मूल बिंदु पर y-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्त | vedclass

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Question

(B) चूंकि वृत्त मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित होने चाहिए। माना केंद्र $(h, 0)$ है और त्रिज्या $h$ है। व

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$x^2-y^2+2xy\frac{dy}{dx}=0$

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(B) चूंकि वृत्त मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित होने चाहिए। माना केंद्र $(h, 0)$ है और त्रिज्या $h$ है। वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + y^2 = h^2$ है,जो सरल होकर $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 = h^2$ अर्थात $x^2 + y^2 - 2hx = 0$ $(1)$ हो जाता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2h = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $h = x + y\frac{dy}{dx}$ हो जाता है। $h$ का यह मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2(x + y\frac{dy}{dx})x = 0$ प्राप्त होता है। इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है। पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ के बराबर है।

मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण है

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यदि वक्रों के कुल $y^2=4a(x+a)$ (जहाँ $a$ एक प्राचल है) के संगत अवकल समीकरण की कोटि और घात क्रमशः $m$ और $n$ हैं,तो $m+n^2=$

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उन सरल रेखाओं के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका ढाल उनके $y$-अंतःखंड के बराबर है।

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