$p , q \in R , q > 0$, के लिए वास्तविक मान फलन $f ( x )=( x - p )^2- q , x \in R$ का विचार कीजिए। माना $a _1, a _2, a _3$ तथा $a _4$ एक धनात्मक सार्व अंतर की संमातर श्रेढ़ी में हैं तथा इनका माध्य $p$ है। यदि $i=1,2,3,4$ के लिए $\left|f\left(a_i\right)\right|=500$ है, तो $f ( x )=0$ के मूलों का निरपेक्ष अंतर है $...........$

माना $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \ldots \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$  $A.P.$ में हैं। यदि $\mathrm{a}_5=2 \mathrm{a}_7$ तथा $\mathrm{a}_{11}=18$ है, तो $12\left(\frac{1}{\sqrt{a_{10}}+\sqrt{a_{11}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{11}}+\sqrt{a_{12}}}+\ldots . \cdot \frac{1}{\sqrt{a_{17}}+\sqrt{a_{18}}}\right)$ बराबर है_________.

अनुक्रम में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिये, जिनका $n$ वाँ पद दिया गया है

$a_{n}=2^{n}$

यदि $n$ प्राकृत संख्या है और श्रेणी $n+2 n+3 n+\cdots+99 n$ का मान एक पूर्ण वर्ग है, तो ऐसे लघुत्तम $n$ के वर्ग, अर्थात $n^2$ में अंको की संख्या होगी :

यदि $a,b,c,d,e$ समान्तर श्रेणी में हों, तो $a + b + 4c - 4d + e$ का मान $a$ के पदों में होगा (यदि संभव हो तो)

यदि समान्तर श्रेणी के $n$ पदों का योग $3{n^2} + 5n$ व ${T_m} = 164$ हो, तो  $m = $