फलन f(x) = x e^{x(1-x)}, x in R,है | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{x-x^2}$ है।वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:$f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x

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$\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ में वर्धमान

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(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{x-x^2}$ है।वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:$f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$$f'(x) = e^{x-x^2} [-(2x^2 - x - 1)]$$f'(x) = -e^{x-x^2} (2x+1)(x-1)$.फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:$-e^{x-x^2} (2x+1)(x-1) > 0$$(2x+1)(x-1) यहाँ मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = 1$ हैं। यह असमिका $x \in \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ के लिए सत्य है।अतः,फलन $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ में वर्धमान है।

फलन $f(x) = x e^{x(1-x)}, x \in R$,है

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उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x) = \sin x + \cos x$,$0 \leq x \leq 2 \pi$ वर्धमान या ह्रासमान है।

निम्नलिखित में से किस अंतराल में $f(x) = 2x^3$,$g(x) = 9x^2 - 12x + 6$ की तुलना में कम तेजी से बढ़ता है?

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उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x)=2 x^{2}-3 x$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$
$(a)$ वर्धमान
$(b)$ ह्रासमान
है।

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