अतः $\frac{dT}{dt} < 0$ होगा।
इस प्रकार,$\frac{dT}{dt} \propto -(T - 32)$।
समानुपातिकता का एक धनात्मक स्थिरांक $k$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dT}{dt} = -k(T - 32)$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.
माना $u = x+y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{du}{dx} - 1 = \frac{u+1}{u-1}$
$\frac{du}{dx} = \frac{u+1}{u-1} + 1 = \frac{u+1+u-1}{u-1} = \frac{2u}{u-1}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\left(\frac{u-1}{u}\right) du = 2 dx$
$(1 - \frac{1}{u}) du = 2 dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (1 - \frac{1}{u}) du = \int 2 dx$
$u - \log|u| = 2x + c$.
$u = x+y$ वापस रखने पर:
$(x+y) - \log|x+y| = 2x + c$
$y - x = \log|x+y| + c$ या $y = x + \log|x+y| + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x)\left(\frac{dx}{dy}\right) - x \log x = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y(1+\log x) dx = x \log x dy$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{(1+\log x)}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
बाएँ पक्ष के समाकलन को अलग करने पर: $\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
$\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन होगा: $\int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
समाकलन करने पर: $\log|u| + \log|x| = \log|y| + \log|c|$
$\log|\log x| + \log|x| = \log|y| + \log|c|$
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर: $\log|x \log x| = \log|yc|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $x \log x = yc$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx = \left[\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v}{\frac{1}{v} \sin v + \cos v} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v}$.
अतः $x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} - v = \frac{v^2 \cos v - v \sin v - v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} = \frac{-v \sin v}{\sin v + v \cos v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{\sin v + v \cos v}{v \sin v} dv = -\frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left( \frac{1}{v} + \cot v \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln |v| + \ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$.
$\ln |v \sin v x| = \ln |k| \Rightarrow v \sin v x = k$.
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) x = k$,जो सरल होकर $y \sin \left(\frac{y}{x}\right) = k$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{d y}{d x}\right)=x+y$
$\therefore \frac{d y}{d x}=\sin (x+y)$
मान लीजिए $x+y=t$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-1$.
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d t}{d x}-1=\sin t$
$\frac{d t}{d x}=1+\sin t$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{d t}{1+\sin t}=\int d x$
अंश और हर को $(1-\sin t)$ से गुणा करने पर: $\int \frac{1-\sin t}{1-\sin^2 t} d t=\int d x$
$\int \frac{1-\sin t}{\cos^2 t} d t=\int d x$
$\int (\sec^2 t - \sec t \tan t) d t = \int d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan t - \sec t = x + c$
$t = x+y$ वापस रखने पर: $\tan (x+y) - \sec (x+y) = x + c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) = (\log x^x) \frac{dy}{dx}$.
चूँकि $\log x^x = x \log x$,समीकरण $y(1+\log x) = (x \log x) \frac{dy}{dx}$ बन जाता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{dy}{y}$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u = \log |\log x| + \log x$ हो जाता है।
अतः,$\log |\log x| + \log x = \log |y| + C$.
शर्त $y(e) = e^2$ का उपयोग करने पर: $\log |\log e| + \log e = \log |e^2| + C$.
चूँकि $\log e = 1$,हमारे पास $\log |1| + 1 = 2 + C$ है,जो $0 + 1 = 2 + C$ देता है,इसलिए $C = -1$.
$C$ का मान रखने पर: $\log |\log x| + \log x = \log |y| - 1$.
चूँकि $1 = \log e$,हमारे पास $\log |\log x| + \log x + \log e = \log |y|$ है।
$\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर,$\log |e \cdot x \log x| = \log |y|$.
अतः,$y = ex \log x$,या $ex \log x - y = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x(x-1)}$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = \int \frac{dx}{x(x-1)}$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx$
$\ln |y+1| = \ln |x-1| - \ln |x| + \ln C$
$\ln |y+1| = \ln \left| \frac{C(x-1)}{x} \right|$
$y+1 = \frac{C(x-1)}{x}$
$x=2$ और $y=1$ रखने पर: $1+1 = \frac{C(2-1)}{2} \Rightarrow 2 = \frac{C}{2} \Rightarrow C = 4$
यदि हम $C=2$ लेते हैं,तो $y+1 = \frac{2(x-1)}{x} \Rightarrow xy+x = 2x-2 \Rightarrow xy = x-2$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(2 y-1) dx - (2 x+3) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(2 y-1) dx = (2 x+3) dy$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dx}{2 x+3} = \frac{dy}{2 y-1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dx}{2 x+3} = \int \frac{dy}{2 y-1}$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\frac{1}{2} \ln|2 x+3| = \frac{1}{2} \ln|2 y-1| + C_1$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$\ln|2 x+3| = \ln|2 y-1| + 2C_1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $2C_1 = \ln|c|$,तो $\ln|2 x+3| - \ln|2 y-1| = \ln|c|$।
गुणधर्म $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln|\frac{2 x+3}{2 y-1}| = \ln|c|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $\frac{2 x+3}{2 y-1} = c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$.
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} - v = -\frac{1+v^2}{1+v}$.
चरों का पृथक्करण करने पर: $\int \frac{1+v}{1+v^2} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) + \frac{1}{2} \log(1+v^2) = -\log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^2}{x^2}) = -\log|x| + C$.
सरल करने पर: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = C$.
$x=1, y=1$ के लिए: $\tan^{-1}(1) + \frac{1}{2} \log(2) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$.
अतः,$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$.
$\frac{1}{2} \log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}=0$
चरों को अलग करने पर: $\frac{d y}{y^2+y+1} = -\frac{d x}{x^2+x+1}$
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $\int \frac{d y}{(y+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -\int \frac{d x}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
सूत्र $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) = -\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C_1$
$\frac{2}{\sqrt{3}}$ से भाग देने और पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) + \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) = C_2$
सर्वसमिका $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left[ \frac{\frac{2y+1}{\sqrt{3}} + \frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{1 - (\frac{2y+1}{\sqrt{3}})(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})} \right] = C_2$
अंदर के पद को सरल करने पर: $\frac{\frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}}}{\frac{3 - (4xy+2x+2y+1)}{3}} = \tan C_2$
$\frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2(1-x-y-2xy)} = \tan C_2$
$\frac{\sqrt{3}(x+y+1)}{1-x-y-2xy} = \tan C_2$
अतः,$x+y+1 = c(1-x-y-2xy)$,जहाँ $c = \frac{\tan C_2}{\sqrt{3}}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dt} = \frac{x \log x}{t}$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dx}{x \log x} = \int \frac{dt}{t}$
मान लीजिए $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$।
समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dt}{t}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log |u| = \log |t| + \log |c|$
$\log |\log x| = \log |tc|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log x = tc$
अतः,$x = e^{tc}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2^{y-x}$ है।
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{dy}{dx} = \frac{2^y}{2^x}$।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{2^y} = \frac{dx}{2^x}$ प्राप्त होता है,जो $2^{-y} dy = 2^{-x} dx$ के बराबर है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int 2^{-y} dy = \int 2^{-x} dx$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C$ का उपयोग करते हुए,$\frac{2^{-y}}{-\ln 2} = \frac{2^{-x}}{-\ln 2} + C_1$ प्राप्त होता है।
$-\ln 2$ से गुणा करने पर,$2^{-y} = 2^{-x} - C_1 \ln 2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2^{-x} - 2^{-y} = C_1 \ln 2$ प्राप्त होता है।
माना $c = C_1 \ln 2$,अतः हमें $\frac{1}{2^x} - \frac{1}{2^y} = c$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{1+\log x}{x \log x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1+\log x}{x \log x} dx$.
माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन करने पर: $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u + C$.
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\log |y| = \log |\log x| + \log x + C$.
$x=e, y=e^2$ रखने पर: $\log |e^2| = \log |\log e| + \log e + C \Rightarrow 2 = \log(1) + 1 + C \Rightarrow 2 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$\log |y| = \log |\log x| + \log x + 1$.
चूंकि $1 = \log e$,इसलिए $\log |y| = \log |\log x| + \log x + \log e = \log |e \log x \cdot x|$.
अतः,$y = ex \log x$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) \frac{dy}{dx} = 1$.
माना $x+y = V$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx} - 1$.
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\cos V \left(\frac{dV}{dx} - 1\right) = 1$.
इसे सरल करने पर $\cos V \frac{dV}{dx} = 1 + \cos V$ प्राप्त होता है।
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\int \frac{\cos V}{1 + \cos V} dV = \int dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int \left[ \frac{1 + \cos V}{1 + \cos V} - \frac{1}{1 + \cos V} \right] dV = \int dx$.
यह $\int dV - \int \frac{1}{2 \cos^2 (V/2)} dV = \int dx$ बन जाता है,जो $\int dV - \frac{1}{2} \int \sec^2 (V/2) dV = \int dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $V - \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (V/2)}{1/2} = x + c$.
अतः,$V - \tan (V/2) = x + c$.
$V = x+y$ वापस रखने पर: $(x+y) - \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = x + c$.
इस प्रकार,$y = \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^{2x}) dy + e^x(1+y^2) dx = 0$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{1+y^2} = -\frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1+y^2} = -\int \frac{e^x}{1+(e^x)^2} dx$.
माना $e^x = t$,तो $e^x dx = dt$ होगा।
समाकलन करने पर,$\tan^{-1}(y) = -\tan^{-1}(t) + C$,अर्थात $\tan^{-1}(y) = -\tan^{-1}(e^x) + C$.
अतः,$\tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(e^x) = C$.
$x=0$ और $y=1$ रखने पर,$\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(e^0) = C$.
$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C$,जिससे $C = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,विशिष्ट हल $\tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(e^x) = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \tan \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$ है।
$\frac{y}{x} = v$ प्रतिस्थापित करने पर,$y = vx$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \tan(v) + v$।
सरल करने पर,$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर,$\frac{dv}{\tan(v)} = \frac{dx}{x}$,अर्थात $\cot(v) \, dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot(v) \, dv = \int \frac{dx}{x}$।
इससे $\ln |\sin(v)| = \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$\sin(v) = cx$ प्राप्त होता है।
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,व्यापक हल $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = cx$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x \sin y \, dx + \sin x \cos y \, dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sin x \cos y \, dy = -\cos x \sin y \, dx$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{\cos y}{\sin y} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{\cos y}{\sin y} \, dy = -\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$।
सूत्र $\int \cot \theta \, d\theta = \log |\sin \theta| + C$ का उपयोग करने पर,$\log |\sin y| = -\log |\sin x| + C_1$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर $\log |\sin x| + \log |\sin y| = C_1$ मिलता है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर,$\log |\sin x \sin y| = C_1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$\sin x \sin y = e^{C_1} = c$।