f : R rightarrow R द्वारा परिभाषित फलन f(x) = | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम सीमा $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\cos(2 \pi x) - x^{2n} \sin(x-1)}{1 + x^{2n+1} - x^{2n}}

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$R - \{-1, 1\}$

Vedclass · Answer

(B) $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम सीमा $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\cos(2 \pi x) - x^{2n} \sin(x-1)}{1 + x^{2n+1} - x^{2n}}$ का मूल्यांकन करते हैं।स्थिति $1$: $|x| स्थिति $2$: $x = 1$. $f(1) = \frac{1 - 0}{1 + 1 - 1} = 1$.स्थिति $3$: $x = -1$. $f(-1) = \frac{1 - \sin(-2)}{1 - 1 - 1} = -(1 + \sin 2)$.स्थिति $4$: $|x| > 1$. अंश और हर को $x^{2n}$ से विभाजित करने पर,$f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ प्राप्त होता है।$x=1$ पर सांतत्यता: $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 1$ और $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = -1$. अतः $x=1$ पर असतत है।$x=-1$ पर सांतत्यता: $\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = -\frac{\sin 2}{2}$ और $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = 1$. अतः $x=-1$ पर असतत है।इस प्रकार,$f(x)$ सभी $x \in R - \{-1, 1\}$ के लिए सतत है।

$f : R \rightarrow R$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\cos(2 \pi x) - x^{2n} \sin(x-1)}{1 + x^{2n+1} - x^{2n}}$ सभी $x$ के लिए सतत है।

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