JEE Main 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધરીની સાપેક્ષમાં સળિયા પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ ને કારણે છે,જે ધરીથી $l/2$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે ધરીથી વજનની કાર્યરેખાનું લંબ અંતર $(l/2) \sin \theta$ છે.
તેથી,ટોર્ક $\tau = Mg \cdot (l/2) \sin \theta$ છે.
એક છેડેથી પસાર થતી ધરીની સાપેક્ષમાં $M$ દળ અને $l$ લંબાઈના સમાન સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{Ml^2}{3}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$Mg \frac{l}{2} \sin \theta = \left( \frac{Ml^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{Mg (l/2) \sin \theta}{Ml^2 / 3} = \frac{3g \sin \theta}{2l}$.

(B) આપેલ સંબંધ $T = \frac{rhg}{2} \times 10^3$ છે.
$r = D/2$ હોવાથી,$r$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ એ $D$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ જેટલી જ હોય છે,એટલે કે $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta D}{D}$.
$D$ અને $h$ બંને માટે લઘુત્તમ માપ $\Delta D = \Delta h = 0.01 \times 10^{-2} \; m$ છે.
$T$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta h}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{0.01 \times 10^{-2}}{1.25 \times 10^{-2}} + \frac{0.01 \times 10^{-2}}{1.45 \times 10^{-2}} = \frac{0.01}{1.25} + \frac{0.01}{1.45}$.
ટકાવારી ત્રુટિ $= \left( \frac{0.01}{1.25} + \frac{0.01}{1.45} \right) \times 100 = \frac{1}{1.25} + \frac{1}{1.45} = 0.8 + 0.6896 \approx 1.5 \%$.
આમ,પૃષ્ઠતાણમાં સંભવિત ત્રુટિ $1.5 \%$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ અચળ $(a = -g)$ રહે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = u - gt$,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
ઉપરની તરફની ગતિ (ચઢાણ) દરમિયાન,વેગ ધન હોય છે અને સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે જ્યાં સુધી તે મહત્તમ ઊંચાઈ પર શૂન્ય ન થઈ જાય.
નીચેની તરફની ગતિ (પતન) દરમિયાન,વેગ ઋણ બને છે અને સમય સાથે તેનું મૂલ્ય રેખીય રીતે વધે છે,જે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ દર્શાવે છે.
આલેખ $C$ વેગના ધન મૂલ્યથી શૂન્ય સુધીના આ રેખીય ઘટાડાને અને ત્યારબાદ ઋણ દિશામાં રેખીય વધારાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે કે,અંતિમ ઉર્જા $\frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{8} m v_0^2$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_f^2 = \frac{1}{4} v_0^2$,તેથી $v_f = \frac{v_0}{2}$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$m \frac{dv}{dt} = -kv^2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dv}{v^2} = -\frac{k}{m} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{v_0}^{v_0/2} v^{-2} dv = -\frac{k}{m} \int_{0}^{10} dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય લેતા: $\left[ -\frac{1}{v} \right]_{v_0}^{v_0/2} = -\frac{k}{m} [t]_0^{10}$.
સીમાઓ મૂકતા: $-\left( \frac{2}{v_0} - \frac{1}{v_0} \right) = -\frac{k}{m} (10)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{v_0} = \frac{10k}{m}$ મળે છે.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k = \frac{m}{10v_0} = \frac{10^{-2}}{10 \times 10} = 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$.

(A) આપેલ છે: બળ $F = 6t$,દળ $m = 1 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = ma = m \frac{dv}{dt}$.
$6t = 1 \cdot \frac{dv}{dt} \implies dv = 6t \, dt$.
$t = 0$ થી $t = 1 \ s$ સુધી સંકલન કરતા:
$v = \int_{0}^{1} 6t \, dt = 6 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} = 3 \ m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times (3^2 - 0^2) = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \ J$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 17 + 273 = 290 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 27 + 273 = 300 \ K$.
વાતાવરણીય દબાણ $P = 1 \times 10^5 \ Pa$.
રૂમનું કદ $V = 30 \ m^3$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = N k_B T$ મુજબ અણુઓની સંખ્યા $N = \frac{PV}{k_B T}$ થાય,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K)$ છે.
પ્રારંભિક અણુઓની સંખ્યા $N_i = \frac{PV}{k_B T_i}$.
અંતિમ અણુઓની સંખ્યા $N_f = \frac{PV}{k_B T_f}$.
અણુઓની સંખ્યામાં ફેરફાર $N_f - N_i = \frac{PV}{k_B} \left( \frac{1}{T_f} - \frac{1}{T_i} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $N_f - N_i = \frac{1 \times 10^5 \times 30}{1.38 \times 10^{-23}} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{290} \right)$.
$N_f - N_i = \frac{30 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23}} \left( \frac{290 - 300}{300 \times 290} \right)$.
$N_f - N_i = \frac{30 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23}} \left( \frac{-10}{87000} \right) \approx -2.5 \times 10^{25}$.

(A) $m$ દળ,$l$ લંબાઈ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન નક્કર નળાકારની તેના લંબ દ્વિભાજકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{mR^2}{4} + \frac{ml^2}{12}$
ધારો કે ઘનતા $\rho$ અચળ છે,તેથી દળ $m = \rho V = \rho (\pi R^2 l)$.
$I$ ના સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = \frac{\rho \pi R^2 l R^2}{4} + \frac{\rho \pi R^2 l^3}{12} = \frac{\rho \pi R^4 l}{4} + \frac{\rho \pi R^2 l^3}{12}$
કદ $V = \pi R^2 l$ અચળ હોવાથી,આપણે $R^2 = \frac{V}{\pi l}$ લખી શકીએ. આ કિંમત $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{m}{4} \left( \frac{V}{\pi l} + \frac{l^2}{3} \right)$
જડત્વની ચાકમાત્રા ન્યૂનતમ મેળવવા માટે,આપણે $I$ નું $l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dI}{dl} = \frac{m}{4} \left( -\frac{V}{\pi l^2} + \frac{2l}{3} \right) = 0$
$\frac{V}{\pi l^2} = \frac{2l}{3} \implies V = \frac{2\pi l^3}{3}$
$V = \pi R^2 l$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\pi R^2 l = \frac{2\pi l^3}{3} \implies R^2 = \frac{2l^2}{3} \implies \frac{l^2}{R^2} = \frac{3}{2}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{l}{R} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ થશે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $d$ સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ માં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(d < R)$:
$g = \frac{GM}{R^3} d$
અહીં $G, M,$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$g \propto d$ થાય છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પૃથ્વીની સપાટી પર $(d = R)$:
$g = \frac{GM}{R^2} = g_s$ (મહત્તમ મૂલ્ય).
$3$. પૃથ્વીની બહાર $(d > R)$:
$g = \frac{GM}{d^2}$
અહીં,$g \propto \frac{1}{d^2}$ થાય છે. આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ કેન્દ્રથી સપાટી સુધી રેખીય વધારો અને સપાટી પછી અંતર વધતા હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) ધારો કે મૂળ રેખીય પરિમાણ $L$ છે. નવું રેખીય પરિમાણ $L' = 9L$ છે.
ઘનતા $\rho$ અચળ રહેતી હોવાથી,દળ $m$ એ કદ $V = L^3$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,નવા દળ અને મૂળ દળનો ગુણોત્તર $\frac{m'}{m} = \left(\frac{L'}{L}\right)^3 = 9^3 = 729$ થાય.
પગનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ રેખીય પરિમાણના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $A \propto L^2$.
તેથી,નવા ક્ષેત્રફળ અને મૂળ ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A'}{A} = \left(\frac{L'}{L}\right)^2 = 9^2 = 81$ થાય.
પ્રતિબળ $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં બળ એ વજન $mg$ છે.
$\sigma = \frac{mg}{A}$.
નવા પ્રતિબળ $\sigma'$ અને મૂળ પ્રતિબળ $\sigma$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{\sigma'}{\sigma} = \left(\frac{m'}{m}\right) \times \left(\frac{A}{A'}\right) = \frac{9^3}{9^2} = 9$.
આમ,પગમાં ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ $9$ ના ગુણાંકમાં વધશે.

(B) કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,તાંબાના ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ તાંબાના કેલરીમીટર અને પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે તાંબાના ગોળાનું દળ $m_b = 100 \ gm$,કેલરીમીટરનું દળ $m_c = 100 \ gm$ અને પાણીનું દળ $m_w = 170 \ gm$ છે.
તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_{Cu} = 0.1 \ cal/gm ^\circ C$ અને પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_w = 1 \ cal/gm ^\circ C$ છે.
ગોળાનું પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે અને અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_f = 75 ^\circ C$ છે. કેલરીમીટર અને પાણીનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_0 = 30 ^\circ C$ છે.
ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_b s_{Cu} (T - T_f) = 100 \times 0.1 \times (T - 75) = 10(T - 75)$.
કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_c s_{Cu} (T_f - T_0) = 100 \times 0.1 \times (75 - 30) = 10 \times 45 = 450 \ cal$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_w s_w (T_f - T_0) = 170 \times 1 \times (75 - 30) = 170 \times 45 = 7650 \ cal$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$10(T - 75) = 450 + 7650$
$10T - 750 = 8100$
$10T = 8850$
$T = 885 ^\circ C$.

(A) બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ને દબાણમાં થતો ફેરફાર અને કદ વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$K = \frac{P}{\left( \frac{-\Delta V}{V} \right)} \Rightarrow \frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{K}$
જ્યાં $\Delta V$ એ દબાણ $P$ ને કારણે કદમાં થતો ઘટાડો છે.
જ્યારે ઘનને $\Delta t$ તાપમાન દ્વારા ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે તેનું કદ વધે છે:
$\Delta V = V_0 \gamma \Delta t$
જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $V_0$ એ પ્રારંભિક કદ છે.
ઘન પદાર્થ માટે,કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
ઘનને તેના મૂળ કદમાં પાછું લાવવા માટે,ગરમ કરવાને કારણે થતો કદમાં વધારો એ દબાણને કારણે થયેલા કદમાં ઘટાડા જેટલો હોવો જોઈએ:
$\frac{\Delta V}{V_0} = \gamma \Delta t = 3\alpha \Delta t$
કદ વિકૃતિ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{P}{K} = 3\alpha \Delta t$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta t$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta t = \frac{P}{3\alpha K}$

(C) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_P$ અને $C_V$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_P - C_V = R$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c$ (એકમ દળ દીઠ) એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C$ સાથે $c = \frac{C}{M}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
તેથી,$c_P - c_V = \frac{C_P - C_V}{M} = \frac{R}{M}$.
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ માટે,મોલર દળ $M_H = 2 \ g/mol$ છે. તેથી,$a = \frac{R}{2}$.
નાઇટ્રોજન વાયુ $(N_2)$ માટે,મોલર દળ $M_N = 28 \ g/mol$ છે. તેથી,$b = \frac{R}{28}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{a}{b} = \frac{R/2}{R/28} = \frac{28}{2} = 14$.
તેથી,$a = 14b$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (A \omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t)$.
નિત્યસમ $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$KE = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 + \cos(2\omega t))$.
$t = 0$ પર,$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$t = \frac{T}{4}$ પર,$\omega t = \frac{\pi}{2}$,તેથી $KE = 0$.
$t = \frac{T}{2}$ પર,$\omega t = \pi$,તેથી $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ (મહત્તમ).
ગતિઊર્જા સ્થાનાંતર કરતા બમણી આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે,અને તે $t = 0$ પર મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને $t = \frac{T}{4}$ પર શૂન્ય થાય છે.

(C) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l_{thermal} = l \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સંકોચન બળ $F$ ને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર (સંકોચન વિકૃતિ) $\Delta l_{mechanical} = \frac{Fl}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કારણ કે લંબાઈમાં થતો ચોખ્ખો ફેરફાર શૂન્ય છે, તેથી ગરમ કરવાને કારણે થતું પ્રસરણ એ બળને કારણે થતા સંકોચન દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ:
$\Delta l_{thermal} = \Delta l_{mechanical}$
$l \alpha \Delta T = \frac{Fl}{AY}$
$F$ માટે ઉકેલતા:
$F = A Y \alpha \Delta T$.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $1 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{1}}$,જે સૂચવે છે કે $k = 4 \pi^2 \, N/m$.
બીજા કિસ્સામાં,બે સમાન સ્પ્રિંગો સમાંતરમાં જોડાયેલ છે,તેથી સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k + k = 2k = 2(4 \pi^2) = 8 \pi^2 \, N/m$ થાય.
નવું દળ $M = 8 \, kg$ છે.
નવી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે:
$f' = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{8 \pi^2}{8}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\pi^2} = \frac{\pi}{2 \pi} = 0.5 \, Hz$.

(C) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય (જ્યાં $\theta = 0^\circ$) $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વજન $\frac{3}{4} W$ થાય છે,તેથી અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{3}{4} g$ હોવો જોઈએ.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{4} g = g - \omega^2 R$.
$\omega^2 R$ માટે ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - \frac{3}{4} g = \frac{1}{4} g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \sqrt{\frac{g}{4R}}$.
અહીં $g = 10 \ m/s^2$ અને $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ છે.
$\omega = \sqrt{\frac{10}{4 \times 6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{10}{25.6 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{2.56 \times 10^6}} = \frac{1}{1.6 \times 10^3} \ rad/s$.
$\omega = 0.625 \times 10^{-3} \ rad/s \approx 0.63 \times 10^{-3} \ rad/s$.

(A) જ્યારે પદાર્થ જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $50\%$ થઈ જાય છે. ધારો કે અથડામણ પહેલાંનો વેગ $v$ છે અને અથડામણ પછીનો વેગ $v'$ છે.
$\frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{50}{100} \times \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v' = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
પ્રત્યાવસ્થાન ગુણાંક $e$ ને $e = \frac{v'}{v} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવેલા પદાર્થ દ્વારા અનેક ઉછાળા દરમિયાન કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = h + 2h(e^2) + 2h(e^4) + 2h(e^6) + \dots$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $H = h + 2h \left( \frac{e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$.
$e^2 = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$H = h \left( \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} \right) = h \left( \frac{3/2}{1/2} \right) = 3h$.

(A) $m$ દળના નીચે પડતા પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma$ --- $(i)$
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની ફરતી તકતી માટે ટોર્કનું સમીકરણ:
$RT = I\alpha$
અહીં $I = \frac{1}{2}MR^2$ અને $\alpha = \frac{a}{R}$ હોવાથી:
$RT = (\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}MRa$
$T = \frac{Ma}{2}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$mg - \frac{Ma}{2} = ma$
$mg = ma + \frac{Ma}{2} = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2})$
$a = \frac{2mg}{2m + M}$

(B) ચક્ર $ABCDA$ માં થયેલ કાર્ય $(W)$ એ લંબચોરસ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે:
$W = (2P_0 - P_0) \times (2V_0 - V_0) = P_0 V_0$
પ્રક્રિયા $AB$ અને $BC$ દરમિયાન ઉષ્માનું શોષણ થાય છે:
પ્રક્રિયા $AB$ (સમકદ) માટે: $Q_{AB} = n C_v \Delta T = n (1.5 R) (T_B - T_A) = 1.5 (P_B V_B - P_A V_A) = 1.5 (2P_0 V_0 - P_0 V_0) = 1.5 P_0 V_0$
પ્રક્રિયા $BC$ (સમદાબ) માટે: $Q_{BC} = n C_p \Delta T = n (2.5 R) (T_C - T_B) = 2.5 (P_C V_C - P_B V_B) = 2.5 (4P_0 V_0 - 2P_0 V_0) = 5 P_0 V_0$
કુલ શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_{in})$ = $Q_{AB} + Q_{BC} = 1.5 P_0 V_0 + 5 P_0 V_0 = 6.5 P_0 V_0 = \frac{13}{2} P_0 V_0$
થર્મલ કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ = $\frac{W}{Q_{in}} = \frac{P_0 V_0}{6.5 P_0 V_0} = \frac{1}{6.5} = \frac{2}{13} \approx 0.154$

(A) ધારો કે દળ એ મૂળભૂત રાશિઓ સાથે $M \propto T^x C^y h^z$ મુજબ સંબંધિત છે.
દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે.
આપેલ રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો છે: $[T] = [T]$,$[C] = [L T^{-1}]$,અને $[h] = [M L^2 T^{-1}]$.
આ કિંમતોને સમપ્રમાણતાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [T]^x [L T^{-1}]^y [M L^2 T^{-1}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^z] [L^{y+2z}] [T^{x-y-z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $z = 1$
$L$ માટે: $y + 2z = 0 \implies y + 2(1) = 0 \implies y = -2$
$T$ માટે: $x - y - z = 0 \implies x - (-2) - 1 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$
આમ,દળનું પરિમાણ $[M] = [T^{-1} C^{-2} h^1]$ થાય.

(D) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,એલ્યુમિનિયમના ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
એલ્યુમિનિયમ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m_{Al} \cdot S_{Al} \cdot \Delta T_{Al} = 0.20 \cdot S_{Al} \cdot (150 - 40) = 0.20 \cdot S_{Al} \cdot 110 = 22 \cdot S_{Al}$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{water} = m_{water} \cdot c_{water} \cdot \Delta T_{water} = 0.150 \cdot 4200 \cdot (40 - 27) = 0.150 \cdot 4200 \cdot 13 = 8190\, J$.
કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{cal} = W \cdot c_{water} \cdot \Delta T_{cal} = 0.025 \cdot 4200 \cdot (40 - 27) = 0.025 \cdot 4200 \cdot 13 = 1365\, J$.
ઉષ્માને સરખાવતા: $22 \cdot S_{Al} = 8190 + 1365 = 9555$.
$S_{Al} = \frac{9555}{22} \approx 434.31\, J/kg\cdot ^\circ C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,એલ્યુમિનિયમની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $434\, J/kg\cdot ^\circ C$ છે.

(C) આપેલ છે કે પદાર્થ અચળ ઋણ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,તેથી $a = -C$,જ્યાં $C$ એ ધન અચળાંક છે.
ગતિના સમીકરણ $a = v \frac{dv}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v \frac{dv}{dx} = -C$
$v \, dv = -C \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int v \, dv = \int -C \, dx$
$\frac{v^2}{2} = -Cx + k$
$v^2 = -2Cx + 2k$
આ સમીકરણ $v^2 = -Ax + B$ સ્વરૂપનું પરવલય દર્શાવે છે,જે વેગ-અંતરના આલેખને અનુરૂપ છે જે નીચેની તરફ અંતર્ગોળ છે,જે ધન વેગથી શરૂ થાય છે અને અંતર વધવાની સાથે ઘટીને શૂન્ય થાય છે. આ આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) $SHM$ માં મહત્તમ વેગ $v_{\max} = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$SHM$ માં મહત્તમ પ્રવેગ $A_{\max} = a\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{A_{\max}}{v_{\max}} = 10$ પરથી,$\frac{a\omega^2}{a\omega} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 10\,s^{-1}$.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = a \sin(\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$x = 5\,m$ અને $\phi = \frac{\pi}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $5 = a \sin(\frac{\pi}{4}) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,કંપવિસ્તાર $a = 5\sqrt{2}\,m$.
મહત્તમ પ્રવેગ $A_{\max} = a\omega^2 = (5\sqrt{2}) \cdot (10)^2 = 5\sqrt{2} \cdot 100 = 500\sqrt{2}\,m/s^2$.

(B) સોનોમીટરના તાર માટે,કંપન આવૃત્તિ $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ લૂપ્સ (પ્રસ્પંદ બિંદુઓ) ની સંખ્યા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
$\mu = \pi r^2 \rho$ હોવાથી,આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ બને છે.
સંયુક્ત તાર માટે,આવૃત્તિ $n$ બંને ભાગ $W_1$ અને $W_2$ માટે સમાન છે. ઉપરાંત,$T$,$r$,અને $l$ બંને તાર માટે સમાન છે.
તેથી,$n_1 = n_2 \implies \frac{p_1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho_1}} = \frac{p_2}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho_2}}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $\frac{p_1}{\sqrt{\rho_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{\rho_2}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\rho_2 = 4\rho_1$,તેથી $\frac{p_1}{\sqrt{\rho_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{4\rho_1}} = \frac{p_2}{2\sqrt{\rho_1}}$.
આમ,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{2}$.

(A) અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ નો ગુણોત્તર એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તર માટેનું સૂત્ર $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ છે,જ્યાં $f$ એ સ્વતંત્રતાના અંશોની સંખ્યા છે.
અહીં આપેલ છે કે વાયુ $f = 5$ સ્વતંત્રતાના અંશો ધરાવે છે:
$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $1.4$ છે.

(C) મોમેન્ટ્સના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે કોઈ સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોય,ત્યારે એન્ટિક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ એ ક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ જેટલી હોય છે.
ધારો કે $L_1$ એ ડાબી ભુજાની લંબાઈ છે અને $L_2$ એ જમણી ભુજાની લંબાઈ છે.
ધારો કે $M$ એ દરેક પલ્લાનું દળ છે.
જ્યારે પલ્લા ખાલી હોય અને ત્રાજવું સમક્ષિતિજ હોય,ત્યારે $M \times L_1 = M \times L_2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $L_1 = L_2$.
જો કે,જો પ્રશ્ન મુજબ $5\, mg$ વજન મૂક્યા પછી ત્રાજવું સમક્ષિતિજ થતું હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે સંતુલન જાળવવા માટે ડાબી ભુજા ટૂંકી હોવી જોઈએ.
તેથી,ડાબી ભુજા જમણી ભુજા કરતા ટૂંકી છે.

(A) $N$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $U_i = N \left( \frac{5}{2} RT \right)$ છે.
જ્યારે $n$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુનું એક-પરમાણ્વિક વાયુમાં વિઘટન થાય છે,ત્યારે દરેક દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ બે એક-પરમાણ્વિક પરમાણુઓમાં વિભાજિત થાય છે. આમ,$n$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ $2n$ મોલ એક-પરમાણ્વિક વાયુ ઉત્પન્ન કરે છે.
બાકી રહેલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ $(N-n)$ મોલ છે.
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f$ એ એક-પરમાણ્વિક વાયુ અને બાકી રહેલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_f = (2n) \left( \frac{3}{2} RT \right) + (N-n) \left( \frac{5}{2} RT \right)$.
$U_f = 3nRT + \frac{5}{2}NRT - \frac{5}{2}nRT = \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i$:
$\Delta U = \left( \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT \right) - \left( \frac{5}{2}NRT \right) = \frac{1}{2}nRT$.

(B) બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = \frac{M R^2}{2}$ છે.
દૂર કરેલી તકતીની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{4}$ છે.
તકતી સમાન હોવાથી,દળ ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(M \propto R^2)$. તેથી,દૂર કરેલી તકતીનું દળ $m = M \left( \frac{r}{R} \right)^2 = M \left( \frac{R/4}{R} \right)^2 = \frac{M}{16}$ થાય.
$O'$ માંથી પસાર થતી તેની પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને દૂર કરેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{16} \right) \left( \frac{R}{4} \right)^2 = \frac{M R^2}{512}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને દૂર કરેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{removed} = I_{cm} + m d^2$ થાય,જ્યાં $d = \frac{3R}{4}$ એ $O$ અને $O'$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{removed} = \frac{M R^2}{512} + \left( \frac{M}{16} \right) \left( \frac{3R}{4} \right)^2 = \frac{M R^2}{512} + \frac{9 M R^2}{256} = \frac{M R^2 + 18 M R^2}{512} = \frac{19 M R^2}{512}$.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{remaining} = I_{total} - I_{removed} = \frac{M R^2}{2} - \frac{19 M R^2}{512} = \frac{256 M R^2 - 19 M R^2}{512} = \frac{237 M R^2}{512}$ થાય.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,$t$ સમયે યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ ડેમ્પિંગ અચળાંક છે અને $m$ એ બ્લોકનું દળ છે.
આપણને આપેલ છે કે ઉર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા સુધી ઘટે છે,તેથી $E(t) = E_0 / 2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $E_0 / 2 = E_0 e^{-bt/m}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1/2 = e^{-bt/m}$,અથવા $2 = e^{bt/m}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(2) = bt/m$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = (m/b) \ln(2)$.
અહીં $m = 0.1\, kg$ અને $b = 10^{-2}\, kg\,s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $m/b = 0.1 / 10^{-2} = 10\, s$.
આમ,$t = 10 \times \ln(2) \approx 10 \times 0.693 = 6.93\, s$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી નજીકનું મૂલ્ય $7\, s$ છે.

(B) જ્યારે પદાર્થનું વિસ્તરણ અટકાવવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે,અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
બળ $F$ એ $F = \text{Stress} \times \text{Area} = Y A \alpha \Delta \theta$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો:
$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
$A = 40\,cm^2 = 40 \times 10^{-4}\,m^2 = 4 \times 10^{-3}\,m^2$
$\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,K^{-1}$
$\Delta \theta = 10\,^{\circ}C = 10\,K$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (2 \times 10^{11}) \times (4 \times 10^{-3}) \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 10$
$F = 2 \times 4 \times 1.2 \times 10^{11 - 3 - 5 + 1}$
$F = 9.6 \times 10^4\,N$
નજીકની કિંમત લેતા,$F \approx 1 \times 10^5\,N$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $\theta = 45^\circ$,$r = 0.4\,m$,$g = 10\,m/s^2$.
શંકુ આકારના લોલક માટે,લોલકના ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$ અને વજન $mg$ છે.
તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{r} \quad \dots(i)$
તણાવનો શિરોલંબ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે:
$T \cos \theta = mg \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$
$v^2 = rg \tan \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v^2 = 0.4 \times 10 \times \tan(45^\circ)$
$v^2 = 4 \times 1 = 4$
$v = \sqrt{4} = 2\,m/s$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા $(r \leq R)$ ધરાવતા ગોળાની અંદર સમાવિષ્ટ દળ $M(r)$ નીચે મુજબ છે:
$M(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \frac{k}{r'} 4\pi r'^2 dr' = 4\pi k \int_0^r r' dr' = 2\pi k r^2$.
$r$ અંતરે રહેલા ટેસ્ટ કણનો પ્રવેગ $a = \frac{GM(r)}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r \leq R$ માટે:
$a = \frac{G(2\pi k r^2)}{r^2} = 2\pi G k = \text{અચળ}$.
$r > R$ માટે,કુલ દળ $M = M(R) = 2\pi k R^2$ અચળ રહે છે.
$a = \frac{GM}{r^2} = \frac{G(2\pi k R^2)}{r^2} \propto \frac{1}{r^2}$.
આમ,$r \leq R$ માટે પ્રવેગ અચળ છે અને $r > R$ માટે તે $1/r^2$ મુજબ ઘટે છે. આ વર્તણૂક દર્શાવતો સાચો આલેખ વિકલ્પ $(b)$ છે.

(A) સ્થિત તરંગ માટે આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.5 \sin(\frac{5\pi}{4}x) \cos(200\pi t)$ છે.
આ સમીકરણને સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ મળે છે.
અહીં,$\omega = 200\pi \text{ rad/s}$ અને $k = \frac{5\pi}{4} \text{ rad/m}$ છે.
સ્થિત તરંગ બનાવતા વ્યક્તિગત ગતિશીલ તરંગોની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{5\pi/4} = 200\pi \times \frac{4}{5\pi} = 160 \text{ m/s}$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ અસરકારક લંબાઈ છે.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લઈને વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ મળે છે.
અહીં,અસરકારક લંબાઈ $l$ એ દોરીની લંબાઈ અને ગોળાની ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે. તેથી,ત્રિજ્યામાં ફેરફારને કારણે અસરકારક લંબાઈમાં ફેરફાર $dl = |r_1 - r_2|$ છે.
આવર્તકાળમાં સાપેક્ષ તફાવત $\frac{\Delta T}{T} = 5 \times 10^{-4}$ અને લંબાઈ $l = 1\, m$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ સંબંધમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-4} = \frac{1}{2} \times \frac{|r_1 - r_2|}{1}$.
$|r_1 - r_2| = 2 \times 5 \times 10^{-4} = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3}\, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $10^{-3}\, m = 10^{-1}\, cm = 0.1\, cm$.

(A) ધારો કે દરેક કણનું દળ $M$ છે અને તેમની ઝડપ $v$ છે. અથડામણ પછી,તેઓ $2M$ દળનો એક કણ $C$ બનાવે છે જે $v'$ વેગથી $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે ગતિ કરે છે.
$X$ અને $Y$ અક્ષો પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$X$-અક્ષ પર:
$P_{ix} = P_{fx}$
$Mv \cos(60^{\circ}) - Mv \cos(45^{\circ}) = (2M)v' \cos \theta$
$v(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2v' \cos \theta \quad ... (i)$
$Y$-અક્ષ પર:
$P_{iy} = P_{fy}$
$Mv \sin(60^{\circ}) + Mv \sin(45^{\circ}) = (2M)v' \sin \theta$
$v(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2v' \sin \theta \quad ... (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{v(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})}{v(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

(D) સ્ટ્રીમલાઇન સ્થિતિમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલી નળીઓમાંથી વહેતા પ્રવાહી માટે,પ્રવાહીના વહનનો દર $(V)$ બંને નળીઓ માટે સમાન રહે છે.
પોઇસેયુલના સમીકરણ મુજબ,વહનનો દર $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_1 = V_2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{\pi P_1 r_1^4}{8 \eta l_1} = \frac{\pi P_2 r_2^4}{8 \eta l_2}$
સમીકરણને સરળ બનાવતા:
$\frac{P_1 r_1^4}{l_1} = \frac{P_2 r_2^4}{l_2}$
આપેલ છે કે $P_2 = 4P_1$ અને $l_2 = \frac{l_1}{4}$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P_1 r_1^4}{l_1} = \frac{(4P_1) r_2^4}{l_1 / 4}$
$\frac{P_1 r_1^4}{l_1} = \frac{16 P_1 r_2^4}{l_1}$
$r_1^4 = 16 r_2^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$r_1 = 2 r_2$
તેથી,$r_2 = \frac{r_1}{2}$.

(C) આપેલ છે: કારનો પ્રારંભિક વેગ $u_C = 0$,બસનો પ્રારંભિક વેગ $u_B = 0$. કારનો પ્રવેગ $a_C = 4\, m/s^2$,બસનો પ્રવેગ $a_B = 2\, m/s^2$. તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $s = 200\, m$ છે.
અહીં આપણે સાપેક્ષ ગતિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીશું. બસની સાપેક્ષમાં કારનો સાપેક્ષ પ્રવેગ:
$a_{CB} = a_C - a_B = 4 - 2 = 2\, m/s^2$.
સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગ $u_{CB} = u_C - u_B = 0 - 0 = 0$ છે.
સાપેક્ષ ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$200 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_{CB} \cdot t^2$
$200 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2$
$200 = t^2$
$t = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\, s$.
આમ,કાર $10\sqrt{2}\, s$ પછી બસને પકડી લેશે.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l = 1\, m$ છે. ધારો કે $y$ એ જમીનથી વજનની ઊંચાઈ છે અને $x$ એ સ્થિર પીવટ અને રોલર વચ્ચેનું આડું અંતર છે.
બે સળિયા દ્વારા રચાયેલા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ છે: $(x/2)^2 + y^2 = l^2$.
$l = 1$ મૂકતા,આપણને $x^2/4 + y^2 = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 4y^2 = 4$ થાય છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2x(dx/dt) + 8y(dy/dt) = 0$.
ધારો કે $v_r = dx/dt$ એ રોલરની અચળ ઝડપ છે અને $v_w = dy/dt$ એ વજનની ઝડપ છે.
તેથી $2x v_r + 8y v_w = 0$,જે આપે છે $v_w = -(x v_r) / (4y)$.
વજન ઉપરની તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,આપણે મૂલ્ય ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $v_w = (x v_r) / (4y)$.
$x = \sqrt{4 - 4y^2} = 2\sqrt{1 - y^2}$ મૂકતા,આપણને $v_w = (2\sqrt{1 - y^2} \cdot v_r) / (4y) = v_r \cdot \frac{\sqrt{1 - y^2}}{2y}$ મળે છે.
જેમ રોલર જમણી તરફ ગતિ કરે છે,તેમ અંતર $x$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે ઊંચાઈ $y$ વધે છે.
જેમ $y$ વધે છે,તેમ પદ $\frac{\sqrt{1 - y^2}}{2y}$ ઘટે છે.
તેથી,વજનની ઝડપ $v_w$ જેમ તે ઉપર જાય છે તેમ ઘટે છે.

(C) આપેલ સંબંધ: $p = a^{1/2} b^2 c^3 d^{-4}$.
મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta p}{p} = \frac{1}{2} \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + 3 \frac{\Delta c}{c} + 4 \frac{\Delta d}{d}$.
આપેલ ટકાવારી ત્રુટિઓ મૂકતા:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = \frac{1}{2}(2\%) + 2(1\%) + 3(3\%) + 4(5\%)$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 1\% + 2\% + 9\% + 20\% = 32\%$.
તેથી,$p$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $32\%$ છે.

(D) આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $P = \frac{\text{constant}}{V}$ સંબંધને અનુસરે છે,જેનો અર્થ છે કે $PV = \text{constant}$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જો $PV$ અચળ હોય,તો $T$ પણ અચળ રહેવું જોઈએ $(T = \text{constant})$.
આ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$T-P$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયાને આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (જ્યાં $P$ બદલાય તેમ $T$ અચળ રહે છે).
$P-V$ આલેખ જોતા,બિંદુ $1$ થી $2$ તરફ જતા દબાણ $P$ ઘટે છે (કારણ કે $V$ વધે છે).
તેથી,$T-P$ આલેખમાં,પ્રક્રિયા એક આડી રેખા હોવી જોઈએ જે $1$ થી શરૂ થાય અને $P$ ઘટતા $2$ તરફ જાય.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખમાં $T$ અચળ છે અને $P$ ઘટતા $1$ થી $2$ તરફ જાય છે,તે વિકલ્પ $(d)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2$ છે. પાતળા સમાન સમબાજુ ત્રિકોણની તેના મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{6} M L^2$ છે,જ્યાં $M$ એ ત્રિકોણનું દળ છે. શીટ સમાન હોવાથી,દળ $M$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી $M = \sigma A$,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે. આમ,$I \propto A \cdot L^2 \propto L^2 \cdot L^2 = L^4$.
ધારો કે $I_0$ એ મૂળ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $L$ સાથેની જડત્વની ચાકમાત્રા છે. તેથી,$I_0 = k L^4$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
નાના ત્રિકોણ $DEF$ ની બાજુની લંબાઈ $L/2$ છે. તેનું દળ $m$ એ મૂળ ત્રિકોણના દળ $M$ ના $1/4$ ભાગનું છે કારણ કે તેનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ક્ષેત્રફળના $1/4$ ભાગનું છે. નાના ત્રિકોણ $DEF$ ની તેના પોતાના મધ્યકેન્દ્ર (જે $G$ પણ છે) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{DEF} = k (L/2)^4 = k \frac{L^4}{16} = \frac{I_0}{16}$ છે.
બાકી રહેલી આકૃતિની જડત્વની ચાકમાત્રા એ મૂળ ત્રિકોણ અને દૂર કરેલા ત્રિકોણની જડત્વની ચાકમાત્રા વચ્ચેનો તફાવત છે: $I = I_0 - I_{DEF} = I_0 - \frac{I_0}{16} = \frac{15}{16}I_0$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\vec{T} = \vec{P} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{P} = P \cos \theta \hat{i} + P \sin \theta \hat{j}$ છે.
પ્રથમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E_1} = E\hat{i}$ માટે:
$\vec{T_1} = (P \cos \theta \hat{i} + P \sin \theta \hat{j}) \times (E\hat{i}) = PE \cos \theta (\hat{i} \times \hat{i}) + PE \sin \theta (\hat{j} \times \hat{i}) = 0 - PE \sin \theta \hat{k} = -PE \sin \theta \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{T_1} = \tau \hat{k}$,તેથી $\tau = -PE \sin \theta$.
બીજા વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E_2} = \sqrt{3}E\hat{j}$ માટે:
$\vec{T_2} = (P \cos \theta \hat{i} + P \sin \theta \hat{j}) \times (\sqrt{3}E\hat{j}) = \sqrt{3}PE \cos \theta (\hat{i} \times \hat{j}) + \sqrt{3}PE \sin \theta (\hat{j} \times \hat{j}) = \sqrt{3}PE \cos \theta \hat{k} + 0 = \sqrt{3}PE \cos \theta \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{T_2} = -\vec{T_1} = -(\tau \hat{k}) = -(-PE \sin \theta \hat{k}) = PE \sin \theta \hat{k}$.
$\vec{T_2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\sqrt{3}PE \cos \theta \hat{k} = PE \sin \theta \hat{k}$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.

(D) ધારો કે દરેક સમાંતર હારમાં કેપેસીટર્સની સંખ્યા $n$ છે અને શ્રેણીમાં આવી હારની સંખ્યા $m$ છે.
દરેક કેપેસીટર $300\ V$ સહન કરી શકે છે. $1000\ V$ નો કુલ સ્થિતિમાનનો તફાવત સહન કરવા માટે,શ્રેણીમાં કેપેસીટર્સની સંખ્યા $(m)$ એ $m \times 300 \ge 1000$ શરત સંતોષવી જોઈએ,જે $m \ge 3.33$ આપે છે. આમ,આપણને શ્રેણીમાં ઓછામાં ઓછી $m = 4$ હારની જરૂર છે.
દરેક હાર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $1000/4 = 250\ V$ હશે,જે $300\ V$ ની સુરક્ષિત મર્યાદામાં છે.
સમાંતરમાં $n$ કેપેસીટર્સની એક હારનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{row} = n \times 1\ \mu F = n\ \mu F$ છે.
શ્રેણીમાં આવી $m = 4$ હાર હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{row}} + \frac{1}{C_{row}} + \frac{1}{C_{row}} + \frac{1}{C_{row}} = \frac{4}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_{eq} = 2\ \mu F$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \frac{4}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
કેપેસીટર્સની કુલ સંખ્યા = $m \times n = 4 \times 8 = 32$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર $C$ અને અવરોધ $r_1$ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સર્કિટ બેટરી $E$ અને અવરોધો $r$ તથા $r_2$ ધરાવતી સાદી શ્રેણી સર્કિટમાં ફેરવાય છે.
સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{E}{r + r_2}$
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c$ એ અવરોધ $r_2$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે કારણ કે તેઓ સમાંતર જોડાયેલા છે.
$V_c = i \cdot r_2 = \left( \frac{E}{r + r_2} \right) r_2$
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ એ $Q = C V_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_c$ ની કિંમત મૂકતા:
$Q = C \left( \frac{E r_2}{r + r_2} \right) = CE \frac{r_2}{r + r_2}$

(D) ચાલો કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરીને સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીએ.
ડાબી બાજુના પ્રથમ લૂપને ધ્યાનમાં લો. તેમાં એકબીજાની વિરુદ્ધ જોડાયેલી બે $2 \ V$ ની બેટરી અને એક $1 \ \Omega$ નો અવરોધ છે.
આ લૂપમાં કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $2 \ V - 2 \ V = 0 \ V$ છે.
કુલ $EMF$ શૂન્ય હોવાથી,આ લૂપમાં $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = V/R = 0/1 = 0 \ A$ થશે.
તે જ રીતે,અન્ય લૂપ્સ માટે પણ,બેટરી એવી રીતે ગોઠવાયેલી છે કે તેમનો પોટેન્શિયલ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
તેથી,સર્કિટમાં કોઈપણ અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
દરેક અવરોધમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $0 \ A$ છે.

(B) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,નલ ડિફ્લેક્શન માટેની શરત $R_1/R_3 = R_2/R_4$ છે. જો સેલ અને ગેલ્વેનોમીટરની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો નલ ડિફ્લેક્શન માટેની નવી શરત $R_1/R_2 = R_3/R_4$ બને છે,જે ગાણિતિક રીતે મૂળ શરતને સમકક્ષ છે. તેથી,નલ પોઈન્ટ બદલાતો નથી. આથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ,$i_{g} = 5 \times 10^{-3} \ A$.
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$G = 15 \ \Omega$.
ગેલ્વેનોમીટરને $V$ રેન્જના વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ $R$ જોડવો પડે છે.
સૂત્ર: $V = i_{g}(R + G)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $10 = 5 \times 10^{-3} \times (R + 15)$.
$R + 15 = \frac{10}{5 \times 10^{-3}} = 2000$.
$R = 2000 - 15 = 1985 \ \Omega$.
$R = 1.985 \times 10^{3} \ \Omega$.

(A) આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ,$M = 6.7 \times 10^{-2} \ Am^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.01 \ T$
જડત્વની ચાકમાત્રા,$I = 7.5 \times 10^{-6} \ kgm^2$
સરળ આવર્ત ગતિ કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{7.5 \times 10^{-6}}{6.7 \times 10^{-2} \times 0.01}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{7.5 \times 10^{-6}}{6.7 \times 10^{-4}}}$
$T = 2\pi \sqrt{1.1194 \times 10^{-2}}$
$T = 2\pi \times 0.1058 \approx 0.665 \ s$
$10$ પૂર્ણ દોલનો માટે લાગતો સમય:
$t = 10 \times T = 10 \times 0.665 = 6.65 \ s$

(B) અપસારી લેન્સ માટે,આપાત પ્રકાશ સમાંતર હોવાથી,પ્રતિબિંબ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે. તે અપસારી લેન્સ હોવાથી,$f_1 = -25\ cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_1 = \infty$,આપણને $v_1 = f_1 = -25\ cm$ મળે છે.
આ પ્રતિબિંબ અભિસારી લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 15\ cm$ છે.
તેથી,અભિસારી લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = -(25 + 15) = -40\ cm$ થશે.
અભિસારી લેન્સ માટે,$f_2 = +20\ cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2-1}{40} = \frac{1}{40}$
$v_2 = +40\ cm$.
અહીં $v_2$ ધન હોવાથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને તે અભિસારી લેન્સથી $40\ cm$ ના અંતરે રચાય છે.

(B) આપેલ છે: $A$ નું દળ $= m$,$B$ નું દળ $= \frac{m}{2}$. $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $= v$,$B$ નો પ્રારંભિક વેગ $= 0$.
ધારો કે અથડામણ પછી $A$ અને $B$ ના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = mv_1 + (\frac{m}{2})v_2 \implies v = v_1 + \frac{v_2}{2} \implies 2v = 2v_1 + v_2$ ... $(i)$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,પુનઃસ્થાપન ગુણાંક $e = 1$,તેથી $v_2 - v_1 = v - 0 \implies v_2 = v + v_1$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2v = 2v_1 + (v + v_1) \implies v = 3v_1 \implies v_1 = \frac{v}{3}$.
તેથી $v_2 = v + \frac{v}{3} = \frac{4v}{3}$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{p_B}{p_A} = \frac{m_B v_2}{m_A v_1} = \frac{(\frac{m}{2}) \times (\frac{4v}{3})}{m \times (\frac{v}{3})} = \frac{\frac{2mv}{3}}{\frac{mv}{3}} = 2$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$\varepsilon = iR$,જ્યાં $i$ એ પ્રેરિત પ્રવાહ છે અને $R$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $iR = \frac{d\phi}{dt}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d\phi = R \cdot i \cdot dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો કુલ ફેરફાર $\Delta\phi = R \int i \, dt$ દ્વારા મળે છે.
સંકલન $\int i \, dt$ એ પ્રવાહ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ક્ષેત્રફળ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $= 0.5 \, s$ અને ઊંચાઈ $= 10 \, A$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10 = 2.5 \, C$.
તેથી,ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $\Delta\phi = R \times \text{ક્ષેત્રફળ} = 100 \, \Omega \times 2.5 \, C = 250 \, Wb$ છે.

(B) પ્રકાશિત શલાકાઓ સંપાત થાય તે માટે,પથ તફાવત બંને તરંગલંબાઇઓના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોવો જોઈએ. ધારો કે $\lambda_1 = 650 \ nm$ માટે ક્રમ $n_1$ છે અને $\lambda_2 = 520 \ nm$ માટે ક્રમ $n_2$ છે.
સંપાત થવાની શરત $y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{520 \ nm}{650 \ nm} = \frac{4}{5}$.
લઘુત્તમ અંતર માટે,આપણે સૌથી નાના પૂર્ણાંકો $n_1 = 4$ અને $n_2 = 5$ લઈએ છીએ.
હવે,$n_1 = 4$,$\lambda_1 = 650 \times 10^{-9} \ m$,$D = 1.5 \ m$,અને $d = 0.5 \times 10^{-3} \ m$ નો ઉપયોગ કરીને સ્થાન $y$ ની ગણતરી કરીએ:
$y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \times 650 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.5 \times 10^{-3}} \ m$.
$y = \frac{4 \times 650 \times 1.5}{0.5} \times 10^{-6} \ m = 7800 \times 10^{-6} \ m = 7.8 \times 10^{-3} \ m = 7.8 \ mm$.

(C) અવલોકનકાર પ્રકાશની ઝડપના નોંધપાત્ર અંશ જેટલી ઝડપે ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,આપણે સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે સાપેક્ષ ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો પડશે:
$f = f_0 \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$
આપેલ છે:
$f_0 = 10 \ GHz$
$v = \frac{c}{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$f = 10 \sqrt{\frac{c + c/2}{c - c/2}}$
$f = 10 \sqrt{\frac{3c/2}{c/2}}$
$f = 10 \sqrt{3}$
$f \approx 10 \times 1.732 = 17.32 \ GHz$
આમ,અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $17.3 \ GHz$ છે.

(A) $X$-રે ટ્યુબમાં,લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\min}$ એ ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln \lambda_{\min} = \ln \left(\frac{hc}{e}\right) - \ln V$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \ln \lambda_{\min}$,$x = \ln V$,અને ઢાળ $m = -1$ છે.
જેથી ઢાળ $-1$ (જે ઋણ છે) હોવાથી,$\log \lambda_{\min}$ વિરુદ્ધ $\log V$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) ઉર્જા સ્તરની આકૃતિ પરથી,આપણે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ ને અનુરૂપ સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_1 = -E - (-2E) = E$ છે.
તેથી,$\frac{hc}{\lambda_1} = E$,જે આપે છે $\lambda_1 = \frac{hc}{E}$.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ ને અનુરૂપ સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_2 = -E - (-\frac{4}{3}E) = \frac{1}{3}E$ છે.
તેથી,$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{E}{3}$,જે આપે છે $\lambda_2 = \frac{3hc}{E}$.
ગુણોત્તર $r = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{hc/E}{3hc/E} = \frac{1}{3}$ થાય છે.

(B) ધારો કે શરૂઆતમાં $A$ ના ન્યુક્લિયસની કુલ સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર,$A$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_A$ અને $B$ ની સંખ્યા $N_B$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{N_B}{N_A} = 0.3$,તેથી $N_B = 0.3 N_A$.
ન્યુક્લિયસની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે: $N_0 = N_A + N_B = N_A + 0.3 N_A = 1.3 N_A$.
આમ,$N_A = \frac{N_0}{1.3}$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$N_A = N_0 e^{-\lambda t}$.
$N_A$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{N_0}{1.3} = N_0 e^{-\lambda t}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{\lambda t} = 1.3$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\lambda t = \ln(1.3)$.
કારણ કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,તેથી $t = \frac{\ln(1.3)}{\lambda} = \frac{\ln(1.3)}{\ln 2} T$.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\ln(1.3)}{\ln 2} = \frac{\log 1.3}{\log 2}$.
તેથી,$t = T \frac{\log 1.3}{\log 2}$.

(D) $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં,ઇનપુટ સિગ્નલ બેઝ-એમિટર જંકશન પર આપવામાં આવે છે અને આઉટપુટ કલેક્ટર-એમિટર જંકશનમાંથી લેવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ વધે છે,ત્યારે બેઝ કરંટ વધે છે,જે બદલામાં કલેક્ટર કરંટમાં વધારો કરે છે.
કલેક્ટર સાથે જોડાયેલા લોડ રઝિસ્ટર $R_C$ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપને કારણે,કલેક્ટર કરંટમાં વધારો થવાથી કલેક્ટર-એમિટર આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,આઉટપુટ વોલ્ટેજ એ ઇનપુટ વોલ્ટેજ સાથે $180^o$ ના ફેઝ તફાવત (વિરુદ્ધ કળા) માં હોય છે.

(A) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,મોડ્યુલેટેડ તરંગને નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $E = E_c \sin(\omega_c t) + \frac{\mu E_c}{2} \cos((\omega_c - \omega_m)t) - \frac{\mu E_c}{2} \cos((\omega_c + \omega_m)t)$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મોડ્યુલેટેડ તરંગ ત્રણ અલગ-અલગ ફ્રીક્વન્સી ઘટકો ધરાવે છે: કેરિયર ફ્રીક્વન્સી $\omega_c$,લોઅર સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી $(\omega_c - \omega_m)$,અને અપર સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી $(\omega_c + \omega_m)$.
સિગ્નલ ફ્રીક્વન્સી $\omega_m$ પોતે અંતિમ મોડ્યુલેટેડ તરંગમાં ફ્રીક્વન્સી ઘટક તરીકે હાજર હોતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $x$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયર $PQ$ નો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કી $K_3$ ને $2$ અને $1$ ની વચ્ચે લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે $R_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સંતુલિત થાય છે:
$V_1 = I R_1 = x l_1$
જ્યારે કી $K_3$ ને $3$ અને $1$ ની વચ્ચે લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે $R_1$ અને $R_2$ ના શ્રેણી જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સંતુલિત થાય છે:
$V_2 = I (R_1 + R_2) = x l_2$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{I R_1}{I (R_1 + R_2)} = \frac{x l_1}{x l_2}$
$\frac{R_1}{R_1 + R_2} = \frac{l_1}{l_2}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{R_1 + R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$
$1 + \frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} - 1 = \frac{l_2 - l_1}{l_1}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2 - l_1}$ મળે છે.

(D) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $V_m$ અને કેરિયર વેવના પીક વોલ્ટેજ $V_c$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = \frac{V_m}{V_c} = \frac{5 \, V}{25 \, V} = 0.2$.
આપેલ છે કે,કેરિયર વેવની આવૃત્તિ $f_c = 1.2 \, MHz = 1200 \, kHz$.
મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલની આવૃત્તિ $f_m = 20 \, kHz$.
સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $f_c \pm f_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોઅર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $= f_c - f_m = 1200 \, kHz - 20 \, kHz = 1180 \, kHz$.
અપર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $= f_c + f_m = 1200 \, kHz + 20 \, kHz = 1220 \, kHz$.
આમ,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $0.2$ છે અને સાઇડબેન્ડ્સ $1180 \, kHz$ અને $1220 \, kHz$ પર છે.

(B) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન માટે,$n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $b \sin \theta = n \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$,જ્યાં $x$ એ મધ્યસ્થ અધિકતમથી અંતર છે અને $D$ એ પડદાનું અંતર છે.
તેથી,$x_n = \frac{n \lambda D}{b}$.
આપેલ છે કે $n=2$ માટે,$x_2 = 3\,cm$ અને $n=4$ માટે,$x_4 = 6\,cm$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x_n = n \left( \frac{\lambda D}{b} \right)$.
$n=2$ માટે: $3 = 2 \left( \frac{\lambda D}{b} \right) \Rightarrow \frac{\lambda D}{b} = 1.5\,cm$.
$n=4$ માટે: $6 = 4 \left( \frac{\lambda D}{b} \right) \Rightarrow \frac{\lambda D}{b} = 1.5\,cm$.
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ એ બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $w = 2x_1$ છે.
કારણ કે $x_1 = 1 \left( \frac{\lambda D}{b} \right) = 1.5\,cm$,તેથી મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $w = 2 \times 1.5 = 3\,cm$ થાય.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -mB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્ક મહત્તમ થવા માટે,$\sin \theta = 1$ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 90^{\circ}$ પર થાય છે.
સ્થિતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં $\theta = 90^{\circ}$ મૂકતા: $U = -mB \cos(90^{\circ}) = -mB(0) = 0$.
તેથી,જ્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય ત્યારે સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે.

(D) ભારિત ગોળાકાર વાહકમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $U = 4.5\, J$ અને $Q = 4\,\mu C = 4 \times 10^{-6}\, C$.
કિંમતો મૂકતા: $4.5 = \frac{(4 \times 10^{-6})^2}{2C} = \frac{16 \times 10^{-12}}{2C}$.
$C = \frac{16 \times 10^{-12}}{9} = 1.77 \times 10^{-12}\, F$.
ગોળાકાર વાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi\varepsilon_0 R$ છે.
તેથી,$R = \frac{C}{4\pi\varepsilon_0} = C \times (9 \times 10^9)$.
$R = \frac{16 \times 10^{-12}}{9} \times 9 \times 10^9 = 16 \times 10^{-3}\, m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $R = 16\, mm$.

(B) સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં,બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે સ્થાન $\vec{r}$ પર સ્થિતિમાન $V = V_P - \vec{E} \cdot \vec{r} = V_P - Er \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ત્રિજ્યા સદિશ અને ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિમાન $V_{min} = V_P - Er$ (જ્યાં $\theta = 0^o$) અને $V_{max} = V_P + Er$ (જ્યાં $\theta = 180^o$) ની વચ્ચે બદલાય છે.
આપેલ છે કે $V_{min} = 589.0\,V$ અને $V_{max} = 589.8\,V$,તેથી વ્યાસ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $2Er = 589.8 - 589.0 = 0.8\,V$ થાય. આમ,$Er = 0.4\,V$.
કેન્દ્રનું સ્થિતિમાન $V_P$ એ સરેરાશ છે: $V_P = (589.0 + 589.8) / 2 = 589.4\,V$.
$\theta = 60^o$ ખૂણે આવેલા બિંદુ માટે,સ્થિતિમાન $V = V_P - Er \cos(60^o) = 589.4 - 0.4 \times 0.5 = 589.4 - 0.2 = 589.2\,V$ થાય.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ ના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (જે $kx + \omega t$ દ્વારા સૂચવાય છે),તેથી પ્રસરણની દિશા $\vec E \times \vec B$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
પ્રસરણની દિશા $-\hat i$ છે.
આપેલ છે કે $\vec B$ એ $\hat j$ દિશામાં છે,તેથી $\vec E \times (B_0 \hat j) \propto -\hat i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat k \times \hat j = -\hat i$,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\hat k$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
આમ,$\vec E = E_0 \sin(kx + \omega t) \hat k = B_0 c \sin(kx + \omega t) \hat k \ V/m$.

(B) વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભાર $e$ ને સમયગાળા $T$ વડે ભાગતા મળે છે,તેથી $I = \frac{e}{T}$.
સમયગાળો $T = \frac{2\pi r}{v}$ છે,જ્યાં $v$ એ કક્ષીય વેગ છે.
આમ,$I = \frac{ev}{2\pi r}$.
આ કિંમતને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ અને વેગ $v \propto n^{-1}$ છે.
આ પ્રમાણસરતાઓને મૂકતા: $B \propto \frac{n^{-1}}{(n^2)^2} = \frac{n^{-1}}{n^4} = n^{-5}$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $n^{-5}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max} = h n - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$n$ આવૃત્તિ છે અને $\phi$ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{1}{2} m v^2 = h n - \phi$ ..... $(i)$
$3n$ આવૃત્તિવાળા બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{1}{2} m (v^{\prime})^2 = 3 h n - \phi$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$h n = \frac{1}{2} m v^2 + \phi$. આ કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m (v^{\prime})^2 = 3 (\frac{1}{2} m v^2 + \phi) - \phi$
$\frac{1}{2} m (v^{\prime})^2 = \frac{3}{2} m v^2 + 2 \phi$
$(v^{\prime})^2 = 3 v^2 + \frac{4 \phi}{m}$
કારણ કે $\phi > 0$,તેથી $(v^{\prime})^2 > 3 v^2$,જેનો અર્થ છે કે $v^{\prime} > \sqrt{3} v$.
તેથી,મહત્તમ વેગ $\sqrt{3} v$ કરતા વધારે હશે.

(A) સેમિકન્ડક્ટરની વાહકતાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\sigma = e(n_e \mu_e + n_h \mu_h)$
આપેલ કિંમતો:
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$n_e = 5 \times 10^{18} \, m^{-3}$
$n_h = 5 \times 10^{19} \, m^{-3}$
$\mu_e = 2.0 \, m^2 \, V^{-1} \, s^{-1}$
$\mu_h = 0.01 \, m^2 \, V^{-1} \, s^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sigma = 1.6 \times 10^{-19} \times [(5 \times 10^{18} \times 2.0) + (5 \times 10^{19} \times 0.01)]$
$\sigma = 1.6 \times 10^{-19} \times [10 \times 10^{18} + 0.05 \times 10^{19}]$
$\sigma = 1.6 \times 10^{-19} \times [10^{19} + 0.5 \times 10^{18}]$
$\sigma = 1.6 \times 10^{-19} \times [10.5 \times 10^{18}]$
$\sigma = 1.6 \times 1.05 = 1.68 \, (\Omega \cdot m)^{-1}$

(B) આલેખ પરથી,ફોરવર્ડ બાયસ માટે:
ફોરવર્ડ બાયસ અવરોધ $R_f = \frac{\Delta V}{\Delta I} = \frac{0.8 - 0.7}{(20 - 10) \times 10^{-3} \text{ A}} = \frac{0.1}{10 \times 10^{-3}} = \frac{0.1}{0.01} = 10 \, \Omega$.
રિવર્સ બાયસ માટે:
રિવર્સ બાયસ અવરોધ $R_r = \frac{V}{I} = \frac{10 \text{ V}}{1 \times 10^{-6} \text{ A}} = 10^7 \, \Omega$.
ફોરવર્ડ બાયસ અને રિવર્સ બાયસ અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_f}{R_r} = \frac{10}{10^7} = 10^{-6}$ થાય.

(A) બે સમકેન્દ્રીય વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ નાના અંદરના લૂપની ત્રિજ્યા છે અને $b$ એ મોટા બહારના લૂપની ત્રિજ્યા છે $(b \gg a)$.
બહારના લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I = I_0 \cos (\omega t)$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,અંદરના લૂપમાં પ્રેરિત emf $e = -M \frac{dI}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$e = -\left( \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b} \right) \frac{d}{dt} [I_0 \cos (\omega t)]$
$e = -\left( \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b} \right) I_0 [-\omega \sin (\omega t)]$
$e = \frac{\pi \mu_0 I_0}{2} \cdot \frac{a^2}{b} \omega \sin (\omega t)$.

(A) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $x\,\Omega$ છે. નેટવર્ક અનંત હોવાથી,તેમાં એક વધારાનો વિભાગ ઉમેરવાથી સમતુલ્ય અવરોધ બદલાતો નથી.
પરિપથને અનંત ભાગને $x\,\Omega$ વડે બદલીને સરળ બનાવી શકાય છે. $4\,\Omega$ નો અવરોધ $x\,\Omega$ સાથે સમાંતર છે,અને આ સંયોજન બે $1\,\Omega$ અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે (એક ઉપરની શાખામાં અને એક નીચેની શાખામાં).
આમ,$x = 1 + 1 + \frac{4x}{4+x} = 2 + \frac{4x}{4+x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{2(4+x) + 4x}{4+x} = \frac{8 + 2x + 4x}{4+x} = \frac{8 + 6x}{4+x}$.
$x(4+x) = 8 + 6x \implies x^2 + 4x = 8 + 6x \implies x^2 - 2x - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-4)(x+2) = 0$. અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $x = 4\,\Omega$.
આંતરિક અવરોધ $r = 0.5\,\Omega$ સહિત પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = x + r = 4 + 0.5 = 4.5\,\Omega$ છે.
એમીટર $A_1$ નું રીડિંગ $I = \frac{V_{battery}}{R_{eq}} = \frac{9}{4.5} = 2\, A$ છે.
વોલ્ટમીટર $V$ નું રીડિંગ બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ છે: $V_{terminal} = V_{battery} - I \cdot r = 9 - (2 \times 0.5) = 9 - 1 = 8\, V$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું વિધાન એ છે કે $A_1$ નું રીડિંગ $2\, A$ છે.

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{\sin i}{\sin r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = A$ છે અને પરાવર્તિત તથા વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે. પરાવર્તિત કિરણ લંબ સાથે $A$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી પરાવર્તિત કિરણ અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $90^o - A$ થાય. પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ હોવાથી,વક્રીભૂત કિરણ અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $180^o - 90^o - (90^o - A) = A$ થશે. આમ,વક્રીભૂતકોણ $r = 90^o - A$ મળે.
આ કિંમતો સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $\frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{\sin A}{\sin(90^o - A)} = \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ માટે $\sin \theta_C = \frac{\mu_R}{\mu_D}$ થાય છે.
તેથી,$\tan A = \sin \theta_C$,જેનો અર્થ છે કે $A = \tan^{-1}(\sin \theta_C)$.

(D) લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,વીજભાર $q$ પર લાગતું કુલ બળ $\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$ છે.
કારણ કે વીજભાર કોઈ બળ અનુભવતો નથી,$\vec F = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec E + \vec v \times \vec B = 0$,અથવા $\vec E = -(\vec v \times \vec B)$.
આપેલ છે કે $\vec v = v_0(3\hat i - \hat j + 2\hat k)$ અને $\vec B = B_0(\hat i + 2\hat j - 4\hat k)$,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec v \times \vec B$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec v \times \vec B = v_0 B_0 \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix}$
$= v_0 B_0 [\hat i((-1)(-4) - (2)(2)) - \hat j((3)(-4) - (2)(1)) + \hat k((3)(2) - (-1)(1))]$
$= v_0 B_0 [\hat i(4 - 4) - \hat j(-12 - 2) + \hat k(6 + 1)]$
$= v_0 B_0 [0\hat i + 14\hat j + 7\hat k] = v_0 B_0(14\hat j + 7\hat k)$.
તેથી,$\vec E = -(\vec v \times \vec B) = -v_0 B_0(14\hat j + 7\hat k)$.

(C) આપેલ છે કે,મોનોક્રોમેટિક રેડિયેશનનો વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટક $\vec E = 2E_0 \hat i \cos kz \cos \omega t$ છે.
મેક્સવેલના સમીકરણો મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ વચ્ચેનો સંબંધ $\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$ છે.
$z$-દિશામાં પ્રસરતા તરંગ માટે,જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-દિશામાં છે,ત્યારે આ સંબંધ $\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$ તરીકે લખી શકાય.
$E_x$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial E_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (2E_0 \cos kz \cos \omega t) = -2E_0 k \sin kz \cos \omega t$.
આ કિંમતને સંબંધમાં મૂકતા: $-2E_0 k \sin kz \cos \omega t = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$.
તેથી,$\frac{\partial B_y}{\partial t} = 2E_0 k \sin kz \cos \omega t$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$B_y = \int 2E_0 k \sin kz \cos \omega t \, dt = 2E_0 k \sin kz \left( \frac{\sin \omega t}{\omega} \right) = \frac{2E_0 k}{\omega} \sin kz \sin \omega t$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{\omega}{k}$,તેથી $\frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}$.
આમ,$B_y = \frac{2E_0}{c} \sin kz \sin \omega t$.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $z$-અક્ષ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ પર છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષ $(\hat j)$ પર હશે.
તેથી,$\vec B = \frac{2E_0}{c} \hat j \sin kz \sin \omega t$.

(D) મીટર બ્રિજની સંતુલિત સ્થિતિમાં,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ છેડા $A$ થી તટસ્થ બિંદુનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,$P = 4\,\Omega$ અને $l = 60\,cm$ છે. તેથી,$100-l = 40\,cm$.
આ કિંમતોને સંતુલન શરતમાં મૂકતા:
$\frac{4}{Q} = \frac{60}{40}$
$\frac{4}{Q} = \frac{3}{2}$
$Q = \frac{8}{3}\,\Omega$.
હવે,એક અજ્ઞાત અવરોધ $R$ ને $P$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,તેથી નવો અવરોધ $P' = P + R = 4 + R$ થાય છે. નવું તટસ્થ બિંદુ $l' = 80\,cm$ પર છે,તેથી $100-l' = 20\,cm$.
ફરીથી સંતુલન શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4+R}{Q} = \frac{80}{20}$
$\frac{4+R}{8/3} = 4$
$4+R = 4 \times \frac{8}{3}$
$4+R = \frac{32}{3}$
$R = \frac{32}{3} - 4 = \frac{32-12}{3} = \frac{20}{3}\,\Omega$.
આમ,અજ્ઞાત અવરોધ $R$ નું મૂલ્ય $\frac{20}{3}\,\Omega$ છે.

(A) સિગ્નલના કાર્યક્ષમ પ્રસારણ અને ગ્રહણ માટે,રેખીય એન્ટેનાની લંબાઈ $l$ એ સિગ્નલની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ને તુલનાત્મક હોવી જોઈએ. સામાન્ય રીતે,$l = \frac{\lambda}{4}$ અથવા $l = \frac{\lambda}{2}$ એ પ્રમાણભૂત લંબાઈ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,લંબાઈ $\lambda$ નો એક ભાગ હોવી જોઈએ.
રેખીય એન્ટેના દ્વારા વિકિરણિત પાવર $P_{eff}$ એ એન્ટેનાની લંબાઈ અને તરંગલંબાઈના ગુણોત્તરના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. ખાસ કરીને,$P_{eff} \propto \left(\frac{l}{\lambda}\right)^2$. પાવર વિકિરણ તરંગલંબાઈના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P_{eff} \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
આમ,$P_{eff} = K \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2$. વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ પાવર માટે સાચો સંબંધ આપે છે.

(B) આપેલ છે: પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 283 \, V$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 320 \, rad/s$,અવરોધ $R = 5 \, \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 25 \, mH = 25 \times 10^{-3} \, H$,અને કેપેસીટન્સ $C = 1000 \, \mu F = 10^{-3} \, F$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 320 \times 25 \times 10^{-3} = 8 \, \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{320 \times 10^{-3}} = 3.125 \, \Omega$.
સર્કિટનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{5^2 + (8 - 3.125)^2} = \sqrt{25 + (4.875)^2} \approx 7 \, \Omega$.
ફેઝ તફાવત $\phi$:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{4.875}{5} \approx 0.975 \approx 1$.
આમ,$\phi \approx 45^{\circ}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.1\, mm = 10^{-4}\, m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000\, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10}\, m = 6 \times 10^{-7}\, m$.
પડદાનું અંતર $D = 0.5\, m$.
સિંગલ સ્લિટ વિવર્તનમાં $n^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$, જ્યાં $x$ એ મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી અંતર છે।
તેથી, $a \left( \frac{x}{D} \right) = n \lambda \implies x = \frac{n \lambda D}{a}$.
ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા $(n = 3)$ માટે:
$x = \frac{3 \times (6 \times 10^{-7}\, m) \times 0.5\, m}{10^{-4}\, m}$.
$x = \frac{9 \times 10^{-7}}{10^{-4}}\, m = 9 \times 10^{-3}\, m = 9\, mm$.

(A) આપેલ છે: લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 15 \, cm$,વસ્તુ અંતર $u = -20 \, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f_l} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4-3}{60} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v = 60 \, cm$. પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુએ $60 \, cm$ અંતરે રચાય છે.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ સંપાત થાય તે માટે,કિરણોએ બહિર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો કિરણો બહિર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ તરફ નિર્દેશિત હોય.
લેન્સથી અરીસાનું અંતર $d = 5 \, cm$ છે. અરીસાથી વક્રતા કેન્દ્રનું અંતર $R = 2f_m$ છે.
લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ લેન્સથી $60 \, cm$ અંતરે છે. અરીસો લેન્સથી $5 \, cm$ દૂર હોવાથી,અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $60 - 5 = 55 \, cm$ થાય.
આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 55 \, cm$ છે.
$R = 2f_m$ હોવાથી,બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = \frac{55}{2} = 27.5 \, cm$ મળે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = 100\, \Omega$,પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$,અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = r/2$.
તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ફરીથી બનાવતી વખતે તેનું કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \cdot l = \text{અચળ}$.
અવરોધના સૂત્રમાં $l = V/A$ મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho V}{A^2}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{A^2}$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{(\pi r^2)^2} \propto \frac{1}{r^4}$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{100} = \left( \frac{r}{r/2} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
$R_2 = 16 \times 100 = 1600\, \Omega$.

(C) સર્કિટ $I$ માટે: અવરોધો એવી રીતે જોડાયેલા છે કે સમતુલ્ય અવરોધ $R_I = 1\,\Omega$ છે.
સર્કિટ $II$ માટે: આ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે જેમાં બધા અવરોધો $1\,\Omega$ છે. મધ્યના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{II} = (1+1) \parallel (1+1) = 2 \parallel 2 = 1\,\Omega$ છે.
સર્કિટ $III$ માટે: આ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે જે બીજા $1\,\Omega$ અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. બ્રિજ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $1\,\Omega$ છે,તેથી $R_{III} = 1 + 1 = 2\,\Omega$ છે.
અવરોધોની સરખામણી કરતા: $R_{III} > R_I = R_{II}$.
પાવર વ્યય $P = V^2 / R$ હોવાથી,અચળ વોલ્ટેજ $V$ માટે,$P \propto 1/R$.
તેથી,$P_{II} = P_I > P_3$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો સંબંધ $P_2 > P_1 > P_3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 660\,nm = 660 \times 10^{-9}\,m$,પાવર $P = 0.5\,kW = 0.5 \times 10^3\,W$,પલ્સની પહોળાઈ $t = 60\,ms = 60 \times 10^{-3}\,s$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.62 \times 10^{-34}\,Js$,પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8\,m/s$.
પલ્સની કુલ ઉર્જા $E = P \times t$ દ્વારા મળે છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{E}{E_{photon}} = \frac{P \times t \times \lambda}{h \times c}$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{0.5 \times 10^3 \times 60 \times 10^{-3} \times 660 \times 10^{-9}}{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$6.62 \approx 6.6$ લેતા:
$n = \frac{0.5 \times 60 \times 660 \times 10^{-9}}{6.6 \times 3 \times 10^{-26}} \approx 10^{20}$.
આમ,ફોટોનની સંખ્યા $10^{20}$ છે.

(B) આપેલ છે,$CE$ એમ્પ્લીફાયરનો કરંટ ગેઈન $\beta = 69$ અને એમિટર કરંટ $I_{E} = 7.0\,mA$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કલેક્ટર કરંટ $I_{C}$ અને એમિટર કરંટ $I_{E}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I_{C} = \alpha I_{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ કોમન બેઝ કોન્ફિગરેશનમાં કરંટ ગેઈન છે.
$\alpha$ અને $\beta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\alpha = \frac{\beta}{1 + \beta}$ છે.
$\beta = 69$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\alpha = \frac{69}{1 + 69} = \frac{69}{70}$ મળે છે.
હવે,કલેક્ટર કરંટની ગણતરી કરતા: $I_{C} = \left( \frac{69}{70} \right) \times 7.0\,mA$.
$I_{C} = 69 \times 0.1 = 6.9\,mA$.

(C) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
સપાટી $S_1$ માટે: ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $2q$ છે. તેથી,$\phi_1 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
સપાટી $S_2$ માટે: ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q, q, q, -q$ છે. કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q + q + q - q = 2q$ છે. તેથી,$\phi_2 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
સપાટી $S_3$ માટે: ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q, q$ છે. વિદ્યુતભાર $5q$ સપાટીની બહાર છે,તેથી તે ફ્લક્સમાં ફાળો આપતું નથી. કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q + q = 2q$ છે. તેથી,$\phi_3 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
સપાટી $S_4$ માટે: ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $8q, -2q, -4q$ છે. વિદ્યુતભાર $3q$ સપાટીની બહાર છે. કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $8q - 2q - 4q = 2q$ છે. તેથી,$\phi_4 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\phi_1 = \phi_2 = \phi_3 = \phi_4 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
આમ,બધી સપાટીઓ માટે કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ધરાવતા લાંબા સીધા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
$v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઋણ વિદ્યુતભાર $(q < 0)$ માટે,બળ $\vec{F}$ એ $(\vec{v} \times \vec{B})$ ની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
સદિશ ગુણાકાર માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જો વિદ્યુતભાર તાર તરફ ગતિ કરતો હોય,તો $(\vec{v} \times \vec{B})$ ની દિશા વિદ્યુતપ્રવાહને સમાંતર હોય છે. વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી,બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ આની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગશે. આમ,વિદ્યુતભારની ગતિ તારની તરફ હોવી જોઈએ.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ ને $\vec{M} = I \vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{A}$ એ લૂપના સમતલને લંબ સદિશ છે. $\vec{A}$ ની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B}$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે સિસ્ટમ સ્થિર સંતુલનમાં હોય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય (એટલે કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ હોય).
આપેલ છે કે $\vec{B}$ ધન $Z-$ દિશામાં છે,તેથી લૂપને એવી રીતે ગોઠવવી જોઈએ કે તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (અને તેથી $\vec{M}$) ધન $Z-$ દિશામાં નિર્દેશ કરે. લૂપમાં વહેતા પ્રવાહ પર જમણા હાથનો નિયમ લાગુ પાડતા,આપણે શોધીએ છીએ કે જ્યારે લૂપ $XY-$ સમતલમાં હોય અને પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં વહેતો હોય (જ્યારે ધન $Z-$ અક્ષથી જોવામાં આવે),ત્યારે $\vec{M}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર બને છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આ તે ગોઠવણીને અનુરૂપ છે જ્યાં ચુંબકીય મોમેન્ટ ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત થાય છે.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના અધિતર્ક મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે. પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે,$v = \frac{h}{2\pi mr}$ થાય.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{(\frac{h}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} \cdot \frac{1}{r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^3}$.

(C) પાવર $P$ એ એકમ સમય $\Delta t$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉર્જા $E$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $E = \Delta m c^2$.
આમ,$P = \frac{\Delta m c^2}{\Delta t}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{P}{c^2}$.
આપેલ છે કે $P = 10^9\, W$ અને $c = 3 \times 10^8\, m/s$,પ્રતિ સેકન્ડ વપરાતું દળ:
$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{10^9}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{10^9}{9 \times 10^{16}} = \frac{1}{9} \times 10^{-7} \, kg/s$.
પ્રતિ કલાક વપરાતું દળ શોધવા માટે,આપણે તેને એક કલાકમાં રહેલી સેકન્ડો $(3600\, s)$ વડે ગુણીશું:
$\Delta m = (\frac{1}{9} \times 10^{-7} \, kg/s) \times 3600\, s = 400 \times 10^{-7} \, kg = 4 \times 10^{-5} \, kg$.
ગ્રામમાં રૂપાંતરિત કરતા $(1\, kg = 1000\, g)$:
$\Delta m = 4 \times 10^{-5} \times 10^3 \, g = 4 \times 10^{-2} \, g$.

(C) ધારો કે પ્લેટો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે. સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t = 3 \, mm$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત જાળવી રાખવા માટે,અસરકારક કેપેસિટન્સ સમાન રહેવું જોઈએ. પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $\Delta d = 2.4 \, mm$ જેટલું વધારવામાં આવે છે,તેથી નવું અંતર $d' = d + 2.4$ થાય છે.
સ્લેબ સાથેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t + \frac{t}{K}} = \frac{\varepsilon_0 A}{d + 2.4 - 3 + \frac{3}{K}} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - 0.6 + \frac{3}{K}}$ છે.
કેપેસિટન્સ બદલાય નહીં તે માટે,આપણી પાસે $d = d - 0.6 + \frac{3}{K}$ હોવું જોઈએ.
આનું સાદું રૂપ આપતા $0.6 = \frac{3}{K}$ મળે છે.
તેથી,$K = \frac{3}{0.6} = 5$.