int_{-pi/2}^{pi/2} frac{sin^2 x}{1 + 2^x} dx | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx$  $(i)$ गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I

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$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx$  $(i)$ गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2(-x)}{1 + 2^{-x}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + \frac{1}{2^x}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2^x \sin^2 x}{2^x + 1} dx$  $(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x + 2^x \sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x dx$ चूंकि $\sin^2 x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx$ $I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \dots$

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$\int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = f(\Pi + e - x)$ और $\int_{e}^{\Pi} f(x) dx = \frac{2}{e + \Pi}$ है,तो $\int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+a^x} dx$ का मान,जहाँ $a > 0$,है

$\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) + g(x) = 0$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\int_{-4}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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