JEE Main 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $\angle APC = \alpha$. $\triangle APC$ માં,$\tan \alpha = \frac{AC}{AP}$.
$C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AC = \frac{1}{2} AB$. આપેલ છે કે $AP = 2AB$,તેથી $\tan \alpha = \frac{\frac{1}{2} AB}{2 AB} = \frac{1}{4}$.
હવે,$\triangle ABP$ ધ્યાનમાં લો. $\angle BAP = 90^{\circ}$. $\angle BPC = \beta$ અને $\angle APC = \alpha$,તેથી $\angle BAP = \alpha + \beta$.
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{AB}{AP} = \frac{AB}{2 AB} = \frac{1}{2}$.
સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \tan \beta}{1 - \frac{1}{4} \tan \beta}$.
બંને બાજુ $4(1 - \frac{1}{4} \tan \beta)$ વડે ગુણતા:
$2(1 - \frac{1}{4} \tan \beta) = 1 + 4 \tan \beta$
$2 - \frac{1}{2} \tan \beta = 1 + 4 \tan \beta$
$1 = 4.5 \tan \beta$
$1 = \frac{9}{2} \tan \beta$
$\tan \beta = \frac{2}{9}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $5(\tan^2 x - \cos^2 x) = 2\cos 2x + 9$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 2(2\cos^2 x - 1) + 9$
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 4\cos^2 x - 2 + 9$
$5\tan^2 x = 9\cos^2 x + 7$
$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ અને $t = \cos^2 x$ લેતા:
$5(\frac{1}{t} - 1) = 9t + 7$
$9t^2 + 12t - 5 = 0$
$(3t - 1)(3t + 5) = 0$
$t = \cos^2 x$ ધન હોવાથી,$t = \frac{1}{3}$.
હવે,$\cos 2x = 2(\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$\cos 4x = 2(-\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.

(B) $X$ પાસે $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. $Y$ પાસે $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે.
કુલ $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો પસંદ કરવાના છે,જેથી $X$ ના જૂથમાંથી $3$ અને $Y$ ના જૂથમાંથી $3$ મિત્રો પસંદ થાય.
ધારો કે $X$ એ $l_1$ સ્ત્રીઓ અને $m_1$ પુરુષો પસંદ કર્યા,અને $Y$ એ $l_2$ સ્ત્રીઓ અને $m_2$ પુરુષો પસંદ કર્યા.
શરતો: $l_1 + m_1 = 3$,$l_2 + m_2 = 3$,$l_1 + l_2 = 3$,$m_1 + m_2 = 3$.
શક્ય કિસ્સાઓ:
$1. (l_1, m_1) = (3, 0) \implies (l_2, m_2) = (0, 3)$. રીતો: $\binom{4}{3}\binom{3}{0} \times \binom{3}{0}\binom{4}{3} = 16$.
$2. (l_1, m_1) = (2, 1) \implies (l_2, m_2) = (1, 2)$. રીતો: $\binom{4}{2}\binom{3}{1} \times \binom{3}{1}\binom{4}{2} = 324$.
$3. (l_1, m_1) = (1, 2) \implies (l_2, m_2) = (2, 1)$. રીતો: $\binom{4}{1}\binom{3}{2} \times \binom{3}{2}\binom{4}{1} = 144$.
$4. (l_1, m_1) = (0, 3) \implies (l_2, m_2) = (3, 0)$. રીતો: $\binom{4}{0}\binom{3}{3} \times \binom{3}{3}\binom{4}{0} = 1$.
કુલ રીતો = $16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=1}^{10} \binom{21}{r} - \sum_{r=1}^{10} \binom{10}{r}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{21} \binom{21}{r} = 2^{21}$.
$\sum_{r=0}^{10} \binom{21}{r} = 2^{20}$ થાય.
તેથી,$\sum_{r=1}^{10} \binom{21}{r} = 2^{20} - \binom{21}{0} = 2^{20} - 1$.
વળી,$\sum_{r=1}^{10} \binom{10}{r} = 2^{10} - 1$.
કિંમતો મૂકતા:
$S = (2^{20} - 1) - (2^{10} - 1) = 2^{20} - 2^{10}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 75ac = 45ab + 15bc$
ગોઠવણી કરતા: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 45ab - 15bc - 75ac = 0$
$2$ વડે ગુણતા: $450a^2 + 18b^2 + 50c^2 - 90ab - 30bc - 150ac = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(15a - 3b)^2 + (3b - 5c)^2 + (5c - 15a)^2 = 0$
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$15a - 3b = 0$ $\Rightarrow 3b = 15a$ $\Rightarrow b = 5a$
$3b - 5c = 0 \Rightarrow 3b = 5c$
$5c - 15a = 0$ $\Rightarrow 5c = 15a$ $\Rightarrow c = 3a$
હવે શ્રેણી $b, c, a$ તપાસો:
$b = 5a, c = 3a, a = a$
સામાન્ય તફાવત $d_1 = c - b = 3a - 5a = -2a$
સામાન્ય તફાવત $d_2 = a - c = a - 3a = -2a$
$d_1 = d_2$ હોવાથી,પદો $b, c, a$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 28$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $(k, -3k), (5, k), (-k, 2)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |k(k - 2) + 5(2 - (-3k)) + (-k)(-3k - k)| = 28$
$|5k^2 + 13k + 10| = 56$
કિસ્સો $1$: $5k^2 + 13k - 46 = 0 \Rightarrow k = 2$ (પૂર્ણાંક હોવાથી).
શિરોબિંદુઓ $A(2, -6), B(5, 2), C(-2, 2)$ મળે છે.
$BC$ બાજુ સમક્ષિતિજ છે,તેથી $A$ માંથી વેધ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $-2$ છે,તેથી $B$ માંથી વેધનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે.
$B(5, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x - 2y = 1$ છે.
$x = 2$ મૂકતા,$y = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $\left( 2, \frac{1}{2} \right)$ છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ હોવાથી,$ae = 2$,તેથી $a^{2}e^{2} = 4$.
સંબંધ $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = a^{2}e^{2} - a^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^{2} = 4 - a^{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^{2} + b^{2} = 4$.
અતિવલય $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{2}{a^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$.
$a^{2} = 4 - b^{2}$ મૂકતા,$\frac{2}{4 - b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$.
$b^{4} + b^{2} - 12 = 0 \Rightarrow (b^{2} + 4)(b^{2} - 3) = 0$.
$b^{2} > 0$ હોવાથી,$b^{2} = 3$,જે $a^{2} = 1$ આપે છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ છે.
$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ આગળનો સ્પર્શક $\sqrt{2}x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ છે.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - 3 = 1$. તેથી,તે $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે. તે $y = |x|$ ને સ્પર્શે છે,તેથી $(0, k)$ થી $x - y = 0$ નું અંતર $r$ છે,એટલે કે $\frac{|-k|}{\sqrt{2}} = r$,જે $k = r\sqrt{2}$ આપે છે.
$x^2 = 4 - y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(4 - y) + (y - k)^2 = r^2$.
$4 - y + y^2 - 2ky + k^2 = \frac{k^2}{2}$.
$y^2 - (2k + 1)y + (4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$:
$(2k + 1)^2 - 4(4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.
$4k^2 + 4k + 1 - 16 - 2k^2 = 0$.
$2k^2 + 4k - 15 = 0$.
$k$ માટે ઉકેલતા ($k > 0$ લેતા): $k = \frac{-4 + \sqrt{16 - 4(2)(-15)}}{4} = \frac{-4 + \sqrt{136}}{4} = \frac{-4 + 2\sqrt{34}}{4} = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2}$.
કારણ કે $r = \frac{k}{\sqrt{2}}$,તેથી $r = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -\frac{a}{e} = -4$ છે,તેથી $\frac{a}{1/2} = 4$,જે $a = 2$ આપે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{2x}{4} + \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{4y}$ થાય છે.
બિંદુ $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ પર,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{3(1)}{4(3/2)} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = 2$ છે.
$\left(1, \frac{3}{2}\right)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{3}{2} = 2(x - 1)$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2y - 3 = 4x - 4$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - 2y = 1$ થાય છે.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cot x - \cos x}}{{{{\left( {\pi - 2x} \right)}^3}}}$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x(1 - \sin x)}}{{\sin x \cdot 8{{\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}^3}}}$.
$t = \frac{\pi }{2} - x$ આદેશ લેતા. જ્યારે $x \to \frac{\pi }{2}$,ત્યારે $t \to 0$. તેથી $x = \frac{\pi }{2} - t$ અને $\cos x = \sin t$,$\sin x = \cos t$.
$L = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t(1 - \cos t)}}{{8{t^3}\cos t}}$.
$L = \frac{1}{8} \cdot \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( \frac{{\sin t}}{t} \right) \cdot \left( \frac{{1 - \cos t}}{{{t^2}}} \right) \cdot \frac{1}{{\cos t}}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t}}{t} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 - \cos t}}{{{t^2}}} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{1}{8} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{{16}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.
આનું સાદું રૂપ $nx^2 + n^2x + \frac{(n-1)n(n+1)}{3} = 10n$ થાય છે.
$n$ વડે ભાગતા: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.
ધારો કે બે ક્રમિક પૂર્ણાંક ઉકેલો $\alpha$ અને $\alpha + 1$ છે.
બીજનો સરવાળો: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
કિંમત મુકતા: $(\frac{-(n+1)}{2})(\frac{1-n}{2}) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$\frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124$ $\Rightarrow n^2 = 121$ $\Rightarrow n = 11$.

(B) ધારો કે ગણ $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = \binom{11}{2} = 55$ છે.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે જ્યાં $x > y$.
શરત મુજબ $(x+y)$ અને $(x-y)$ બંને $4$ ના ગુણક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ બંને બેકી સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ અને $x \equiv y \pmod{4}$ થવું જોઈએ.
ગણ $\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$ માંથી શક્ય જોડીઓ:
$x, y \equiv 0 \pmod{4}$ માટે: $(4, 0), (8, 0), (8, 4)$.
$x, y \equiv 2 \pmod{4}$ માટે: $(6, 2), (10, 2), (10, 6)$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 6$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{6}{55}$ છે.

(B) વિધાન $(p \to q) \to [(\sim p \to q) \to q]$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ છે)
છેલ્લી કોલમમાં તમામ કિંમતો $T$ (સત્ય) હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય (tautology) છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે.
આપેલ છે કે $p(0) = 1$,તેથી $c = 1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$p(1) = 4$ અને $p(-1) = 6$.
આ કિંમતો $p(x) = ax^2 + bx + 1$ માં મૂકતા:
$p(1) = a(1)^2 + b(1) + 1 = 4 \Rightarrow a + b = 3$.
$p(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 6 \Rightarrow a - b = 5$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2a = 8 \Rightarrow a = 4$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2b = -2 \Rightarrow b = -1$.
આમ,$p(x) = 4x^2 - x + 1$.
હવે,$p(-2)$ ની કિંમત શોધતા:
$p(-2) = 4(-2)^2 - (-2) + 1 = 4(4) + 2 + 1 = 16 + 3 = 19$.
તેથી,$p(-2) = 19$ એ સાચું વિધાન છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. સમીકરણ $2|x + i(y + 3)| = |x + i(y - 1)|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4(x^2 + (y + 3)^2) = x^2 + (y - 1)^2$ મળે.
$4x^2 + 4(y^2 + 6y + 9) = x^2 + y^2 - 2y + 1$.
$3x^2 + 3y^2 + 26y + 35 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + \frac{26}{3}y + \frac{35}{3} = 0$ મળે.
આ વર્તુળનું સમીકરણ છે,જ્યાં $g = \frac{13}{3}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 - c} = \sqrt{(\frac{13}{3})^2 - \frac{35}{3}} = \sqrt{\frac{169}{9} - \frac{105}{9}} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}$.

(C) $QUEEN$ શબ્દના અક્ષરો $E, E, N, Q, U$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, E, N, Q, U$.
$(i)$ $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, N, Q, U$ છે. શબ્દોની સંખ્યા $= 4! = 24$.
$(ii)$ $N$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, E, Q, U$ છે. શબ્દોની સંખ્યા $= \frac{4!}{2!} = 12$.
$(iii)$ $QE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, N, U$ છે. શબ્દોની સંખ્યા $= 3! = 6$.
$(iv)$ $QN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, E, U$ છે. શબ્દોની સંખ્યા $= \frac{3!}{2!} = 3$.
$(v)$ ત્યારબાદનો શબ્દ $QUEEN$ પોતે છે,જે $1$ સ્થાન ધરાવે છે.
તેથી,$QUEEN$ શબ્દનો ક્રમ $= 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 46^{th}$.

(D) આપણે $(27)^{999}$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
આપણે $27$ ને $(28 - 1)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$(27)^{999} = (28 - 1)^{999}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$.
$(28 - 1)^{999} = \binom{999}{0} (28)^{999} (-1)^0 + \binom{999}{1} (28)^{998} (-1)^1 + \dots + \binom{999}{999} (28)^0 (-1)^{999}$.
છેલ્લા પદ સિવાયના દરેક પદમાં $28$ નો અવયવ છે,જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(27)^{999} = 7k + (-1)^{999}$,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
$(27)^{999} = 7k - 1$.
ધન શેષ મેળવવા માટે,આપણે $7k - 1 = 7(k - 1) + 7 - 1 = 7(k - 1) + 6$ લખીએ છીએ.
આમ,શેષ $6$ છે.

(D) આપેલ છે કે સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$ એ ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ કરતા પાંચ ગણો છે:
$\frac{a + b}{2} = 5\sqrt{ab}$
બંને બાજુ $\sqrt{ab}$ વડે ભાગતા:
$\frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 10$
ધારો કે $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$. તેથી $\frac{a}{b} = x^2$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{x^2 + 1}{x} = 10 \implies x^2 - 10x + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$ શોધતા:
$x = 5 \pm 2\sqrt{6}$
$a > b$ હોવાથી,$x = 5 + 2\sqrt{6}$.
તેથી $\frac{a}{b} = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 49 + 20\sqrt{6}$.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{49 + 20\sqrt{6} + 1}{49 + 20\sqrt{6} - 1} = \frac{50 + 20\sqrt{6}}{48 + 20\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

(B) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 13\sqrt{3} + \dots$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \sqrt{3}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4\sqrt{3}$ છે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$435\sqrt{3} = \frac{n}{2}[2\sqrt{3} + (n-1)4\sqrt{3}]$
$\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,$435 = \frac{n}{2}[2 + 4n - 4] = n(2n-1)$
$2n^2 - n - 435 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{1 \pm 59}{4}$
તેથી,$n = 15$.

(B) ધારો કે $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {3x} - 3}}{{\sqrt {2x - 4} - \sqrt 2 }}$.
અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(\sqrt{3x} - 3)(\sqrt{3x} + 3)(\sqrt{2x - 4} + \sqrt{2})}{(\sqrt{2x - 4} - \sqrt{2})(\sqrt{2x - 4} + \sqrt{2})(\sqrt{3x} + 3)}$
$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(3x - 9)(\sqrt{2x - 4} + \sqrt{2})}{(2x - 4 - 2)(\sqrt{3x} + 3)}$
$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{3(x - 3)(\sqrt{2x - 4} + \sqrt{2})}{2(x - 3)(\sqrt{3x} + 3)}$
$(x - 3)$ ને દૂર કરતા:
$A = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{2(3) - 4} + \sqrt{2}}{\sqrt{3(3)} + 3}$
$A = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{3 + 3} = \frac{3}{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 5x - y + 5 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 5/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 3/2$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (5/2, 1/2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3/2}$ છે.
$PQ$ નું અંતર ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $Q$ એ $P$ અને $C$ માંથી પસાર થતી રેખા પર હોય.
$PC$ નું અંતર $\sqrt{(5/2 - 0)^2 + (1/2 - (-2))^2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ છે.
$PQ$ નું મહત્તમ અંતર $PC + r = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ છે.
તેથી,$(PQ)^2$ ની મહત્તમ કિંમત $\left( \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \right)^2 = 14 + 5\sqrt{3}$ થાય.

(B) વર્તુળનો વ્યાસ $4 \, \text{units}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \, \text{units}$ છે.
ધારો કે જીવાઓ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણા $2\theta$ અને $2\phi$ છે.
આપેલ છે કે $2\theta = \cos^{-1}(1/7) \Rightarrow \cos(2\theta) = 1/7$.
સૂત્ર $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\cos^2\theta - 1 = 1/7$ $\Rightarrow 2\cos^2\theta = 8/7$ $\Rightarrow \cos^2\theta = 4/7$ $\Rightarrow \cos\theta = 2/\sqrt{7}$.
કેન્દ્રથી પ્રથમ જીવાનું અંતર $d_1 = r \cos\theta = 2 \times (2/\sqrt{7}) = 4/\sqrt{7}$ છે.
આપેલ છે કે $2\phi = \sec^{-1}(7)$ $\Rightarrow \sec(2\phi) = 7$ $\Rightarrow \cos(2\phi) = 1/7$.
સૂત્ર $\cos(2\phi) = 2\cos^2\phi - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\cos^2\phi - 1 = 1/7$ $\Rightarrow 2\cos^2\phi = 8/7$ $\Rightarrow \cos^2\phi = 4/7$ $\Rightarrow \cos\phi = 2/\sqrt{7}$.
કેન્દ્રથી બીજી જીવાનું અંતર $d_2 = r \cos\phi = 2 \times (2/\sqrt{7}) = 4/\sqrt{7}$ છે.
જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર $d_1 + d_2 = 4/\sqrt{7} + 4/\sqrt{7} = 8/\sqrt{7}$ થાય.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ના $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ છે.
આ રેખા પરવલય $x^2 = 4y$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,આપણે $y = mx + c$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીએ: $x^2 = 4(mx + c) \Rightarrow x^2 - 4mx - 4c = 0$.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$,તેથી $(-4m)^2 - 4(1)(-4c) = 0$ $\Rightarrow 16m^2 + 16c = 0$ $\Rightarrow c = -m^2$.
આને વર્તુળના સ્પર્શકના સ્વરૂપ $c = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-m^2 = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m^4 = 4(1 + m^2) \Rightarrow m^4 - 4m^2 - 4 = 0$.
$m^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
$m^2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $m^2 = 2 + 2\sqrt{2}$.

(D) આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{3}{5}$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$.
$2a(\frac{3}{5}) = 6 \Rightarrow a = 5$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b^2 = 25(1 - \frac{9}{25}) = 25(\frac{16}{25}) = 16 \Rightarrow b = 4$.
ઉપવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ અને $(0, \pm 4)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણોની લંબાઈ $2a = 10$ અને $2b = 8$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે $25$ શિક્ષકોની ઉંમરનો સરવાળો $S$ છે.
આપેલ છે કે સરેરાશ ઉંમર $40 \text{ વર્ષ}$ છે,તેથી:
$\frac{S}{25} = 40 \Rightarrow S = 1000$.
ધારો કે નવા શિક્ષકની ઉંમર $A$ છે.
$60 \text{ વર્ષના}$ શિક્ષકની નિવૃત્તિ અને નવા શિક્ષકની નિમણૂક પછી,ઉંમરનો નવો સરવાળો $S - 60 + A$ થાય છે.
નવી સરેરાશ ઉંમર $39 \text{ વર્ષ}$ છે,તેથી:
$\frac{S - 60 + A}{25} = 39$
$1000 - 60 + A = 39 \times 25$
$940 + A = 975$
$A = 975 - 940 = 35$.
આમ,નવા નિમણૂક પામેલા શિક્ષકની ઉંમર $35 \text{ વર્ષ}$ છે.

(A) ધારો કે $P(P), P(Q), P(R)$ એ $P, Q, R$ દ્વારા લક્ષ્ય વીંધવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(P) = \frac{3}{4}, P(Q) = \frac{1}{2}, P(R) = \frac{5}{8}$.
લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવનાઓ $P(P') = \frac{1}{4}, P(Q') = \frac{1}{2}$ અને $P(R') = \frac{3}{8}$ છે.
લક્ષ્ય $P$ અથવા $Q$ દ્વારા વીંધાય પરંતુ $R$ દ્વારા નહીં તેની ઘટના $(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$.
$= (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8})$.
$= \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2^{(x - 1)(x^2 + 5x - 50)} = 1$ છે.
$2^0 = 1$ હોવાથી,ઘાતાંકને $0$ સાથે સરખાવતા:
$(x - 1)(x^2 + 5x - 50) = 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2 + 5x - 50$ ના અવયવ પાડતા:
$(x^2 + 10x - 5x - 50) = x(x + 10) - 5(x + 10) = (x - 5)(x + 10)$.
તેથી,સમીકરણ $(x - 1)(x - 5)(x + 10) = 0$ બને છે.
$x$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યો $x = 1, 5, -10$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + 5 + (-10) = 6 - 10 = -4$ થાય છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે $\text{Im}\left( \frac{i(x+iy) - 2}{x+iy - i} \right) + 1 = 0$.
ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે:
$x^{2}+\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{3}{4}$ છે.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $5 + 3 = 8$.
$8$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાની કુલ રીતો = $(8-1)! = 7!$.
હવે,ધારો કે $B_1$ અને $G_1$ સાથે બેસે છે. $(B_1, G_1)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો.
હવે આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $7$ એકમો છે,જે $(7-1)! = 6!$ રીતે કરી શકાય છે.
એકમની અંદર,$B_1$ અને $G_1$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા = $2 \times 6!$.
તેઓ ક્યારેય બાજુમાં ન બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા = કુલ રીતો - તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતો.
$= 7! - 2 \times 6! = 7 \times 6! - 2 \times 6! = (7-2) \times 6! = 5 \times 6!$.

(A) કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
ધારો કે $u = x^{1/3}$ અને $v = x^{1/2}$.
પ્રથમ પદ $\frac{u^3 + 1}{u^2 - u + 1} = \frac{(u+1)(u^2 - u + 1)}{u^2 - u + 1} = u + 1 = x^{1/3} + 1$ થાય.
બીજું પદ $\frac{v^2 - 1}{v(v - 1)} = \frac{(v-1)(v+1)}{v(v-1)} = \frac{v+1}{v} = 1 + \frac{1}{v} = 1 + x^{-1/2}$ થાય.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $(x^{1/3} + 1) - (1 + x^{-1/2}) = x^{1/3} - x^{-1/2}$.
હવે,$(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ માં $x^{-5}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {^{10}C_r} (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {^{10}C_r} (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
ઘાતને $-5$ સાથે સરખાવતા: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = -5$.
$6$ વડે ગુણતા: $2(10-r) - 3r = -30 \implies 20 - 2r - 3r = -30 \implies 50 = 5r \implies r = 10$.
સહગુણક ${^{10}C_{10}} (-1)^{10} = 1 \times 1 = 1$ થાય.

(A) કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,આપણે $a = b - d$ અને $c = b + d$ લખી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે $abc = 8$,તેથી $(b - d)b(b + d) = 8$.
$b(b^2 - d^2) = 8$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 - d^2 = \frac{8}{b}$.
$d^2 \ge 0$ હોવાથી,$b^2 - \frac{8}{b} \ge 0$.
$b^3 - 8 \ge 0$,તેથી $b^3 \ge 8$,જેનો અર્થ છે કે $b \ge 2$.
$b$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $d = 0$ હોય (એટલે કે $a = b = c = 2$).

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k}{\sum_{k=1}^n k^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમાણિત સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2} = \frac{2}{n(n+1)}$.
આપણે $T_n$ ને આંશિક અપૂર્ણાંક તરીકે $T_n = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$ લખી શકીએ છીએ.
હવે,$S_n = \sum_{k=1}^n T_k = 2 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $S_n = 2 \left( (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{2n}{n+1}$.
આપેલ છે કે $100 S_n = n$,તેથી $S_n$ ની કિંમત મૂકતા:
$100 \left( \frac{2n}{n+1} \right) = n$.
$n \neq 0$ હોવાથી,$n$ વડે ભાગતા:
$\frac{200}{n+1} = 1 \implies n+1 = 200 \implies n = 199$.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A$,$B$,અને $C$ છે. બાજુ $OA$ એ ધન $x-$અક્ષ સાથે $30^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. બાજુની લંબાઈ $2$ હોવાથી,$A$ ના યામ $(2 \cos 30^o, 2 \sin 30^o) = (\sqrt{3}, 1)$ થશે.
બાજુ $OC$ એ $OA$ ને લંબ છે અને ધન $x-$અક્ષ સાથે $30^o + 90^o = 120^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. $C$ ના યામ $(2 \cos 120^o, 2 \sin 120^o) = (-1, \sqrt{3})$ થશે.
શિરોબિંદુ $B$ એ સદિશ $\vec{OA}$ અને $\vec{OC}$ નો સરવાળો છે,તેથી $B = (\sqrt{3} - 1, 1 + \sqrt{3})$.
શિરોબિંદુઓના $x-$યામ $0$,$\sqrt{3}$,$-1$,અને $\sqrt{3} - 1$ છે.
$x-$યામનો સરવાળો $0 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3} - 2$ થાય.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષમાં $P(x_1, y_1)$ બિંદુની પાવર $PA \cdot PB = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 9 = 0$ અને બિંદુ $P(4, 7)$ માટે:
$PA \cdot PB = (4)^2 + (7)^2 - 9$
$PA \cdot PB = 16 + 49 - 9$
$PA \cdot PB = 65 - 9 = 56$.

(C) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ઉપવલય $(4, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$,જેનો અર્થ છે $16b^2 + a^2 = a^2b^2$ $(i)$.
ઉપવલય $(-2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$,જેનો અર્થ છે $4b^2 + 4a^2 = a^2b^2$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$16b^2 + a^2 = 4b^2 + 4a^2$.
$12b^2 = 3a^2$,તેથી $a^2 = 4b^2$.
$a^2 = 4b^2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$4b^2 + 4(4b^2) = (4b^2)b^2$,જેનું સાદું રૂપ $20b^2 = 4b^4$ થાય,તેથી $b^2 = 5$.
તેથી $a^2 = 4(5) = 20$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,$5 = 20(1 - e^2)$.
$1 - e^2 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે, $4a = 8$, તેથી $a = 2$.
પરવલય પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ નું નાભિ અંતર $a(1 + t^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાભિ અંતર $8$ આપેલ હોવાથી, $2(1 + t^2) = 8$, જેનો અર્થ છે કે $1 + t^2 = 4$, તેથી $t^2 = 3$ અને $t = \pm\sqrt{3}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે પ્રાચલ $t$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા, આપણને $m = -t$ અને $c = 2at + at^3 = at(2 + t^2)$ મળે છે.
$a = 2$ અને $t = \sqrt{3}$ મૂકતા:
$|c| = |2(\sqrt{3})(2 + 3)| = |2\sqrt{3}(5)| = 10\sqrt{3}$.

(C) $15$ વ્યક્તિઓમાંથી $4$ સભ્યોની સમિતિ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{15}C_4 = 1365$ છે.
કોઈપણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિની સંખ્યા $^{10}C_4 = 210$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી સમિતિની સંખ્યા $1365 - 210 = 1155$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધીએ છીએ કે સમિતિમાં પુરુષો કરતા સ્ત્રીઓની સંખ્યા વધુ હોય. આ ત્યારે થાય છે જો સમિતિમાં $3$ સ્ત્રીઓ અને $1$ પુરુષ હોય,અથવા $4$ સ્ત્રીઓ અને $0$ પુરુષો હોય.
$3$ સ્ત્રીઓ અને $1$ પુરુષ માટેની રીતો: $^{5}C_3 \times ^{10}C_1 = 100$.
$4$ સ્ત્રીઓ અને $0$ પુરુષો માટેની રીતો: $^{5}C_4 \times ^{10}C_0 = 5$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $100 + 5 = 105$.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{105}{1155} = \frac{1}{11}$ છે.

(D) આપેલ છે: $N = 100$,$\sum x_i = 400$,$\sum x_i^2 = 2475$.
ખોટા અવલોકનો $3, 4, 5$ દૂર કરતા:
નવો સરવાળો $\sum x_i' = 400 - (3 + 4 + 5) = 388$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum (x_i')^2 = 2475 - (9 + 16 + 25) = 2425$.
અવલોકનોની નવી સંખ્યા $N' = 97$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i')^2}{N'} - \left( \frac{\sum x_i'}{N'} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{2425}{97} - \left( \frac{388}{97} \right)^2 = 25 - 16 = 9$.

(C) ધારો કે બાજુઓ $2, 5, a, b$ છે. $2$ અને $5$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. ધારો કે $c$ એ $60^{\circ}$ ખૂણાની સામેનો વિકર્ણ છે.
પ્રથમ ત્રિકોણમાં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$c^2 = 2^2 + 5^2 - 2(2)(5)\cos(60^{\circ}) = 4 + 25 - 20(0.5) = 19$.
તેથી,$c = \sqrt{19}$.
ચતુષ્કોણ ચક્રીય હોવાથી,$60^{\circ}$ ના સામેનો ખૂણો $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય.
બીજા ત્રિકોણમાં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(120^{\circ}) \implies 19 = a^2 + b^2 + ab$.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ બંને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2}(2)(5)\sin(60^{\circ}) + \frac{1}{2}ab\sin(120^{\circ}) = 4\sqrt{3}$.
$5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{ab}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\sqrt{3} \implies 5 + \frac{ab}{2} = 8 \implies ab = 6$.
હવે,$a^2 + b^2 = 19 - 6 = 13$.
$a=2, b=3$ લેતા,પરિમિતિ $= 2 + 5 + 2 + 3 = 12$.

(C) ધારો કે $p$ વિધાન છે: 'બે સંખ્યાઓ સમાન નથી'.
ધારો કે $q$ વિધાન છે: 'તેમના વર્ગ સમાન નથી'.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-ધન (Contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે: 'બે સંખ્યાઓના વર્ગ સમાન છે'.
અને $\sim p$ એટલે: 'તે સંખ્યાઓ સમાન છે'.
તેથી,પ્રતિ-ધન વિધાન છે: 'જો બે સંખ્યાઓના વર્ગ સમાન હોય,તો તે સંખ્યાઓ સમાન હોય છે'.

(B) વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q) \equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$.
કારણ કે $(\sim p \vee p) \equiv T$ (નિરર્થકતા),પદાવલિ $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$ બને છે.
તદર્થ નિયમ દ્વારા,$T \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\sim p \vee \sim q$ ને $p \rightarrow (\sim q)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

(C) બિંદુ $P(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $F$ ને $(\lambda+1, 4\lambda-2, 5\lambda+3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
કારણ કે $F$ એ સમતલ $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ પર આવેલું છે,તેથી આપણે $F$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(\lambda+1) + 3(4\lambda-2) - 4(5\lambda+3) + 22 = 0$
$2\lambda + 2 + 12\lambda - 6 - 20\lambda - 12 + 22 = 0$
$-6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $F$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $F(2, 2, 8)$ મળે છે.
$F$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,અંતર $PQ = 2PF$ થાય.
અંતર $PF = \sqrt{(2-1)^2 + (2-(-2))^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$.
તેથી,$PQ = 2PF = 2\sqrt{42}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $(1, -1, -1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (1, -2, 3)$ અને $\vec{v_2} = (2, -1, -1)$ ને લંબ છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + 3) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(-1 + 4) = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $5(x - 1) + 7(y + 1) + 3(z + 1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 7y + 3z + 5 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(1, 3, -7)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|5(1) + 7(3) + 3(-7) + 5|}{\sqrt{25 + 49 + 9}} = \frac{|5 + 21 - 21 + 5|}{\sqrt{83}} = \frac{10}{\sqrt{83}}$.

(A) આ પ્રદેશ $x=0$,$y=1+\sqrt{x}$,$x+y=3$,અને $y=\frac{x^2}{4}$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
આલેખ પરથી,છેદબિંદુઓ $(1,2)$ અને $(2,1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (1+\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx + \int_{1}^{2} (3-x - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = \left[ x + \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{1} + \left[ 3x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{12} \right]_{1}^{2}$
$A = (1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{12}) + [(6 - 2 - \frac{8}{12}) - (3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{12})]$
$A = (\frac{12+8-1}{12}) + [(4 - \frac{2}{3}) - (2.5 - \frac{1}{12})]$
$A = \frac{19}{12} + (\frac{10}{3} - \frac{29}{12}) = \frac{19}{12} + \frac{40-29}{12} = \frac{19+11}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \cos x} \quad (i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$ છે:
$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \cos(\pi - x)} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 - \cos x} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \left( \frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 - \cos x} \right) dx$
$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1 - \cos x + 1 + \cos x}{1 - \cos^2 x} dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{2}{\sin^2 x} dx$
$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \csc^2 x dx$
$I = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}$
$I = -(\cot \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4}) = -(-1 - 1) = 2$

(A) સમીકરણ સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોય.
નિશ્ચાયક $D$ આ મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix} = 1(a - b) - 1(1 - a) + 1(b - a^2) = a - b - 1 + a + b - a^2 = -a^2 + 2a - 1 = -(a - 1)^2$.
સંહતિને ઉકેલ ન હોય અથવા અનંત ઉકેલો હોય તે માટે $D = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $-(a - 1)^2 = 0$,તેથી $a = 1$.
$a = 1$ ને સંહતિમાં મૂકતા:
$x + y + z = 1$
$x + y + z = 1$
$x + by + z = 0$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,ત્રીજું સમીકરણ પ્રથમ બે સમીકરણો સાથે અસંગત હોવું જોઈએ. પ્રથમ બે સમીકરણો એક જ સમતલ $x + y + z = 1$ દર્શાવે છે,તેથી ત્રીજું સમીકરણ $x + by + z = 0$ એ પ્રથમ સમતલને સમાંતર હોવું જોઈએ પણ તે જ હોવું જોઈએ નહીં.
$x + y + z = 1$ અને $x + by + z = 0$ ની સરખામણી કરતા,સમતલો સમાંતર હોવા માટે $x, y, z$ ના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ. આમ,$1/1 = b/1 = 1/1$,જે સૂચવે છે કે $b = 1$.
જો $b = 1$ હોય,તો ત્રીજું સમીકરણ $x + y + z = 0$ બને છે,જે $x + y + z = 1$ ને સમાંતર છે પણ અલગ છે (કારણ કે $0 \neq 1$). આમ,$b = 1$ માટે સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,$S = \{1\}$,જે એક સિંગલટન ગણ છે.

(B) આપેલ છે કે $2\omega + 1 = z$ અને $z = \sqrt{-3} = i\sqrt{3}$.
તેથી,$\omega = \frac{i\sqrt{3} - 1}{2}$,જે એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $-\omega^2 - 1 = \omega$.
વળી,$\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^7 = \omega^{3 \times 2 + 1} = \omega$.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$ છે.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1+\omega+\omega^2 & 1+\omega^2+\omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા: $\Delta = 3(\omega^2 - \omega^4) = 3(\omega^2 - \omega)$.
કારણ કે $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.
$\Delta = 3\left( \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \right) = 3\left( \frac{-2i\sqrt{3}}{2} \right) = -3i\sqrt{3} = -3z$.
આપેલ છે કે $\Delta = 3k$,તેથી $3k = -3z$,એટલે કે $k = -z$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+12 & -6-3 \\ -8-4 & 12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$3A^2 = 3 \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & -27 \\ -36 & 39 \end{bmatrix}$.
અને $12A = 12 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $M = 3A^2 + 12A = \begin{bmatrix} 48+24 & -27-36 \\ -36-48 & 39+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 51 & 63 \\ 84 & 72 \end{bmatrix}$.

(C) વક્રનું સમીકરણ $y(x - 2)(x - 3) = x + 6$ છે,જેને $y = \frac{x + 6}{x^2 - 5x + 6}$ તરીકે લખી શકાય.
$y$-અક્ષ પર,$x = 0$ હોય. સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,$y(0 - 2)(0 - 3) = 0 + 6$,જેનું સાદું રૂપ $y(6) = 6$ થાય,તેથી $y = 1$. આમ,છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
હવે,$y = \frac{x + 6}{x^2 - 5x + 6}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 - 5x + 6)(1) - (x + 6)(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 6)^2}$.
બિંદુ $(0, 1)$ પર,$x = 0$ અને $x^2 - 5x + 6 = 6$ છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(6)(1) - (6)(-5)}{(6)^2} = \frac{6 + 30}{36} = \frac{36}{36} = 1$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે. તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{1} = -1$ થાય.
બિંદુ $(0, 1)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 1 = -x$ અથવા $x + y = 1$ થાય.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ એ $x + y = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે કારણ કે $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(D) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ રેડિયનમાં વર્તુળાકાર સેક્ટરનો કેન્દ્રીય ખૂણો છે.
વર્તુળાકાર સેક્ટરની પરિમિતિ $P = r + r + r\theta = 2r + r\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તારની કુલ લંબાઈ $20 \ m$ છે,તેથી:
$2r + r\theta = 20$
$\Rightarrow r\theta = 20 - 2r$
$\Rightarrow \theta = \frac{20 - 2r}{r}$
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \frac{1}{2} r^2 \theta$
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{20 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0$
$\Rightarrow r = 5 \ m$
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ:
$\frac{d^2A}{dr^2} = -2 < 0$
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન ઋણ છે,તેથી $r = 5$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $r = 5$ મૂકતા:
$A_{max} = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \ m^2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{d}{dx} [(2 + \sin x)(y + 1)] = 0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $(2 + \sin x)(y + 1) = C$,જ્યાં $C$ એ અચળાંક છે.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(2 + \sin 0)(1 + 1) = C \Rightarrow (2 + 0)(2) = C \Rightarrow C = 4$.
આમ,સમીકરણ: $(2 + \sin x)(y + 1) = 4$ બને છે.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y + 1 = \frac{4}{2 + \sin x} \Rightarrow y = \frac{4}{2 + \sin x} - 1$.
હવે,$y(\frac{\pi}{2})$ શોધતા:
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{2 + \sin(\frac{\pi}{2})} - 1 = \frac{4}{2 + 1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int \tan^n x dx$.
આપણે $I_4 + I_6 = \int \tan^4 x dx + \int \tan^6 x dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$I_4 + I_6 = \int (\tan^4 x + \tan^6 x) dx$.
$ an^4 x$ સામાન્ય લેતા:
$I_4 + I_6 = \int \tan^4 x (1 + \tan^2 x) dx$.
કારણ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,તેથી:
$I_4 + I_6 = \int \tan^4 x \sec^2 x dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$.
સંકલન $\int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C$ બને છે.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I_4 + I_6 = \frac{1}{5} \tan^5 x + C$.
આને $a \tan^5 x + b x^5 + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{5}$ અને $b = 0$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (\frac{1}{5}, 0)$ છે.

(B) આ પ્રશ્ન દ્વિપદી સંભાવના વિતરણને અનુસરે છે કારણ કે દડાને પુરવણી સહિત પસંદ કરવામાં આવે છે,જે દરેક પ્રયત્નને સ્વતંત્ર બનાવે છે.
અહીં,કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લીલો દડો પસંદ થવાની સંભાવના $p = \frac{15}{15 + 10} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ છે.
લીલો દડો પસંદ ન થવાની (પીળો દડો પસંદ થવાની) સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Variance} = npq$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Variance} = 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 10 \times \frac{6}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$.

(C) ધારો કે $P(A), P(B), P(C)$ એ ઘટનાઓ $A, B, C$ ની સંભાવનાઓ છે.
આપેલ છે:
$P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ ... $(1)$
$P(B) + P(C) - 2P(B \cap C) = \frac{1}{4}$ ... $(2)$
$P(C) + P(A) - 2P(C \cap A) = \frac{1}{4}$ ... $(3)$
$(1), (2),$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2[P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3}{4}$
$2$ વડે ભાગતા:
$[P(A) + P(B) + P(C)] - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3}{8}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B \cup C) = [P(A) + P(B) + P(C)] - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B \cup C) = \frac{3}{8} + \frac{1}{16} = \frac{6+1}{16} = \frac{7}{16}$.

(D) આપેલ છે $f:R \to \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$ જ્યાં $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$.
પ્રથમ,એક-એક (injective) ચકાસો:
$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(1) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}$.
અહીં $f'(x)$ એ $x = 1$ અને $x = -1$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી વિધેય એકવિધ નથી,એટલે કે તે એક-એક નથી.
હવે,વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસો:
ધારો કે $y = \frac{x}{1 + x^2}$. તો $yx^2 - x + y = 0$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-1)^2 - 4(y)(y) = 1 - 4y^2 \ge 0$.
$4y^2 \le 1 \Rightarrow y^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow y \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$.
અહીં વિસ્તાર એ સહ-પ્રદેશ જેટલો જ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(C) આપેલ છે કે $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ અને $\vec b = \hat i + \hat j$.
પ્રથમ,$\vec a$ નું માન શોધો: $|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec a \times \vec b$ શોધો:
$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$.
તેનું માન $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ છે.
આપેલ છે કે $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = 3$ અને $\vec c$ તથા $\vec a \times \vec b$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^\circ$ છે,તેથી $|\vec u \times \vec v| = |\vec u||\vec v| \sin \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec a \times \vec b||\vec c| \sin 30^\circ = 3 \implies 3 \cdot |\vec c| \cdot \frac{1}{2} = 3 \implies |\vec c| = 2$.
હવે,$|\vec c - \vec a| = 3$ શરતનો ઉપયોગ કરતા,બંને બાજુ વર્ગ લેતા:
$|\vec c - \vec a|^2 = 3^2 \implies |\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9$.
કિંમતો મૂકતા: $2^2 + 3^2 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9 \implies 4 + 9 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9 \implies 13 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9$.
તેથી,$2(\vec a \cdot \vec c) = 4 \implies \vec a \cdot \vec c = 2$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 2^{10}x + 1$ અને $g(x) = 3^{10}x - 1$.
આપણને $(f \circ g)(x) = x$ આપેલ છે.
$f(g(x))$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા,$f(g(x)) = 2^{10}(3^{10}x - 1) + 1 = x$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $2^{10} \cdot 3^{10}x - 2^{10} + 1 = x$.
કારણ કે $2^{10} \cdot 3^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 6^{10}$,તેથી $6^{10}x - x = 2^{10} - 1$.
$x$ સામાન્ય લેતા: $x(6^{10} - 1) = 2^{10} - 1$.
આમ,$x = \frac{2^{10} - 1}{6^{10} - 1}$.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $\frac{1 - 2^{-10}}{3^{10} - 2^{-10}} = \frac{(2^{10}-1)/2^{10}}{(3^{10} \cdot 2^{10} - 1)/2^{10}} = \frac{2^{10}-1}{6^{10}-1}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
સહગુણક શ્રેણિક:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -\lambda \\ 4 & \lambda & 2 \\ \lambda & 2 & 2 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$|A| = 2(2\lambda - 4) - 4(8 - 2\lambda) - \lambda(8 - \lambda^2) = 0$
$|A| = 4\lambda - 8 - 32 + 8\lambda - 8\lambda + \lambda^3 = 0$
$|A| = \lambda^3 + 4\lambda - 40 = 0$
ધારો કે $f(\lambda) = \lambda^3 + 4\lambda - 40$.
અહીં $f'(\lambda) = 3\lambda^2 + 4 > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(\lambda)$ સતત વધતું વિધેય છે.
તેથી,તેને માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ હોય.
આમ,$\lambda$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે,આપણી પાસે નીચેના ગુણધર્મો છે:
$1$. $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$. અહીં $n=3$ હોવાથી,$adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = |A| A$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $adj(A) = |A| A^{-1}$. $A$ ને $adj(A)$ સાથે બદલતા,આપણને $adj(adj(A)) = |adj(A)| (adj(A))^{-1}$ મળે છે.
$3$. કારણ કે $|adj(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2$,તેથી $adj(adj(A)) = |A|^2 (adj(A))^{-1}$. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$4$. પરિણામોની સરખામણી કરતા,$adj(adj(A)) = |A| A$ અને $adj(adj(A)) = |A|^2 (adj(A))^{-1}$.
$5$. વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે $adj(adj(A)) = |A| (adj(A))^{-1}$,જે સામાન્ય રીતે ખોટું છે.
$6$. વિકલ્પ $A$ જણાવે છે કે $adj(A) = |A| (adj(A))^{-1}$. કારણ કે $adj(A) = |A| A^{-1}$,આ સૂચવે છે કે $A^{-1} = (adj(A))^{-1}$,જે સાચું છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ એ છે જે હંમેશા સાચું નથી.

(D) આપેલ વક્ર: $x^2y^2 - 2x = 4 - 4y$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2xy^2 + 2x^2y \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
બિંદુ $(2, -2)$ આગળ:
$2(2)(-2)^2 + 2(2)^2(-2) \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
$16 - 16 \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
$14 = 12 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$.
બિંદુ $(2, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - (-2) = \frac{7}{6}(x - 2)$.
$6(y + 2) = 7(x - 2) \Rightarrow 6y + 12 = 7x - 14 \Rightarrow 7x - 6y = 26$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(-2, -7)$ માટે: $7(-2) - 6(-7) = -14 + 42 = 28 \neq 26$.
આમ,સ્પર્શક $(-2, -7)$ માંથી પસાર થતો નથી.

(A) આપેલ છે કે $y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}} + {\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{{dy}}{{dx}} = 15{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right) + 15{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right)$
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{15}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\left[ {{{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}} - {{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}}} \right]$.
ધારો કે $u = x + \sqrt{x^2-1}$ અને $v = x - \sqrt{x^2-1}$. તેથી $uv = 1$ અને $y = u^{15} + v^{15}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{15}{\sqrt{x^2-1}}(u^{15} - v^{15})$.
ધારો કે $y_1 = u^{15} + v^{15}$ અને $y_2 = u^{15} - v^{15}$. તેથી $\sqrt{x^2-1} \frac{dy}{dx} = 15 y_2$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2-1} \frac{d^2y}{dx^2} = 15 \frac{dy_2}{dx}$.
અહીં $\frac{dy_2}{dx} = \frac{15y}{\sqrt{x^2-1}}$.
તેથી,$x \frac{dy}{dx} + (x^2-1) \frac{d^2y}{dx^2} = 15(15y) = 225y$.

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{1 + 2\cot x \csc x + 2\cot^2 x} \,dx$.
$1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ હોવાથી,$1 + 2\cot^2 x = \csc^2 x + \cot^2 x$ થાય.
તેથી,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ $\csc^2 x + \cot^2 x + 2\cot x \csc x = (\csc x + \cot x)^2$ થશે.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\csc x + \cot x > 0$ છે,તેથી $\sqrt{(\csc x + \cot x)^2} = \csc x + \cot x$ મળે.
$I = \int (\csc x + \cot x) \,dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \csc x \,dx = \log |\csc x - \cot x| + C$ અને $\int \cot x \,dx = \log |\sin x| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \log |\csc x - \cot x| + \log |\sin x| + C$.
$I = \log \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot \sin x \right| + C = \log |1 - \cos x| + C$.
$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \log |2\sin^2 \frac{x}{2}| + C = \log 2 + 2\log |\sin \frac{x}{2}| + C$.
અચળાંક $C$ માં $\log 2$ ને સમાવતા,$I = 2\log |\sin \frac{x}{2}| + C$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \cos 2x}{(\frac{2}{\sin 2x})^3} dx = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \cos 2x \sin^3 2x}{8} dx = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \sin^3 2x dx$.
ધારો કે $u = \sin 2x$,તેથી $du = 2 \cos 2x dx$,એટલે કે $\cos 2x dx = \frac{du}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{12}$,ત્યારે $u = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$I = \int_{1/2}^{1} u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} [\frac{u^4}{4}]_{1/2}^{1} = \frac{1}{8} [1^4 - (\frac{1}{2})^4] = \frac{1}{8} [1 - \frac{1}{16}] = \frac{1}{8} \times \frac{15}{16} = \frac{15}{128}$.

(D) આપેલ વક્રો $x^2 + y^2 = 4$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $2$ વાળું વર્તુળ) અને $y^2 = 3x$ (પરવલય) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = 3x$ ને $x^2 + y^2 = 4$ માં મૂકતા:
$x^2 + 3x - 4 = 0$
$(x+4)(x-1) = 0$
પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,આપણને $x = 1$ મળે છે.
$x = 1$ માટે,$y^2 = 3(1) = 3$,તેથી $y = \pm\sqrt{3}$.
નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{3x} \, dx + \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx \right]$
$= 2 \times \left[ \sqrt{3} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^1 + \left( \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \right)_1^2 \right]$
$= 2 \times \left[ \sqrt{3} \left( \frac{2}{3} \right) + \left( (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(1/2)) \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3} + \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{6} \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi - \frac{\pi}{3} \right] = 2 \times \left[ \frac{4-3}{2\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3} \right] = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{4\pi}{3}$

(C) સૌ પ્રથમ,બે રેખાઓ ધરાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધો. રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (6, 7, 8)$ અને $\vec{v_2} = (3, 5, 7)$ છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 7 & 8 \\ 3 & 5 & 7 \end{vmatrix} = \hat{i}(49-40) - \hat{j}(42-24) + \hat{k}(30-21) = (9, -18, 9)$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = (1, -2, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
સમતલ બિંદુ $(-1, 1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે (પ્રથમ રેખા પરથી). સમતલનું સમીકરણ $1(x+1) - 2(y-1) + 1(z-3) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y + z = 0$ થાય છે.
ધારો કે બિંદુ $P(1, -2, 1)$ માંથી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $F(x, y, z)$ છે. $P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ છે.
તેથી,$\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{1} = k$.
$x = k+1, y = -2k-2, z = k+1$.
$F$ એ સમતલ $x - 2y + z = 0$ પર હોવાથી,$(k+1) - 2(-2k-2) + (k+1) = 0$.
$k+1 + 4k + 4 + k+1 = 0 \Rightarrow 6k + 6 = 0 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ મૂકતા,આપણને $x = 0, y = 0, z = 0$ મળે છે.
આમ,લંબપાદના યામ $(0, 0, 0)$ છે.

(C) છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec v$ એ અભિલંબ $\vec n_1 = 3\hat i - \hat j + \hat k$ અને $\vec n_2 = \hat i + 4\hat j - 2\hat k$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec v = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat i(2 - 4) - \hat j(-6 - 1) + \hat k(12 + 1) = -2\hat i + 7\hat j + 13\hat k$.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,સમતલના સમીકરણોમાં $z = 0$ લેતા:
$3x - y = 1$ અને $x + 4y = 2$.
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા: $12x - 4y = 4$. બીજા સમીકરણ સાથે સરવાળો કરતા: $13x = 6 \Rightarrow x = 6/13$.
$x$ ની કિંમત મુકતા: $6/13 + 4y = 2 \Rightarrow 4y = 2 - 6/13 = 20/13 \Rightarrow y = 5/13$.
બિંદુ $(6/13, 5/13, 0)$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 6/13}{-2} = \frac{y - 5/13}{7} = \frac{z}{13}$ થાય,જે $\frac{x - 6/13}{2} = \frac{y - 5/13}{-7} = \frac{z}{-13}$ ને સમાન છે.

(B) ધારો કે વિકર્ણો $\vec{d_1} = 8\hat{i} - 6\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 12\hat{k}$ છે.
વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & -6 & 0 \\ 3 & 4 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-12) - (0)(4)) - \hat{j}((8)(-12) - (0)(3)) + \hat{k}((8)(4) - (-6)(3))$
$= 72\hat{i} + 96\hat{j} + 50\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{72^2 + 96^2 + 50^2}$
$= \sqrt{5184 + 9216 + 2500}$
$= \sqrt{16900} = 130$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 130 = 65$ ચોરસ એકમ છે.

(B) જ્યારે સિક્કાને $8$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^8 = 256$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ અને ઓછામાં ઓછો એક કાંટો મેળવવાની ઘટના એ બધી છાપ અથવા બધા કાંટા મેળવવાની ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
$P(\text{બધી છાપ}) = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$.
$P(\text{બધા કાંટા}) = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$.
બધી છાપ અથવા બધા કાંટા મેળવવાની સંભાવના $P(\text{બધી છાપ}) + P(\text{બધા કાંટા}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{256} = \frac{2}{256} = \frac{1}{128}$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{1}{128} = \frac{127}{128}$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય:
$D = 0(0 - \sin^2 x) - \cos x(0 - \cos^2 x) - \sin x(\sin^2 x - 0) = 0$
$\Rightarrow \cos^3 x - \sin^3 x = 0$
$\Rightarrow \cos^3 x = \sin^3 x$
$\Rightarrow \tan^3 x = 1$
$x \in [0, 2\pi]$ માટે,$\tan x = 1$ ના ઉકેલો $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{5\pi}{4}$ છે.
તેથી,$S = \{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \}$.
આપણે $\sum_{x \in S} \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) + \tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} \right)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = -2 - \sqrt{3}$.
$x = \frac{5\pi}{4}$ માટે,$\tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} \right) = -2 - \sqrt{3}$.
સરવાળો $= (-2 - \sqrt{3}) + (-2 - \sqrt{3}) = -4 - 2\sqrt{3}$.

(A) ધારો કે ${x^2} = \cos 2\theta$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = {\cos ^{ - 1}}{x^2}$ અથવા $\theta = \frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}{x^2}$.
${x^2} = \cos 2\theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt {1 + \cos 2\theta } + \sqrt {1 - \cos 2\theta } }}{{\sqrt {1 + \cos 2\theta } - \sqrt {1 - \cos 2\theta } }}} \right]$
નિત્યસમ $1 + \cos 2\theta = 2{\cos ^2}\theta$ અને $1 - \cos 2\theta = 2{\sin ^2}\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt {2{{\cos }^2}\theta } + \sqrt {2{{\sin }^2}\theta } }}{{\sqrt {2{{\cos }^2}\theta } - \sqrt {2{{\sin }^2}\theta } }}} \right] = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt 2 \cos \theta + \sqrt 2 \sin \theta }}{{\sqrt 2 \cos \theta - \sqrt 2 \sin \theta }}} \right]$
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 + \tan \theta }}{{1 - \tan \theta }}} \right] = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \theta } \right)} \right]$
$= \frac{\pi }{4} + \theta = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}{x^2}$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x - 5[\frac{x}{5}]$ છે.
એક-એક ચકાસવા માટે: $f(1) = 1 - 5[1/5] = 1 - 5(0) = 1$ અને $f(6) = 6 - 5[6/5] = 6 - 5(1) = 1$ મેળવીએ.
અહીં $f(1) = f(6) = 1$ છે પરંતુ $1 \neq 6$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: સહ-પ્રદેશ $N = \{1, 2, 3, ...\}$ છે.
$f(5) = 5 - 5[5/5] = 5 - 5(1) = 0$ મેળવીએ.
અહીં $0 \notin N$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \ A + B = 2B^T$
$(2) \ 3A + 2B = I_3$
સમીકરણ $(1)$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$(A + B)^T = (2B^T)^T \Rightarrow A^T + B^T = 2B$
$(1)$ પરથી,$A = 2B^T - B$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$3(2B^T - B) + 2B = I_3 \Rightarrow 6B^T - 3B + 2B = I_3 \Rightarrow 6B^T - B = I_3 \Rightarrow B = 6B^T - I_3$
$B$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$A + (6B^T - I_3) = 2B^T \Rightarrow A = I_3 - 4B^T$
$A = I_3 - 4B^T$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$A^T = I_3 - 4B$
$A^T + B^T = 2B$ પરથી,$B^T = 2B - A^T$. $A^T = I_3 - 4B$ મૂકતા:
$B^T = 2B - (I_3 - 4B) = 6B - I_3$
$B^T$ ની કિંમત $B = 6B^T - I_3$ માં મૂકતા:
$B = 6(6B - I_3) - I_3 = 36B - 6I_3 - I_3 = 36B - 7I_3$
$35B = 7I_3 \Rightarrow B = \frac{1}{5}I_3$
હવે $A$ શોધીએ:
$A = I_3 - 4B^T = I_3 - 4(6B - I_3) = I_3 - 24B + 4I_3 = 5I_3 - 24(\frac{1}{5}I_3) = \frac{25I_3 - 24I_3}{5} = \frac{1}{5}I_3$
વિકલ્પો તપાસતા:
$10A + 5B = 10(\frac{1}{5}I_3) + 5(\frac{1}{5}I_3) = 2I_3 + I_3 = 3I_3$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$x + 8y + 7z = 0$ $(1)$
$9x + 2y + 3z = 0$ $(2)$
$x + y + z = 0$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$x = -y - z$. આ કિંમત $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$(-y - z) + 8y + 7z = 0 \implies 7y + 6z = 0 \implies z = -\frac{7}{6}y$
$9(-y - z) + 2y + 3z = 0 \implies -7y - 6z = 0 \implies z = -\frac{7}{6}y$
આ સમીકરણો સમપરિમાણીય હોવાથી અને નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,અનંત ઉકેલો મળે. ધારો કે $y = 6\lambda$. તો $z = -7\lambda$ અને $x = -6\lambda - (-7\lambda) = \lambda$.
તેથી,$(a, b, c) = (\lambda, 6\lambda, -7\lambda)$.
આ બિંદુ સમતલ $x + 2y + z = 6$ પર હોવાથી:
$\lambda + 2(6\lambda) + (-7\lambda) = 6$
$\lambda + 12\lambda - 7\lambda = 6$
$6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$.
આમ,$(a, b, c) = (1, 6, -7)$.
હવે $2a + b + c = 2(1) + 6 + (-7) = 2 + 6 - 7 = 1$.

(B) આપેલ છે: $y^{1/5} + y^{-1/5} = 2x$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{5} y^{-4/5} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{5} y^{-6/5} \frac{dy}{dx} = 2$.
$\frac{1}{5} y^{-1} (y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 2$.
$(y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 10y$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(y^{1/5} - y^{-1/5})^2 = (y^{1/5} + y^{-1/5})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$.
તેથી,$y^{1/5} - y^{-1/5} = 2\sqrt{x^2 - 1}$.
આ કિંમત મૂકતા: $2\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 10y$,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$ થાય છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2 - 1} \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \frac{dy}{dx}$.
$\sqrt{x^2 - 1}$ વડે ગુણતા:
$x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx}$.
કારણ કે $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$,તેથી $x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5(5y) = 25y$.
ગોઠવતા: $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 25y = 0$.
$(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda x \frac{dy}{dx} + ky = 0$ સાથે સરખાવતા,$\lambda = 1$ અને $k = -25$ મળે છે.
તેથી,$\lambda + k = 1 - 25 = -24$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 7$ છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 5x + 7) = 3x^2 - 6x + 5$.
હવે,$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$ ની નિશાની તપાસીએ.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $f'(x) = 3(x^2 - 2x) + 5 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 3(x-1)^2 - 3 + 5 = 3(x-1)^2 + 2$.
દરેક $x \in R$ માટે $(x-1)^2 \ge 0$ હોવાથી,$3(x-1)^2 + 2 \ge 2 > 0$ થાય.
દરેક $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $R$ પર વધતું વિધેય છે.

(B) ધારો કે $f(x) = ax^n + \dots$ એ $n$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
$f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ ની બંને બાજુએ ઘાતની સરખામણી કરતા:
$n = (n-1) + (n-2) = 2n - 3$,જે આપણને $n = 3$ આપે છે.
ધારો કે $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
તો $f(3x) = a(3x)^3 + b(3x)^2 + c(3x) + d = 27ax^3 + 9bx^2 + 3cx + d$.
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ અને $f''(x) = 6ax + 2b$.
$f'(x) \cdot f''(x) = (3ax^2 + 2bx + c)(6ax + 2b) = 18a^2x^3 + (6ab + 12ab)x^2 + (4b^2 + 6ac)x + 2bc$.
$x^3$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $27a = 18a^2 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$ (કારણ કે $a \neq 0$).
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $9b = 18ab = 18(\frac{3}{2})b = 27b \Rightarrow b = 0$.
$x$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $3c = 4b^2 + 6ac = 0 + 6(\frac{3}{2})c = 9c \Rightarrow c = 0$.
અચળ પદો સરખાવતા: $d = 2bc = 0$.
આમ,$f(x) = \frac{3}{2}x^3$.
તેથી $f'(x) = \frac{9}{2}x^2$ અને $f''(x) = 9x$.
$x = 2$ માટે,$f'(2) = \frac{9}{2}(4) = 18$ અને $f''(2) = 9(2) = 18$.
તેથી,$f''(2) - f'(2) = 18 - 18 = 0$.

(B) ધારો કે $t = \frac{3x - 4}{3x + 4}$.
તેથી $3xt + 4t = 3x - 4$,જેનો અર્થ છે કે $x(3t - 3) = -4t - 4$,તેથી $x = \frac{4t + 4}{3 - 3t}$.
આ કિંમત વિધેયમાં મૂકતા: $f(t) = \frac{4t + 4}{3 - 3t} + 2 = \frac{4t + 4 + 6 - 6t}{3 - 3t} = \frac{10 - 2t}{3 - 3t}$.
આમ,$f(x) = \frac{10 - 2x}{3 - 3x} = \frac{2x - 10}{3x - 3}$.
હવે,$\int f(x) dx = \int \frac{2x - 10}{3(x - 1)} dx = \frac{2}{3} \int \frac{x - 1 - 4}{x - 1} dx = \frac{2}{3} \int (1 - \frac{4}{x - 1}) dx$.
$= \frac{2}{3} x - \frac{8}{3} \ln |x - 1| + C = -\frac{8}{3} \ln |1 - x| + \frac{2}{3} x + C$.
$A \log |1 - x| + Bx + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{8}{3}$ અને $B = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(A, B) = \left( -\frac{8}{3}, \frac{2}{3} \right)$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{1}^{2} \frac{dx}{((x-1)^2 + 3)^{3/2}}$.
$x-1 = \sqrt{3} \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે.
જ્યારે $x=1$,ત્યારે $\tan \theta = 0 \implies \theta = 0$.
જ્યારે $x=2$,ત્યારે $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.
$I = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta \, d\theta}{(\sqrt{3} \sec \theta)^3} = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3\sqrt{3} \sec^3 \theta} \, d\theta$.
$I = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi/6} \cos \theta \, d\theta = \frac{1}{3} [\sin \theta]_{0}^{\pi/6} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
આપેલ છે કે $\frac{k}{k+5} = \frac{1}{6}$,તેથી $6k = k+5$,જેનો અર્થ છે કે $5k = 5$,એટલે કે $k = 1$.

(A) આપેલ લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sum_{r=1}^n r^a}}{{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na + r)}} = \frac{1}{60}$ છે.
અંશ અને છેદને $n^{a+1}$ વડે ભાગતા:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{n} \sum_{r=1}^n (\frac{r}{n})^a}}{{(\frac{n+1}{n})^{a-1} \cdot \frac{1}{n^2} \sum_{r=1}^n (na + r)}} = \frac{1}{60}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા $\int_0^1 x^a dx = \frac{1}{a+1}$ અને સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\int_0^1 x^a dx}{\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{a-1} (a + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{n}))} = \frac{1}{60}$.
$\frac{\frac{1}{a+1}}{a + \frac{1}{2}} = \frac{1}{60}$.
$\frac{2}{(a+1)(2a+1)} = \frac{1}{60} \Rightarrow (a+1)(2a+1) = 120$.
$2a^2 + 3a - 119 = 0$.
$(2a + 17)(a - 7) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 7$ મળે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક $Y - y = f'(x)(X - x)$ છે.
$A$ માટે $(Y=0)$,$X = x - \frac{y}{f'(x)}$. તેથી $A = \left( x - \frac{y}{f'(x)}, 0 \right)$.
$B$ માટે $(X=0)$,$Y = y - x f'(x)$. તેથી $B = (0, y - x f'(x))$.
આપેલ છે કે $AP : BP = 1 : 3$,વિભાજન સૂત્ર મુજબ $P(x, y)$ એ $AB$ નું $1:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$x = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot (x - y/f'(x))}{1 + 3} \implies 4x = 3x - \frac{3y}{f'(x)} \implies x = -\frac{3y}{f'(x)}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3y}{x}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = -3 \int \frac{dx}{x} \implies \ln|y| = -3 \ln|x| + C \implies y = \frac{k}{x^3}$.
$f(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = \frac{k}{1^3} \implies k = 1$. તેથી $y = \frac{1}{x^3}$.
વિકલ્પો તપાસતા,$x=2$ માટે,$y = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
આમ,વક્ર $\left( 2, \frac{1}{8} \right)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,અને $C = (0, 0, c)$ છે.
આ સમતલનું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $3 \ units$ આપેલું છે. તેથી,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{9}$.
$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ એ $x = \frac{a+0+0}{3}$,$y = \frac{0+b+0}{3}$,અને $z = \frac{0+0+c}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a = 3x$,$b = 3y$,અને $c = 3z$.
આ કિંમતોને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{9}$.
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{9}$.
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1$ મળે છે.

(C) રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,બિંદુ $(3, -2, -\lambda)$ એ સમતલના સમીકરણ $2x - 4y + 3z = 2$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ.
બિંદુ મૂકતા: $2(3) - 4(-2) + 3(-\lambda) = 2$.
$6 + 8 - 3\lambda = 2 \implies 14 - 3\lambda = 2 \implies 3\lambda = 12 \implies \lambda = 4$.
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $(1, -1, -2)$ એ સમતલના અભિલંબ $(2, -4, 3)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
ચકાસણી: $(1)(2) + (-1)(-4) + (-2)(3) = 2 + 4 - 6 = 0$. આ શરત સંતોષાય છે.
હવે,બે રેખાઓ ધ્યાનમાં લો:
$L_1: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z + 4}{-2}$
$L_2: \frac{x - 1}{12} = \frac{y}{9} = \frac{z}{4}$
$L_1$ એ સમતલ $2x - 4y + 3z = 2$ માં આવેલી હોવાથી,આપણે તપાસીએ કે શું $L_2$ સમતલને છેદે છે. $L_2$ માટે,$x = 12k+1, y = 9k, z = 4k$.
સમતલમાં મૂકતા: $2(12k+1) - 4(9k) + 3(4k) = 24k + 2 - 36k + 12k = 2$.
$2 = 2$. આ દરેક $k$ માટે સાચું છે. આમ,રેખા $L_2$ પણ તે જ સમતલમાં આવેલી છે.
બંને રેખાઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેઓ કાં તો સમાંતર છે અથવા છેદતી રેખાઓ છે. દિશા સદિશો $(1, -1, -2)$ અને $(12, 9, 4)$ પ્રમાણસર નથી,તેથી તેઓ સમાંતર નથી.
તેથી,રેખાઓ છેદતી હોવી જોઈએ. બે છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{b} = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{b_1}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{b_1} = \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 3$.
$|\vec{a}|^2 = |\hat{i} + \hat{j}|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
આમ,$\vec{b_1} = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j}) = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$.
કારણ કે $\vec{b} = \vec{b_1} + \vec{b_2}$,તેથી $\vec{b_2} = \vec{b} - \vec{b_1} = (3\hat{j} + 4\hat{k}) - (\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3/2 & 3/2 & 0 \\ -3/2 & 3/2 & 4 \end{vmatrix}$.
$= \hat{i} \left( (3/2)(4) - (0)(3/2) \right) - \hat{j} \left( (3/2)(4) - (0)(-3/2) \right) + \hat{k} \left( (3/2)(3/2) - (3/2)(-3/2) \right)$.
$= \hat{i}(6) - \hat{j}(6) + \hat{k}(9/4 + 9/4) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{12}$.
વળી,$P(\bar{E} \cap \bar{F}) = P(\bar{E}) \cdot P(\bar{F}) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $P(E) = x$ અને $P(F) = y$. તેથી $xy = \frac{1}{12}$.
બીજું સમીકરણ $(1-x)(1-y) = \frac{1}{2}$ થાય છે,જેનું સાદું રૂપ $1 - (x+y) + xy = \frac{1}{2}$ છે.
$xy = \frac{1}{12}$ મૂકતા,$1 - (x+y) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$x+y = \frac{7}{12}$.
હવે,$x$ અને $y$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $12t^2 - 7t + 1 = 0$ ના ઉકેલ છે.
અવયવ પાડતા,$(4t-1)(3t-1) = 0$,તેથી $t = \frac{1}{4}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
જો $P(E) = \frac{1}{3}$ હોય,તો $P(F) = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{P(E)}{P(F)} = \frac{4}{3}$.

(A) ધારો કે $\lambda = \cot^{-1}(1+x)$,તેથી $\cot \lambda = 1+x$. પાયો $(1+x)$ અને વેધ $1$ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,કર્ણ $\sqrt{(1+x)^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$ થાય. તેથી,$\sin \lambda = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$.
ધારો કે $\beta = \tan^{-1}x$,તેથી $\tan \beta = x$. વેધ $x$ અને પાયો $1$ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,કર્ણ $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}$ થાય. તેથી,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
આપેલ સમીકરણ $\sin \lambda = \cos \beta$ પરથી:
$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 1$
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા:
$2x + 2 = 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવાથી,$f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$ થાય.
પ્રથમ,લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\frac{4}{5})^{\frac{\tan 4x}{\tan 5x}}$.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{2} + h$,જ્યાં $h \to 0$. તો $\tan 4x = \tan(2\pi + 4h) = \tan 4h \approx 4h$.
અને $\tan 5x = \tan(\frac{5\pi}{2} + 5h) = \cot 5h \approx \frac{1}{5h}$.
તેથી,ઘાતાંક $\frac{\tan 4x}{\tan 5x} = \tan 4h \cdot \tan 5h$ થાય,જેનું લક્ષ $0 \cdot 0 = 0$ છે.
તેથી,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = (\frac{4}{5})^0 = 1$.
હવે $f(\frac{\pi}{2}) = k + \frac{2}{5}$ સાથે સરખાવતા,$k + \frac{2}{5} = 1$.
તેથી,$k = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y \, dx = (x + 3y^2) \, dy$
$y \, dy$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^2}{y} = \frac{x}{y} + 3y$
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 3y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ આ મુજબ છે: $IF = e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 3y \cdot \frac{1}{y} \, dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 3 \, dy + c = 3y + c$
તેથી,$x = 3y^2 + cy$.
વક્ર $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા: $1 = 3(1)^2 + c(1) \Rightarrow 1 = 3 + c \Rightarrow c = -2$.
વક્રનું સમીકરણ $x = 3y^2 - 2y$ છે.
વિકલ્પ $(D)$ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ તપાસતા: $x = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
બિંદુ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) ધારો કે $y = \tan^{-1}\left(\frac{6x\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$.
આપણે $\tan^{-1}$ ના પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2(3x\sqrt{x})}{1-(3x\sqrt{x})^2}\right)$.
સૂત્ર $2\tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 3x\sqrt{x} = 3x^{3/2}$,આપણને મળે:
$y = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3x^{3/2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^{3/2})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot (3 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2} \sqrt{x} = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$.
આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot g(x)$,તેથી $\sqrt{x} \cdot g(x) = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$.
આમ,$g(x) = \frac{9}{1+9x^3}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = ax^2 + bx + c$ અને $a + b + c = 3$,તેથી $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3$.
વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ આપેલ છે.
$y = 1$ મૂકતા,આપણને મળે $f(x + 1) = f(x) + f(1) + x$.
$f(1) = 3$ મૂકતા,$f(x + 1) - f(x) = x + 3$.
$x = 1$ થી $n - 1$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{x=1}^{n-1} (f(x+1) - f(x)) = \sum_{x=1}^{n-1} (x + 3)$.
આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $f(n) - f(1) = \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$.
$f(1) = 3$ હોવાથી,$f(n) = 3 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 + 5n}{2}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{2} + \frac{5n}{2})$ ની ગણતરી કરીએ.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right)$.
$= 192.5 + 137.5 = 330$.