मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2$ और $Q = f(x)$ है।स्थिति $1$: $x \in [0, 1]$ के लिए,$f

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$\frac{e^2 - 1}{2e^3}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2$ और $Q = f(x)$ है।स्थिति $1$: $x \in [0, 1]$ के लिए,$f(x) = 1$ है।$\frac{dy}{dx} + 2y = 1$। समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ है।हल $y \cdot e^{2x} = \int 1 \cdot e^{2x} dx + C_1 = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1$ है।अतः,$y(x) = \frac{1}{2} + C_1 e^{-2x}$ है।चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$0 = \frac{1}{2} + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2}$ है।इस प्रकार,$x \in [0, 1]$ के लिए $y(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2x}$ है।$x = 1$ पर,$y(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$ है।स्थिति $2$: $x > 1$ के लिए,$f(x) = 0$ है।$\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = -2 dx$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|y| = -2x + C_2 \Rightarrow y = C_3 e^{-2x}$ प्राप्त होता है।$x = 1$ पर $y(x)$ की निरंतरता का उपयोग करने पर,$y(1) = C_3 e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$ है।$C_3 = \frac{e^2 - 1}{2e^2} \cdot e^2 = \frac{e^2 - 1}{2}$ है।अतः,$x > 1$ के लिए $y(x) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2x}$ है।$x = \frac{3}{2}$ के लिए,$y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2(\frac{3}{2})} = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-3} = \frac{e^2 - 1}{2e^3}$ है।

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