वक्र C : (x^{2}+y^{2}-3)+(x^{2}-y^{2}-1)^{5}= | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $C: (x^{2}+y^{2}-3)+(x^{2}-y^{2}-1)^{5}=0$ है।चूँकि $(\alpha, \alpha)$ वक्र $C$ पर स्थित है,इसलिए $x=\alpha$ और $y=\alpha$ प्रतिस्था

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(C) दिया गया वक्र $C: (x^{2}+y^{2}-3)+(x^{2}-y^{2}-1)^{5}=0$ है।चूँकि $(\alpha, \alpha)$ वक्र $C$ पर स्थित है,इसलिए $x=\alpha$ और $y=\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:$(\alpha^{2}+\alpha^{2}-3)+(\alpha^{2}-\alpha^{2}-1)^{5}=0$$(2\alpha^{2}-3)+(-1)^{5}=0$$2\alpha^{2}-3-1=0 \Rightarrow 2\alpha^{2}=4 \Rightarrow \alpha^{2}=2$. चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $\alpha = \sqrt{2}$।वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2x + 2yy^{\prime} + 5(x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2x - 2yy^{\prime}) = 0$.बिंदु $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ पर:$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 5(-1)^{4}(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime}) = 0$$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime} = 0$$12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}y^{\prime} = 0 \Rightarrow y^{\prime} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$।पुनः अवकलन करने पर:$2 + 2(y^{\prime})^{2} + 2yy^{\prime\prime} + 5[4(x^{2}-y^{2}-1)^{3}(2x-2yy^{\prime})^{2} + (x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2-2(y^{\prime})^{2}-2yy^{\prime\prime})] = 0$.$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ और $y^{\prime} = \frac{3}{2}$ पर:$2 + 2(\frac{9}{4}) + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[4(-1)^{3}(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}(\frac{3}{2}))^{2} + (-1)^{4}(2-2(\frac{9}{4})-2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$$2 + \frac{9}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-4(-\sqrt{2})^{2} + (2 - \frac{9}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-8 - \frac{5}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime}] = 0$$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} - 40 - \frac{25}{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 0$$-8\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 40 + \frac{25-13}{2} = 40 + 6 = 46 \Rightarrow y^{\prime\prime} = -\frac{46}{8\sqrt{2}} = -\frac{23}{4\sqrt{2}}$।अब,$3y^{\prime} - y^{3}y^{\prime\prime} = 3(\frac{3}{2}) - (\sqrt{2})^{3}(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} - (2\sqrt{2})(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} + \frac{23}{2} = \frac{32}{2} = 16$।

वक्र $C : (x^{2}+y^{2}-3)+(x^{2}-y^{2}-1)^{5}=0$ के लिए,$C$ पर स्थित बिंदु $(\alpha, \alpha)$,जहाँ $\alpha > 0$,पर $3y^{\prime}-y^{3}y^{\prime\prime}$ का मान क्या है?

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वक्र $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ के लिए,बिंदु $\left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right)$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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