JEE Main 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{x + q + x + p}{(x + p)(x + q)} = \frac{1}{r}$
वज्र-गुणन करने पर: $r(2x + p + q) = x^2 + (p + q)x + pq$
मानक द्विघात रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 + (p + q - 2r)x + (pq - pr - qr) = 0$
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। चूँकि मूल परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं,$\alpha = -\beta$,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = 0$.
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए मूलों का योग $-b/a$ होता है। अतः,$-(p + q - 2r) = 0$,जिसका अर्थ है $p + q = 2r$.
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ है।
$\alpha + \beta = 0$ होने के कारण,यह $\alpha^2 + \beta^2 = -2\alpha\beta$ में बदल जाता है।
मूलों के गुणनफल के सूत्र के अनुसार,$\alpha\beta = pq - pr - qr$.
$\alpha\beta$ का मान रखने पर: $\alpha^2 + \beta^2 = -2(pq - pr - qr) = -2pq + 2pr + 2qr$.
चूँकि $2r = p + q$,इसलिए $2pr + 2qr = 2r(p + q) = (p + q)(p + q) = p^2 + 2pq + q^2$ रखने पर।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = -2pq + (p^2 + 2pq + q^2) = p^2 + q^2$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $9x^2 + 27x + 20 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 - 4 \times 9 \times 20}}{18} = \frac{-27 \pm 3}{18}$.
अतः,मूल $x_1 = -\frac{4}{3}$ और $x_2 = -\frac{5}{3}$ हैं।
दिया है $5 \cos A + 3 = 0$,इसलिए $\cos A = -\frac{3}{5}$।
अतः $\sec A = \frac{1}{\cos A} = -\frac{5}{3}$।
चूंकि कोण $A$ अधिक कोण है,$\tan A = -\sqrt{\sec^2 A - 1} = -\frac{4}{3}$।
अतः,समीकरण के मूल $\sec A$ और $\tan A$ हैं।

(A) माना $f(x) = (1 + 2x + 3x^2)^6 + (1 - 4x^2)^6$ है।
हमें $(2 - x^2)f(x)$ में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $2 \times (f(x) \text{ में } x^2 \text{ का गुणांक}) - 1 \times (f(x) \text{ में अचर पद})$ के बराबर है।
सबसे पहले,$f(x)$ में अचर पद ज्ञात करें:
अचर पद $= (1 + 2(0) + 3(0)^2)^6 + (1 - 4(0)^2)^6 = 1^6 + 1^6 = 2$ है।
अब,$f(x)$ में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करें:
$(1 + 2x + 3x^2)^6$ के लिए,द्विपद विस्तार $(1 + (2x + 3x^2))^6 = 1 + 6(2x + 3x^2) + \binom{6}{2}(2x)^2 + \dots = 1 + 12x + 18x^2 + 60x^2 + \dots = 1 + 12x + 78x^2 + \dots$ है।
$x^2$ का गुणांक $78$ है।
$(1 - 4x^2)^6$ के लिए,विस्तार $1 + 6(-4x^2) + \dots = 1 - 24x^2 + \dots$ है।
$x^2$ का गुणांक $-24$ है।
अतः,$f(x)$ में $x^2$ का गुणांक $78 - 24 = 54$ है।
अंत में,$(2 - x^2)f(x)$ में $x^2$ का गुणांक $2(54) - 1(2) = 108 - 2 = 106$ है।

(D) माना $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}}$.
हर के संयुग्मी $(1 + i\sqrt{3})$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})}{(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})} = \frac{1 + 2i\sqrt{3} - 3}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
यह मान $\omega$ है,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अतः,$z = \omega$.
समीकरण $\omega^n = 1$ हो जाता है।
इसलिए,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n = 3$ है।

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(27 + x)}^{\frac{1}{3}}} - 3}}{{9 - {{(27 + x)}^{\frac{2}{3}}}}}$
$x = 0$ रखने पर,हमें $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप प्राप्त होता है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({{(27 + x)}^{\frac{1}{3}}} - 3)}}{{\frac{d}{{dx}}(9 - {{(27 + x)}^{\frac{2}{3}}})}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{3}{{(27 + x)}^{ - \frac{2}{3}}}}}{{ - \frac{2}{3}{{(27 + x)}^{ - \frac{1}{3}}}}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -\frac{1}{2} {(27 + x)}^{ - \frac{1}{3}}$
$L = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}$

(D) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$ है।
इसका केंद्र $O_1 = (-1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
माना वृत्त $C$ का केंद्र $O_2 = (h, k)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $P(2, 2)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $P$ रेखाखंड $O_1O_2$ का मध्यबिंदु है।
$(2, 2) = \left( \frac{-1 + h}{2}, \frac{2 + k}{2} \right).$
अतः,$h = 5$ और $k = 2.$
वृत्त $C$ का समीकरण $(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$ अर्थात $x^2 + y^2 - 10x - 4y + 20 = 0$ है।
$x-$अक्ष पर काटे गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c} = 2\sqrt{(-5)^2 - 20} = 2\sqrt{5}$ होगी।

(C) मान लीजिए परवलय $x^2 = 4y$ पर बिंदु $P(2t, t^2)$ है।
दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 8 = 0$ है। इसका केंद्र $C(-3, 0)$ है।
दूरी $PC$ को न्यूनतम होने के लिए,रेखा $PC$ को $P$ पर परवलय का अभिलंब होना चाहिए।
$P(2t, t^2)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} = t$ है।
इसलिए,$P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{t}$ है।
$P(2t, t^2)$ और $C(-3, 0)$ को जोड़ने वाली रेखा $PC$ की ढाल $\frac{t^2 - 0}{2t - (-3)} = \frac{t^2}{2t + 3}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{t^2}{2t + 3} = -\frac{1}{t}$.
$t^3 = -2t - 3 \Rightarrow t^3 + 2t + 3 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$t = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 + 2(-1) + 3 = 0$.
$t = -1$ के लिए,बिंदु $P(-2, 1)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $t = -1$ है।
$(-2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -1(x + 2)$ है।
$y - 1 = -x - 2 \Rightarrow x + y + 1 = 0$.

(C) दिया गया है कि माध्य $\bar{x} = 9$ और मानक विचलन $\sigma = 0$ है,जहाँ $n = 5$ प्रेक्षण हैं।
चूंकि $\sigma = 0$ है,इसलिए सभी पाँच प्रेक्षण माध्य के बराबर होने चाहिए।
अतः,प्रेक्षण $9, 9, 9, 9, 9$ हैं।
मान लीजिए कि एक मान बदलने के बाद नया प्रेक्षण $x_5'$ है। अन्य चार प्रेक्षणों का योग $9 \times 4 = 36$ है।
नया माध्य $10$ दिया गया है,इसलिए $\frac{36 + x_5'}{5} = 10.$
$36 + x_5' = 50 \Rightarrow x_5' = 14.$
प्रेक्षणों का नया समूह $9, 9, 9, 9, 14$ है।
नया मानक विचलन $\sigma_{new} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x}_{new})^2}{n}}.$
$\sigma_{new} = \sqrt{\frac{4(9 - 10)^2 + (14 - 10)^2}{5}} = \sqrt{\frac{4(1) + 16}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2.$

(D) दी गई श्रेणी $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \dots$ है।
$n$-वां पद $T_n = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ है,जहाँ $n \ge 1$ है।
प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (2 - \frac{1}{2^{n-1}})$ है।
$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} 2 - \sum_{n=1}^{20} \frac{1}{2^{n-1}}$.
$S_{20} = 2(20) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{19}})$.
दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 1$,$r = \frac{1}{2}$,और $n = 20$ है।
योग $= \frac{1(1 - (1/2)^{20})}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^{20}}) = 2 - \frac{1}{2^{19}}$.
अतः,$S_{20} = 40 - (2 - \frac{1}{2^{19}}) = 38 + \frac{1}{2^{19}}$.

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभि $(ae, 0)$ और उसके निकटतम शीर्ष $(a, 0)$ के बीच की दूरी $a(1 - e) = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$a - ae = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $ae = a - \frac{3}{2}$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,इसलिए $b^2 = 2a$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,हमें $2a = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है,जो $1 - e^2 = \frac{2}{a}$ या $e^2 = 1 - \frac{2}{a}$ में बदल जाता है।
$ae = a - \frac{3}{2}$ का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = (a - \frac{3}{2})^2$ प्राप्त होता है।
$e^2 = 1 - \frac{2}{a}$ रखने पर,$a^2(1 - \frac{2}{a}) = a^2 - 3a + \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
$a^2 - 2a = a^2 - 3a + \frac{9}{4}$।
$a = \frac{9}{4}$।
अब,$e^2 = 1 - \frac{2}{a} = 1 - \frac{2}{9/4} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$।
अतः,$e = \frac{1}{3}$।

(D) माना प्रत्येक परिवार में बच्चों की संख्या $x$ है।
दोनों परिवारों में कुल बच्चों की संख्या $2x$ है।
हम $2x$ बच्चों के बीच $3$ टिकट इस प्रकार वितरित करते हैं कि किसी भी बच्चे को एक से अधिक टिकट न मिले।
$2x$ बच्चों में से $3$ बच्चों को चुनने के कुल तरीके $^{2x}C_{3}$ हैं।
परिवार $B$ (जिसमें $x$ बच्चे हैं) से $3$ बच्चों को चुनने के तरीके $^{x}C_{3}$ हैं।
सभी $3$ टिकट परिवार $B$ के बच्चों को मिलने की प्रायिकता:
$P = \frac{^{x}C_{3}}{^{2x}C_{3}} = \frac{1}{12}$
सरलीकरण करने पर:
$\frac{x(x-1)(x-2)}{2x(2x-1)(2x-2)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x-2}{4(2x-1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x-2}{2x-1} = \frac{1}{3}$
$3x - 6 = 2x - 1$
$x = 5$
अतः,प्रत्येक परिवार में बच्चों की संख्या $5$ है।

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow (p \wedge \neg q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $p$ का मान $T$ हो और परिणामी $(p \wedge \neg q)$ का मान $F$ हो।
चूंकि $p$ का मान $T$ है,इसलिए $(p \wedge \neg q)$ का मान $(T \wedge \neg q)$ हो जाता है।
$(T \wedge \neg q)$ को $F$ होने के लिए,$\neg q$ को $F$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $q$ का मान $T$ है।
अतः,सत्यता मान $p = T$ और $q = T$ हैं।

(D) मान लीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वक्र $y^2 = 6x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 6$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y_1}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m_1 = \frac{3}{y_1}$ है।
वक्र $9x^2 + by^2 = 16$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{9x_1}{by_1}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m_2 = -\frac{9x_1}{by_1}$ है।
चूंकि वक्र समकोण पर काटते हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$,जिसका अर्थ है $(\frac{3}{y_1}) \times (-\frac{9x_1}{by_1}) = -1$,अतः $\frac{27x_1}{by_1^2} = 1$। चूंकि $y_1^2 = 6x_1$,इसलिए $\frac{27x_1}{b(6x_1)} = 1$,जिसे सरल करने पर $\frac{27}{6b} = 1$,अतः $b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) निहितार्थ $A \rightarrow B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
दिया गया है $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \rightarrow \sim p \vee q \equiv F$.
इसका अर्थ है $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \equiv T$ और $\sim p \vee q \equiv F$.
$\sim p \vee q \equiv F$ से,हमें $\sim p \equiv F$ और $q \equiv F$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $p \equiv T$ और $q \equiv F$.
अब इन मानों को पहले भाग में प्रतिस्थापित करने पर: $(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$(T \wedge T) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$T \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
इसके लिए $T \wedge r \equiv T$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $r \equiv T$.
अतः,सत्यता मान $p = T, q = F, r = T$ हैं।

(D) दिए गए आँकड़ों $7, 8, 9, 7, 8, 7, \lambda, 8$ का माध्य $8$ है।
माध्य $= \frac{7+8+9+7+8+7+\lambda+8}{8} = 8$
$\Rightarrow \frac{54+\lambda}{8} = 8$
$\Rightarrow 54+\lambda = 64$
$\Rightarrow \lambda = 10$
अब,आँकड़ों का समूह $7, 8, 9, 7, 8, 7, 10, 8$ है।
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$
प्रसरण $= \frac{(7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2}{8}$
प्रसरण $= \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2}{8}$
प्रसरण $= \frac{1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

(B) वक्रों $y = x^2$ और $y = \frac{1}{x}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x^2 = \frac{1}{x}$ रखने पर,जिससे $x^3 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x = 1$। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
वक्रों $y = x^2$,$y = \frac{1}{x}$,$x$-अक्ष $(y = 0)$ और रेखा $x = t$ $(t > 1)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_0^1 x^2 \, dx + \int_1^t \frac{1}{x} \, dx$
समाकलनों का मूल्यांकन करने पर:
$\text{Area} = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 + \left[ \ln(x) \right]_1^t$
$\text{Area} = \left( \frac{1}{3} - 0 \right) + (\ln(t) - \ln(1))$
चूंकि $\ln(1) = 0$,इसलिए:
$\text{Area} = \frac{1}{3} + \ln(t)$
यह दिया गया है कि क्षेत्रफल $1 \, \text{sq. unit}$ है:
$\frac{1}{3} + \ln(t) = 1$
$\ln(t) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$t = e^{2/3}$

(A) यदि फलन $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
अब,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{k - 1}{e^{2x} - 1} \right)$.
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{2x} - 1 - (k - 1)x}{x(e^{2x} - 1)} \right)$.
$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$= \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x + 2x^2 + \dots) - 1 - kx + x}{x(2x + 2x^2 + \dots)}$.
$= \lim_{x \to 0} \frac{(3 - k)x + 2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots}$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश में $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $3 - k = 0$,जिससे $k = 3$ प्राप्त होता है।
$k = 3$ रखने पर,सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots} = \frac{2}{2} = 1$ हो जाती है।
अतः,$f(0) = 1$,और क्रमित युग्म $(3, 1)$ है।

(C) $N$ पर दिए गए संबंध हैं:
$R_1 = \{(x,y) \in N \times N : 2x + y = 10\}$
$R_2 = \{(x,y) \in N \times N : x + 2y = 10\}$
$R_1$ के लिए,$y = 10 - 2x$ को $x, y \in N$ के लिए हल करने पर:
यदि $x=1, y=8$; यदि $x=2, y=6$; यदि $x=3, y=4$; यदि $x=4, y=2$.
अतः,$R_1 = \{(1,8), (2,6), (3,4), (4,2)\}$.
$R_1$ का परिसर $\{2, 4, 6, 8\}$ है। अतः,विकल्प $D$ गलत है।
$R_1$ सममित नहीं है क्योंकि $(1,8) \in R_1$ लेकिन $(8,1) \notin R_1$.
$R_1$ संक्रामक नहीं है क्योंकि $(3,4) \in R_1$ और $(4,2) \in R_1$,लेकिन $(3,2) \notin R_1$.
$R_2$ के लिए,$x = 10 - 2y$ को $x, y \in N$ के लिए हल करने पर:
यदि $y=1, x=8$; यदि $y=2, x=6$; यदि $y=3, x=4$; यदि $y=4, x=2$.
अतः,$R_2 = \{(8,1), (6,2), (4,3), (2,4)\}$.
$R_2$ का परिसर $\{1, 2, 3, 4\}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।
$R_2$ सममित नहीं है क्योंकि $(8,1) \in R_2$ लेकिन $(1,8) \notin R_2$.
$R_2$ संक्रामक नहीं है क्योंकि $(4,3) \in R_2$ और $(3,y) \notin R_2$ (क्योंकि $R_2$ में $x=3$ के लिए कोई $y$ मौजूद नहीं है)।

(A) माना $I = \int \frac{\tan x}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx$.
हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int \frac{\tan x + 1 + \tan^2 x - (1 + \tan^2 x)}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx = \int 1 dx - \int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx$.
अतः $I = x - \int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx$.
$\tan x = t$ रखने पर,$\sec^2 x dx = dt$ प्राप्त होता है।
$I = x - \int \frac{dt}{t^2 + t + 1} = x - \int \frac{dt}{(t + 1/2)^2 + 3/4}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = x - \frac{1}{\sqrt{3}/2} \tan^{-1} \left( \frac{t + 1/2}{\sqrt{3}/2} \right) + C = x - \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2t + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$.
$t = \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर,$I = x - \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2 \tan x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$.
दिए गए रूप $x - \frac{K}{\sqrt{A}} \tan^{-1} \left( \frac{K \tan x + 1}{\sqrt{A}} \right) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 2$ और $A = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(K, A)$ का मान $(2, 3)$ है।

(A) समुच्चय $X$ $(|X|=5)$ से समुच्चय $Y$ $(|Y|=7)$ तक एकैकी फलनों की संख्या $\alpha = P(7, 5) = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ है।
वैकल्पिक रूप से,$\alpha = {}^{7}C_{5} \times 5! = 21 \times 120 = 2520$.
समुच्चय $Y$ $(|Y|=7)$ से समुच्चय $X$ $(|X|=5)$ तक आच्छादक फलनों की संख्या $\beta$ के लिए,हम आच्छादक फलनों की संख्या का सूत्र उपयोग करते हैं: $m! \times S(n, m)$,जहाँ $S(n, m)$ दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्या है।
$\beta = 5! \times S(7, 5) = 120 \times \frac{1}{2!} \sum_{k=0}^{5} (-1)^{5-k} {}^{5}C_{k} k^{7} = 120 \times 140 = 16800$.
अब,$\frac{1}{5!}(\beta - \alpha) = \frac{16800 - 2520}{120} = \frac{14280}{120} = 119$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ है।
$\sin x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = \frac{4x}{\sin x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
मान रखने पर,$y \sin x = \int \frac{4x}{\sin x} \cdot \sin x dx + C = \int 4x dx + C = 2x^2 + C$।
अतः,$y = \frac{2x^2 + C}{\sin x}$।
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $0 = \frac{2(\frac{\pi}{2})^2 + C}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi^2}{2} + C$,जिससे $C = -\frac{\pi^2}{2}$ प्राप्त होता है।
विशिष्ट हल $y = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{2(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{2\pi^2}{36} - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = 2 \left( \frac{\pi^2}{18} - \frac{\pi^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^2 - 9\pi^2}{18} \right) = 2 \left( \frac{-8\pi^2}{18} \right) = -\frac{8}{9} \pi^2$।