ત્રણ ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માટે,$P(\text{માત્ર } A \text{ અથવા } B \text{ બને}) = P(\text{માત્ર } B \text{ અથવા } C \text{ બને}) = P(\text{માત્ર } C \text{ અથવા } A \text{ બને}) = \frac{1}{4}$ અને $P(\text{ત્રણેય ઘટનાઓ એકસાથે બને}) = \frac{1}{16}$ છે. તો ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના કેટલી છે?

બે મિત્રો $A$ અને $B$ દર સપ્તાહના અંતે કાં તો પાર્ટીમાં અથવા સ્પોર્ટ્સ ક્લબમાં મળે છે. તેઓ સ્પોર્ટ્સ ક્લબમાં મળે તેની સંભાવના $\frac{4}{9}$ છે. પાર્ટીમાં અને ક્લબમાં તેઓ સાથે જમે તેની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{1}{3}$ અને $\frac{2}{5}$ છે. કોઈ એક સપ્તાહના અંતે,તેઓ સાથે જમ્યા વગર છૂટા પડે તેની સંભાવના કેટલી છે?

બે ખેલાડીઓ,$P_1$ અને $P_2$,એકબીજા સામે રમત રમે છે. દરેક રાઉન્ડમાં,દરેક ખેલાડી એક વાર પાસો ફેંકે છે. ધારો કે $x$ અને $y$ એ $P_1$ અને $P_2$ માટેના પરિણામો છે. જો $x > y$,તો $P_1$ ને $5$ પોઈન્ટ અને $P_2$ ને $0$ પોઈન્ટ મળે છે. જો $x = y$,તો દરેકને $2$ પોઈન્ટ મળે છે. જો $x < y$,તો $P_1$ ને $0$ અને $P_2$ ને $5$ પોઈન્ટ મળે છે. ધારો કે $X_n$ અને $Y_n$ એ $n$ રાઉન્ડ પછી $P_1$ અને $P_2$ ના કુલ સ્કોર છે. નીચેનાને જોડો:

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(I)$ $(X_2 \geq Y_2)$ ની સંભાવના છે	$(P)$ $\frac{3}{8}$
$(II)$ $(X_2 > Y_2)$ ની સંભાવના છે	$(Q)$ $\frac{11}{16}$
$(III)$ $(X_3 = Y_3)$ ની સંભાવના છે	$(R)$ $\frac{5}{16}$
$(IV)$ $(X_3 > Y_3)$ ની સંભાવના છે	$(S)$ $\frac{355}{864}$
	$(T)$ $\frac{77}{432}$

બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે બીજા સિક્કા પર કાંટો મળે છે. આ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ કેવી છે?

એક જહાજમાં ત્રણ એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ ફીટ કરેલા છે. એન્જિન એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે અનુક્રમે $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{4}$ સંભાવના સાથે કાર્ય કરે છે. જહાજ કાર્યરત રહે તે માટે તેના ઓછામાં ઓછા બે એન્જિન કાર્યરત હોવા જોઈએ. ધારો કે $X$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે જહાજ કાર્યરત છે અને $X_1, X_2$ અને $X_3$ એ ઘટનાઓ દર્શાવે છે કે અનુક્રમે એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ કાર્યરત છે. નીચેનામાંથી કયું (કયા) સાચું છે?
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{3}{16}$
$(B) P(\text{બરાબર બે એન્જિન કાર્યરત છે} \mid X) = \frac{7}{8}$
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{5}{16}$
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{7}{16}$

ચાર વ્યક્તિઓ $A, B, C$ અને $D$ એક નિષ્પક્ષ પાસો વારાફરતી ફેંકે છે જ્યાં સુધી કોઈ એકને બેકી સંખ્યા ન મળે અને તે રમત જીતે. જો $A$ રમતની શરૂઆત કરે,તો $A$ રમત જીતે તેની સંભાવના કેટલી?