MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) बिंदु $A(-2,-2,3)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ के समांतर रेखा का समीकरण है:
$\frac{x+2}{-2} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-3}{-1} = \lambda$
इस रेखा पर किसी भी बिंदु को $(-2\lambda - 2, 2\lambda - 2, -\lambda + 3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि बिंदु $P$,$YOZ-$ समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x-$निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$x-$निर्देशांक को $0$ रखने पर:
$-2\lambda - 2 = 0 \Rightarrow -2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को सामान्य निर्देशांकों में रखने पर:
$x = -2(-1) - 2 = 0$
$y = 2(-1) - 2 = -4$
$z = -(-1) + 3 = 4$
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(0, -4, 4)$ हैं।

(C) रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के दिशा सदिश के लंबवत होता है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -5, 2)$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 3, -\alpha)$ है।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(3)(1) + (-5)(3) + (2)(-\alpha) = 0$
$3 - 15 - 2\alpha = 0$
$-12 - 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
अब,समतल का समीकरण $x + 3y + 6z + \beta = 0$ है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा। बिंदु $(2, 1, -2)$ रेखा पर स्थित है।
समतल के समीकरण में $(2, 1, -2)$ रखने पर:
$2 + 3(1) + 6(-2) + \beta = 0$
$2 + 3 - 12 + \beta = 0$
$-7 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 7$.
अंततः,$\alpha \beta = (-6)(7) = -42$.

(C) चूंकि सदिश $\bar{a}, \bar{b},$ और $\bar{c}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 0$.
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) + 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 + \lambda - 6 = 0$
$7\lambda + 28 = 0$
$\lambda = -4$
अब,जांचें कि किस समीकरण का मूल $\lambda = -4$ है:
विकल्प $C$ के लिए: $x^2 + 3x = 4 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) = 0$.
अतः,$x = -4$ समीकरण $x^2 + 3x = 4$ का एक मूल है।

(D) दिया गया है $\tan \alpha = \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}$.
माना $x^2 = \cos \theta$. तब $\theta = \cos^{-1}(x^2)$.
$x^2 = \cos \theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \alpha = \frac{\sqrt{1+\cos \theta}-\sqrt{1-\cos \theta}}{\sqrt{1+\cos \theta}+\sqrt{1-\cos \theta}}$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1+\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ और $1-\cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}\cos(\theta/2) - \sqrt{2}\sin(\theta/2)}{\sqrt{2}\cos(\theta/2) + \sqrt{2}\sin(\theta/2)}$
अंश और हर को $\sqrt{2}\cos(\theta/2)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \alpha = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2})$
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$,जिसका अर्थ है $2\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$.
इसलिए,$\sin 2\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$.
चूंकि $x^2 = \cos \theta$,इसलिए $\sin 2\alpha = x^2$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{32-2x^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{16-x^2}$ है।
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=4$:
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2(4)} \log \left| \frac{4+x}{4-x} \right| \right] + c$
$I = \frac{1}{16} [ \log |4+x| - \log |4-x| ] + c$
$I = -\frac{1}{16} \log |4-x| + \frac{1}{16} \log |4+x| + c$।
इसे $A \log(4-x) + B \log(4+x) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = -\frac{1}{16}$ और $B = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\overline{r} = x \overline{a} + y \overline{b}$.
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-4 \hat{i} - 6 \hat{j} - 2 \hat{k} = x(-\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(-8 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k})$
$= (-x - 8y) \hat{i} + (-4x - y) \hat{j} + (3x + 3y) \hat{k}$
घटकों की तुलना करने पर:
$(1)$ $-x - 8y = -4$
$(2)$ $-4x - y = -6$
$(3)$ $3x + 3y = -2$
$(3)$ से,$x + y = -\frac{2}{3}$,अतः $y = -\frac{2}{3} - x$.
$y$ का मान $(1)$ में रखने पर: $-x - 8(-\frac{2}{3} - x) = -4 \implies -x + \frac{16}{3} + 8x = -4 \implies 7x = -4 - \frac{16}{3} = -\frac{28}{3} \implies x = -\frac{4}{3}$.
अतः $y = -\frac{2}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,$\overline{r} = -\frac{4}{3} \overline{a} + \frac{2}{3} \overline{b}$.

(C) दिया गया है कि $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{0}$,अतः $\overline{c}=-(\overline{a}+\overline{b})$ है।
मान लीजिए कि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\overline{c}|^2 = |-(\overline{a}+\overline{b})|^2 = |\overline{a}+\overline{b}|^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $|\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b})$ प्राप्त होता है।
अदिश गुणनफल की परिभाषा का उपयोग करते हुए: $|\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $7^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$.
$49 = 34 + 30 \cos \theta$.
$15 = 30 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(D) माना कि $P, Q, R, S, M, N$ बिंदुओं के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{m}, \vec{n}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\vec{PS} + \vec{QR} = (\vec{s} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q}) = (\vec{s} + \vec{r}) - (\vec{p} + \vec{q})$.
चूँकि $M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$,जिसका अर्थ है $\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{m}$.
चूँकि $N$,$RS$ का मध्य-बिंदु है,$\vec{n} = \frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$,जिसका अर्थ है $\vec{r} + \vec{s} = 2\vec{n}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{PS} + \vec{QR} = 2\vec{n} - 2\vec{m} = 2(\vec{n} - \vec{m}) = 2\vec{MN}$.
अतः,$\vec{PS} + \vec{QR} = t \vec{MN}$ से तुलना करने पर,हमें $t = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $AD$ कोण $A$ का समद्विभाजक है,जो $BC$ को $AB : AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5$.
$AC = \sqrt{(0-3)^2 + (5-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
अनुपात $AB : AC = 5 : 5\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $D$,$BC$ को $1 : \sqrt{2}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$D$ का स्थिति सदिश = $\frac{\sqrt{2}\vec{B} + 1\vec{C}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(0\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) + 1(0\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})}{1 + \sqrt{2}} = \frac{5\hat{j} + (4\sqrt{2} + 4)\hat{k}}{1 + \sqrt{2}}$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,ऐसा प्रतीत होता है कि मूल प्रश्न में अनुपात $1:2$ माना गया है,जिसके अनुसार विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(A) यदि त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं,तो इसके केंद्रक $G$ का सूत्र इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)$
दिए गए शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(1, 0, 3)$ और $C(4, 1, -3)$ हैं।
मान रखने पर:
$G = \left( \frac{1 + 1 + 4}{3}, \frac{2 + 0 + 1}{3}, \frac{3 + 3 - 3}{3} \right)$
$G = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right)$
$G = (2, 1, 1)$
अतः,केंद्रक का स्थिति सदिश $2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।

(D) दिया गया कार्तीय समीकरण: $3x + 1 = 6y - 2 = -z + 1$ है।
सबसे पहले,समीकरण को मानक रूप $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ में लिखें।
$3(x + \frac{1}{3}) = 6(y - \frac{1}{3}) = -(z - 1)$।
गुणांकों के लघुत्तम समापवर्त्य $(6)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x + 1/3}{1/3} = \frac{y - 1/3}{1/6} = \frac{z - 1}{-1}$।
दिक् अनुपात को सरल बनाने के लिए,हर को $6$ से गुणा करें:
$\frac{x + 1/3}{2} = \frac{y - 1/3}{1} = \frac{z - 1}{-6}$।
रेखा पर स्थित बिंदु $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1)$ है और दिशा सदिश $2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{k}$ है।
अतः,सदिश समीकरण $\overline{r} = (-\frac{1}{3} \hat{i} + \frac{1}{3} \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{k})$ है।

(C) बिंदु $P(4, 5, x)$,$Q(3, y, 4)$ और $R(5, 8, 0)$ संरेख हैं।
अतः,सदिश $\vec{PQ}$ को सदिश $\vec{PR}$ के समानुपाती होना चाहिए।
$\vec{PQ} = (3-4)\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k} = -\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k}$.
$\vec{PR} = (5-4)\hat{i} + (8-5)\hat{j} + (0-x)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k}$.
चूंकि बिंदु संरेख हैं,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{PQ} = k \vec{PR}$ होगा।
$-\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k} = k(\hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k})$.
घटकों की तुलना करने पर:
$1) -1 = k \Rightarrow k = -1$.
$2) y - 5 = 3k \Rightarrow y - 5 = 3(-1) \Rightarrow y - 5 = -3 \Rightarrow y = 2$.
$3) 4 - x = -kx \Rightarrow 4 - x = -(-1)x \Rightarrow 4 - x = x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
अतः,$x + y = 2 + 2 = 4$.

(A) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + (-1)(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) - 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 - \lambda + 6 = 0$
$5\lambda + 40 = 0$
$5\lambda = -40$
$\lambda = -8$

(D) दिए गए कार्तीय समीकरण $y=2$ और $4x-3z+5=0$ हैं।
$4x-3z+5=0$ से,हमें $4x = 3z-5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4x = 3(z - \frac{5}{3})$।
इसे $\frac{x}{3} = \frac{z - 5/3}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $y=2$,हम समीकरण को $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5/3}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह रेखा बिंदु $(0, 2, 5/3)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(3, 0, 4)$ हैं।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
अतः,सदिश समीकरण $\vec{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$ है।

(C) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख होते हैं यदि किसी अदिश $x$ के लिए $\vec{a} = x \vec{b}$ हो।
दिया गया है कि $\vec{a} = 2 \hat{i} + p \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\vec{b} = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + q \hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर:
$2 = 6x \Rightarrow x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
$p = -9x \Rightarrow p = -9 \times \frac{1}{3} = -3$।
$4 = qx \Rightarrow 4 = q \times \frac{1}{3} \Rightarrow q = 4 \times 3 = 12$।
अतः,$p = -3$ और $q = 12$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\vec{a}=x \vec{b}+y \vec{c}$.
सदिशों का मान रखने पर:
$4 \hat{i}+13 \hat{j}-18 \hat{k} = x(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + y(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})$
$= (x+2y) \hat{i} + (-2x+3y) \hat{j} + (3x-4y) \hat{k}$.
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j}, \text{ और } \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) x + 2y = 4$
$2) -2x + 3y = 13$
$3) 3x - 4y = -18$
समीकरण $(1)$ से,$x = 4 - 2y$.
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$-2(4 - 2y) + 3y = 13$
$-8 + 4y + 3y = 13$
$7y = 21 \Rightarrow y = 3$.
अब,$y = 3$ का मान $x = 4 - 2y$ में रखने पर:
$x = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$.
समीकरण $(3)$ में जाँच करने पर:
$3(-2) - 4(3) = -6 - 12 = -18$ (सत्यापित).
अतः,$x = -2$ और $y = 3$.
इसलिए,$x+y = -2 + 3 = 1$.

(D) माना शीर्षों $A$,$B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 3 \hat{j}$,$\vec{b} = 4 \hat{k}$ और $\vec{c} = 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को $AB : AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = |\vec{b} - \vec{a}| = |4 \hat{k} - 3 \hat{j}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$AC = |\vec{c} - \vec{a}| = |(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 3 \hat{j}| = |4 \hat{k}| = 4$.
इस प्रकार,$\angle A$ का समद्विभाजक $BC$ को $5 : 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$BC$ पर स्थित बिंदु $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d}$ इस प्रकार है:
$\vec{d} = \frac{m \vec{c} + n \vec{b}}{m + n} = \frac{5(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + 4(4 \hat{k})}{5 + 4}$.
$\vec{d} = \frac{15 \hat{j} + 20 \hat{k} + 16 \hat{k}}{9} = \frac{15 \hat{j} + 36 \hat{k}}{9}$.
$\vec{d} = \frac{15}{9} \hat{j} + \frac{36}{9} \hat{k} = \frac{5}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}$.

(B) दिया गया है कि $\overline{e}_1, \overline{e}_2$ और $\overline{e}_1+\overline{e}_2$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{e}_1| = 1$,$|\overline{e}_2| = 1$,और $|\overline{e}_1+\overline{e}_2| = 1$ है।
सदिशों के योग के परिमाण के गुण का उपयोग करते हुए:
$|\overline{e}_1+\overline{e}_2|^2 = |\overline{e}_1|^2 + |\overline{e}_2|^2 + 2(\overline{e}_1 \cdot \overline{e}_2)$
जहाँ $\overline{e}_1 \cdot \overline{e}_2 = |\overline{e}_1||\overline{e}_2| \cos \theta$ है और $\theta$ उनके बीच का कोण है।
$|\overline{e}_1+\overline{e}_2|^2 = |\overline{e}_1|^2 + |\overline{e}_2|^2 + 2|\overline{e}_1||\overline{e}_2| \cos \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \theta$
$1 = 1 + 1 + 2 \cos \theta$
$1 = 2 + 2 \cos \theta$
$-1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = 120^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\bar{a}$ सदिश $\bar{b}+\bar{c}$ पर लंब है,$\bar{b}$ सदिश $\bar{c}+\bar{a}$ पर लंब है,और $\bar{c}$ सदिश $\bar{a}+\bar{b}$ पर लंब है।
अतः,हमारे पास है:
$\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0 \quad (1)$
$\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0 \implies \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0 \quad (2)$
$\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0 \implies \bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0 \quad (3)$
समीकरणों $(1), (2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$.
अब,योग के परिमाण का वर्ग लें:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
दिए गए मानों $|\bar{a}|=2, |\bar{b}|=3, |\bar{c}|=4$ और डॉट प्रोडक्ट के योग के लिए $0$ रखने पर:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
अतः,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{29}$.

(C) चूंकि दो सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य सदिश है,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$,जिसका अर्थ है कि सदिश संरेख हैं।
हम सदिश गुणनफल को सारणिक के रूप में लिख सकते हैं:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 6 & 27 \\ 1 & \lambda & \mu \end{vmatrix} = \vec{0}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\hat{i}(6\mu - 27\lambda) - \hat{j}(2\mu - 27) + \hat{k}(2\lambda - 6) = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}, \text{ और } \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$6\mu - 27\lambda = 0 \quad \dots(1)$
$2\mu - 27 = 0 \quad \dots(2)$
$2\lambda - 6 = 0 \quad \dots(3)$
समीकरण $(3)$ से,$2\lambda = 6 \implies \lambda = 3$.
समीकरण $(2)$ से,$2\mu = 27 \implies \mu = \frac{27}{2}$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $6(\frac{27}{2}) - 27(3) = 3(27) - 81 = 81 - 81 = 0$. ये मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$\lambda = 3$ और $\mu = \frac{27}{2}$।

(D) आसन्न भुजाओं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}| = 20$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $(3 \bar{a} + \bar{b})$ और $(2 \bar{a} + 3 \bar{b})$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
क्षेत्रफल इन दो सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण द्वारा दिया जाता है:
$|(3 \bar{a} + \bar{b}) \times (2 \bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3 \bar{a} \times 2 \bar{a} + 3 \bar{a} \times 3 \bar{b} + \bar{b} \times 2 \bar{a} + \bar{b} \times 3 \bar{b}|$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,इसलिए:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})| = 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
दी गई मान $|\bar{a} \times \bar{b}| = 20$ को प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= 7 \times 20 = 140$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया है कि $\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0$,और $\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0$.
इनका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ . . . $(1)$
$\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$ . . . $(2)$
$\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$ . . . $(3)$
समीकरण $(1)$,$(2)$,और $(3)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
हम जानते हैं कि $|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
दिए गए मान $|\bar{a}| = 5, |\bar{b}| = 4, |\bar{c}| = 3$ और डॉट गुणनफल का योग $0$ रखने पर:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = (5)^2 + (4)^2 + (3)^2 + 0 = 25 + 16 + 9 = 50$.

(C) हम जानते हैं कि: $|\bar{a}+\bar{b}|^2 + |\bar{a}-\bar{b}|^2 = 2(|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2)$.
दिया गया है $|\bar{a}|=3$,$|\bar{b}|=4$,और $|\bar{a}-\bar{b}|=5$.
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + (5)^2 = 2((3)^2 + (4)^2)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 2(9 + 16)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 2(25)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 50$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 50 - 25 = 25$
$|\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$.

(B) दिए गए सदिश $\overline{a} = 3 \hat{i} - 5 \hat{j}$ और $\overline{b} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j}$ हैं।
सदिश $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ का सदिश गुणनफल है:
$\overline{c} = \overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -5 & 0 \\ 6 & -3 & 0 \end{vmatrix}$
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$\overline{c} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(-9 - (-30)) = \hat{k}(-9 + 30) = 39 \hat{k}$.
अब,सदिशों के परिमाण ज्ञात करते हैं:
$a = |\overline{a}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$b = |\overline{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
$c = |\overline{c}| = |39 \hat{k}| = 39$.
अतः,$a: b: c = \sqrt{34}: \sqrt{45}: 39$.

(A) दिए गए सदिश $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,और $\bar{c}=-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ ज्ञात करते हैं:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
चूंकि $\bar{a}+\lambda \bar{b}$,$\bar{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$.
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = 0$.
$(2-\lambda)(-3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(2) = 0$.
$-6 + 3\lambda + 2 + 2\lambda + 6 + 2\lambda = 0$.
$7\lambda + 2 = 0$.
$7\lambda = -2$.
$\lambda = -\frac{2}{7}$.

(C) हमें सर्वसमिका $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$ दी गई है।
यह दिया गया है कि $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = 144$,इसलिए $|\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 = 144$ है।
चूंकि $|\bar{a}| = 4$ है,इसलिए $|\bar{a}|^2 = 16$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $16 |\bar{b}|^2 = 144$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $16$ से विभाजित करने पर,$|\bar{b}|^2 = \frac{144}{16} = 9$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $|\bar{b}| = 3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin \theta = 25$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$(5)(13) \sin \theta = 25$।
अतः,$65 \sin \theta = 25$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{25}{65} = \frac{5}{13}$।
चूंकि $\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi$,$\theta$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है जहाँ $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है।
$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,$\cos \theta = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$।
अब,अदिश गुणनफल $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta$ है।
मान रखने पर,$\overline{a} \cdot \overline{b} = (5)(13) \left(-\frac{12}{13}\right) = -60$।

(A) दिया गया है $\bar{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\bar{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,और $\bar{c}=\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$।
सबसे पहले,$\bar{a}+\lambda \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$
$= (1+3 \lambda) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (-3+2 \lambda) \hat{k}$।
चूंकि $\bar{a}+\lambda \bar{b}$,$\bar{c}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((1+3 \lambda) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (-3+2 \lambda) \hat{k}) \cdot (\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}) = 0$
$(1+3 \lambda)(1) + (2-\lambda)(3) + (-3+2 \lambda)(1) = 0$
$1 + 3 \lambda + 6 - 3 \lambda - 3 + 2 \lambda = 0$
$4 + 2 \lambda = 0$
$2 \lambda = -4$
$\lambda = -2$।

(D) एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AD}$ द्वारा निरूपित होती हैं,$|\vec{AB} \times \vec{AD}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष: $A(1, 2, 3)$,$B(1, 3, a)$,$C(3, 8, 6)$,$D(3, 7, 3)$.
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (a-3)\hat{k} = \hat{j} + (a-3)\hat{k}$
$\vec{AD} = (3-1)\hat{i} + (7-2)\hat{j} + (3-3)\hat{k} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & a-3 \\ 2 & 5 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 5(a-3)) - \hat{j}(0 - 2(a-3)) + \hat{k}(0 - 2)$
$= -5(a-3)\hat{i} + 2(a-3)\hat{j} - 2\hat{k} = (15-5a)\hat{i} + (2a-6)\hat{j} - 2\hat{k}$
क्षेत्रफल $|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{(15-5a)^2 + (2a-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{265}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(15-5a)^2 + (2a-6)^2 + 4 = 265$
$(225 - 150a + 25a^2) + (4a^2 - 24a + 36) + 4 = 265$
$29a^2 - 174a + 265 = 265$
$29a^2 - 174a = 0$
$29a(a - 6) = 0$
अतः,$a = 0$ या $a = 6$.

(A) दिया गया है कि $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{0}$ है।
हम इसे $\overline{a}+\overline{b}=-\overline{c}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\overline{a}+\overline{b}|^2 = |-\overline{c}|^2$,जिसका अर्थ है कि $|\overline{a}+\overline{b}|^2 = |\overline{c}|^2$.
डॉट प्रोडक्ट के गुण $|\overline{u}+\overline{v}|^2 = |\overline{u}|^2 + |\overline{v}|^2 + 2|\overline{u}||\overline{v}| \cos \theta$ का उपयोग करके बाईं ओर का विस्तार करने पर:
$|\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta = |\overline{c}|^2$.
दिए गए मान $|\overline{a}|=3, |\overline{b}|=5, |\overline{c}|=7$ रखने पर:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ होगा।

(B) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ है।
यहाँ $\vec{d_1} = 3 \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ और $\vec{d_2} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ ज्ञात करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3 + 6) - \hat{j}(-9 - 2) + \hat{k}(9 - 1) = 9 \hat{i} + 11 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{9^2 + 11^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 121 + 64} = \sqrt{266}$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{266}$ वर्ग इकाई है।

(D) समतल का समीकरण $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $A(2, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ और $C(0, 0, 4)$ हैं।
त्रिभुज की भुजाओं को बनाने वाले सदिश $\vec{AB} = B - A = -2\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{AC} = C - A = -2\hat{i} + 4\hat{k}$ हैं।
सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ इस प्रकार है:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(-8 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \sqrt{61}$ वर्ग इकाई।

(A) दी गई रेखाएं $\overline{r}=\overline{a_1}+\lambda\overline{b_1}$ और $\overline{r}=\overline{a_2}+\mu\overline{b_2}$ हैं।
यहाँ,$\overline{a_1}=2\hat{i}-\hat{j}$,$\overline{b_1}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ और $\overline{a_2}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overline{b_2}=2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}$ है।
सदिश $\overline{a_2}-\overline{a_1} = (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})-(2\hat{i}-\hat{j}) = -\hat{i}+2\hat{k}$ है।
क्रॉस गुणनफल $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-5+3) - \hat{j}(-10+6) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i}+4\hat{j}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $|\overline{b_1} \times \overline{b_2}| = \sqrt{(-2)^2+4^2+0^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\overline{a_2}-\overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})}{|\overline{b_1} \times \overline{b_2}|} \right|$ है।
$d = \left| \frac{(-\hat{i}+2\hat{k}) \cdot (-2\hat{i}+4\hat{j})}{2\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{2+0+0}{2\sqrt{5}} \right| = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ इकाई।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 2, 0)$,$B(1, 0, a)$ और $C(0, 3, 1)$ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{BA} \times \vec{BC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{BA} = (1-1)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (0-a)\hat{k} = 2\hat{j} - a\hat{k}$
$\vec{BC} = (0-1)\hat{i} + (3-0)\hat{j} + (1-a)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + (1-a)\hat{k}$
अब,सदिश गुणनफल $\vec{BA} \times \vec{BC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{BA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & -a \\ -1 & 3 & 1-a \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2(1-a) - (-a)(3)) - \hat{j}(0(1-a) - (-a)(-1)) + \hat{k}(0(3) - 2(-1))$
$= \hat{i}(2 - 2a + 3a) - \hat{j}(-a) + \hat{k}(2) = (a+2)\hat{i} + a\hat{j} + 2\hat{k}$
इसका परिमाण $|\vec{BA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(a+2)^2 + a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4a + 4 + a^2 + 4} = \sqrt{2a^2 + 4a + 8}$ है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $\sqrt{6}$ है,इसलिए:
$\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 4a + 8} = \sqrt{6}$
$\sqrt{2a^2 + 4a + 8} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$
$2a^2 + 4a + 8 = 24$
$2a^2 + 4a - 16 = 0$
$a^2 + 2a - 8 = 0$
$(a+4)(a-2) = 0$
अतः,$a = -4$ या $a = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है। दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,अतः:
$(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 1 \Rightarrow x + y + z = 1$.
दिया गया है $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,अतः:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$.
$(z - y)\hat{i} - (z - x)\hat{j} + (y - x)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$z - y = 0 \Rightarrow z = y$.
$x - z = 1 \Rightarrow z = x - 1$.
$y - x = -1 \Rightarrow y = x - 1$.
$x + y + z = 1$ में $y = x - 1$ और $z = x - 1$ रखने पर:
$x + (x - 1) + (x - 1) = 1
\Rightarrow 3x - 2 = 1
\Rightarrow 3x = 3
\Rightarrow x = 1$.
अतः,$y = 1 - 1 = 0$ और $z = 1 - 1 = 0$.
इसलिए,$\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$.

(D) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो।
दिया गया है कि $(\vec{a}+k \vec{b}) \perp (\vec{a}-k \vec{b})$,इसलिए:
$(\vec{a}+k \vec{b}) \cdot (\vec{a}-k \vec{b}) = 0$
$|\vec{a}|^2 - k^2 |\vec{b}|^2 = 0$
दिए गए मान $|\vec{a}|=4$ और $|\vec{b}|=5$ रखने पर:
$(4)^2 - k^2 (5)^2 = 0$
$16 - 25k^2 = 0$
$25k^2 = 16$
$k^2 = \frac{16}{25}$
$k = \pm \frac{4}{5}$

(A) दिए गए शीर्ष $A(3,2,-1), B(-2,2,-3)$ और $D(-2,5,-4)$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{AB} = (-2-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = -5\hat{i} - 2\hat{k}$ और $\vec{AD} = (-2-3)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-4-(-1))\hat{k} = -5\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण के बराबर होता है: $\text{Area} = |\vec{AB} \times \vec{AD}|$.
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना:
$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(15 - 10) + \hat{k}(-15 - 0) = 6\hat{i} - 5\hat{j} - 15\hat{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{(6)^2 + (-5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{36 + 25 + 225} = \sqrt{286}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया है कि $\hat{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\hat{a}| = 1$ है।
अदिश गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,$( \bar{x} - \hat{a} ) \cdot ( \bar{x} + \hat{a} ) = |\bar{x}|^2 - |\hat{a}|^2$ होता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $|\bar{x}|^2 - |\hat{a}|^2 = 8$।
चूंकि $|\hat{a}| = 1$,इसलिए $|\bar{x}|^2 - 1^2 = 8$।
$|\bar{x}|^2 - 1 = 8$।
$|\bar{x}|^2 = 9$।
चूंकि सदिश का परिमाण हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $|\bar{x}| = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+\lambda\vec{b}$,$\vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $(\vec{a}+\lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
सबसे पहले,$\vec{a}+\lambda\vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a}+\lambda\vec{b} = (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}$.
अब,$\vec{c} = 3\hat{i}+\hat{j}$ के साथ अदिश गुणनफल लें:
$((1-\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}) \cdot (3\hat{i}+\hat{j}) = 0$.
$(1-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$.
$3 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$.
$5 - \lambda = 0$.
अतः,$\lambda = 5$.

(C) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{b}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12 - (-2)) - \hat{j}(-8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = -10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}$
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{c}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-1)) - \hat{j}(-4 - (-1)) + \hat{k}(2 - 3) = -5\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
अंत में,प्राप्त दो सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = (-10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (-10)(-5) + (9)(3) + (7)(-1) = 50 + 27 - 7 = 70$

(C) सदिश $\bar{a}$ का सदिश $\bar{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (-2)(-1) + (1)(1) = 2 + 2 + 1 = 5$ की गणना करें।
इसके बाद,सदिश $\bar{b}$ का परिमाण $|\bar{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप $\frac{5}{\sqrt{6}}$ है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ है।
साथ ही,$|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ है।
दिया गया है $|\bar{c}-\bar{a}| = 2\sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{c} \cdot \bar{a}) = 8$ प्राप्त होता है।
$|\bar{a}|^2 = 9$ और $\bar{c} \cdot \bar{a} = |\bar{c}|$ प्रतिस्थापित करने पर,$|\bar{c}|^2 + 9 - 2|\bar{c}| = 8$ प्राप्त होता है।
यह $|\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 1 = 0$ में सरल हो जाता है,जो $(|\bar{c}| - 1)^2 = 0$ है,इसलिए $|\bar{c}| = 1$ है।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(60^{\circ})$ है।
मान रखने पर: $(3)(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

(B) दिए गए सदिश $\bar{a}=2 \lambda^2 \hat{i}+4 \lambda \hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ हैं।
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण है,इसलिए $\cos \theta < 0$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$।
चूंकि $|\bar{a}| > 0$ और $|\bar{b}| > 0$,इसलिए $\cos \theta < 0$ का अर्थ है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} < 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\bar{a} \cdot \bar{b} = (2 \lambda^2)(7) + (4 \lambda)(-2) + (1)(\lambda) = 14 \lambda^2 - 8 \lambda + \lambda = 14 \lambda^2 - 7 \lambda$।
अतः,$14 \lambda^2 - 7 \lambda < 0$।
$7 \lambda (2 \lambda - 1) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $\lambda$ का मान $0$ और $\frac{1}{2}$ के बीच हो।
इसलिए,$\lambda \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$।

(C) दिया गया है कि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,इसलिए $\overline{a} \cdot \overline{b} = 0, \overline{b} \cdot \overline{c} = 0, \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ और उनके परिमाण $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=2, |\overline{c}|=3$ हैं।
अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा के अनुसार,$[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}] = (\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot ((\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c})$।
क्रॉस गुणन का विस्तार करने पर: $(\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c}$।
अब,इस मान को रखने पर: $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c})$।
चूंकि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत हैं,$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = |\overline{a}| |\overline{b}| |\overline{c}| = 1 \times 2 \times 3 = 6$।
साथ ही,$\overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$ और $\overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$।
इसी प्रकार,$\overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})$।
यह व्यंजक $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - (-\overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 2[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ में बदल जाता है।
चूंकि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 1 \times 2 \times 3 = 6$,अंतिम मान $2 \times 6 = 12$ प्राप्त होता है।

(C) भुजाओं $\overline{u}, \overline{v}, \overline{w}$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\overline{u} \overline{v} \overline{w}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई भुजाएँ $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ हैं।
अतः,$24 = \frac{1}{6} |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot ((\overline{b}+\overline{c}) \times (\overline{c}+\overline{a}))|$.
$144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a})|$.
चूंकि $\overline{c} \times \overline{c} = 0$,इसलिए $144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a})|$.
अदिश त्रिगुणन का विस्तार करने पर: $144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{c} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.
$[\overline{a} \overline{b} \overline{a}]$ जैसे पद $0$ हो जाते हैं क्योंकि दो सदिश समान हैं।
अतः,$144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.
चूंकि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]$,हमें $144 = 2 |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]|$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]| = 72$,जो समांतर षट्फलक का आयतन है।

(D) अदिश त्रिक गुणनफल को $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{w}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 2) = 6\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{6^2 + (-7)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 49 + 4} = \sqrt{89}$ है।
चूंकि $\vec{u}$ एक इकाई सदिश है $(|\vec{u}| = 1)$,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = |\vec{u}| |\vec{v} \times \vec{w}| \cos \theta$ होगा,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{u}$ और $(\vec{v} \times \vec{w})$ के बीच का कोण है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,अतः अधिकतम मान $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{89}$ है।

(D) हमें व्यंजक $\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ दिया गया है।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,कोष्ठक के अंदर के पद का विस्तार करें:
$(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}$.
अब,$\bar{a}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:
$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}]$
$= \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b}) + \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c})$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुण $\bar{x} \cdot (\bar{y} \times \bar{z}) = [\bar{x} \bar{y} \bar{z}]$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि यदि ट्रिपल प्रोडक्ट में कोई भी दो सदिश समान हों,तो मान $0$ होता है।
$1$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{a}] = 0$ (क्योंकि $\bar{a}$ दोहराया गया है)।
$2$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{b}] = 0$ (क्योंकि $\bar{b}$ दोहराया गया है)।
$3$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{c}] = 0$ (क्योंकि $\bar{c}$ दोहराया गया है)।
अतः,पूरे व्यंजक का मान $0+0+0 = 0$ है।

(D) एक समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{u} = \bar{a}+\bar{b}$,$\vec{v} = \bar{b}+\bar{c}$,और $\vec{w} = \bar{c}+\bar{a}$ है।
आयतन $= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a})]$
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$
चूंकि $\bar{c} \times \bar{c} = 0$,इसलिए:
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म के अनुसार यदि कोई दो सदिश समान हों तो मान शून्य होता है:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$
चूंकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,इसलिए आयतन $= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.

(D) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 4$।
हमें $\vec{u} = \bar{a} + 2 \bar{b}$,$\vec{v} = \bar{b} + 2 \bar{c}$,और $\vec{w} = \bar{c} + 2 \bar{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात करना है।
आयतन $= [(\bar{a} + 2 \bar{b}) (\bar{b} + 2 \bar{c}) (\bar{c} + 2 \bar{a})]$।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,$[\bar{a} + 2 \bar{b}, \bar{b} + 2 \bar{c}, \bar{c} + 2 \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 8 [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 8 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 9 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$।
दिए गए मान को रखने पर: $9 \times 4 = 36$ घन इकाइयाँ।

(C) दिया गया है,$f(x)=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.
फलन के परिभाषित होने के लिए,$1+x > 0$ होना चाहिए,अर्थात $x > -1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{(2+x)(1) - x(1)}{(2+x)^2} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{2+x-x}{(2+x)^2} \right] = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+x^2+4x-4-4x}{(1+x)(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
चूंकि $x^2 \ge 0$ और $(2+x)^2 > 0$ सभी $x > -1$ के लिए है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ का चिह्न $\frac{1}{1+x}$ पर निर्भर करता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ होना चाहिए।
$x > -1$ के लिए $1+x > 0$ होता है,अतः $x \in (-1, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $(-1, \infty)$ पर वर्धमान है।