int_{0}^{1} tan ^{-1}left(frac{2 x-1}{1+x-x^{ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}ight) d x$. हम $	an^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{2x-1}{1+x

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(B) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}ight) d x$. हम $	an^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x + (x-1)}{1 - x(x-1)}$. सर्वसमिका $	an^{-1}(A) + 	an^{-1}(B) = 	an^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}ight)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(x) + 	an^{-1}(x-1)) d x$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करते हुए,माना $f(x) = 	an^{-1}(x-1)$. अतः $\int_{0}^{1} 	an^{-1}(x-1) d x = \int_{0}^{1} 	an^{-1}((1-x)-1) d x = \int_{0}^{1} 	an^{-1}(-x) d x = -\int_{0}^{1} 	an^{-1}(x) d x$. इस मान को समाकलन में वापस रखने पर: $I = \int_{0}^{1} 	an^{-1}(x) d x - \int_{0}^{1} 	an^{-1}(x) d x = 0$.

$\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x$ का मान है

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यदि $I = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{dx}{(1 + e^{\sin x})(2 - \cos 2x)}$ है,तो $27 I^2$ का मान . . . . . . . . है।

$n \in N$ के लिए,$\int_{0}^{n\pi + V} \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} dx$ का मान . . . है (जहाँ $\frac{\pi}{2} < V < \pi$)

$\int_{-2}^{2}\left|3 x^{2}-3 x-6\right| d x$ का मान ...... है।

यदि $\int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(x) dx = k \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ है,तो

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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