मान लीजिए कि एक फलन f: R rightarrow R इस प्रक | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \ x^{2}+b x, & x \leq 4 \end{cases}$ चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=4$ पर सतत है,इसलिए

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$f$ अंतराल $\left(-\infty, \frac{1}{8}\right) \cup(8, \infty)$ में वर्धमान है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \ x^{2}+b x, & x \leq 4 \end{cases}$ चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=4$ पर सतत है,इसलिए $\lim _{x ightarrow 4^{-}} f(x) = \lim _{x ightarrow 4^{+}} f(x) = f(4)$. $16+4b = \int_{0}^{4}(5-|t-3|) d t = \int_{0}^{3}(5-(3-t)) d t + \int_{3}^{4}(5-(t-3)) d t = \int_{0}^{3}(2+t) d t + \int_{3}^{4}(8-t) d t$. समाकलन करने पर: $[2t + \frac{t^2}{2}]_0^3 + [8t - \frac{t^2}{2}]_3^4 = (6 + 4.5) + ((32-8) - (24-4.5)) = 10.5 + (24 - 19.5) = 10.5 + 4.5 = 15$. अतः,$16+4b = 15 \implies 4b = -1 \implies b = -\frac{1}{4}$. अब,$x  4$ के लिए $f'(x) = 5-|x-3| = 8-x$. $LHD = f'(4^-) = 2(4) - 0.25 = 7.75 = \frac{31}{4}$. $RHD = f'(4^+) = 8-4 = 4$. चूंकि $LHD 
eq RHD$,इसलिए $f$ बिंदु $x=4$ पर अवकलनीय नहीं है। विकल्प $(A)$ सत्य है। $f'(3) = 2(3) - 0.25 = 5.75 = \frac{23}{4}$. $f'(5) = 8-5 = 3$. $f'(3)+f'(5) = 5.75 + 3 = 8.75 = \frac{35}{4}$. विकल्प $(B)$ सत्य है। $x  \frac{1}{8}$ के लिए $f'(x) > 0$. अतः $f$ अंतराल $(-\infty, \frac{1}{8})$ में ह्रासमान है और $(\frac{1}{8}, 4)$ में वर्धमान है। विकल्प $(C)$ सत्य नहीं है।

List-$I$	List-$II$
$A$. यदि $y = \|x\| + \|x - 2\|$ है,तो $x = 2$ पर,$\frac{dy}{dx} =$	$I$. $2$
$B$. यदि $f(x) = \|\cos 2x\|$ है,तो $f'(\frac{\pi}{4} +) =$	$II$. $0$
$C$. यदि $f(x) = \sin(\pi[x])$ है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,तो $f'(1-) =$	$III$. $-2$
$D$. यदि $f(x) = \log\|x - 1\|$,$x \neq 1$ है,तो $f'(\frac{1}{2}) =$	$IV$. अस्तित्व में नहीं है

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