यदि alpha, beta in mathbb{C} समीकरण x^2 - x + | vedclass

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Question

(B) समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ के मूल $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।ये मूल $-\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।माना $\alph

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$1$

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(B) समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ के मूल $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।ये मूल $-\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।माना $\alpha = -\omega$ और $\beta = -\omega^2$.तब $\alpha^{101} + \beta^{107} = (-\omega)^{101} + (-\omega^2)^{107} = -\omega^{101} - \omega^{214}$.चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{101} = \omega^2$ और $\omega^{214} = \omega$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(\omega^2 + \omega)$.चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.अतः,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(-1) = 1$.

यदि $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ के भिन्न मूल हैं,तो $\alpha^{101} + \beta^{107}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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