MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) सुसंगत क्षेत्र प्रतिबंधों $x+y \leq 5$,$2x+y \geq 4$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
ग्राफ से,सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $A(0, 4)$,$B(2, 0)$,$C(5, 0)$ और $D(0, 5)$ हैं।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $z = 2x + 3y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(0, 4)$ पर: $z = 2(0) + 3(4) = 12$.
$B(2, 0)$ पर: $z = 2(2) + 3(0) = 4$.
$C(5, 0)$ पर: $z = 2(5) + 3(0) = 10$.
$D(0, 5)$ पर: $z = 2(0) + 3(5) = 15$.
अतः,$z$ का अधिकतम मान $15$ है,जो बिंदु $D(0, 5)$ पर प्राप्त होता है।

(D) उद्देश्य फलन $z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले प्रतिबंधों $x + 2y \geq 80$,$3x + y \geq 75$ और $x, y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) की पहचान करते हैं।
$1$. सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष ज्ञात करें:
- रेखा $x + 2y = 80$,$x$-अक्ष को $(80, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, 40)$ पर काटती है।
- रेखा $3x + y = 75$,$x$-अक्ष को $(25, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, 75)$ पर काटती है।
- $x + 2y = 80$ और $3x + y = 75$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ समीकरणों को हल करके प्राप्त होता है:
$x = 80 - 2y$
$3(80 - 2y) + y = 75 \implies 240 - 6y + y = 75 \implies 5y = 165 \implies y = 33$.
$x = 80 - 2(33) = 80 - 66 = 14$.
अतः,$B = (14, 33)$.
$2$. सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $A(80, 0)$,$B(14, 33)$ और $C(0, 75)$ हैं।
$3$. इन शीर्षों पर $z = 4x + 6y$ का मान ज्ञात करें:
- $A(80, 0)$ पर: $z = 4(80) + 6(0) = 320$.
- $B(14, 33)$ पर: $z = 4(14) + 6(33) = 56 + 198 = 254$.
- $C(0, 75)$ पर: $z = 4(0) + 6(75) = 450$.
अतः,न्यूनतम मान $254$ है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = B$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 6 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$
अब,$R_3 \rightarrow R_3 - 6R_2$:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}$
परिणामी समीकरण प्रणाली से:
$5x_3 = 5 \implies x_3 = 1$
$x_2 - 2x_3 = -1 \implies x_2 - 2(1) = -1 \implies x_2 = 1$
$x_1 - x_2 + x_3 = 1 \implies x_1 - 1 + 1 = 1 \implies x_1 = 1$
अतः,$x_1 + x_2 + x_3 = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) ज्ञात करने के लिए,हम $(A^{-1})^{-1} = A$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं। हम दिए गए आव्यूह $A^{-1}$ का व्युत्क्रम,सहखंडज (adjoint) विधि द्वारा ज्ञात करते हैं। मान लीजिए $M = A^{-1} = \left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,सारणिक $|M| = 3(5-10) - 2(5-4) + 6(5-2) = 3(-5) - 2(1) + 6(3) = -15 - 2 + 18 = 1$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = +(5-10) = -5, C_{12} = -(5-4) = -1, C_{13} = +(5-2) = 3$
$C_{21} = -(10-30) = 20, C_{22} = +(15-12) = 3, C_{23} = -(15-4) = -11$
$C_{31} = +(4-6) = -2, C_{32} = -(6-6) = 0, C_{33} = +(3-2) = 1$
सहखंडज आव्यूह $adj(M) = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 20 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -11 & 1\end{array}\right]$ है।
चूंकि $A = M^{-1} = \frac{1}{|M|} adj(M) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc}-5 & 20 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -11 & 1\end{array}\right]$ है।
अतः,$A = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 20 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -11 & 1\end{array}\right]$ है।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX=B$ है:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4 \\ -8 \\ -2\end{array}\right]$
तीसरी पंक्ति से,$3y = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}$.
दूसरी पंक्ति से,$3y - 5z = -8 \Rightarrow 3(-\frac{2}{3}) - 5z = -8 \Rightarrow -2 - 5z = -8 \Rightarrow -5z = -6 \Rightarrow z = \frac{6}{5}$.
पहली पंक्ति से,$x - y + z = 4 \Rightarrow x - (-\frac{2}{3}) + \frac{6}{5} = 4 \Rightarrow x + \frac{2}{3} + \frac{6}{5} = 4 \Rightarrow x + \frac{10+18}{15} = 4 \Rightarrow x + \frac{28}{15} = 4 \Rightarrow x = 4 - \frac{28}{15} = \frac{60-28}{15} = \frac{32}{15}$.
$2x + y - z = 2(\frac{32}{15}) + (-\frac{2}{3}) - \frac{6}{5} = \frac{64}{15} - \frac{10}{15} - \frac{18}{15} = \frac{36}{15} = 2.4$.

(C) दिया गया है $A(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A^2(\alpha) = A(\alpha) \cdot A(\alpha)$ की गणना करें:
$A^2(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha & -\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ और $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ का उपयोग करते हुए:
$A^2(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ -\sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{bmatrix} = A(2\alpha)$।
अब,व्युत्क्रम आव्यूह $[A^2(\alpha)]^{-1} = [A(2\alpha)]^{-1}$ ज्ञात करें।
चूंकि $|A(2\alpha)| = \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 1$,इसलिए व्युत्क्रम आव्यूह सहखंडज (adjoint) द्वारा प्राप्त होता है:
$[A(2\alpha)]^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & -\sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{bmatrix}$।
$\cos(-x) = \cos x$ और $\sin(-x) = -\sin x$ का उपयोग करते हुए:
$[A^2(\alpha)]^{-1} = \begin{bmatrix} \cos(-2\alpha) & \sin(-2\alpha) \\ -\sin(-2\alpha) & \cos(-2\alpha) \end{bmatrix} = A(-2\alpha)$।

(D) आव्यूह $A$ का सहखंडज (adj $A$),सहखंड आव्यूह $C$ का परिवर्त है,जहाँ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ होता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,जो $\text{adj } A$ के $(1, 2)$ स्थान पर है,हम आव्यूह $A$ के $(2, 1)$ स्थान के अवयव का सहखंड ज्ञात करेंगे:
$x = C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1(0 - 4) = 4$।
$y$ का मान ज्ञात करने के लिए,जो $\text{adj } A$ के $(3, 3)$ स्थान पर है,हम आव्यूह $A$ के $(3, 3)$ स्थान के अवयव का सहखंड ज्ञात करेंगे:
$y = C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) = 1$।
अतः,$x + y = 4 + 1 = 5$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
एक आव्यूह $A$ का सहखंडज (adjoint),जिसे $\operatorname{adj} A$ द्वारा दर्शाया जाता है,सहखंड आव्यूह $C = [C_{ij}]$ का परिवर्त (transpose) होता है।
सहखंडों की गणना करने पर:
$C_{11} = (\cos \theta)(1) - 0 = \cos \theta$,$C_{12} = -(\sin \theta(1) - 0) = -\sin \theta$,$C_{13} = 0$.
$C_{21} = -(-\sin \theta(1) - 0) = \sin \theta$,$C_{22} = (\cos \theta)(1) - 0 = \cos \theta$,$C_{23} = 0$.
$C_{31} = 0$,$C_{32} = 0$,$C_{33} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
अतः,सहखंड आव्यूह $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
इसका परिवर्त लेने पर,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A| I_n$ सत्य है,जहाँ $I_n$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = \left[\begin{array}{cc}20 & 0 \\ 0 & 20\end{array}\right]$ है।
इसे $A(\operatorname{adj} A) = 20 \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 20 I_2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $A(\operatorname{adj} A) = |A| I_2$ गुणधर्म से करने पर,हमें $|A| = 20$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A \operatorname{adj} A = |A| I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
दिया है $A \operatorname{adj} A = AA^{T}$,इसलिए $|A| I = AA^{T}$।
$|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$।
अतः,$|A| I = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$।
अब,$AA^{T} = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix}$।
दोनों आव्यूहों की तुलना करने पर:
$10a + 3b = 25a^2 + b^2$ (विकर्ण तत्वों के लिए) और $15a - 2b = 0$ (अन्य तत्वों के लिए)।
$15a - 2b = 0$ से,हमें $b = \frac{15a}{2}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$|A| I = AA^{T}$ का अर्थ है $|A| = 13$,इसलिए $10a + 3b = 13$।
$b = \frac{15a}{2}$ को $10a + 3b = 13$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 20a + 45a = 26 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$।
तब $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$।
अतः,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$।

(C) हम जानते हैं कि आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$,जहाँ $I$ उसी कोटि का तत्समक आव्यूह है।
हालाँकि,दिया गया आव्यूह $M = A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} -10 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह नहीं है (क्योंकि $(2,3)$ स्थान पर अवयव $2$ है)।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर: $|A(\operatorname{adj} A)| = |M|$.
गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ का उपयोग करने पर,$|A| |\operatorname{adj} A| = |M|$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ जहाँ $n=3$,इसलिए $|A| \cdot |A|^{3-1} = |M|$,जो सरल होकर $|A|^3 = |M|$ हो जाता है।
आव्यूह $M$ का सारणिक ज्ञात करने पर: $|M| = -10((-10)(-10) - (0)(2)) - 0 + 0 = -10(100) = -1000$.
अतः,$|A|^3 = -1000$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$|A| = -10$.

(B) हम जानते हैं कि आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$,जहाँ $|A|$ आव्यूह $A$ का सारणिक है और $I$ उसी क्रम का तत्समक आव्यूह है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(1 \times 4 - 2 \times 2) - 2(-1 \times 4 - 2 \times 1) + 3(-1 \times 2 - 1 \times 1)$
$|A| = 1(4 - 4) - 2(-4 - 2) + 3(-2 - 1)$
$|A| = 1(0) - 2(-6) + 3(-3)$
$|A| = 0 + 12 - 9 = 3$
अब,सूत्र में $|A|$ का मान रखें:
$A(\operatorname{adj} A) = 3 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.

(A) हम जानते हैं कि किसी भी $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ होता है।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(4-4) - 2(-4-2) + 3(-2-1) = 1(0) - 2(-6) + 3(-3) = 0 + 12 - 9 = 3$.
दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = kI$,इसे $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = |A| = 3$ प्राप्त होता है।
अब,$(k+1)^4$ का मान ज्ञात करें:
$(3+1)^4 = 4^4 = 256$.

(A) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम अस्तित्व में नहीं होता है यदि उसका सारणिक (determinant) शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$|A| = 1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$|A| = 1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$|A| = 1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ और $B$ के लिए,गुणधर्म $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ सत्य है।
दिया गया है $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
$= \begin{bmatrix} (1)(2) + (0)(-1) & (1)(-3) + (0)(2) \\ (-3)(2) + (1)(-1) & (-3)(-3) + (1)(2) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 + 0 & -3 + 0 \\ -6 - 1 & 9 + 2 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$

(A) दिया गया है $F(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|F(\alpha)|$ ज्ञात करते हैं:
$|F(\alpha)| = \cos \alpha(\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
चूंकि $|F(\alpha)| = 1 \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम (inverse) का अस्तित्व है।
व्युत्क्रम का सूत्र $[F(\alpha)]^{-1} = \frac{1}{|F(\alpha)|} \text{adj}(F(\alpha))$ है।
सहखंडज (adjoint) सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है:
$\text{adj}(F(\alpha)) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ और $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\text{adj}(F(\alpha)) = \begin{bmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha) & 0 \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = F(-\alpha)$ प्राप्त होता है।
अतः,$[F(\alpha)]^{-1} = F(-\alpha)$.

(D) दिया गया है $A^{-1} = \frac{-1}{2} \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
यदि हम $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ लेते हैं,तो $2A + I_2 = 2 \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(D) हम जानते हैं कि $AA^{-1} = I$ होता है।
दिए गए आव्यूहों का गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & a & 1 \end{bmatrix} \times \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2c \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = I$
$\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & a & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2c \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ का गुणा करने पर:
$0(1) + 1(2c) + 2(1) = 0 \implies 2c + 2 = 0 \implies 2c = -2 \implies c = -1$.
तीसरी पंक्ति और पहले स्तंभ का गुणा करने पर:
$3(1) + a(-8) + 1(5) = 0 \implies 3 - 8a + 5 = 0 \implies 8 - 8a = 0 \implies 8a = 8 \implies a = 1$.
अतः,$a = 1$ और $c = -1$ प्राप्त होता है।

(B) $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -4 & 3 & -1 \\ 5/2 & -3/2 & 1/2 \end{bmatrix}$.
यह विकल्प $B$ के साथ मेल खाता है।

(B) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम $A^{-1}$ तब अस्तित्व में नहीं होता है यदि और केवल यदि आव्यूह का सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} k & 2 \\ -2 & -k \end{bmatrix}$।
सारणिक $|A|$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$|A| = (k)(-k) - (2)(-2)$
$|A| = -k^2 + 4$
$A^{-1}$ के अस्तित्वहीन होने के लिए,हम $|A| = 0$ रखते हैं:
$-k^2 + 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$
अतः,$A^{-1}$ का अस्तित्व तब नहीं होता है जब $k = \pm 2$ हो।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक $(|A|)$ ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(2 - 6) - 0(0 - 3) + 1(0 - 2)$
$|A| = 1(-4) - 0 + 1(-2)$
$|A| = -4 - 2 = -6$.
हम जानते हैं कि सारणिक का गुणधर्म $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ होता है।
अतः,$|A^{-1}| = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$.

(C) सबसे पहले,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -3 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} (1)(1) + (2)(-3) + (1)(0) & (1)(2) + (2)(1) + (1)(2) \\ (-1)(1) + (1)(-3) + (3)(0) & (-1)(2) + (1)(1) + (3)(2) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} 1 - 6 + 0 & 2 + 2 + 2 \\ -1 - 3 + 0 & -2 + 1 + 6 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$
अब,आव्यूह $M = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$ का व्युत्क्रम ज्ञात करें।
सारणिक $|M| = (-5)(5) - (6)(-4) = -25 + 24 = -1$.
व्युत्क्रम $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M)$ द्वारा दिया जाता है।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ के लिए,सहखंडज (adjoint) $\left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right]$ होता है।
अतः,$\text{adj}(M) = \left[\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 4 & -5 \end{array}\right]$.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 4 & -5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$.

(D) आव्यूह $A$ का सारणिक $|A| = 1(7 - 4a) - 2(7 - 2a) + 3(4 - 2) = 7 - 4a - 14 + 4a + 6 = -1$ है।
चूँकि $B = A^{-1}$,हम जानते हैं कि $B = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$।
$|A| = -1$ दिया गया है,इसलिए अवयव $B_{ij} = \frac{C_{ji}}{|A|} = -C_{ji}$ होगा,जहाँ $C_{ji}$,$A_{ji}$ का सहखंड है।
अवयव $B_{13} = b$ के लिए,$b = -C_{31}$ है।
सहखंड $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & a \end{vmatrix} = 2a - 3$ है।
अतः,$b = -(2a - 3) = 3 - 2a$,जिसका अर्थ है $2a + b = 3$।
अवयव $B_{21} = -3$ के लिए,$-3 = -C_{12}$ है।
सहखंड $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = -(7 - 2a) = 2a - 7$ है।
अतः,$-3 = -(2a - 7) = 7 - 2a$,जिसका अर्थ है $2a = 10$,यानी $a = 5$।
$a = 5$ को $2a + b = 3$ में रखने पर,$2(5) + b = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $10 + b = 3$,जिससे $b = -7$ प्राप्त होता है।

(A) हम आव्यूह के व्युत्क्रम का गुणधर्म जानते हैं: $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$।
इस गुणधर्म को दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$।
अब,हम $AB$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$AB = \left[\begin{array}{ll}2 & -2 \\ 2 & -3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} (2)(0) + (-2)(1) & (2)(-1) + (-2)(0) \\ (2)(0) + (-3)(1) & (2)(-1) + (-3)(0) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} 0 - 2 & -2 + 0 \\ 0 - 3 & -2 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} -2 & -2 \\ -3 & -2 \end{array}\right]$।

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (2)(-2) - (3)(5) = -4 - 15 = -19$.
इसके बाद,$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$:
$A^{-1} = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^{-1} = KA$ और $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$,इसलिए:
$KA = \frac{1}{19} A$.
अतः,$K = \frac{1}{19}$.

(D) एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य न हो $(|M| \neq 0)$.
आव्यूह $A$ के लिए: $|A| = (2 \times 15) - (3 \times 10) = 30 - 30 = 0$. अतः,$A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
आव्यूह $B$ के लिए: चूंकि पंक्ति $R_1$ और पंक्ति $R_3$ समान हैं,इसलिए $|B| = 0$. अतः,$B$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
आव्यूह $C$ के लिए: $|C| = 1(4 \times 8 - 5 \times 6) - 2(3 \times 8 - 5 \times 4) + 3(3 \times 6 - 4 \times 4) = 1(32 - 30) - 2(24 - 20) + 3(18 - 16) = 1(2) - 2(4) + 3(2) = 2 - 8 + 6 = 0$. अतः,$C$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
आव्यूह $D$ के लिए: $|D| = 2(1 \times 5 - 0 \times 4) - 4(1 \times 5 - 0 \times 1) + 2(1 \times 4 - 1 \times 1) = 2(5) - 4(5) + 2(3) = 10 - 20 + 6 = -4$. चूंकि $|D| \neq 0$,इसलिए $D$ व्युत्क्रमणीय है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \lambda & i \\ i & -\lambda \end{bmatrix}$ है।
व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व न होने के लिए,सारणिक का मान शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = (\lambda)(-\lambda) - (i)(i) = -\lambda^2 - i^2$।
चूँकि $i = \sqrt{-1}$,इसलिए $i^2 = -1$ है।
इस मान को सारणिक समीकरण में रखने पर:
$|A| = -\lambda^2 - (-1) = -\lambda^2 + 1$।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$-\lambda^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 = 1$।
अतः,$\lambda = \pm 1$।

(B) माना कि खराब बल्ब चुनने की प्रायिकता $p$ है। दिया गया है $p = \frac{10}{100} = 0.1$ और $q = 1 - p = 0.9$.
हम $n = 5$ बल्ब चुनते हैं। माना $X$ खराब बल्बों की संख्या है।
हमें $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (0.1)^0 (0.9)^5 = 1 \times 1 \times (0.9)^5 = 0.59049$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \times 0.1 \times 0.6561 = 0.5 \times 0.6561 = 0.32805$.
अतः,$P(X \le 1) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854$.

(D) जब एक सिक्के को $3$ बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $2^3 = 8$ परिणाम होते हैं: $\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
माना $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है। चूँकि $H+T=3$,इसलिए $T=3-H$ है।
निरपेक्ष अंतर $X = |H-T| = |H-(3-H)| = |2H-3|$ है।
$H \in \{0, 1, 2, 3\}$ के संभावित मानों के लिए:
यदि $H=0, T=3, X=|0-3|=3$ है।
यदि $H=1, T=2, X=|1-2|=1$ है।
यदि $H=2, T=1, X=|2-1|=1$ है।
यदि $H=3, T=0, X=|3-0|=3$ है।
हमें $P(X=1)$ ज्ञात करना है,जो तब होता है जब $H=1$ या $H=2$ हो।
$H=1$ के लिए परिणाम $\{HTT, THT, TTH\}$ ($3$ परिणाम) हैं।
$H=2$ के लिए परिणाम $\{HHT, HTH, THH\}$ ($3$ परिणाम) हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $= 3 + 3 = 6$ हैं।
अतः,$P(X=1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।

(D) $1$ से $19$ के बीच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ हैं। ऐसी कुल $8$ संख्याएँ हैं।
चूंकि पहले मेहमान को अभाज्य संख्या वाला कमरा दिया गया है,इसलिए अब $8 - 1 = 7$ अभाज्य कमरे शेष हैं।
दूसरे मेहमान के लिए कुल शेष कमरों की संख्या $19 - 1 = 18$ है।
अतः,दूसरे मेहमान को अभाज्य संख्या वाला कमरा मिलने की प्रायिकता $\frac{7}{18}$ है।

(C) यादृच्छिक चर $X$ प्राप्त इक्कों की संख्या को दर्शाता है,जो $0, 1, 2$ मान ले सकता है।
$52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
$0$ इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता: $P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$।
$1$ इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता: $P(X=1) = \frac{^{4}C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$।
$2$ इक्के प्राप्त करने की प्रायिकता: $P(X=2) = \frac{^{4}C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$।
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{188}{221}) + (1 \times \frac{32}{221}) + (2 \times \frac{1}{221}) = \frac{32+2}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}$।

(B) हमें $P(A) = \frac{3}{10}$,$P(B) = \frac{3}{5}$,और $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ दिया गया है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{3}{5} = \frac{3}{10} + \frac{3}{5} - P(A \cap B)$.
इससे $P(A \cap B) = \frac{3}{10}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $P(A|B) \times P(B|A)$ की गणना करनी है।
परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ और $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
अतः,$P(A|B) \times P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \times \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{(\frac{3}{10})}{(\frac{3}{5})} \times \frac{(\frac{3}{10})}{(\frac{3}{10})} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.

(B) मान लीजिए $R_1$ और $B_1$ पहली थैली से लाल और काली गेंद निकालने की घटनाएं हैं। $P(R_1) = \frac{3}{8}$,$P(B_1) = \frac{5}{8}$.
मान लीजिए $R_2$ और $B_2$ दूसरी थैली से लाल और काली गेंद निकालने की घटनाएं हैं। $P(R_2) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(B_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
यह घटना कि एक गेंद लाल और दूसरी काली हो,दो परस्पर अनन्य तरीकों से हो सकती है: (पहली से लाल और दूसरी से काली) या (पहली से काली और दूसरी से लाल)।
आवश्यक प्रायिकता $= P(R_1) \times P(B_2) + P(B_1) \times P(R_2)$.
$= (\frac{3}{8} \times \frac{4}{10}) + (\frac{5}{8} \times \frac{6}{10})$.
$= \frac{12}{80} + \frac{30}{80} = \frac{42}{80} = \frac{21}{40}$.

(C) पासे पर संभावित परिणाम ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
इनमें पूर्ण वर्ग संख्याएँ ${1, 4}$ हैं।
अतः,एक बार फेंकने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
एक बार फेंकने पर पूर्ण वर्ग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$n = 4$ स्वतंत्र प्रयासों के लिए,चारों बार में से एक भी बार पूर्ण वर्ग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ है।
कम से कम एक बार पूर्ण वर्ग प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई पूर्ण वर्ग नहीं}) = 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$ है।

(C) माना $E$ वह घटना है कि पासे पर $6$ आता है,और $R$ वह घटना है कि आदमी $6$ होने की रिपोर्ट करता है।
$P(E) = \frac{1}{6}$ ($6$ आने की प्रायिकता)
$P(\text{not } E) = \frac{5}{6}$ ($6$ न आने की प्रायिकता)
$P(R|E) = \frac{3}{4}$ ($6$ होने पर $6$ बताने की प्रायिकता)
$P(R|\text{not } E) = \frac{1}{4}$ ($6$ न होने पर $6$ बताने की प्रायिकता)
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इस बात की प्रायिकता कि वास्तव में $6$ है,यदि वह $6$ बताता है:
$P(E|R) = \frac{P(E) \times P(R|E)}{P(E) \times P(R|E) + P(\text{not } E) \times P(R|\text{not } E)}$
$P(E|R) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}}$
$P(E|R) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$

(B) मामले के सुलझने की प्रायिकता $p = 25 \% = \frac{1}{4}$ है।
अतः,मामले के न सुलझने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ है।
यहाँ $n = 6$ परीक्षण दिए गए हैं,हमें कम से कम $5$ मामलों के सुलझने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 5) = {}^6C_5 \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 6 \times \frac{1}{4^5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4^6}$.
$P(X = 6) = {}^6C_6 \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{4^6} \times 1 = \frac{1}{4^6}$.
इसलिए,$P(X \ge 5) = \frac{18}{4^6} + \frac{1}{4^6} = \frac{19}{4^6} = \frac{19}{4096}$.

(A) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = 4$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 2$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 4$,जिसका अर्थ है $n = 8$।
$x$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=x) = { }^n C_x p^x q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 2$ के लिए,$P(X=2) = { }^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^8$।
$P(X=2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$।

(D) माना कि पासे की एक जोड़ी को फेंकने पर डबलेट प्राप्त करने की प्रायिकता $p$ है। पासे की एक जोड़ी में कुल $36$ परिणाम होते हैं और $6$ संभावित डबलेट्स हैं: $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$।
अतः,$p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ और $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
पासे को $n = 4$ बार फेंका जाता है। माना $X$ डबलेट्स की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। यह द्विपद वितरण $B(n, p) = B(4, \frac{1}{6})$ का पालन करता है।
प्रायिकता $P(X=k)$ को $\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
$X=0$ के लिए: $P(0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^4 = 1 \times 1 \times \frac{625}{1296} = \frac{625}{1296}$।
$X=1$ के लिए: $P(1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^3 = 4 \times \frac{1}{6} \times \frac{125}{216} = \frac{500}{1296} = \frac{125}{324}$।
$X=2$ के लिए: $P(2) = \binom{4}{2} (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$।
$X=3$ के लिए: $P(3) = \binom{4}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$।
$X=4$ के लिए: $P(4) = \binom{4}{4} (\frac{1}{6})^4 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{1296} \times 1 = \frac{1}{1296}$।

(A) माना $n=100$ उछालों में चितों की संख्या $X$ है। चूँकि सिक्का निष्पक्ष है,चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और पट आने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
$X$ द्विपद बंटन $B(100, \frac{1}{2})$ का पालन करता है।
चितों के सम संख्या में आने की प्रायिकता $P(X \in \{0, 2, 4, \dots, 100\}) = \sum_{k \in \{0, 2, \dots, 100\}} \binom{100}{k} p^k q^{100-k}$ है।
चूँकि $p=q=\frac{1}{2}$,यह $\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \sum_{k \in \{0, 2, \dots, 100\}} \binom{100}{k}$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि सम द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$ होता है।
अतः,प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \times 2^{100-1} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ है।

(B) माना $p$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{2}$.
माना $q$ चित न प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
$n$ बार सिक्का उछालने पर $x$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X=x) = {}^{n}C_{x} p^x q^{n-x} = {}^{n}C_{x} (\frac{1}{2})^n$.
दिया गया है कि $P(X=7) = P(X=9)$,इसलिए:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^n = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^n$.
इसका अर्थ है कि ${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$.
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें $n = 7 + 9 = 16$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $2$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=2)$ है:
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = 120 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{15 \times 8}{2^{16}} = \frac{15}{2^{13}}$.

(A) दिया गया है कि $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n=4$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $P(X=0) = \frac{16}{81}$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(X=0) = {}^4C_0 p^0 q^4 = q^4$ है।
अतः,$q^4 = \frac{16}{81} = \left(\frac{2}{3}\right)^4$ है।
इस प्रकार,$q = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है कि $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
अब,हमें $P(X=4)$ ज्ञात करना है: $P(X=4) = {}^4C_4 p^4 q^0 = (1) \left(\frac{1}{3}\right)^4 (1) = \frac{1}{81}$.

(B) यादृच्छिक चर $X$ का अपेक्षित मूल्य $E(X)$ सूत्र $E(X) = \sum p_i x_i$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई तालिका का उपयोग करते हुए:
$E(X) = (0 \times 0.35) + (500 \times 0.25) + (1000 \times 0.15) + (1500 \times 0.10) + (2000 \times 0.08) + (2500 \times 0.05) + (3000 \times 0.02)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$E(X) = 0 + 125 + 150 + 150 + 160 + 125 + 60$
मानों का योग करने पर:
$E(X) = 770$
अतः,रखरखाव लागत का अपेक्षित मूल्य रु. $770$ है।

(D) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $k \geq 0$,इसलिए $k = \frac{1}{10}$ है।
संचयी प्रायिकता वितरण फलन $F(4)$ को $P(X \leq 4)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$F(4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$
$F(4) = 0 + k + 2k + 2k + 3k = 8k$
$k = \frac{1}{10}$ रखने पर:
$F(4) = 8 \times \frac{1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

(D) दिया गया p.m.f $P(X=x) = \frac{1}{32} \binom{5}{x}$ है,जहाँ $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
$= \frac{1}{32} \left[ \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} \right] = \frac{1}{32} (1 + 5 + 10) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$= \frac{1}{32} \left[ \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} \right] = \frac{1}{32} (10 + 5 + 1) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$ और $P(X \geq 3) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ प्राप्त होता है।

(D) प्रायिकता बंटन का प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{प्रसरण} = E(X^2) - [E(X)]^2$,जहाँ $E(X) = \sum p_i x_i$ और $E(X^2) = \sum p_i x_i^2$ है।
सबसे पहले,$E(X)$ की गणना करें:
$E(X) = (0 \times \frac{9}{16}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{1}{16}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{2}{16} = \frac{6}{16} + \frac{2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$।
इसके बाद,$E(X^2)$ की गणना करें:
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{9}{16}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{1}{16}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$।
अब,प्रसरण की गणना करें:
$\text{प्रसरण} = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{5}{8} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$।

(B) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,अर्थात $\sum P(X = x_i) = 1$.
दिया गया है $P(X=0) = \frac{5}{16}$,$P(X=1) = \frac{5}{16}$,$P(X=2) = \frac{2k}{48}$,और $P(X=3) = \frac{1}{4} = \frac{12}{48}$.
इनका योग करने पर: $\frac{5}{16} + \frac{5}{16} + \frac{2k}{48} + \frac{12}{48} = 1$.
सभी को हर $48$ में बदलने पर: $\frac{15}{48} + \frac{15}{48} + \frac{2k}{48} + \frac{12}{48} = 1$.
$\frac{42 + 2k}{48} = 1 \Rightarrow 42 + 2k = 48 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3$.
अब,प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=0) = \frac{15}{48}$,$P(X=1) = \frac{15}{48}$,$P(X=2) = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$,$P(X=3) = \frac{12}{48}$.
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{15}{48}) + (1 \times \frac{15}{48}) + (2 \times \frac{6}{48}) + (3 \times \frac{12}{48})$.
$E(X) = 0 + \frac{15}{48} + \frac{12}{48} + \frac{36}{48} = \frac{63}{48} = \frac{21}{16} = 1.3125$.

(A) प्रति केक अपेक्षित लाभ की गणना अपेक्षित मान के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $E(X) = \sum p_i x_i$.
यहाँ,$x_i$ प्रत्येक प्रकार के केक के लिए लाभ को दर्शाता है और $p_i$ प्रत्येक प्रकार की संभावना (मांग) को दर्शाता है।
दिए गए मान:
$x_1 = 2, p_1 = 0.20$
$x_2 = 2.5, p_2 = 0.05$
$x_3 = 3, p_3 = 0.10$
$x_4 = 1.5, p_4 = 0.50$
$x_5 = 1, p_5 = 0.15$
अपेक्षित लाभ $= (2 \times 0.20) + (2.5 \times 0.05) + (3 \times 0.10) + (1.5 \times 0.50) + (1 \times 0.15)$
$= 0.4 + 0.125 + 0.3 + 0.75 + 0.15$
$= 1.725$
अतः,प्रति केक अपेक्षित लाभ $Rs \ 1.725$ है।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x) = k + 3k + 5k + 7k + 8k + k = 1$
$25k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{25}$
हमें $P(2 \leq X < 5)$ ज्ञात करना है,जो $P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ है।
$P(2 \leq X < 5) = 3k + 5k + 7k = 15k$
$k = \frac{1}{25}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(2 \leq X < 5) = 15 \times \frac{1}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

(C) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \le x)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x)$ ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $P(X=x) = F(x) - F(x-1)$ का उपयोग करते हैं।
$x=4$ के लिए,$P(X=4) = F(4) - F(3) = 0.62 - 0.48 = 0.14$ है।
$x=5$ के लिए,$P(X=5) = F(5) - F(4) = 0.85 - 0.62 = 0.23$ है।
अतः,$P(X=4) + P(X=5) = 0.14 + 0.23 = 0.37$ है।

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(X) = K + 2K + 3K + 4K + 5K + 6K = 1$
$21K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{21}$
हमें $P(2 < X < 6)$ ज्ञात करना है,जो $P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ के बराबर है।
$P(2 < X < 6) = 3K + 4K + 5K = 12K$
$K = \frac{1}{21}$ का मान रखने पर:
$P(2 < X < 6) = 12 \times \frac{1}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$