MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है $\frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin (A-B)}{\sin (B-C)}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $\sin A \sin (B-C) = \sin C \sin (A-B)$.
$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$\sin A (\sin B \cos C - \cos B \sin C) = \sin C (\sin A \cos B - \cos A \sin B)$.
$\sin A \sin B \cos C - \sin A \cos B \sin C = \sin C \sin A \cos B - \sin C \cos A \sin B$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin A \sin B \cos C + \sin C \cos A \sin B = 2 \sin A \cos B \sin C$.
$\sin B (\sin A \cos C + \cos A \sin C) = 2 \sin A \cos B \sin C$.
चूंकि $\sin A \cos C + \cos A \sin C = \sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$,इसलिए:
$\sin^2 B = 2 \sin A \sin C \cos B$.
कोसाइन नियम $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ और साइन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{b^2}{ac} = 2 \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) = \frac{a^2+c^2-b^2}{ac}$.
$b^2 = a^2+c^2-b^2 \Rightarrow 2b^2 = a^2+c^2$.
अतः,$a^2, b^2, c^2$ $AP$ में हैं।

(A) सर्वसमिका $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2} = \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) - 2\left(\frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2}\right)$
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$,जिसका अर्थ है $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{1}{k}$.
अतः,$\frac{\sin^2 A}{a^2} = \frac{\sin^2 B}{b^2} = \frac{1}{k^2}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) - 2\left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$
$a=2$ और $b=3$ दिया गया है:
$\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac}$ और $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$c(a \cos B - b \cos A) = c \left( a \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac} \right) - b \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right) \right)$
$= c \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2c} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c} \right)$
$= \frac{c^2 + a^2 - b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{2}$
$= \frac{2a^2 - 2b^2}{2} = a^2 - b^2$

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$,और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$
यहाँ $a=2, b=3, c=5$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2^2+3^2+5^2}{2(2)(3)(5)} = \frac{4+9+25}{60} = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}$।

(D) दिया है: $\text{Area} = 10\sqrt{3} \text{ cm}^2$,$\angle B = 60^{\circ}$,और $a+b+c = 20 \text{ cm}$.
क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2}ac \sin B$.
$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ} \Rightarrow 10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$10\sqrt{3} = \frac{ac\sqrt{3}}{4} \Rightarrow ac = 40$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
$b^2 = (a+c)^2 - 2ac - 2ac \cos 60^{\circ}$.
चूंकि $a+c = 20-b$,इसलिए $b^2 = (20-b)^2 - 2(40) - 2(40)(0.5)$.
$b^2 = 400 + b^2 - 40b - 80 - 40$.
$0 = 280 - 40b$.
$40b = 280 \Rightarrow b = 7 \text{ cm}$.
अतः,$\ell(AC) = b = 7 \text{ cm}$.

(D) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक का संबंध $f$ एक फलन है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
$R_1$ के लिए: $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में केवल एक प्रतिबिंब है। अतः,$R_1$ एक फलन है।
$R_2$ के लिए: $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में केवल एक प्रतिबिंब है। अतः,$R_2$ एक फलन है।
$R_3$ के लिए: $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में केवल एक प्रतिबिंब है। अतः,$R_3$ एक फलन है।
$R_4$ के लिए: अवयव $a \in A$ दो अलग-अलग मानों $1$ और $2$ से जुड़ा है (अर्थात $(a, 1) \in R_4$ और $(a, 2) \in R_4$)।
चूंकि एक अवयव के दो अलग-अलग प्रतिबिंब नहीं हो सकते,इसलिए $R_4$ फलन नहीं है।
अतः,केवल $R_4$ फलन नहीं है।

(A) दी गई संख्याओं का माध्य $\overline{x} = \frac{2+3+11+x}{4} = \frac{16+x}{4}$ है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2$ है।
$\frac{49}{4} = \frac{1}{4} [(\frac{16+x}{4} - 2)^2 + (\frac{16+x}{4} - 3)^2 + (\frac{16+x}{4} - 11)^2 + (\frac{16+x}{4} - x)^2]$.
$49 = (\frac{8+x}{4})^2 + (\frac{4+x}{4})^2 + (\frac{x-28}{4})^2 + (\frac{16-3x}{4})^2$.
$49 \times 16 = (64 + x^2 + 16x) + (16 + x^2 + 8x) + (x^2 - 56x + 784) + (256 - 96x + 9x^2)$.
$784 = 12x^2 - 128x + 1120$.
$12x^2 - 128x + 336 = 0$.
$4$ से भाग देने पर,$3x^2 - 32x + 84 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1008}}{6} = \frac{32 \pm 4}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{36}{6} = 6$ या $x = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$।

(C) दिया गया है: $n_1 = 5, \sigma_1^2 = 4, \overline{x}_1 = 2$ और $n_2 = 5, \sigma_2^2 = 5, \overline{x}_2 = 4$.
संयुक्त माध्य $\overline{x}_c = \frac{n_1\overline{x}_1 + n_2\overline{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{5 + 5} = \frac{30}{10} = 3$.
विचलन की गणना: $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x}_c = 2 - 3 = -1$ और $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x}_c = 4 - 3 = 1$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
मान रखने पर: $\sigma^2 = \frac{5(4 + (-1)^2) + 5(5 + 1^2)}{5 + 5} = \frac{5(5) + 5(6)}{10} = \frac{25 + 30}{10} = \frac{55}{10} = \frac{11}{2}$.

(C) माना कि पाँच प्रेक्षण $1, 2, 6, a,$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि माध्य $\bar{x} = 4$ और $n = 5$ है।
$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 6 + a + b}{5} = 4$
$9 + a + b = 20 \implies a + b = 11 \implies b = 11 - a$ ... $(1)$
दिया गया है कि प्रसरण $\sigma^2 = 5.2$ है।
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 5.2$
$\frac{(1-4)^2 + (2-4)^2 + (6-4)^2 + (a-4)^2 + (b-4)^2}{5} = 5.2$
$(-3)^2 + (-2)^2 + (2)^2 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$9 + 4 + 4 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$17 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$(a-4)^2 + (b-4)^2 = 9$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ में $b = 11 - a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(a-4)^2 + (11 - a - 4)^2 = 9$
$(a-4)^2 + (7 - a)^2 = 9$
$(a^2 - 8a + 16) + (49 - 14a + a^2) = 9$
$2a^2 - 22a + 65 = 9$
$2a^2 - 22a + 56 = 0$
$a^2 - 11a + 28 = 0$
$(a-4)(a-7) = 0$
अतः,$a = 4$ या $a = 7$ है।
यदि $a = 4$ है,तो $b = 11 - 4 = 7$ है।
यदि $a = 7$ है,तो $b = 11 - 7 = 4$ है।
इस प्रकार,अन्य दो प्रेक्षण $4$ और $7$ हैं।

(A) मान लीजिए मूल डेटा $X = \{2, 4, 5, 6, 8, 17\}$ है।
$X$ का प्रसरण $Var(X) = 23.33$ दिया गया है।
नया डेटा $Y = \{4, 8, 10, 12, 16, 34\}$ मूल डेटा के प्रत्येक तत्व को $2$ से गुणा करके प्राप्त किया गया है,अर्थात $Y = 2X$।
हम जानते हैं कि यदि $Y = aX$ है,तो $Var(Y) = a^2 \times Var(X)$ होता है।
यहाँ,$a = 2$ है।
अतः,$Var(Y) = (2)^2 \times 23.33 = 4 \times 23.33 = 93.32$।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि किस डिवीजन में अधिक एकरूपता है,हम प्रत्येक डिवीजन के लिए विचरण गुणांक ($C$.$V$.) की गणना करते हैं। $C$.$V$. का सूत्र $\text{C.V.} = \frac{\text{Standard Deviation}}{\text{Mean}} \times 100$ है। कम $C$.$V$. अधिक एकरूपता को दर्शाता है.\\
डिवीजन $A$ के लिए: $\text{C.V.}_A = \frac{12}{80} = 0.15$ या $15\%$.\\
डिवीजन $B$ के लिए: $\text{C.V.}_B = \frac{6}{75} = 0.08$ या $8\%$.\\
डिवीजन $C$ के लिए: $\text{C.V.}_C = \frac{8}{70} \approx 0.114$ या $11.4\%$.\\
डिवीजन $D$ के लिए: $\text{C.V.}_D = \frac{10}{72} \approx 0.139$ या $13.9\%$.\\
चूंकि डिवीजन $B$ के लिए $C$.$V$. सबसे कम है,इसलिए इसमें सबसे अधिक एकरूपता है.

(D) दिया है $n = 16$ और $\Sigma x_i = 528$. \\ माध्य $\overline{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{528}{16} = 33$. \\ माध्य $33$ से विचलनों के वर्गों का योग $\Sigma(x_i - 33)^2 = 9158$ है। \\ प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \Sigma(x_i - \overline{x})^2$. \\ अतः,$\sigma^2 = \frac{9158}{16} = 572.375$.

(D) विचरण गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{विचरण गुणांक} = \frac{\text{मानक विचलन}}{\text{माध्य}} \times 100$
यहाँ,$\text{मानक विचलन} = 12$ और $\text{माध्य} = 72$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\text{विचरण गुणांक} = \frac{12}{72} \times 100 \% = \frac{1}{6} \times 100 \% = 16.67 \%$

(A) दिया गया है: $n = 50$,$\Sigma x_i^2 = 3050$,और $\bar{x} = 6$.
मानक विचलन ($S$.$D$.) का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \Sigma x_i^2 - (\bar{x})^2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma = \sqrt{\frac{3050}{50} - (6)^2}$
$\sigma = \sqrt{61 - 36}$
$\sigma = \sqrt{25}$
$\sigma = 5$.
अतः,मानक विचलन $5$ है।

(C) हम जानते हैं कि विचरण गुणांक ($C$.$V$.) का सूत्र इस प्रकार है:
$C.V. = \frac{\text{मानक विचलन}}{\text{माध्य}} \times 100$
प्रत्येक विषय के लिए $C$.$V$. की गणना:
$1. (C.V.)_{\text{भौतिकी}} = \frac{3}{20} = 0.15$
$2. (C.V.)_{\text{रसायन विज्ञान}} = \frac{2}{25} = 0.08$
$3. (C.V.)_{\text{गणित}} = \frac{4}{23} \approx 0.174$
$4. (C.V.)_{\text{जीव विज्ञान}} = \frac{5}{27} \approx 0.185$
मानों की तुलना करने पर,जीव विज्ञान में सबसे अधिक परिवर्तनशीलता देखी जाती है क्योंकि इसका विचरण गुणांक सबसे अधिक $(0.185)$ है।

(A) प्रथम $10$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, 10$ हैं।
प्रत्येक में $1$ जोड़ने पर,हमें नई संख्याएँ $2, 3, 4, \ldots, 11$ प्राप्त होती हैं।
हम जानते हैं कि यदि प्रत्येक पद में एक अचर संख्या जोड़ी जाती है,तो प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 10$ है।
$\sigma^2 = \frac{10^2 - 1}{12} = \frac{100 - 1}{12} = \frac{99}{12} = 8.25$.

(D) ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ और कार्तीय निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ है।
यहाँ $r = \sqrt{2}$ और $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
$x = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
$y = \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
अतः,कार्तीय निर्देशांक $(1, 1)$ हैं।

(D) त्रिभुज के केंद्रक $G(x, y, z)$ का सूत्र $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ है।
दिया गया है कि $G(4, 3, 3)$,$A(a, 3, 1)$,$B(4, 5, b)$ और $C(6, c, 5)$ है।
$\frac{a+4+6}{3} = 4$ $\Rightarrow a+10 = 12$ $\Rightarrow a = 2$.
$\frac{3+5+c}{3} = 3$ $\Rightarrow 8+c = 9$ $\Rightarrow c = 1$.
$\frac{1+b+5}{3} = 3$ $\Rightarrow 6+b = 9$ $\Rightarrow b = 3$.
अतः,$a=2, b=3, c=1$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,और $(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $G$ का सूत्र $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ है।
दिया है $A(7, -8, 1)$,$B(p, q, 5)$,$C(q+1, 5p, 0)$,और $G(3, -5, r)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3 = \frac{7 + p + q + 1}{3} \implies 9 = 8 + p + q \implies p + q = 1 \quad (1)$
$-5 = \frac{-8 + q + 5p}{3} \implies -15 = -8 + q + 5p \implies 5p + q = -7 \quad (2)$
$r = \frac{1 + 5 + 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$(5p + q) - (p + q) = -7 - 1$
$4p = -8 \implies p = -2$
$p = -2$ को $(1)$ में रखने पर:
$-2 + q = 1 \implies q = 3$
अतः,$p = -2, q = 3, r = 2$।

(A) ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ और कार्तीय निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ है।
यहाँ $r = 2$ और $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
अतः,कार्तीय निर्देशांक $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ हैं।

(B) रेखा $L$ मूल बिंदु से गुजरती है और $Y$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
इसका अर्थ है कि रेखा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाती है।
रेखा का ढाल $m = \tan(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$m = \tan(120^{\circ}) = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan(60^{\circ}) = -\sqrt{3}$.

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1) = \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ और $(x_2, y_2) = (1, 3)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{1 - (-1/2)} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$
बिंदु $(1, 3)$ का उपयोग करके रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के रूप में:
$y - 3 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3y - 9 = 4x - 4$
$4x - 3y + 5 = 0$
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$4x - 3(0) + 5 = 0$
$4x = -5$
$x = -\frac{5}{4}$
अतः,$x$-अंतःखंड $-\frac{5}{4}$ है।

(C) रेखा की ढाल $m = \tan(90^\circ + \alpha) = -\cot \alpha = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ है।
बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$(y - p \sin \alpha) = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}(x - p \cos \alpha)$
$y \sin \alpha - p \sin^2 \alpha = -x \cos \alpha + p \cos^2 \alpha$
$x \cos \alpha + y \sin \alpha = p(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$
चूंकि $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,इसलिए समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।

(D) अक्षों पर $a$ और $b$ अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $bx + ay - ab = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा पर लंब की लंबाई $p$ सूत्र $p = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें मिलता है $p = \frac{|b(0) + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $p^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{a^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}$.

(D) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से रेखा पर लंब की लंबाई है और $\alpha$ लंब द्वारा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $p = 4$ और $\alpha = 30^{\circ}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 4$
$x \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + y \left(\frac{1}{2}\right) = 4$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{3} x + y = 8$

(A) रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि रेखा $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2 \sqrt{2}$ इकाई का अंतःखंड बनाती है,इसलिए $y$-अंतःखंड $c = -2 \sqrt{2}$ है।
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ का उपयोग करने पर:
$y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x - 2 \sqrt{2}$
पूरे समीकरण को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{2}y = -x - 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + \sqrt{2}y + 4 = 0$.

(D) रेखाखंड $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{-5-3}{6-(-2)} = \frac{-8}{8} = -1$ है।
चूंकि लंब समद्विभाजक $AB$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times m_{AB} = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,अतः $m = 1$।
$AB$ का मध्य बिंदु $M = \left( \frac{-2+6}{2}, \frac{3-5}{2} \right) = (2, -1)$ है।
$(2, -1)$ से गुजरने वाली और $m=1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - (-1) = 1(x - 2)$,जो सरल होकर $y + 1 = x - 2$ या $x - y = 3$ हो जाता है।

(A) दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$ और $m_1 = \frac{1}{2}$.
दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2} - m_2}{1 + \frac{1}{2} m_2} \right|$
$1 = \left| \frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} \right|$
इसका अर्थ है $\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = 1$ या $\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = -1$.
स्थिति $1$: $1 - 2m_2 = 2 + m_2$ $\Rightarrow -3m_2 = 1$ $\Rightarrow m_2 = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $2$: $1 - 2m_2 = -(2 + m_2)$ $\Rightarrow 1 - 2m_2 = -2 - m_2$ $\Rightarrow m_2 = 3$.
अतः,दूसरी रेखा की ढाल $3$ या $-\frac{1}{3}$ है।

(B) रेखा $AB$ की प्रवणता (slope) $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ है।
चूंकि $m = \tan \theta = 1$,इसलिए झुकाव का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
जब रेखा को बिंदु $A$ के परितः वामावर्त दिशा में $15^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो नया झुकाव कोण $\theta' = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ हो जाता है।
नई रेखा की प्रवणता $m' = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि रेखा बिंदु $A(2,0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए रेखा का समीकरण $(y - 0) = \sqrt{3}(x - 2)$ होगा।
इसे सरल करने पर $y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरणों को $x$ और $y$ के समान गुणांकों के साथ लिखते हैं।
प्रथम समीकरण $3x + 4y = 9$ को $2$ से गुणा करने पर $6x + 8y = 18$ प्राप्त होता है।
अब रेखाएं $6x + 8y - 18 = 0$ और $6x + 8y - 15 = 0$ हैं।
दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
मान रखने पर: $d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3 \text{ इकाई}$.

(D) गेंदों की कुल संख्या = $3 + 4 + 2 = 9$.
$9$ में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ है।
हम $3$ अलग-अलग रंगों की गेंदें निकालना चाहते हैं,जिसका अर्थ है $1$ लाल,$1$ नीली और $1$ हरी गेंद।
$1$ लाल,$1$ नीली और $1$ हरी गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $^3C_1 \times ^4C_1 \times ^2C_1 = 3 \times 4 \times 2 = 24$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ है।

(D) दिया गया है $2 \cos \theta = x + \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$2 \cos 3 \theta = 2 [4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta] = 8 \cos^3 \theta - 6 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)$ का मान रखने पर:
$2 \cos 3 \theta = 8 \left[ \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right) \right]^3 - 6 \left[ \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right) \right]$
$= 8 \left[ \frac{1}{8} \left(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) \right) \right] - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= \left(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) \right) - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= x^3 + \frac{1}{x^3}$.

(B) दिया गया है $a \sin \theta = b \cos \theta$,अतः $\tan \theta = \frac{b}{a}$ है।
हमें $a \cos 2 \theta + b \sin 2 \theta$ का मान ज्ञात करना है।
$\tan \theta$ के पदों में सूत्रों का उपयोग करने पर:
$a \cos 2 \theta + b \sin 2 \theta = a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
$\tan \theta = \frac{b}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= a \left( \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right) + b \left( \frac{2 \left( \frac{b}{a} \right)}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right)$
$= a \left( \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right) + b \left( \frac{2b}{a} \cdot \frac{a^2}{a^2 + b^2} \right)$
$= \frac{a(a^2 - b^2)}{a^2 + b^2} + \frac{2ab^2}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a^3 - ab^2 + 2ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^3 + ab^2}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a$.

(B) दिया गया है $3 \sin \theta = 2 \sin 3 \theta$.
सर्वसमिका $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$3 \sin \theta = 2(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$
$3 \sin \theta = 6 \sin \theta - 8 \sin^3 \theta$
$8 \sin^3 \theta - 3 \sin \theta = 0$
$\sin \theta (8 \sin^2 \theta - 3) = 0$
इसका अर्थ है $\sin \theta = 0$ या $\sin^2 \theta = \frac{3}{8}$.
चूंकि $0 < \theta < \pi$,$\sin \theta$ धनात्मक और अशून्य होना चाहिए।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$.

(A) दिया गया समीकरण $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin x \cos x = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$\sin 2x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 2x = \sin \frac{\pi}{6}$,इसलिए $2x$ का व्यापक हल $2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$ है।
$n=0$ के लिए,$2x = \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{\pi}{12}$.
$n=1$ के लिए,$2x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \implies x = \frac{5\pi}{12}$.
दोनों मान $x = \frac{\pi}{12}$ और $x = \frac{5\pi}{12}$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में स्थित हैं।

(B) दिया गया है $\sec x = \frac{25}{24}$,अतः $\cos x = \frac{24}{25}$.
चूँकि $x$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\sin x = \sqrt{1 - (\frac{24}{25})^2} = \frac{7}{25}$.
अब,$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = 1 + \sin x = 1 + \frac{7}{25} = \frac{32}{25}$.
प्रथम चतुर्थांश में $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$ धनात्मक है,इसलिए $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{32}{25}} = \frac{4 \sqrt{2}}{5} = \frac{8}{5 \sqrt{2}}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \sec x + 2 = 0$
$\sec x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos x$ दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए हम अंतराल $[0, 2\pi)$ में मुख्य हल ज्ञात करते हैं।
$\cos x = -\cos(\frac{\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$
$\cos x = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6})$
अतः,मुख्य हल $x = \frac{5\pi}{6}$ और $x = \frac{7\pi}{6}$ हैं।

(D) दिया गया है: $\frac{\cos (A+B)}{\cos (A-B)}=\frac{\sin (C+D)}{\sin (C-D)}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos (A+B) + \cos (A-B)}{\cos (A+B) - \cos (A-B)} = \frac{\sin (C+D) + \sin (C-D)}{\sin (C+D) - \sin (C-D)}$
सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \cos A \cos B}{-2 \sin A \sin B} = \frac{2 \sin C \cos D}{2 \cos C \sin D}$
$-\cot A \cot B = \tan C \cot D$
$-\frac{1}{\tan A \tan B} = \frac{\tan C}{\tan D}$
अतः,$\tan A \tan B \tan C = -\tan D$

(B) दिया गया है: $2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \left[\sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3}\right] = \cos \theta \cos \frac{\pi}{6} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{6}$
मान रखने पर:
$2 \left(\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$
$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$
सरल करने पर:
$\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = 0$
$\sin \theta = -\sqrt{3} \cos \theta$
अतः,$\tan \theta = -\sqrt{3}$.

(A) दिया गया है $\cot x = \sqrt{3}$।
चूँकि $\cot x = \frac{1}{\tan x}$,इसलिए $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $x$ के मुख्य मान $(0, 2\pi)$ अंतराल में होते हैं।
प्रथम चतुर्थांश में,$x = \frac{\pi}{6}$ पर $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होता है।
चूँकि $\tan x$ तीसरे चतुर्थांश में धनात्मक होता है,इसलिए दूसरा हल $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ है।
अतः,मुख्य हल $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{7\pi}{6}$ हैं।

(B) माना $A = 18^{\circ}$। तब $5A = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $2A = 90^{\circ} - 3A$।
दोनों पक्षों में साइन लेने पर,$\sin 2A = \sin(90^{\circ} - 3A) = \cos 3A$।
डबल एंगल और ट्रिपल एंगल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$।
चूंकि $\cos 18^{\circ} \neq 0$,हम $\cos A$ से विभाजित कर सकते हैं:
$2 \sin A = 4 \cos^2 A - 3$।
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin A = 4(1 - \sin^2 A) - 3$।
$2 \sin A = 4 - 4 \sin^2 A - 3$।
$4 \sin^2 A + 2 \sin A - 1 = 0$।
$\sin A$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin A = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$।
चूंकि $18^{\circ}$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\sin 18^{\circ} > 0$।
अतः,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2 \theta = \sin \theta$
सर्वसमिका $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2 \sin^2 \theta = \sin \theta$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
इससे $\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -1$ प्राप्त होता है।
$(0, 2 \pi)$ में $\sin \theta = \frac{1}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ प्राप्त होते हैं।
$(0, 2 \pi)$ में $\sin \theta = -1$ के लिए,$\theta = \frac{3 \pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $3$ है।

(B) हम जानते हैं कि $3A = 2A + A$ होता है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर:
$\tan 3A = \tan(2A + A) = \frac{\tan 2A + \tan A}{1 - \tan 2A \tan A}$।
वज्र गुणन करने पर:
$\tan 3A(1 - \tan 2A \tan A) = \tan 2A + \tan A$।
$\tan 3A - \tan 3A \tan 2A \tan A = \tan 2A + \tan A$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 3A \tan 2A \tan A = \tan 3A - \tan 2A - \tan A$।

(C) दिया गया है $\tan \theta = k \tan \phi$ और $\theta + \phi = \alpha$.
$\frac{\tan \theta}{\tan \phi} = \frac{k}{1}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan \theta + \tan \phi}{\tan \theta - \tan \phi} = \frac{k+1}{k-1}$
sin और cos में बदलने पर:
$\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\sin \phi}{\cos \phi}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{k+1}{k-1}$
$\frac{\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi}{\sin \theta \cos \phi - \cos \theta \sin \phi} = \frac{k+1}{k-1}$
सर्वसमिका $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(\theta + \phi)}{\sin(\theta - \phi)} = \frac{k+1}{k-1}$
$\theta + \phi = \alpha$ रखने पर:
$\frac{\sin \alpha}{\sin(\theta - \phi)} = \frac{k+1}{k-1}$
अतः,$\sin(\theta - \phi) = \left(\frac{k-1}{k+1}\right) \sin \alpha$.

(B) दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2b^2 = a^2 + c^2$ है।
सर्वसमिका $\sin 3B = 3\sin B - 4\sin^3 B$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\sin 3B}{\sin B} = 3 - 4\sin^2 B$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 - 4(1 - \cos^2 B) = 4\cos^2 B - 1$ मिलता है।
कोसाइन नियम $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ का उपयोग करके,$a^2 + c^2 = 2b^2$ रखने पर:
$\cos B = \frac{2b^2 - b^2}{2ac} = \frac{b^2}{2ac}$।
अतः,$4\cos^2 B - 1 = 4\left(\frac{b^2}{2ac}\right)^2 - 1 = \frac{4b^4}{4a^2c^2} - 1 = \frac{b^4 - a^2c^2}{a^2c^2}$।
चूंकि $b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}$,इसलिए $b^4 = \frac{(a^2 + c^2)^2}{4}$।
यह मान रखने पर: $\frac{\frac{(a^2 + c^2)^2}{4} - a^2c^2}{a^2c^2} = \frac{(a^2 + c^2)^2 - 4a^2c^2}{4a^2c^2} = \frac{(a^2 - c^2)^2}{4a^2c^2} = \left(\frac{a^2 - c^2}{2ac}\right)^2$।

(C) दिया गया है कि $\sin (y+z-x), \sin (z+x-y)$ और $\sin (x+y-z)$ समांतर श्रेणी में हैं।
$\therefore 2 \sin (z+x-y) = \sin (y+z-x) + \sin (x+y-z)$
सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin (z+x-y) = 2 \sin y \cos (z-x)$
इस स्थिति को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\tan x, \tan y, \tan z$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$2 \tan y = \tan x + \tan z$.

(B) हम सर्वसमिका $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cot \theta = \tan \theta + 2 \cot 2\theta$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2 \cot 2\theta = \cot \theta - \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करते हुए:
$\tan A = \cot A - 2 \cot 2A$
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (\cot A - 2 \cot 2A) + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$
यह दृष्टिकोण जटिल है,इसलिए आइए $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ का बार-बार उपयोग करके चरण-दर-चरण सरल करें:
$8 \cot 8A = 4 \cot 4A - 4 \tan 4A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + (4 \cot 4A - 4 \tan 4A) = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \cot 4A$
अब,$4 \cot 4A = 2 \cot 2A - 2 \tan 2A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + (2 \cot 2A - 2 \tan 2A) = \tan A + 2 \cot 2A$
अंत में,$2 \cot 2A = \cot A - \tan A$
$E = \tan A + (\cot A - \tan A) = \cot A$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(3xy+y^2) dx + (x^2+xy) dy = 0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy+y^2}{x^2+xy}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v x^2 + v^2 x^2}{x^2 + vx^2} = -\frac{3v+v^2}{1+v}$।
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v+v^2}{1+v} - v = -\frac{3v+v^2+v+v^2}{1+v} = -\frac{2v^2+4v}{1+v}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1+v}{2v^2+4v} dv = -\int \frac{1}{x} dx$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\int \frac{1+v}{v^2+2v} dv = -2\int \frac{1}{x} dx$।
मान लीजिए $u = v^2+2v$,तो $du = (2v+2) dv = 2(v+1) dv$।
अतः,$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = -2\ln|x| + C'$।
$\frac{1}{2} \ln|v^2+2v| = -2\ln|x| + C'$।
$\ln|v^2+2v| = -4\ln|x| + C''$।
$\ln|v^2+2v| + \ln|x^4| = C''$।
$\ln|x^4(v^2+2v)| = C''$।
$x^4(\frac{y^2}{x^2} + \frac{2y}{x}) = c$।
$x^2(y^2+2xy) = c$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-1}{x+2y+1}$ है।
माना $t = x+2y$. तब $\frac{dt}{dx} = 1 + 2\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\left(\frac{dt}{dx} - 1\right)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2}\left(\frac{dt}{dx} - 1\right) = \frac{t-1}{t+1}$.
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{2t-2}{t+1} \Rightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{2t-2}{t+1} + 1 = \frac{2t-2+t+1}{t+1} = \frac{3t-1}{t+1}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{t+1}{3t-1} dt = \int dx$.
$\frac{t+1}{3t-1}$ का समाकलन करने के लिए,हम इसे $\frac{1}{3} \int \frac{3t+3}{3t-1} dt = \frac{1}{3} \int \frac{3t-1+4}{3t-1} dt = \frac{1}{3} \int (1 + \frac{4}{3t-1}) dt$ के रूप में लिखते हैं।
इससे $\frac{1}{3} (t + \frac{4}{3} \log |3t-1|) = x + C$ प्राप्त होता है।
$9$ से गुणा करने पर: $3t + 4 \log |3t-1| = 9x + 9C$.
$t = x+2y$ रखने पर: $3(x+2y) + 4 \log |3(x+2y)-1| = 9x + K$.
$3x + 6y + 4 \log |3x+6y-1| = 9x + K$.
$6y - 6x + 4 \log |3x+6y-1| = K$.
$6(-x+y) + 4 \log |3x+6y-1| = K$.

(C) एक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ समघातीय होता है यदि $f(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो।
$I$ के लिए: $f(x, y) = \frac{y+x}{x} = \frac{y}{x} + 1$. यह शून्य घात का एक समघातीय फलन है। अतः,$I$ एक समघातीय अवकल समीकरण है।
$II$ के लिए: $f(x, y) = \frac{x^2+y}{x^3} = \frac{1}{x} + \frac{y}{x^3}$. यह एक समघातीय फलन नहीं है क्योंकि पदों की घात समान नहीं है। अतः,$II$ समघातीय नहीं है।
$III$ के लिए: $f(x, y) = \frac{2xy}{y^2-x^2}$. अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $f(x, y) = \frac{2(y/x)}{(y/x)^2-1}$ प्राप्त होता है। यह शून्य घात का एक समघातीय फलन है। अतः,$III$ एक समघातीय अवकल समीकरण है।
चूंकि $I$ और $III$ समघातीय हैं,इसलिए कथन $S3$ मान्य है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v}$।
चरों को पृथक करने पर: $v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx \Rightarrow \frac{v^2}{2} = \log |x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{y^2}{2x^2} = \log |x| + C \Rightarrow y^2 = 2x^2 \log |x| + 2x^2 C$।
चूंकि $\log |x| = \frac{1}{2} \log x^2$,इसलिए $y^2 = x^2 \log x^2 + 2x^2 C$।
शर्त $y(1) = -2$ का उपयोग करने पर: $(-2)^2 = (1)^2 \log(1)^2 + 2(1)^2 C \Rightarrow 4 = 0 + 2C \Rightarrow C = 2$।
अतः,हल $y^2 = x^2 \log x^2 + 4x^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x+vx}{x-vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v-v+v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1-v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \frac{1}{2} \int \frac{2v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log |1+v^2| = \log |x| + c$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |1 + \frac{y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |\frac{x^2+y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} (\log |x^2+y^2| - \log |x^2|) = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| + \log |x| = \log |x| + c$.
अतः,$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| = c$.

(A) दिया गया समीकरण: $\left(x \frac{dy}{dx} - y\right) \sin \frac{y}{x} = x^3 e^x$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}\right) \sin \frac{y}{x} = x e^x$
माना $t = \frac{y}{x}$. तब $\frac{dt}{dx} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dt}{dx} \sin t = x e^x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \sin t \, dt = \int x e^x \, dx$
दाहिनी ओर के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$-\cos t = x e^x - \int e^x \, dx$
$-\cos t = x e^x - e^x + c$
$-\cos t = e^x(x - 1) + c$
$t = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$-\cos \frac{y}{x} = e^x(x - 1) + c$
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$e^x(x - 1) + \cos \frac{y}{x} + c = 0$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.
माना $x+y = v$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v+1}{v-1}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v+1}{v-1} + 1 = \frac{v+1+v-1}{v-1} = \frac{2v}{v-1}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{v-1}{2v} dv = \int dx$.
$\frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{v}) dv = x + C$.
$\frac{1}{2} (v - \log |v|) = x + C$.
$v = x+y$ रखने पर: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x + C$.
$x = \frac{2}{3}$ और $y = \frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए $x+y = 1$.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log |1| = \frac{2}{3} + C$.
$\frac{1}{2} - 0 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}$.
$C$ का मान वापस रखने पर: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x - \frac{1}{6}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $(x+y) - \log |x+y| = 2x - \frac{1}{3}$.
व्यवस्थित करने पर: $y - x + \frac{1}{3} = \log |x+y|$.

(C) मान लीजिए $t$ समय पर बर्फ की मात्रा $x(t)$ है। पिघलने की दर बर्फ की मात्रा के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -kx$ (जहाँ $k > 0$ है)।
इसका समाकलन करने पर,हमें $x(t) = x_0 e^{-kt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $20 \text{ मिनट}$ में आधी बर्फ पिघल जाती है,इसलिए $t = 20$ पर,$x(20) = \frac{x_0}{2}$ है।
अतः,$\frac{x_0}{2} = x_0 e^{-20k}$,जिसका अर्थ है कि $e^{-20k} = \frac{1}{2}$ है।
हमें $40 \text{ मिनट}$ बाद बची हुई बर्फ की मात्रा ज्ञात करनी है,जो $x(40) = x_0 e^{-40k}$ है।
$x(40) = x_0 (e^{-20k})^2 = x_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{x_0}{4}$ है।
चूंकि बची हुई मात्रा $Kx_0$ है,इसलिए $Kx_0 = \frac{x_0}{4}$,जिससे $K = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए समय $t$ पर जनसंख्या $P$ है। दिया गया है $\frac{dP}{dt} = kP$।
समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है,या $P(t) = P_0 e^{kt}$।
$t = 0$ पर,$P = 20$ लाख,इसलिए $P_0 = 20$।
$t = 30$ पर,$P = 40$ लाख,इसलिए $40 = 20 e^{30k} \Rightarrow e^{30k} = 2 \Rightarrow e^{15k} = \sqrt{2}$।
हमें अगले $15$ वर्षों के बाद,यानी $t = 30 + 15 = 45$ वर्षों पर जनसंख्या ज्ञात करनी है।
$P(45) = 20 e^{45k} = 20 (e^{15k})^3 = 20 (\sqrt{2})^3 = 20 (2 \sqrt{2}) = 40 \sqrt{2}$ लाख।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_s)$,जहाँ $T_s = 30^{\circ} F$ परिवेश का तापमान है।
$\frac{dT}{dt} = -K(T - 30) \Rightarrow \int \frac{dT}{T - 30} = \int -K dt$
$\ln |T - 30| = -Kt + C \Rightarrow T - 30 = Ae^{-Kt}$,जहाँ $A = e^C$ है।
$t = 10$ के लिए: $0 - 30 = Ae^{-10K} \Rightarrow -30 = Ae^{-10K} \quad (1)$
$t = 20$ के लिए: $15 - 30 = Ae^{-20K} \Rightarrow -15 = Ae^{-20K} \quad (2)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर: $\frac{-15}{-30} = \frac{Ae^{-20K}}{Ae^{-10K}} \Rightarrow \frac{1}{2} = e^{-10K} \Rightarrow e^{-10K} = 0.5$।
इस प्रकार,$K = 0.0693$ और $A = -60$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = 30 - 60e^{-0.0693t}$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$T = -60e^{-0.03010t} + 30$ सही उत्तर है।

(D) बिस्मथ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $= 5 \text{ दिन}$ है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $(N_0)$ $= 1000 \text{ mg}$ है।
कुल समय $(t)$ $= 30 \text{ दिन}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ $= \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{5} = 6$ है।
शेष द्रव्यमान $(N)$ ज्ञात करने का सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है।
$N = 1000 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = 1000 \times \frac{1}{64}$.
$N = 15.625 \text{ mg}$.

(A) दिया गया वेग $v = 6t - \frac{t^2}{6}$ है।
हम जानते हैं कि $v = \frac{ds}{dt}$,इसलिए $ds = v \, dt$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int ds = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt$.
$s = 6 \frac{t^2}{2} - \frac{1}{6} \frac{t^3}{3} + C = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
दिया गया है कि $t = 0$ पर $s = 0$,इन मानों को रखने पर $0 = 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{18} + C$,इसलिए $C = 0$ है।
अतः,विस्थापन का समीकरण $s = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ है।
$3 \text{ s}$ में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $t = 3$ पर $s$ की गणना करते हैं:
$s(3) = 3(3)^2 - \frac{(3)^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2} \text{ इकाइयाँ}$.

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर पिंड और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$
समाकलन करने पर,$\ln(\theta - \theta_0) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta_0 = 25^{\circ} C$ है। $t = 0$ पर,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $C = \ln(55)$।
$t = 30$ पर,$\theta = 50^{\circ} C$,इसलिए $\ln(25) = -30k + \ln(55)$,जिसका अर्थ है $-30k = \ln(\frac{25}{55}) = \ln(\frac{5}{11})$।
$t = 60 \text{ मिनट}$ के लिए,$\ln(\theta - 25) = -k(60) + \ln(55) = 2 \ln(\frac{5}{11}) + \ln(55) = \ln(\frac{25}{121} \times 55) = \ln(\frac{125}{11})$।
$\theta - 25 = \frac{125}{11} \approx 11.36$।
अतः,$\theta = 25 + 11.36 = 36.36^{\circ} C$।

(C) माना रेडियम की प्रारंभिक मात्रा $x_0$ है।
चूंकि विघटन की दर मौजूद मात्रा के समानुपाती है,इसलिए शेष मात्रा घातीय क्षय मॉडल का पालन करती है।
$1$ वर्ष के बाद,$P \%$ मात्रा गायब हो जाती है,इसलिए शेष मात्रा $x_1 = x_0 - \frac{P}{100}x_0 = x_0\left(1-\frac{P}{100}\right)$ है।
माना $k = \left(1-\frac{P}{100}\right)$ प्रत्येक वर्ष के बाद बचा हुआ अंश है।
$2$ वर्ष के बाद,शेष मात्रा $x_2 = x_1 \times k = x_0\left(1-\frac{P}{100}\right) \times \left(1-\frac{P}{100}\right) = x_0\left(1-\frac{P}{100}\right)^2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dP}{dt} = 0.05 P$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dP}{P} = 0.05 dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dP}{P} = \int 0.05 dt$.
यह प्राप्त होता है: $\ln P = 0.05 t + C$.
जब $t = 0$ है,तो प्रारंभिक जनसंख्या $P_0$ मान लें,इसलिए $\ln P_0 = C$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\ln P = 0.05 t + \ln P_0$,जो $\ln(\frac{P}{P_0}) = 0.05 t$ में सरल हो जाता है।
हमें $t$ ज्ञात करना है जब जनसंख्या दोगुनी हो जाए,अर्थात $P = 2P_0$.
यह मान रखने पर: $\ln(\frac{2P_0}{P_0}) = 0.05 t$.
$\ln 2 = 0.05 t$.
चूंकि $0.05 = \frac{1}{20}$,इसलिए $\ln 2 = \frac{t}{20}$.
अतः,$t = 20 \ln 2$ वर्ष।

(A) माना $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या है और $t$ वर्षों के बाद जनसंख्या $P$ है। वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{8}{100} P = 0.08 P$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dP}{P} = 0.08 dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln P = 0.08 t + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$.
अतः,$\ln P = 0.08 t + \ln P_{0}$,जिसे सरल करने पर $\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = 0.08 t$ प्राप्त होता है।
जनसंख्या को दोगुना होने के लिए,$P = 2 P_{0}$,इसलिए $\ln 2 = 0.08 t$.
दिया गया है कि $\log 2 = 0.6912$,इसलिए $t = \frac{0.6912}{0.08} = 8.64$ वर्ष।

(B) दिया गया है कि $h(x) = \sqrt{4f(x) + 3g(x)}$.
$x = 1$ पर,$h(1) = \sqrt{4f(1) + 3g(1)} = \sqrt{4(4) + 3(3)} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
अब,$x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4f(x) + 3g(x)}} \cdot \frac{d}{dx}(4f(x) + 3g(x))$
$h'(x) = \frac{4f'(x) + 3g'(x)}{2\sqrt{4f(x) + 3g(x)}}$
अवकलन में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h'(1) = \frac{4f'(1) + 3g'(1)}{2\sqrt{4f(1) + 3g(1)}}$
दिया गया है कि $f'(1) = 4$ और $g'(1) = 3$:
$h'(1) = \frac{4(4) + 3(3)}{2(5)} = \frac{16 + 9}{10} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

(D) $y = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \sin^{-1}(\cos x)$
चूँकि $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$,इसलिए:
$y = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \sin^{-1} \left[ \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \right] = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{\pi}{2} - x$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + 0 - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \left(\frac{x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)} - 1$
सर्वसमिका $\sin x = 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} - 1 = \operatorname{cosec} x - 1$

(D) दिया गया है $y = \sqrt{e^{\sqrt{x}}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln y = \ln(e^{\sqrt{x}})^{1/2} = \frac{1}{2} \sqrt{x} \ln e = \frac{\sqrt{x}}{2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4\sqrt{x}}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{4\sqrt{x}}$.
$y = \sqrt{e^{\sqrt{x}}}$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}{4\sqrt{x}}$.

(A) दिया गया है $f(x)=\operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{10}{6 \sin \left(2^x\right)-8 \cos \left(2^x\right)}\right]$.
गुणधर्म $\operatorname{cosec}^{-1}(u) = \sin^{-1}(1/u)$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=\sin ^{-1}\left[\frac{6 \sin \left(2^x\right)-8 \cos \left(2^x\right)}{10}\right]$.
इसे हम $f(x)=\sin ^{-1}\left[\frac{6}{10} \sin \left(2^x\right)-\frac{8}{10} \cos \left(2^x\right)\right]$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\cos \alpha = \frac{6}{10}$ और $\sin \alpha = \frac{8}{10}$ है।
तब $f(x)=\sin ^{-1}\left[\sin \left(2^x\right) \cos \alpha - \cos \left(2^x\right) \sin \alpha\right]$.
सूत्र $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=\sin ^{-1}\left[\sin \left(2^x-\alpha\right)\right] = 2^x - \alpha$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2^x - \alpha) = 2^x \log 2 - 0 = 2^x \log 2$.

(A) दिया गया है $y = \log \sqrt{\tan x} = \frac{1}{2} \log(\tan x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\tan x} \times \sec^2 x$.
सर्वसमिका $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ और $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{\cos x}{\sin x} \times \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2 \sin x \cos x} = \frac{1}{\sin(2x)}$.
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sin(2 \times \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{1} = 1$.

(D) दिया गया समीकरण $e^{-y} \cdot y = x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y e^{-y}) = \frac{d}{dx}(x)$
गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$y \cdot \frac{d}{dx}(e^{-y}) + e^{-y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
$y \cdot (-e^{-y}) \frac{dy}{dx} + e^{-y} \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{dy}{dx} (e^{-y} - y e^{-y}) = 1$
$\frac{dy}{dx} e^{-y} (1 - y) = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{-y}(1 - y)}$
चूंकि $e^{-y} = \frac{x}{y}$,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\frac{x}{y})(1 - y)} = \frac{y}{x(1 - y)}$.

(B) दिया गया समीकरण: $y = x \tan y$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = x \sec^2 y \frac{d y}{d x} + \tan y$
$\frac{d y}{d x}$ को अलग करने पर:
$\frac{d y}{d x} - x \sec^2 y \frac{d y}{d x} = \tan y$
$\frac{d y}{d x} (1 - x \sec^2 y) = \tan y$
$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan y}{1 - x \sec^2 y}$
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{x \tan y}{x - x^2 \sec^2 y}$
चूंकि $y = x \tan y$,इसलिए $\tan y = \frac{y}{x}$:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x - x^2 (1 + \tan^2 y)} = \frac{y}{x - x^2 - x^2 \tan^2 y}$
$x^2 \tan^2 y = y^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x - x^2 - y^2}$

(A) दिया गया समीकरण: $y = 1 + xe^y$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = 0 + \left( x \cdot e^y \frac{dy}{dx} + e^y \cdot 1 \right)$
$\frac{dy}{dx} = xe^y \frac{dy}{dx} + e^y$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - xe^y \frac{dy}{dx} = e^y$
$\frac{dy}{dx} (1 - xe^y) = e^y$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - xe^y}$
मूल समीकरण से,हम जानते हैं कि $xe^y = y - 1$ है। इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - (y - 1)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - y + 1}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{2 - y}$

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^2 x + \cos ^2 y = 1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin ^2 x) + \frac{d}{dx}(\cos ^2 y) = \frac{d}{dx}(1)$
$2 \sin x \cos x + 2 \cos y (-\sin y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\sin 2x - \sin 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\sin 2y \frac{dy}{dx} = \sin 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{\sin 2y}$

(C) दिया गया है $x = a \cos \theta$ और $y = b \sin \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d \theta} = -a \sin \theta$ और $\frac{dy}{d \theta} = b \cos \theta$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d \theta}{dx/d \theta} = \frac{b \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\frac{b}{a} \cot \theta$।
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{d \theta} \left( -\frac{b}{a} \cot \theta \right) \cdot \frac{d \theta}{dx} = \left( -\frac{b}{a} \right) (-\csc^2 \theta) \cdot \frac{1}{-a \sin \theta} = -\frac{b}{a^2} \cdot \frac{1}{\sin^3 \theta}$।
जब $\theta = \frac{\pi}{4}$ है,तो $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\sin^3 \theta = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$।
अतः,$\left[\frac{d^2 y}{dx^2}\right]_{\theta = \frac{\pi}{4}} = -\frac{b}{a^2} \cdot (2 \sqrt{2}) = -2 \sqrt{2} \left( \frac{b}{a^2} \right)$।

(A) दिया गया है $x=a(t+\sin t)$ और $y=a(1-\cos t)$।
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dx}{dt} = a(1+\cos t)$ प्राप्त होता है।
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dt} = a(\sin t)$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \sin t}{a(1+\cos t)}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$ और $1+\cos t = 2 \cos^2 \frac{t}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$।

(D) दिया गया है $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $y=\frac{2at}{1+t^2}$।
$t=\tan \theta$ रखने पर,$x=\cos 2\theta$ और $y=a \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = -2 \sin 2\theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = 2a \cos 2\theta$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2a \cos 2\theta}{-2 \sin 2\theta} = -a \cot 2\theta$।
चूंकि $\cot 2\theta = \frac{1}{\tan 2\theta} = \frac{1-\tan^2 \theta}{2 \tan \theta} = \frac{1-t^2}{2t}$,
अतः $\frac{dy}{dx} = -a \left( \frac{1-t^2}{2t} \right) = \frac{a(t^2-1)}{2t}$।

(D) दिया गया है कि $u = \cos^3 x$ और $v = \sin^3 x$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{du}{dx} = 3 \cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x$
$\frac{dv}{dx} = 3 \sin^2 x \cdot (\cos x) = 3 \sin^2 x \cos x$
अब,प्राचलिक अवकलन (parametric differentiation) के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dv}{du} = \frac{dv/dx}{du/dx} = \frac{3 \sin^2 x \cos x}{-3 \cos^2 x \sin x} = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$\left(\frac{dv}{du}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$

(D) दिया गया है $x=a\left(t-\frac{1}{t}\right)$ और $y=b\left(t+\frac{1}{t}\right)$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt}=a\left(1+\frac{1}{t^2}\right) = a\left(\frac{t^2+1}{t^2}\right)$
$\frac{dy}{dt}=b\left(1-\frac{1}{t^2}\right) = b\left(\frac{t^2-1}{t^2}\right)$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{b\left(\frac{t^2-1}{t^2}\right)}{a\left(\frac{t^2+1}{t^2}\right)} = \frac{b(t^2-1)}{a(t^2+1)}$।
दिए गए समीकरणों से:
$\frac{x}{a} = t-\frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{t}$
$\frac{y}{b} = t+\frac{1}{t} = \frac{t^2+1}{t}$
इन दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर:
$\frac{x/a}{y/b} = \frac{(t^2-1)/t}{(t^2+1)/t} = \frac{t^2-1}{t^2+1}$
इस मान को $\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \times \left(\frac{x/a}{y/b}\right) = \frac{b}{a} \times \frac{xb}{ya} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$।

(B) दिया गया है $x=a(\theta+\sin \theta)$ और $y=a(1-\cos \theta)$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$ और $\frac{dy}{d\theta} = a\sin \theta$।
अब,श्रृंखला नियम का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$।
सर्वसमिका $\sin \theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ और $1+\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \tan(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{d\theta}\left(\tan\frac{\theta}{2}\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{\theta}{2} \cdot \frac{1}{a(1+\cos \theta)}$।
चूंकि $1+\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{\theta}{2} \cdot \frac{1}{2a\cos^2(\theta/2)} = \frac{1}{4a\cos^4(\theta/2)}$।
$\theta = \pi/2$ पर,$\theta/2 = \pi/4$ और $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$।
$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)_{\theta=\pi/2} = \frac{1}{4a(1/\sqrt{2})^4} = \frac{1}{4a(1/4)} = \frac{1}{a}$।

(B) दिया गया है कि $x=e^t(\sin t-\cos t)$ और $y=e^t(\sin t+\cos t)$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dx}{dt} = e^t(\sin t-\cos t) + e^t(\cos t+\sin t) = e^t(\sin t - \cos t + \cos t + \sin t) = 2e^t \sin t$.
$\frac{dy}{dt} = e^t(\sin t+\cos t) + e^t(\cos t-\sin t) = e^t(\sin t + \cos t + \cos t - \sin t) = 2e^t \cos t$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2e^t \cos t}{2e^t \sin t} = \cot t$.
$t = \frac{\pi}{3}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) दिया गया समीकरण $x^y \cdot y^x = 16$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$y \ln x + x \ln y = \ln 16$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \ln x) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(\ln 16)$.
$\left( \frac{dy}{dx} \ln x + y \cdot \frac{1}{x} \right) + \left( 1 \cdot \ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने पर:
$\frac{dy}{dx} (\ln x + \frac{x}{y}) = -(\frac{y}{x} + \ln y)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{y}{x} + \ln y}{\ln x + \frac{x}{y}}$.
अब,बिंदु $(2, 2)$ का मान रखने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 2)} = -\frac{\frac{2}{2} + \ln 2}{\ln 2 + \frac{2}{2}} = -\frac{1 + \ln 2}{1 + \ln 2} = -1$.

(B) माना $u = (\log x)^x$ है। दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log u = x \log(\log x)$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot 1 = \frac{1}{\log x} + \log(\log x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{du}{dx} = (\log x)^x \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right]$ है।
माना $v = \log x$ है। तब $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$ होगा।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{(\log x)^x [\frac{1}{\log x} + \log(\log x)]}{1/x} = x(\log x)^x \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right]$ ज्ञात करना है।

(C) दिया गया है $y = \sin^{-1}\left[\cos \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right] + x^x$.
$\cos \theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin^{-1}\left[\sin\left(\frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right)\right] + x^x = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}} + x^x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{d}{dx}((1+x)^{1/2}) + \frac{d}{dx}(x^x)$.
$x^x$ के लिए,मान लीजिए $u = x^x$,तो $\ln u = x \ln x$.
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$,इसलिए $\frac{du}{dx} = x^x(1 + \ln x)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + x^x(1 + \ln x)$.
$x = 1$ पर:
$\left[\frac{dy}{dx}\right]_{x=1} = -\frac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} + 1^1(1 + \ln 1) = -\frac{1}{4} + 1(1 + 0) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि $|z| \geq 1$ के लिए $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$ होता है।
दिया गया है $y = \operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$।
इस सर्वसमिका का उपयोग करके,हम पहले पद को $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $y = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) हमें दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+x(1+x)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+(x+2)(x+1)}\right]$.
सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करके,हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{(x+1)-x}{1+(x+1)x}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{(x+2)-(x+1)}{1+(x+2)(x+1)}\right)$.
यह सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$y = (\tan ^{-1}(x+1) - \tan ^{-1} x) + (\tan ^{-1}(x+2) - \tan ^{-1}(x+1))$.
समान पदों को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \tan ^{-1}(x+2) - \tan ^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan ^{-1}(x+2)) - \frac{d}{dx}(\tan ^{-1} x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(x+2)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left\{\frac{a \cos x-b \sin x}{b \cos x+a \sin x}\right\}$।
अंश और हर को $b \cos x$ से विभाजित करने पर:
$y=\tan ^{-1}\left\{\frac{\frac{a}{b}-\tan x}{1+\frac{a}{b}\tan x}\right\}$।
माना $\frac{a}{b}=\tan \alpha$,तब:
$y=\tan ^{-1}\left\{\frac{\tan \alpha-\tan x}{1+\tan \alpha \tan x}\right\}$।
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$y=\tan ^{-1}[\tan(\alpha-x)] = \alpha-x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\alpha-x) = 0-1 = -1$।

(D) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} \right)$.
सर्वसमिकाओं $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}} \right)$.
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} \right) = \tan^{-1} \left( \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) \right)$.
चूंकि $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$,अतः $y = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है $y=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}}$
$y=\tan ^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{x}{2}} = \tan ^{-1} \left(\cot \frac{x}{2}\right)$
चूंकि $\cot \theta = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$,इसलिए:
$y=\tan ^{-1} \left[\tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)\right] = \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} \left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$

(D) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left[\frac{\log \left(\frac{e}{x^2}\right)}{\log \left(ex^2\right)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right]$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(e/x^2) = \log e - \log x^2 = 1 - 2\log x$ और $\log(ex^2) = \log e + \log x^2 = 1 + 2\log x$.
माना $u = 2\log x$. तब पहला पद $\tan^{-1}\left(\frac{1-u}{1+u}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(u) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(2\log x)$ होगा।
दूसरे पद के लिए,$\tan^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right] = \tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(2\log x)$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$y = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(2\log x) + \tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(2\log x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}(3)$.
चूंकि $y$ एक अचर पद है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 0$ और $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ होगा।

(B) माना $f(x) = \cot^{-1}(\sqrt{\cos 2x})$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज $f'(x) = \frac{-1}{1 + (\sqrt{\cos 2x})^2} \times \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos 2x})$ होगा।
$f'(x) = \frac{-1}{1 + \cos 2x} \times \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \times (-\sin 2x \times 2)$।
$f'(x) = \frac{\sin 2x}{(1 + \cos 2x)\sqrt{\cos 2x}}$।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$2x = \frac{\pi}{3}$ होगा।
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin(\pi/3)}{(1 + \cos(\pi/3))\sqrt{\cos(\pi/3)}}$।
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}/2}{(1 + 1/2)\sqrt{1/2}} = \frac{\sqrt{3}/2}{(3/2)(1/\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}$।

(D) दिया गया है $y = 2 \sin x + 3 \cos x$।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - 3 \sin x$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $\frac{d^2y}{dx^2} = -2 \sin x - 3 \cos x$।
हम इसे $\frac{d^2y}{dx^2} = -(2 \sin x + 3 \cos x) = -y$ के रूप में लिख सकते हैं।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $y + A \frac{d^2y}{dx^2} = B$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 1$ और $B = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y^2 = ax^2 + bx + c$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 2ax + b$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2ax + b}{2y}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2ax + b}{2y} \right) = \frac{2a(2y) - (2ax + b)(2 \frac{dy}{dx})}{4y^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2ax + b}{2y}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4ay - (2ax + b) \frac{2ax + b}{y}}{4y^2} = \frac{4ay^2 - (2ax + b)^2}{4y^3}$
अब,$y^3$ से गुणा करने पर:
$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4ay^2 - (2ax + b)^2}{4} = \frac{4a(ax^2 + bx + c) - (4a^2x^2 + 4abx + b^2)}{4}$
$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4a^2x^2 + 4abx + 4ac - 4a^2x^2 - 4abx - b^2}{4} = \frac{4ac - b^2}{4}$
चूंकि $a, b, c$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{4ac - b^2}{4}$ एक स्थिरांक है।

(C) फलन $f(x) = [x]$ के रूप में परिभाषित है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,फ्लोर फलन $[x]$,$x = n$ पर असतत होता है क्योंकि बाएँ पक्ष की सीमा $n-1$ है और दाएँ पक्ष की सीमा $n$ है।
दिए गए प्रांत $x \in (-1, 2)$ के लिए,इस अंतराल में आने वाले पूर्णांक $0$ और $1$ हैं।
अतः,फलन $f(x) = [x]$,$x = 0$ और $x = 1$ पर असतत है।

(C) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+|x|}}$ के रूप में परिभाषित है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य से बड़ा होना चाहिए:
$x + |x| > 0$.
स्थिति $1$: यदि $x > 0$ है,तो $|x| = x$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$x + x = 2x > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x > 0$.
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$x + (-x) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $0$ शून्य से बड़ा नहीं है,इसलिए इस स्थिति में कोई हल नहीं है।
स्थिति $3$: यदि $x = 0$ है,तो $x + |x| = 0 + 0 = 0$ होगा। चूँकि हर (denominator) शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $x = 0$ प्रांत में नहीं है।
अतः,फलन का प्रांत $(0, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{6-x}$ तभी परिभाषित है जब वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक हों।
$\sqrt{x-1}$ के परिभाषित होने के लिए,$x - 1 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \geq 1$।
$\sqrt{6-x}$ के परिभाषित होने के लिए,$6 - x \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \leq 6$।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $1 \leq x \leq 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[1, 6]$ है।

(B) फलन $f(x) = \log _{10}(x^2-5x+6)$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क (argument) धनात्मक होना चाहिए।
$x^2-5x+6 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x-2)(x-3) > 0$
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $2$ और $3$ के बाहर धनात्मक होता है।
अतः,$x < 2$ या $x > 3$।
इसलिए,प्रांत $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{10, 11, 12, 14, 26\}$ है।
प्रत्येक अवयव के लिए अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं:
$10 = 2 \times 5$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $5$ है।
$11 = 11$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $11$ है।
$12 = 2^2 \times 3$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $3$ है।
$14 = 2 \times 7$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $7$ है।
$26 = 2 \times 13$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $13$ है।
इस प्रकार,$f$ का परिसर $\{3, 5, 7, 11, 13\}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 3 + 2^x + 4^x$ है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $2^x > 0$,इसलिए $4^x = (2^x)^2 > 0$ होगा।
माना $t = 2^x$,जहाँ $t \in (0, \infty)$ है।
तब फलन $g(t) = 3 + t + t^2$ हो जाता है।
चूंकि $t > 0$,जैसे-जैसे $t \to 0^+$ होता है,$t + t^2$ का न्यूनतम मान $0$ की ओर अग्रसर होता है।
जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,$t + t^2 \to \infty$ होता है।
अतः,$t > 0$ के लिए $t + t^2$ का परिसर $(0, \infty)$ है।
इस परिसर में $3$ जोड़ने पर,$f(x)$ का परिसर $(3 + 0, 3 + \infty) = (3, \infty)$ प्राप्त होता है।