एक खिलाड़ी X के पास एक पक्षपाती सिक्का है जिस | vedclass

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Question

(A) माना $P(X)$ खिलाड़ी $X$ के जीतने की प्रायिकता है और $P(Y)$ खिलाड़ी $Y$ के जीतने की प्रायिकता है।खिलाड़ी $X$ एक पक्षपाती सिक्के का उपयोग करता है जि

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$\frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(A) माना $P(X)$ खिलाड़ी $X$ के जीतने की प्रायिकता है और $P(Y)$ खिलाड़ी $Y$ के जीतने की प्रायिकता है।खिलाड़ी $X$ एक पक्षपाती सिक्के का उपयोग करता है जिसमें $P(H) = p$ और $P(T) = 1-p$ है। खिलाड़ी $Y$ एक निष्पक्ष सिक्के का उपयोग करता है जिसमें $P(H) = 1/2$ और $P(T) = 1/2$ है।$X$ जीतता है यदि $X$ पहले प्रयास में $H$ प्राप्त करता है,या $X$ $T$ प्राप्त करता है,$Y$ $T$ प्राप्त करता है,और $X$ तीसरे प्रयास में $H$ प्राप्त करता है,इत्यादि।$P(X) = p + (1-p)(1/2)p + (1-p)^2(1/2)^2p + \dots = p \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1-p}{2})^n = \frac{p}{1 - \frac{1-p}{2}} = \frac{2p}{1+p}$.चूंकि कुल प्रायिकता $1$ है,$P(Y) = 1 - P(X) = 1 - \frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.दिया गया है कि $P(X) = P(Y)$,इसलिए $\frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.$2p = 1 - p \Rightarrow 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.

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