मूलबिंदु से रेखा 3x + y = lambda , (lambda ne | vedclass

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Question

(A) रेखा $3x + y = \lambda$ के समीकरण को अंतःखंड रूप में $\frac{x}{\lambda/3} + \frac{y}{\lambda} = 1$ लिखा जा सकता है। अतः,$A$ के निर्देशांक $(\frac{

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$9 : 1$

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(A) रेखा $3x + y = \lambda$ के समीकरण को अंतःखंड रूप में $\frac{x}{\lambda/3} + \frac{y}{\lambda} = 1$ लिखा जा सकता है। अतः,$A$ के निर्देशांक $(\frac{\lambda}{3}, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, \lambda)$ हैं। मूलबिंदु $(0,0)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ पर लंब का पाद $P$ $(\frac{-ac}{a^2+b^2}, \frac{-bc}{a^2+b^2})$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$3x + y - \lambda = 0$,इसलिए $a=3, b=1, c=-\lambda$. $P = (\frac{-3(-\lambda)}{3^2+1^2}, \frac{-1(-\lambda)}{3^2+1^2}) = (\frac{3\lambda}{10}, \frac{\lambda}{10})$. अब,दूरियों $BP$ और $PA$ की गणना करते हैं: $BP^2 = (\frac{3\lambda}{10} - 0)^2 + (\frac{\lambda}{10} - \lambda)^2 = \frac{9\lambda^2}{100} + \frac{81\lambda^2}{100} = \frac{90\lambda^2}{100} = \frac{9\lambda^2}{10}$. $PA^2 = (\frac{\lambda}{3} - \frac{3\lambda}{10})^2 + (0 - \frac{\lambda}{10})^2 = (\frac{10\lambda - 9\lambda}{30})^2 + \frac{\lambda^2}{100} = \frac{\lambda^2}{900} + \frac{9\lambda^2}{900} = \frac{10\lambda^2}{900} = \frac{\lambda^2}{90}$. इसलिए,$\frac{BP^2}{PA^2} = \frac{9\lambda^2/10}{\lambda^2/90} = \frac{9}{10} 	imes 90 = 81$. अतः,$\frac{BP}{PA} = \sqrt{81} = 9$. इसलिए,अनुपात $BP : PA$ $9 : 1$ है।

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