उन सभी वृत्तों का अवकल समीकरण क्या है जो मूल | vedclass

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Question

(A) माना वृत्त का केंद्र $(0, k)$ है। चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{(0-0)^2 + (k-0)^2} = |k|$ है।वृत्

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$\left(x^2-y^2\right) \frac{d y}{d x}-2 x y=0$

Vedclass · Answer

(A) माना वृत्त का केंद्र $(0, k)$ है। चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{(0-0)^2 + (k-0)^2} = |k|$ है।वृत्त का समीकरण $(x-0)^2 + (y-k)^2 = k^2$ है।इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2ky + k^2 = k^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ky$ प्राप्त होता है।स्वेच्छ अचर $k$ को हटाने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2k \frac{dy}{dx}$.वृत्त के समीकरण से,$k = \frac{x^2+y^2}{2y}$.$k$ का यह मान अवकलित समीकरण में रखने पर:$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{x^2+y^2}{2y} \right) \frac{dy}{dx}$.$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{y} \frac{dy}{dx}$.$y$ से गुणा करने पर:$2xy + 2y^2 \frac{dy}{dx} = (x^2+y^2) \frac{dy}{dx}$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$(x^2+y^2) \frac{dy}{dx} - 2y^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$.$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} = 2xy$.अतः,$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ प्राप्त होता है।

उन सभी वृत्तों का अवकल समीकरण क्या है जो मूल बिंदु से गुजरते हैं और जिनका केंद्र $Y$-अक्ष पर स्थित है?

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