JEE Main 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए $\angle APC = \alpha$ है। $\triangle APC$ में,$\tan \alpha = \frac{AC}{AP}$ है।
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AC = \frac{1}{2} AB$ है। दिया गया है कि $AP = 2AB$ है,इसलिए $\tan \alpha = \frac{\frac{1}{2} AB}{2 AB} = \frac{1}{4}$ है।
अब,$\triangle ABP$ पर विचार करें। $\angle BAP = 90^{\circ}$ है। $\angle BPC = \beta$ और $\angle APC = \alpha$ है,इसलिए $\angle BAP = \alpha + \beta$ है।
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{AB}{AP} = \frac{AB}{2 AB} = \frac{1}{2}$ है।
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \tan \beta}{1 - \frac{1}{4} \tan \beta}$ है।
दोनों पक्षों को $4(1 - \frac{1}{4} \tan \beta)$ से गुणा करने पर:
$2(1 - \frac{1}{4} \tan \beta) = 1 + 4 \tan \beta$
$2 - \frac{1}{2} \tan \beta = 1 + 4 \tan \beta$
$1 = 4.5 \tan \beta$
$1 = \frac{9}{2} \tan \beta$
$\tan \beta = \frac{2}{9}$।

(A) दिया गया समीकरण: $5(\tan^2 x - \cos^2 x) = 2\cos 2x + 9$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 2(2\cos^2 x - 1) + 9$
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 4\cos^2 x - 2 + 9$
$5\tan^2 x = 9\cos^2 x + 7$
$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ और $t = \cos^2 x$ रखने पर:
$5(\frac{1}{t} - 1) = 9t + 7$
$9t^2 + 12t - 5 = 0$
$(3t - 1)(3t + 5) = 0$
चूंकि $t = \cos^2 x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = \frac{1}{3}$.
अब,$\cos 2x = 2(\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{3}$.
अतः,$\cos 4x = 2(-\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.

(B) $X$ के पास $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं। $Y$ के पास $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं।
हमें कुल $3$ महिलाएँ और $3$ पुरुष चुनने हैं,ताकि $X$ के समूह से $3$ और $Y$ के समूह से $3$ मित्र चुने जाएँ।
मान लीजिए $X$ ने $l_1$ महिलाएँ और $m_1$ पुरुष चुने,और $Y$ ने $l_2$ महिलाएँ और $m_2$ पुरुष चुने।
शर्तें: $l_1 + m_1 = 3$,$l_2 + m_2 = 3$,$l_1 + l_2 = 3$,$m_1 + m_2 = 3$.
संभावित स्थितियाँ:
$1. (l_1, m_1) = (3, 0) \implies (l_2, m_2) = (0, 3)$. तरीके: $\binom{4}{3}\binom{3}{0} \times \binom{3}{0}\binom{4}{3} = 16$.
$2. (l_1, m_1) = (2, 1) \implies (l_2, m_2) = (1, 2)$. तरीके: $\binom{4}{2}\binom{3}{1} \times \binom{3}{1}\binom{4}{2} = 324$.
$3. (l_1, m_1) = (1, 2) \implies (l_2, m_2) = (2, 1)$. तरीके: $\binom{4}{1}\binom{3}{2} \times \binom{3}{2}\binom{4}{1} = 144$.
$4. (l_1, m_1) = (0, 3) \implies (l_2, m_2) = (3, 0)$. तरीके: $\binom{4}{0}\binom{3}{3} \times \binom{3}{3}\binom{4}{0} = 1$.
कुल तरीके = $16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(A) दिया गया व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{10} \binom{21}{r} - \sum_{r=1}^{10} \binom{10}{r}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{21} \binom{21}{r} = 2^{21}$.
$\sum_{r=0}^{10} \binom{21}{r} = 2^{20}$ होता है।
अतः,$\sum_{r=1}^{10} \binom{21}{r} = 2^{20} - \binom{21}{0} = 2^{20} - 1$.
साथ ही,$\sum_{r=1}^{10} \binom{10}{r} = 2^{10} - 1$.
मान रखने पर:
$S = (2^{20} - 1) - (2^{10} - 1) = 2^{20} - 2^{10}$.

(C) दिया गया समीकरण: $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$
पदों का विस्तार करने पर: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 75ac = 45ab + 15bc$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 45ab - 15bc - 75ac = 0$
$2$ से गुणा करने पर: $450a^2 + 18b^2 + 50c^2 - 90ab - 30bc - 150ac = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(15a - 3b)^2 + (3b - 5c)^2 + (5c - 15a)^2 = 0$
वर्गों का योग शून्य होने के लिए,प्रत्येक पद को शून्य होना चाहिए:
$15a - 3b = 0$ $\Rightarrow 3b = 15a$ $\Rightarrow b = 5a$
$3b - 5c = 0 \Rightarrow 3b = 5c$
$5c - 15a = 0$ $\Rightarrow 5c = 15a$ $\Rightarrow c = 3a$
अब अनुक्रम $b, c, a$ की जाँच करें:
$b = 5a, c = 3a, a = a$
सार्व अंतर $d_1 = c - b = 3a - 5a = -2a$
सार्व अंतर $d_2 = a - c = a - 3a = -2a$
चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए पद $b, c, a$ $A.P.$ में हैं।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 28$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
शीर्षों $(k, -3k), (5, k), (-k, 2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |k(k - 2) + 5(2 - (-3k)) + (-k)(-3k - k)| = 28$
$|5k^2 + 13k + 10| = 56$
स्थिति $1$: $5k^2 + 13k - 46 = 0 \Rightarrow k = 2$ (चूंकि $k$ एक पूर्णांक है)।
शीर्ष $A(2, -6), B(5, 2), C(-2, 2)$ प्राप्त होते हैं।
भुजा $BC$ क्षैतिज है,इसलिए $A$ से शीर्षलंब ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ है।
$AC$ का ढाल $-2$ है,इसलिए $B$ से शीर्षलंब का ढाल $\frac{1}{2}$ है।
$B(5, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x - 2y = 1$ है।
$x = 2$ रखने पर,$y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $\left( 2, \frac{1}{2} \right)$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
चूँकि नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं,$ae = 2$,इसलिए $a^{2}e^{2} = 4$ है।
संबंध $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = a^{2}e^{2} - a^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $b^{2} = 4 - a^{2}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $a^{2} + b^{2} = 4$ है।
चूँकि अतिपरवलय $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से होकर गुजरता है,$\frac{2}{a^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$ है।
$a^{2} = 4 - b^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2}{4 - b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$ प्राप्त होता है।
$b^{4} + b^{2} - 12 = 0 \Rightarrow (b^{2} + 4)(b^{2} - 3) = 0$ है।
चूँकि $b^{2} > 0$,$b^{2} = 3$ है,जिससे $a^{2} = 1$ मिलता है।
अतिपरवलय का समीकरण $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ है।
$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ पर स्पर्श रेखा $\sqrt{2}x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - 3 = 1$ है। अतः,यह $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$ से होकर गुजरती है।

(D) माना वृत्त $x^2 + (y - k)^2 = r^2$ है। चूँकि यह $y = |x|$ को स्पर्श करता है,$(0, k)$ से $x - y = 0$ की दूरी $r$ है,अतः $\frac{|-k|}{\sqrt{2}} = r$,जिससे $k = r\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$x^2 = 4 - y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(4 - y) + (y - k)^2 = r^2$.
$4 - y + y^2 - 2ky + k^2 = \frac{k^2}{2}$.
$y^2 - (2k + 1)y + (4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.
स्पर्श करने के लिए,विविक्तकर $D = 0$:
$(2k + 1)^2 - 4(4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.
$4k^2 + 4k + 1 - 16 - 2k^2 = 0$.
$2k^2 + 4k - 15 = 0$.
$k$ के लिए हल करने पर ($k > 0$ लेते हुए): $k = \frac{-4 + \sqrt{16 - 4(2)(-15)}}{4} = \frac{-4 + \sqrt{136}}{4} = \frac{-4 + 2\sqrt{34}}{4} = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2}$.
चूँकि $r = \frac{k}{\sqrt{2}}$,अतः $r = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2\sqrt{2}}$.

(C) दी गई उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है।
नियता का समीकरण $x = -\frac{a}{e} = -4$ है,इसलिए $\frac{a}{1/2} = 4$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{2x}{4} + \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{4y}$ हो जाता है।
बिंदु $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{3(1)}{4(3/2)} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = 2$ है।
$\left(1, \frac{3}{2}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{3}{2} = 2(x - 1)$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y - 3 = 4x - 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4x - 2y = 1$ हो जाता है।

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cot x - \cos x}}{{{{\left( {\pi - 2x} \right)}^3}}}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x(1 - \sin x)}}{{\sin x \cdot 8{{\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}^3}}}$.
$t = \frac{\pi }{2} - x$ प्रतिस्थापित करने पर। जब $x \to \frac{\pi }{2}$,तब $t \to 0$. अतः $x = \frac{\pi }{2} - t$ और $\cos x = \sin t$,$\sin x = \cos t$.
$L = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t(1 - \cos t)}}{{8{t^3}\cos t}}$.
$L = \frac{1}{8} \cdot \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( \frac{{\sin t}}{t} \right) \cdot \left( \frac{{1 - \cos t}}{{{t^2}}} \right) \cdot \frac{1}{{\cos t}}$.
मानक सीमाओं $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t}}{t} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 - \cos t}}{{{t^2}}} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$L = \frac{1}{8} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{{16}}$.

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.
यह $nx^2 + n^2x + \frac{(n-1)n(n+1)}{3} = 10n$ में सरल हो जाता है।
$n$ से विभाजित करने पर: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.
माना दो क्रमागत पूर्णांक हल $\alpha$ और $\alpha + 1$ हैं।
मूलों का योग: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
मान रखने पर: $(\frac{-(n+1)}{2})(\frac{1-n}{2}) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$\frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124$ $\Rightarrow n^2 = 121$ $\Rightarrow n = 11$.

(B) माना समुच्चय $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ है।
दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(S) = \binom{11}{2} = 55$ हैं।
माना दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $x > y$ है।
शर्त के अनुसार $(x+y)$ और $(x-y)$ दोनों $4$ के गुणज होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए और $x \equiv y \pmod{4}$ होना चाहिए।
समुच्चय $\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$ से संभव जोड़े:
$x, y \equiv 0 \pmod{4}$ के लिए: $(4, 0), (8, 0), (8, 4)$।
$x, y \equiv 2 \pmod{4}$ के लिए: $(6, 2), (10, 2), (10, 6)$।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 6$ हैं।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{6}{55}$ है।

(B) कथन $(p \to q) \to [(\sim p \to q) \to q]$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
(सारणी ऊपर दी गई है)
चूंकि अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ (सत्य) हैं,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है।

(C) मान लीजिए द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है।
दिया है $p(0) = 1$,अतः $c = 1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$p(1) = 4$ और $p(-1) = 6$ है।
इन मानों को $p(x) = ax^2 + bx + 1$ में रखने पर:
$p(1) = a(1)^2 + b(1) + 1 = 4 \Rightarrow a + b = 3$.
$p(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 6 \Rightarrow a - b = 5$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2a = 8 \Rightarrow a = 4$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2b = -2 \Rightarrow b = -1$.
अतः,$p(x) = 4x^2 - x + 1$ है।
अब,$p(-2)$ का मान ज्ञात करने पर:
$p(-2) = 4(-2)^2 - (-2) + 1 = 4(4) + 2 + 1 = 16 + 3 = 19$.
इसलिए,$p(-2) = 19$ सही कथन है।

(A) माना $z = x + iy$ है। समीकरण $2|x + i(y + 3)| = |x + i(y - 1)|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4(x^2 + (y + 3)^2) = x^2 + (y - 1)^2$ प्राप्त होता है।
$4x^2 + 4(y^2 + 6y + 9) = x^2 + y^2 - 2y + 1$.
$3x^2 + 3y^2 + 26y + 35 = 0$.
$3$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 + \frac{26}{3}y + \frac{35}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त का समीकरण है,जहाँ $g = \frac{13}{3}$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 - c} = \sqrt{(\frac{13}{3})^2 - \frac{35}{3}} = \sqrt{\frac{169}{9} - \frac{105}{9}} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}$.

(C) $QUEEN$ शब्द के अक्षर $E, E, N, Q, U$ हैं। वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, E, N, Q, U$.
$(i)$ $E$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, N, Q, U$ हैं। शब्दों की संख्या $= 4! = 24$.
$(ii)$ $N$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, E, Q, U$ हैं। शब्दों की संख्या $= \frac{4!}{2!} = 12$.
$(iii)$ $QE$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, N, U$ हैं। शब्दों की संख्या $= 3! = 6$.
$(iv)$ $QN$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, E, U$ हैं। शब्दों की संख्या $= \frac{3!}{2!} = 3$.
$(v)$ अगला शब्द स्वयं $QUEEN$ है,जो $1$ स्थान पर आता है।
अतः,$QUEEN$ शब्द का रैंक $= 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 46^{th}$.

(D) हमें $(27)^{999}$ को $7$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
हम $27$ को $(28 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(27)^{999} = (28 - 1)^{999}$।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$।
$(28 - 1)^{999} = \binom{999}{0} (28)^{999} (-1)^0 + \binom{999}{1} (28)^{998} (-1)^1 + \dots + \binom{999}{999} (28)^0 (-1)^{999}$।
अंतिम पद को छोड़कर प्रत्येक पद में $28$ का एक गुणनखंड है,जो $7$ से विभाज्य है।
$(27)^{999} = 7k + (-1)^{999}$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$(27)^{999} = 7k - 1$।
धनात्मक शेषफल प्राप्त करने के लिए,हम $7k - 1 = 7(k - 1) + 7 - 1 = 7(k - 1) + 6$ लिखते हैं।
अतः,शेषफल $6$ है।

(D) दिया गया है कि समांतर माध्य $(A.M.)$ गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ का पाँच गुना है:
$\frac{a + b}{2} = 5\sqrt{ab}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{ab}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 10$
माना $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$. तब $\frac{a}{b} = x^2$. समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{x^2 + 1}{x} = 10 \implies x^2 - 10x + 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x$ का मान निकालने पर:
$x = 5 \pm 2\sqrt{6}$
चूंकि $a > b$,इसलिए $x = 5 + 2\sqrt{6}$.
अतः $\frac{a}{b} = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 49 + 20\sqrt{6}$.
योगान्तर अनुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{49 + 20\sqrt{6} + 1}{49 + 20\sqrt{6} - 1} = \frac{50 + 20\sqrt{6}}{48 + 20\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

(B) दी गई श्रेणी $\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 13\sqrt{3} + \dots$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = \sqrt{3}$ और सार्व अंतर $d = 4\sqrt{3}$ है।
योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
$435\sqrt{3} = \frac{n}{2}[2\sqrt{3} + (n-1)4\sqrt{3}]$
$\sqrt{3}$ से भाग देने पर,$435 = \frac{n}{2}[2 + 4n - 4] = n(2n-1)$
$2n^2 - n - 435 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$n = \frac{1 \pm 59}{4}$
अतः,$n = 15$।

(B) माना $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {3x} - 3}}{{\sqrt {2x - 4} - \sqrt 2 }}$ है।
अंश और हर का परिमेयकरण करने पर:
$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(\sqrt{3x} - 3)(\sqrt{3x} + 3)(\sqrt{2x - 4} + \sqrt{2})}{(\sqrt{2x - 4} - \sqrt{2})(\sqrt{2x - 4} + \sqrt{2})(\sqrt{3x} + 3)}$
$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(3x - 9)(\sqrt{2x - 4} + \sqrt{2})}{(2x - 4 - 2)(\sqrt{3x} + 3)}$
$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{3(x - 3)(\sqrt{2x - 4} + \sqrt{2})}{2(x - 3)(\sqrt{3x} + 3)}$
$(x - 3)$ को हटाने पर:
$A = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{2(3) - 4} + \sqrt{2}}{\sqrt{3(3)} + 3}$
$A = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{3 + 3} = \frac{3}{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 5x - y + 5 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 5/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 3/2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C = (5/2, 1/2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3/2}$ है।
$PQ$ की दूरी तब अधिकतम होती है जब $Q$,$P$ और $C$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित हो।
$PC$ की दूरी $\sqrt{(5/2 - 0)^2 + (1/2 - (-2))^2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ है।
$PQ$ की अधिकतम दूरी $PC + r = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ है।
अतः,$(PQ)^2$ का अधिकतम मान $\left( \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \right)^2 = 14 + 5\sqrt{3}$ है।

(B) वृत्त का व्यास $4 \, \text{units}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 2 \, \text{units}$ है।
मान लीजिए कि जीवाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $2\theta$ और $2\phi$ हैं।
दिया है $2\theta = \cos^{-1}(1/7) \Rightarrow \cos(2\theta) = 1/7$।
सूत्र $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2\theta - 1 = 1/7$ $\Rightarrow 2\cos^2\theta = 8/7$ $\Rightarrow \cos^2\theta = 4/7$ $\Rightarrow \cos\theta = 2/\sqrt{7}$।
केंद्र से पहली जीवा की दूरी $d_1 = r \cos\theta = 2 \times (2/\sqrt{7}) = 4/\sqrt{7}$ है।
दिया है $2\phi = \sec^{-1}(7)$ $\Rightarrow \sec(2\phi) = 7$ $\Rightarrow \cos(2\phi) = 1/7$।
सूत्र $\cos(2\phi) = 2\cos^2\phi - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2\phi - 1 = 1/7$ $\Rightarrow 2\cos^2\phi = 8/7$ $\Rightarrow \cos^2\phi = 4/7$ $\Rightarrow \cos\phi = 2/\sqrt{7}$।
केंद्र से दूसरी जीवा की दूरी $d_2 = r \cos\phi = 2 \times (2/\sqrt{7}) = 4/\sqrt{7}$ है।
चूँकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर स्थित हैं,उनके बीच की कुल दूरी $d_1 + d_2 = 4/\sqrt{7} + 4/\sqrt{7} = 8/\sqrt{7}$ है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ की $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ है।
चूंकि यह रेखा परवलय $x^2 = 4y$ की भी स्पर्श रेखा है,हम $y = mx + c$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $x^2 = 4(mx + c) \Rightarrow x^2 - 4mx - 4c = 0$.
स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$,इसलिए $(-4m)^2 - 4(1)(-4c) = 0$ $\Rightarrow 16m^2 + 16c = 0$ $\Rightarrow c = -m^2$.
इसे वृत्त की स्पर्श रेखा के रूप $c = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-m^2 = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $m^4 = 4(1 + m^2) \Rightarrow m^4 - 4m^2 - 4 = 0$.
$m^2$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $m^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $m^2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m^2 = 2 + 2\sqrt{2}$.

(D) दी गई उत्केंद्रता $e = \frac{3}{5}$ और नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है।
$2a(\frac{3}{5}) = 6 \Rightarrow a = 5$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$b^2 = 25(1 - \frac{9}{25}) = 25(\frac{16}{25}) = 16 \Rightarrow b = 4$.
दीर्घवृत्त के शीर्ष $(\pm 5, 0)$ और $(0, \pm 4)$ हैं।
इन शीर्षों द्वारा निर्मित चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्णों की लंबाई $2a = 10$ और $2b = 8$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$ वर्ग इकाई।

(C) माना $25$ शिक्षकों की आयु का योग $S$ है।
दिया गया है कि औसत आयु $40 \text{ वर्ष}$ है,इसलिए:
$\frac{S}{25} = 40 \Rightarrow S = 1000$.
माना नए शिक्षक की आयु $A$ है।
$60 \text{ वर्ष}$ के शिक्षक की सेवानिवृत्ति और नए शिक्षक की नियुक्ति के बाद,आयु का नया योग $S - 60 + A$ है।
नई औसत आयु $39 \text{ वर्ष}$ है,इसलिए:
$\frac{S - 60 + A}{25} = 39$
$1000 - 60 + A = 39 \times 25$
$940 + A = 975$
$A = 975 - 940 = 35$.
अतः,नए नियुक्त शिक्षक की आयु $35 \text{ वर्ष}$ है।

(A) माना $P(P), P(Q), P(R)$ क्रमशः $P, Q, R$ द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकताएँ हैं।
$P(P) = \frac{3}{4}, P(Q) = \frac{1}{2}, P(R) = \frac{5}{8}$.
लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकताएँ $P(P') = \frac{1}{4}, P(Q') = \frac{1}{2}$ और $P(R') = \frac{3}{8}$ हैं।
वह घटना कि लक्ष्य $P$ या $Q$ द्वारा भेदा जाता है लेकिन $R$ द्वारा नहीं,$(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$.
$= (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8})$.
$= \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(C) दिया गया समीकरण $2^{(x - 1)(x^2 + 5x - 50)} = 1$ है।
चूंकि $2^0 = 1$,इसलिए घातांक को $0$ के बराबर रखने पर:
$(x - 1)(x^2 + 5x - 50) = 0$.
द्विघात व्यंजक $x^2 + 5x - 50$ का गुणनखंड करने पर:
$(x^2 + 10x - 5x - 50) = x(x + 10) - 5(x + 10) = (x - 5)(x + 10)$.
अतः,समीकरण $(x - 1)(x - 5)(x + 10) = 0$ हो जाता है।
$x$ के वास्तविक मान $x = 1, 5, -10$ हैं।
इन मानों का योग $1 + 5 + (-10) = 6 - 10 = -4$ है।

(C) माना $z = x + iy$.
दिया गया है $\text{Im}\left( \frac{i(x+iy) - 2}{x+iy - i} \right) + 1 = 0$.
हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2}+\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$.
अतः,त्रिज्या $r = \frac{3}{4}$ है।

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या = $5 + 3 = 8$।
$8$ व्यक्तियों को गोल मेज पर बैठाने के कुल तरीके = $(8-1)! = 7!$।
अब,उस स्थिति पर विचार करें जहाँ $B_1$ और $G_1$ एक साथ बैठते हैं। $(B_1, G_1)$ को एक इकाई के रूप में मानें।
अब हमारे पास वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $7$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(7-1)! = 6!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,$B_1$ और $G_1$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या = $2 \times 6!$।
उनके कभी भी बगल में न बैठने के तरीकों की संख्या = कुल तरीके - उनके एक साथ बैठने के तरीके।
$= 7! - 2 \times 6! = 7 \times 6! - 2 \times 6! = (7-2) \times 6! = 5 \times 6!$।

(A) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
माना $u = x^{1/3}$ और $v = x^{1/2}$ है।
पहला पद $\frac{u^3 + 1}{u^2 - u + 1} = \frac{(u+1)(u^2 - u + 1)}{u^2 - u + 1} = u + 1 = x^{1/3} + 1$ है।
दूसरा पद $\frac{v^2 - 1}{v(v - 1)} = \frac{(v-1)(v+1)}{v(v-1)} = \frac{v+1}{v} = 1 + \frac{1}{v} = 1 + x^{-1/2}$ है।
दोनों को घटाने पर: $(x^{1/3} + 1) - (1 + x^{-1/2}) = x^{1/3} - x^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
अब,$(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ में $x^{-5}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
व्यापक पद $T_{r+1} = {^{10}C_r} (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {^{10}C_r} (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$ है।
घात को $-5$ के बराबर रखने पर: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = -5$।
$6$ से गुणा करने पर: $2(10-r) - 3r = -30 \implies 20 - 2r - 3r = -30 \implies 50 = 5r \implies r = 10$।
गुणांक ${^{10}C_{10}} (-1)^{10} = 1 \times 1 = 1$ है।

(A) चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,हम $a = b - d$ और $c = b + d$ लिख सकते हैं।
दिया गया है $abc = 8$,इसलिए $(b - d)b(b + d) = 8$।
$b(b^2 - d^2) = 8$,जिसका अर्थ है $b^2 - d^2 = \frac{8}{b}$।
चूँकि $d^2 \ge 0$,इसलिए $b^2 - \frac{8}{b} \ge 0$।
$b^3 - 8 \ge 0$,अतः $b^3 \ge 8$,जिसका अर्थ है $b \ge 2$।
$b$ का न्यूनतम मान $2$ है जब $d = 0$ हो (अर्थात $a = b = c = 2$)।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k}{\sum_{k=1}^n k^3}$ द्वारा दिया गया है।
मानक सूत्रों $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2} = \frac{2}{n(n+1)}$.
हम $T_n$ को आंशिक भिन्न के रूप में $T_n = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$ लिख सकते हैं।
अब,$S_n = \sum_{k=1}^n T_k = 2 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $S_n = 2 \left( (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{2n}{n+1}$.
दिया गया है कि $100 S_n = n$,$S_n$ का मान रखने पर:
$100 \left( \frac{2n}{n+1} \right) = n$.
चूंकि $n \neq 0$,$n$ से विभाजित करने पर:
$\frac{200}{n+1} = 1 \implies n+1 = 200 \implies n = 199$.

(B) माना वर्ग के शीर्ष $O(0, 0)$,$A$,$B$,और $C$ हैं। भुजा $OA$,धनात्मक $x-$अक्ष के साथ $30^o$ का कोण बनाती है। भुजा की लंबाई $2$ होने के कारण,$A$ के निर्देशांक $(2 \cos 30^o, 2 \sin 30^o) = (\sqrt{3}, 1)$ होंगे।
भुजा $OC$,$OA$ के लंबवत है और धनात्मक $x-$अक्ष के साथ $30^o + 90^o = 120^o$ का कोण बनाती है। $C$ के निर्देशांक $(2 \cos 120^o, 2 \sin 120^o) = (-1, \sqrt{3})$ होंगे।
शीर्ष $B$,सदिश $\vec{OA}$ और $\vec{OC}$ का योग है,इसलिए $B = (\sqrt{3} - 1, 1 + \sqrt{3})$ है।
शीर्षों के $x-$निर्देशांक $0$,$\sqrt{3}$,$-1$,और $\sqrt{3} - 1$ हैं।
$x-$निर्देशांकों का योग $0 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3} - 2$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ की शक्ति (power) $PA \cdot PB = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 - 9 = 0$ और बिंदु $P(4, 7)$ के लिए:
$PA \cdot PB = (4)^2 + (7)^2 - 9$
$PA \cdot PB = 16 + 49 - 9$
$PA \cdot PB = 65 - 9 = 56$.

(C) मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और निर्देशांक अक्षों के अनुदिश अक्ष वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि दीर्घवृत्त $(4, -1)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $16b^2 + a^2 = a^2b^2$ $(i)$.
चूंकि दीर्घवृत्त $(-2, 2)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $4b^2 + 4a^2 = a^2b^2$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$16b^2 + a^2 = 4b^2 + 4a^2$.
$12b^2 = 3a^2$,इसलिए $a^2 = 4b^2$.
$a^2 = 4b^2$ को $(ii)$ में रखने पर,$4b^2 + 4(4b^2) = (4b^2)b^2$,जो $20b^2 = 4b^4$ में सरल होता है,इसलिए $b^2 = 5$.
तब $a^2 = 4(5) = 20$.
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमारे पास $5 = 20(1 - e^2)$ है।
$1 - e^2 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः,$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए, $4a = 8$, अतः $a = 2$ है।
परवलय पर स्थित बिंदु $(at^2, 2at)$ की नाभीय दूरी $a(1 + t^2)$ होती है।
नाभीय दूरी $8$ दी गई है, इसलिए $2(1 + t^2) = 8$, जिसका अर्थ है $1 + t^2 = 4$, अतः $t^2 = 3$ और $t = \pm\sqrt{3}$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए प्राचल $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
इसे $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर, हमें $m = -t$ और $c = 2at + at^3 = at(2 + t^2)$ प्राप्त होता है।
$a = 2$ और $t = \sqrt{3}$ रखने पर:
$|c| = |2(\sqrt{3})(2 + 3)| = |2\sqrt{3}(5)| = 10\sqrt{3}$।

(C) $15$ लोगों में से $4$ सदस्यों की समिति चुनने के कुल तरीके $^{15}C_4 = 1365$ हैं।
बिना किसी महिला वाली समिति की संख्या $^{10}C_4 = 210$ है।
अतः,कम से कम एक महिला वाली समिति की संख्या $1365 - 210 = 1155$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसमें समिति में पुरुषों से अधिक महिलाएं हों। यह तब होता है जब समिति में $3$ महिलाएं और $1$ पुरुष हो,या $4$ महिलाएं और $0$ पुरुष हों।
$3$ महिलाओं और $1$ पुरुष के तरीके: $^{5}C_3 \times ^{10}C_1 = 100$।
$4$ महिलाओं और $0$ पुरुषों के तरीके: $^{5}C_4 \times ^{10}C_0 = 5$।
कुल अनुकूल तरीके = $100 + 5 = 105$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{105}{1155} = \frac{1}{11}$ है।

(D) दिया गया है: $N = 100$,$\sum x_i = 400$,$\sum x_i^2 = 2475$.
गलत प्रेक्षणों $3, 4, 5$ को हटाने पर:
नया योग $\sum x_i' = 400 - (3 + 4 + 5) = 388$.
वर्गों का नया योग $\sum (x_i')^2 = 2475 - (9 + 16 + 25) = 2425$.
प्रेक्षणों की नई संख्या $N' = 97$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i')^2}{N'} - \left( \frac{\sum x_i'}{N'} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{2425}{97} - \left( \frac{388}{97} \right)^2 = 25 - 16 = 9$.

(C) माना भुजाएँ $2, 5, a, b$ हैं। $2$ और $5$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। माना $c$ विकर्ण है।
प्रथम त्रिभुज में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:
$c^2 = 2^2 + 5^2 - 2(2)(5)\cos(60^{\circ}) = 4 + 25 - 10 = 19 \implies c = \sqrt{19}$.
चूंकि चतुर्भुज चक्रीय है,सम्मुख कोण $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा।
दूसरे त्रिभुज में कोज्या नियम का उपयोग करने पर:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(120^{\circ}) \implies 19 = a^2 + b^2 + ab$.
चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग है:
$\text{Area} = \frac{1}{2}(2)(5)\sin(60^{\circ}) + \frac{1}{2}ab\sin(120^{\circ}) = 4\sqrt{3}$.
$5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{ab}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\sqrt{3} \implies 5 + \frac{ab}{2} = 8 \implies ab = 6$.
अब,$a^2 + b^2 = 19 - 6 = 13$.
$a=2, b=3$ प्राप्त होता है,अतः परिमाप $= 2 + 5 + 2 + 3 = 12$.

(C) मान लीजिए $p$ कथन है: 'दो संख्याएँ समान नहीं हैं'।
मान लीजिए $q$ कथन है: 'उनके वर्ग समान नहीं हैं'।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ है: 'दो संख्याओं के वर्ग समान हैं'।
और $\sim p$ है: 'संख्याएँ समान हैं'।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: 'यदि दो संख्याओं के वर्ग समान हैं,तो संख्याएँ समान हैं'।

(B) वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q) \equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$.
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$ (पुनरुक्ति),व्यंजक $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$ हो जाता है।
तत्समक नियम द्वारा,$T \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
तार्किक तुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करके,हम $\sim p \vee \sim q$ को $p \rightarrow (\sim q)$ के रूप में लिख सकते हैं।

(C) बिंदु $P(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5} = \lambda$ है।
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $F$ को $(\lambda+1, 4\lambda-2, 5\lambda+3)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूंकि $F$ समतल $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ पर स्थित है,इसलिए हम $F$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(\lambda+1) + 3(4\lambda-2) - 4(5\lambda+3) + 22 = 0$
$2\lambda + 2 + 12\lambda - 6 - 20\lambda - 12 + 22 = 0$
$-6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को $F$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $F(2, 2, 8)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए दूरी $PQ = 2PF$ होगी।
दूरी $PF = \sqrt{(2-1)^2 + (2-(-2))^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$.
अतः,$PQ = 2PF = 2\sqrt{42}$।

(C) माना बिंदु $(1, -1, -1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (1, -2, 3)$ और $\vec{v_2} = (2, -1, -1)$ के लंबवत है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + 3) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(-1 + 4) = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
अतः,समतल का समीकरण $5(x - 1) + 7(y + 1) + 3(z + 1) = 0$ है,जो सरल होकर $5x + 7y + 3z + 5 = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(1, 3, -7)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$d = \frac{|5(1) + 7(3) + 3(-7) + 5|}{\sqrt{25 + 49 + 9}} = \frac{|5 + 21 - 21 + 5|}{\sqrt{83}} = \frac{10}{\sqrt{83}}$.

(A) यह क्षेत्र $x=0$,$y=1+\sqrt{x}$,$x+y=3$,और $y=\frac{x^2}{4}$ द्वारा घिरा हुआ है।
ग्राफ से,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,2)$ और $(2,1)$ हैं।
क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} (1+\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx + \int_{1}^{2} (3-x - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = \left[ x + \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{1} + \left[ 3x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{12} \right]_{1}^{2}$
$A = (1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{12}) + [(6 - 2 - \frac{8}{12}) - (3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{12})]$
$A = (\frac{12+8-1}{12}) + [(4 - \frac{2}{3}) - (2.5 - \frac{1}{12})]$
$A = \frac{19}{12} + (\frac{10}{3} - \frac{29}{12}) = \frac{19}{12} + \frac{40-29}{12} = \frac{19+11}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$ वर्ग इकाई।

(C) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \cos x} \quad (i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$ है:
$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \cos(\pi - x)} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 - \cos x} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \left( \frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 - \cos x} \right) dx$
$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1 - \cos x + 1 + \cos x}{1 - \cos^2 x} dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{2}{\sin^2 x} dx$
$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \csc^2 x dx$
$I = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}$
$I = -(\cot \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4}) = -(-1 - 1) = 2$

(A) समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य हो।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix} = 1(a - b) - 1(1 - a) + 1(b - a^2) = a - b - 1 + a + b - a^2 = -a^2 + 2a - 1 = -(a - 1)^2$.
निकाय का कोई हल न होने या अनंत हल होने के लिए,$D = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-(a - 1)^2 = 0$,इसलिए $a = 1$.
$a = 1$ को निकाय में रखने पर:
$x + y + z = 1$
$x + y + z = 1$
$x + by + z = 0$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों के साथ असंगत होना चाहिए। चूंकि पहले दो समीकरण एक ही समतल $x + y + z = 1$ को दर्शाते हैं,इसलिए तीसरा समीकरण $x + by + z = 0$ को पहले समतल के समानांतर होना चाहिए लेकिन उसके समान नहीं।
$x + y + z = 1$ और $x + by + z = 0$ की तुलना करने पर,समतलों के समानांतर होने के लिए $x, y, z$ के गुणांक आनुपातिक होने चाहिए। अतः,$1/1 = b/1 = 1/1$,जिसका अर्थ है $b = 1$.
यदि $b = 1$ है,तो तीसरा समीकरण $x + y + z = 0$ बन जाता है,जो $x + y + z = 1$ के समानांतर है लेकिन अलग है (क्योंकि $0 \neq 1$)। अतः,$b = 1$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है।
इसलिए,$S = \{1\}$,जो एक एकल समुच्चय है।

(B) दिया गया है $2\omega + 1 = z$ और $z = \sqrt{-3} = i\sqrt{3}$।
अतः,$\omega = \frac{i\sqrt{3} - 1}{2}$,जो इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $-\omega^2 - 1 = \omega$।
साथ ही,$\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^7 = \omega^{3 \times 2 + 1} = \omega$।
सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$ है।
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1+\omega+\omega^2 & 1+\omega^2+\omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$।
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $\Delta = 3(\omega^2 - \omega^4) = 3(\omega^2 - \omega)$।
चूंकि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$।
$\Delta = 3\left( \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \right) = 3\left( \frac{-2i\sqrt{3}}{2} \right) = -3i\sqrt{3} = -3z$।
दिया गया है $\Delta = 3k$,इसलिए $3k = -3z$,अर्थात $k = -z$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+12 & -6-3 \\ -8-4 & 12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,$3A^2 = 3 \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & -27 \\ -36 & 39 \end{bmatrix}$।
और $12A = 12 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix}$।
मान लीजिए $M = 3A^2 + 12A = \begin{bmatrix} 48+24 & -27-36 \\ -36-48 & 39+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix}$।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 51 & 63 \\ 84 & 72 \end{bmatrix}$।

(C) वक्र का समीकरण $y(x - 2)(x - 3) = x + 6$ है,जिसे $y = \frac{x + 6}{x^2 - 5x + 6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y$-अक्ष पर,$x = 0$ होता है। समीकरण में $x = 0$ रखने पर,$y(0 - 2)(0 - 3) = 0 + 6$,जो $y(6) = 6$ हो जाता है,इसलिए $y = 1$। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
अब,$y = \frac{x + 6}{x^2 - 5x + 6}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 - 5x + 6)(1) - (x + 6)(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 6)^2}$.
बिंदु $(0, 1)$ पर,$x = 0$ और $x^2 - 5x + 6 = 6$ है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(6)(1) - (6)(-5)}{(6)^2} = \frac{6 + 30}{36} = \frac{36}{36} = 1$.
स्पर्शरेखा की ढाल $1$ है। इसलिए,अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{1} = -1$ होगी।
बिंदु $(0, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -1(x - 0)$ है,जो $y - 1 = -x$ या $x + y = 1$ हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ समीकरण $x + y = 1$ को संतुष्ट करता है क्योंकि $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$।

(D) माना $r$ त्रिज्या है और $\theta$ रेडियन में वृत्ताकार सेक्टर का केंद्रीय कोण है।
वृत्ताकार सेक्टर का परिमाप $P = r + r + r\theta = 2r + r\theta$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $20 \ m$ है,इसलिए:
$2r + r\theta = 20$
$\Rightarrow r\theta = 20 - 2r$
$\Rightarrow \theta = \frac{20 - 2r}{r}$
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{1}{2} r^2 \theta$
$\theta$ का मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{20 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0$
$\Rightarrow r = 5 \ m$
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$\frac{d^2A}{dr^2} = -2 < 0$
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $r = 5$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $r = 5$ रखने पर:
$A_{max} = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \ m^2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(2 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dx} [(2 + \sin x)(y + 1)] = 0$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $(2 + \sin x)(y + 1) = C$,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$(2 + \sin 0)(1 + 1) = C \Rightarrow (2 + 0)(2) = C \Rightarrow C = 4$.
अतः,समीकरण: $(2 + \sin x)(y + 1) = 4$ बन जाता है।
$y$ के लिए हल करने पर: $y + 1 = \frac{4}{2 + \sin x} \Rightarrow y = \frac{4}{2 + \sin x} - 1$.
अब,$y(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{2 + \sin(\frac{\pi}{2})} - 1 = \frac{4}{2 + 1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(C) दिया गया है $I_n = \int \tan^n x dx$।
हमें $I_4 + I_6 = \int \tan^4 x dx + \int \tan^6 x dx$ का मूल्यांकन करना है।
$I_4 + I_6 = \int (\tan^4 x + \tan^6 x) dx$।
$\tan^4 x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I_4 + I_6 = \int \tan^4 x (1 + \tan^2 x) dx$।
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए:
$I_4 + I_6 = \int \tan^4 x \sec^2 x dx$।
मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$।
समाकलन $\int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C$ हो जाता है।
$u = \tan x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_4 + I_6 = \frac{1}{5} \tan^5 x + C$।
इसकी तुलना $a \tan^5 x + b x^5 + C$ से करने पर,हमें $a = \frac{1}{5}$ और $b = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (\frac{1}{5}, 0)$ है।

(B) यह समस्या द्विपद प्रायिकता वितरण (binomial probability distribution) का पालन करती है क्योंकि गेंदों को प्रतिस्थापन के साथ निकाला जाता है,जिससे प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र हो जाता है।
यहाँ,कुल परीक्षणों की संख्या $n = 10$ है।
एकल परीक्षण में हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{15}{15 + 10} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ है।
हरी गेंद न निकालने (पीली गेंद निकालने) की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण (variance) निकालने का सूत्र $\text{Variance} = npq$ है।
मान रखने पर: $\text{Variance} = 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 10 \times \frac{6}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$।

(C) मान लीजिए $P(A), P(B), P(C)$ घटनाओं $A, B, C$ की प्रायिकताएं हैं।
दिया गया है:
$P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ ... $(1)$
$P(B) + P(C) - 2P(B \cap C) = \frac{1}{4}$ ... $(2)$
$P(C) + P(A) - 2P(C \cap A) = \frac{1}{4}$ ... $(3)$
$(1), (2),$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2[P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3}{4}$
$2$ से भाग देने पर:
$[P(A) + P(B) + P(C)] - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3}{8}$
हम जानते हैं कि $P(A \cup B \cup C) = [P(A) + P(B) + P(C)] - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$.
मान रखने पर:
$P(A \cup B \cup C) = \frac{3}{8} + \frac{1}{16} = \frac{6+1}{16} = \frac{7}{16}$.

(D) दिया गया है $f:R \to \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$ जहाँ $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ है।
सबसे पहले,एकैकी (injective) की जाँच करें:
$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(1) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}$.
चूँकि $f'(x)$ का मान $x = 1$ और $x = -1$ पर अपना चिह्न बदलता है,फलन एकदिष्ट (monotonic) नहीं है,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
अब,आच्छादक (surjective) की जाँच करें:
माना $y = \frac{x}{1 + x^2}$ है। तब $yx^2 - x + y = 0$ होगा।
$x$ के वास्तविक मान के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (-1)^2 - 4(y)(y) = 1 - 4y^2 \ge 0$.
$4y^2 \le 1 \Rightarrow y^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow y \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$.
चूँकि परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(C) दिया गया है $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ और $\vec b = \hat i + \hat j$।
सबसे पहले,$\vec a$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$।
अब,सदिश गुणनफल $\vec a \times \vec b$ ज्ञात करें:
$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$।
इसका परिमाण $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ है।
दिया गया है कि $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = 3$ और $\vec c$ तथा $\vec a \times \vec b$ के बीच का कोण $30^\circ$ है,इसलिए सूत्र $|\vec u \times \vec v| = |\vec u||\vec v| \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$|\vec a \times \vec b||\vec c| \sin 30^\circ = 3 \implies 3 \cdot |\vec c| \cdot \frac{1}{2} = 3 \implies |\vec c| = 2$।
अब,$|\vec c - \vec a| = 3$ शर्त का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec c - \vec a|^2 = 3^2 \implies |\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9$।
मान रखने पर: $2^2 + 3^2 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9 \implies 4 + 9 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9 \implies 13 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9$।
अतः,$2(\vec a \cdot \vec c) = 4 \implies \vec a \cdot \vec c = 2$।

(D) दिया गया है $f(x) = 2^{10}x + 1$ और $g(x) = 3^{10}x - 1$।
हमें $(f \circ g)(x) = x$ दिया गया है।
$f(g(x))$ में $g(x)$ का मान रखने पर,$f(g(x)) = 2^{10}(3^{10}x - 1) + 1 = x$।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $2^{10} \cdot 3^{10}x - 2^{10} + 1 = x$।
चूंकि $2^{10} \cdot 3^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 6^{10}$,इसलिए $6^{10}x - x = 2^{10} - 1$।
$x$ को कॉमन लेने पर: $x(6^{10} - 1) = 2^{10} - 1$।
अतः,$x = \frac{2^{10} - 1}{6^{10} - 1}$।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $\frac{1 - 2^{-10}}{3^{10} - 2^{-10}} = \frac{(2^{10}-1)/2^{10}}{(3^{10} \cdot 2^{10} - 1)/2^{10}} = \frac{2^{10}-1}{6^{10}-1}$।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$.
गुणांक आव्यूह है:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -\lambda \\ 4 & \lambda & 2 \\ \lambda & 2 & 2 \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य रखने पर:
$|A| = 2(2\lambda - 4) - 4(8 - 2\lambda) - \lambda(8 - \lambda^2) = 0$
$|A| = 4\lambda - 8 - 32 + 8\lambda - 8\lambda + \lambda^3 = 0$
$|A| = \lambda^3 + 4\lambda - 40 = 0$
माना $f(\lambda) = \lambda^3 + 4\lambda - 40$.
चूंकि $f'(\lambda) = 3\lambda^2 + 4 > 0$ सभी वास्तविक $\lambda$ के लिए,फलन $f(\lambda)$ निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,इसका केवल एक वास्तविक मूल हो सकता है।
अतः,$\lambda$ के वास्तविक मानों की संख्या $1$ है।

(D) $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए,हमारे पास निम्नलिखित गुण हैं:
$1$. $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$. चूँकि $n=3$,इसलिए $adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = |A| A$. अतः,विकल्प $B$ सत्य है।
$2$. हम जानते हैं कि $adj(A) = |A| A^{-1}$। $A$ को $adj(A)$ से बदलने पर,हमें $adj(adj(A)) = |adj(A)| (adj(A))^{-1}$ प्राप्त होता है।
$3$. चूँकि $|adj(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2$,इसलिए $adj(adj(A)) = |A|^2 (adj(A))^{-1}$। अतः,विकल्प $C$ सत्य है।
$4$. परिणामों की तुलना करने पर,$adj(adj(A)) = |A| A$ और $adj(adj(A)) = |A|^2 (adj(A))^{-1}$।
$5$. विकल्प $D$ कहता है कि $adj(adj(A)) = |A| (adj(A))^{-1}$,जो सामान्यतः असत्य है।
$6$. विकल्प $A$ कहता है कि $adj(A) = |A| (adj(A))^{-1}$। चूँकि $adj(A) = |A| A^{-1}$,इसका अर्थ है कि $A^{-1} = (adj(A))^{-1}$,जो सत्य है। अतः,विकल्प $D$ वह है जो हमेशा सत्य नहीं है।

(D) दिया गया वक्र: $x^2y^2 - 2x = 4 - 4y$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2xy^2 + 2x^2y \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
बिंदु $(2, -2)$ पर:
$2(2)(-2)^2 + 2(2)^2(-2) \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
$16 - 16 \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
$14 = 12 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$.
बिंदु $(2, -2)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण:
$y - (-2) = \frac{7}{6}(x - 2)$.
$6(y + 2) = 7(x - 2) \Rightarrow 6y + 12 = 7x - 14 \Rightarrow 7x - 6y = 26$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(-2, -7)$ के लिए: $7(-2) - 6(-7) = -14 + 42 = 28 \neq 26$.
अतः,स्पर्शरेखा $(-2, -7)$ से होकर नहीं गुजरती है।

(A) दिया गया है $y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}} + {\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{{dy}}{{dx}} = 15{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right) + 15{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right)$
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{15}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\left[ {{{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}} - {{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}}} \right]$.
माना $u = x + \sqrt{x^2-1}$ और $v = x - \sqrt{x^2-1}$ है। तब $uv = 1$ और $y = u^{15} + v^{15}$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{15}{\sqrt{x^2-1}}(u^{15} - v^{15})$.
माना $y_1 = u^{15} + v^{15}$ और $y_2 = u^{15} - v^{15}$ है। तब $\sqrt{x^2-1} \frac{dy}{dx} = 15 y_2$ है।
पुनः अवकलन करने पर: $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2-1} \frac{d^2y}{dx^2} = 15 \frac{dy_2}{dx}$.
यहाँ $\frac{dy_2}{dx} = \frac{15y}{\sqrt{x^2-1}}$ है।
अतः,$x \frac{dy}{dx} + (x^2-1) \frac{d^2y}{dx^2} = 15(15y) = 225y$.

(A) माना $I = \int \sqrt{1 + 2\cot x \csc x + 2\cot^2 x} \,dx$.
चूँकि $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$,इसलिए $1 + 2\cot^2 x = \csc^2 x + \cot^2 x$ होता है।
अतः,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $\csc^2 x + \cot^2 x + 2\cot x \csc x = (\csc x + \cot x)^2$ होगा।
चूँकि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\csc x + \cot x > 0$ है,अतः $\sqrt{(\csc x + \cot x)^2} = \csc x + \cot x$ प्राप्त होता है।
$I = \int (\csc x + \cot x) \,dx$.
मानक समाकलन $\int \csc x \,dx = \log |\csc x - \cot x| + C$ और $\int \cot x \,dx = \log |\sin x| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \log |\csc x - \cot x| + \log |\sin x| + C$.
$I = \log \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot \sin x \right| + C = \log |1 - \cos x| + C$.
$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \log |2\sin^2 \frac{x}{2}| + C = \log 2 + 2\log |\sin \frac{x}{2}| + C$.
स्थिरांक $C$ में $\log 2$ को समाहित करने पर,$I = 2\log |\sin \frac{x}{2}| + C$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \cos 2x}{(\frac{2}{\sin 2x})^3} dx = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \cos 2x \sin^3 2x}{8} dx = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \sin^3 2x dx$.
माना $u = \sin 2x$,तब $du = 2 \cos 2x dx$,अर्थात $\cos 2x dx = \frac{du}{2}$.
जब $x = \frac{\pi}{12}$,तब $u = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$I = \int_{1/2}^{1} u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} [\frac{u^4}{4}]_{1/2}^{1} = \frac{1}{8} [1^4 - (\frac{1}{2})^4] = \frac{1}{8} [1 - \frac{1}{16}] = \frac{1}{8} \times \frac{15}{16} = \frac{15}{128}$.

(D) दिए गए वक्र $x^2 + y^2 = 4$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $2$ वाला वृत्त) और $y^2 = 3x$ (परवलय) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 3x$ को $x^2 + y^2 = 4$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 + 3x - 4 = 0$
$(x+4)(x-1) = 0$
चूंकि परवलय के लिए $x \ge 0$ है,इसलिए हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$y^2 = 3(1) = 3$,अतः $y = \pm\sqrt{3}$।
छोटे भाग का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \times \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{3x} \, dx + \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx \right]$
$= 2 \times \left[ \sqrt{3} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^1 + \left( \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \right)_1^2 \right]$
$= 2 \times \left[ \sqrt{3} \left( \frac{2}{3} \right) + \left( (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(1/2)) \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3} + \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{6} \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi - \frac{\pi}{3} \right] = 2 \times \left[ \frac{4-3}{2\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3} \right] = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{4\pi}{3}$

(C) सबसे पहले,दोनों रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात करें। रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (6, 7, 8)$ और $\vec{v_2} = (3, 5, 7)$ हैं।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 7 & 8 \\ 3 & 5 & 7 \end{vmatrix} = \hat{i}(49-40) - \hat{j}(42-24) + \hat{k}(30-21) = (9, -18, 9)$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, -2, 1)$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
समतल बिंदु $(-1, 1, 3)$ से गुजरता है (पहली रेखा से)। समतल का समीकरण $1(x+1) - 2(y-1) + 1(z-3) = 0$ है,जो $x - 2y + z = 0$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए बिंदु $P(1, -2, 1)$ से समतल पर लंब का पाद $F(x, y, z)$ है। $P$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा के दिशा अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
अतः,$\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{1} = k$.
$x = k+1, y = -2k-2, z = k+1$.
चूंकि $F$ समतल $x - 2y + z = 0$ पर स्थित है,इसलिए $(k+1) - 2(-2k-2) + (k+1) = 0$.
$k+1 + 4k + 4 + k+1 = 0 \Rightarrow 6k + 6 = 0 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ रखने पर,हमें $x = 0, y = 0, z = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(0, 0, 0)$ हैं।

(C) प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec v$,अभिलंबों $\vec n_1 = 3\hat i - \hat j + \hat k$ और $\vec n_2 = \hat i + 4\hat j - 2\hat k$ का सदिश गुणनफल है।
$\vec v = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat i(2 - 4) - \hat j(-6 - 1) + \hat k(12 + 1) = -2\hat i + 7\hat j + 13\hat k$.
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,समतल समीकरणों में $z = 0$ रखें:
$3x - y = 1$ और $x + 4y = 2$.
पहले समीकरण को $4$ से गुणा करने पर: $12x - 4y = 4$. दूसरे के साथ जोड़ने पर: $13x = 6 \Rightarrow x = 6/13$.
$x$ का मान रखने पर: $6/13 + 4y = 2 \Rightarrow 4y = 2 - 6/13 = 20/13 \Rightarrow y = 5/13$.
बिंदु $(6/13, 5/13, 0)$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $\frac{x - 6/13}{-2} = \frac{y - 5/13}{7} = \frac{z}{13}$ है,जो $\frac{x - 6/13}{2} = \frac{y - 5/13}{-7} = \frac{z}{-13}$ के समान है।

(B) माना विकर्ण $\vec{d_1} = 8\hat{i} - 6\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 12\hat{k}$ हैं।
विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & -6 & 0 \\ 3 & 4 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-12) - (0)(4)) - \hat{j}((8)(-12) - (0)(3)) + \hat{k}((8)(4) - (-6)(3))$
$= 72\hat{i} + 96\hat{j} + 50\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{72^2 + 96^2 + 50^2}$
$= \sqrt{5184 + 9216 + 2500}$
$= \sqrt{16900} = 130$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 130 = 65$ वर्ग इकाई है।

(B) जब एक सिक्के को $8$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^8 = 256$ होती है।
कम से कम एक चित और कम से कम एक पट प्राप्त करने की घटना,सभी चित या सभी पट प्राप्त करने की घटना की पूरक घटना है।
$P(\text{सभी चित}) = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$।
$P(\text{सभी पट}) = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$।
सभी चित या सभी पट प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{सभी चित}) + P(\text{सभी पट}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{256} = \frac{2}{256} = \frac{1}{128}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{1}{128} = \frac{127}{128}$ है।

(D) दिया गया सारणिक है:
$D = 0(0 - \sin^2 x) - \cos x(0 - \cos^2 x) - \sin x(\sin^2 x - 0) = 0$
$\Rightarrow \cos^3 x - \sin^3 x = 0$
$\Rightarrow \cos^3 x = \sin^3 x$
$\Rightarrow \tan^3 x = 1$
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,$\tan x = 1$ के हल $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
अतः,$S = \{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \}$।
हमें $\sum_{x \in S} \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) + \tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} \right)$ की गणना करनी है।
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = -2 - \sqrt{3}$।
$x = \frac{5\pi}{4}$ के लिए,$\tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} \right) = -2 - \sqrt{3}$।
योग $= (-2 - \sqrt{3}) + (-2 - \sqrt{3}) = -4 - 2\sqrt{3}$।

(A) माना ${x^2} = \cos 2\theta$,जिसका अर्थ है $2\theta = {\cos ^{ - 1}}{x^2}$ या $\theta = \frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}{x^2}$।
${x^2} = \cos 2\theta$ को व्यंजक में रखने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt {1 + \cos 2\theta } + \sqrt {1 - \cos 2\theta } }}{{\sqrt {1 + \cos 2\theta } - \sqrt {1 - \cos 2\theta } }}} \right]$
सर्वसमिका $1 + \cos 2\theta = 2{\cos ^2}\theta$ और $1 - \cos 2\theta = 2{\sin ^2}\theta$ का उपयोग करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt {2{{\cos }^2}\theta } + \sqrt {2{{\sin }^2}\theta } }}{{\sqrt {2{{\cos }^2}\theta } - \sqrt {2{{\sin }^2}\theta } }}} \right] = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt 2 \cos \theta + \sqrt 2 \sin \theta }}{{\sqrt 2 \cos \theta - \sqrt 2 \sin \theta }}} \right]$
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 + \tan \theta }}{{1 - \tan \theta }}} \right] = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \theta } \right)} \right]$
$= \frac{\pi }{4} + \theta = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}{x^2}$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x - 5[\frac{x}{5}]$ है।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: $f(1) = 1 - 5[1/5] = 1 - 5(0) = 1$ और $f(6) = 6 - 5[6/5] = 6 - 5(1) = 1$ की गणना करें।
चूँकि $f(1) = f(6) = 1$ लेकिन $1 \neq 6$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: सह-प्रांत $N = \{1, 2, 3, ...\}$ है।
$f(5) = 5 - 5[5/5] = 5 - 5(1) = 0$ की गणना करें।
चूँकि $0 \notin N$,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ A + B = 2B^T$
$(2) \ 3A + 2B = I_3$
समीकरण $(1)$ का परिवर्त लेने पर:
$(A + B)^T = (2B^T)^T \Rightarrow A^T + B^T = 2B$
$(1)$ से,$A = 2B^T - B$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(2B^T - B) + 2B = I_3 \Rightarrow 6B^T - 3B + 2B = I_3 \Rightarrow 6B^T - B = I_3 \Rightarrow B = 6B^T - I_3$
$B$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A + (6B^T - I_3) = 2B^T \Rightarrow A = I_3 - 4B^T$
$A = I_3 - 4B^T$ का परिवर्त लेने पर:
$A^T = I_3 - 4B$
$A^T + B^T = 2B$ से,$B^T = 2B - A^T$. $A^T = I_3 - 4B$ रखने पर:
$B^T = 2B - (I_3 - 4B) = 6B - I_3$
$B^T$ को $B = 6B^T - I_3$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = 6(6B - I_3) - I_3 = 36B - 6I_3 - I_3 = 36B - 7I_3$
$35B = 7I_3 \Rightarrow B = \frac{1}{5}I_3$
अब $A$ ज्ञात करते हैं:
$A = I_3 - 4B^T = I_3 - 4(6B - I_3) = I_3 - 24B + 4I_3 = 5I_3 - 24(\frac{1}{5}I_3) = \frac{25I_3 - 24I_3}{5} = \frac{1}{5}I_3$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$10A + 5B = 10(\frac{1}{5}I_3) + 5(\frac{1}{5}I_3) = 2I_3 + I_3 = 3I_3$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$x + 8y + 7z = 0$ $(1)$
$9x + 2y + 3z = 0$ $(2)$
$x + y + z = 0$ $(3)$
समीकरण $(3)$ से,$x = -y - z$. इसे $(1)$ और $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-y - z) + 8y + 7z = 0 \implies 7y + 6z = 0 \implies z = -\frac{7}{6}y$
$9(-y - z) + 2y + 3z = 0 \implies -7y - 6z = 0 \implies z = -\frac{7}{6}y$
चूंकि समीकरण समघात हैं और गुणांक आव्यूह का सारणिक $0$ है,इसलिए अनंत हल हैं। माना $y = 6\lambda$. तब $z = -7\lambda$ और $x = -6\lambda - (-7\lambda) = \lambda$.
अतः,$(a, b, c) = (\lambda, 6\lambda, -7\lambda)$.
चूंकि यह बिंदु समतल $x + 2y + z = 6$ पर स्थित है:
$\lambda + 2(6\lambda) + (-7\lambda) = 6$
$\lambda + 12\lambda - 7\lambda = 6$
$6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$.
इस प्रकार,$(a, b, c) = (1, 6, -7)$.
अब $2a + b + c = 2(1) + 6 + (-7) = 2 + 6 - 7 = 1$.

(B) दिया गया है: $y^{1/5} + y^{-1/5} = 2x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{5} y^{-4/5} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{5} y^{-6/5} \frac{dy}{dx} = 2$.
$\frac{1}{5} y^{-1} (y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 2$.
$(y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 10y$.
हम जानते हैं कि $(y^{1/5} - y^{-1/5})^2 = (y^{1/5} + y^{-1/5})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$.
अतः,$y^{1/5} - y^{-1/5} = 2\sqrt{x^2 - 1}$.
यह मान रखने पर: $2\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 10y$,जो सरल होकर $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$ हो जाता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2 - 1} \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \frac{dy}{dx}$.
$\sqrt{x^2 - 1}$ से गुणा करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx}$.
चूंकि $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$,इसलिए $x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5(5y) = 25y$.
व्यवस्थित करने पर: $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 25y = 0$.
$(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda x \frac{dy}{dx} + ky = 0$ से तुलना करने पर,$\lambda = 1$ और $k = -25$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + k = 1 - 25 = -24$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 7$ है।
वर्धमान या ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 5x + 7) = 3x^2 - 6x + 5$.
अब,हम $f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $f'(x) = 3(x^2 - 2x) + 5 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 3(x-1)^2 - 3 + 5 = 3(x-1)^2 + 2$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $(x-1)^2 \ge 0$ है,इसलिए $3(x-1)^2 + 2 \ge 2 > 0$ होगा।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ $R$ में वर्धमान है।

(B) मान लीजिए $f(x) = ax^n + \dots$ घात $n$ का एक बहुपद है।
$f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ के दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$n = (n-1) + (n-2) = 2n - 3$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
तब $f(3x) = a(3x)^3 + b(3x)^2 + c(3x) + d = 27ax^3 + 9bx^2 + 3cx + d$ है।
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ है।
$f'(x) \cdot f''(x) = (3ax^2 + 2bx + c)(6ax + 2b) = 18a^2x^3 + (6ab + 12ab)x^2 + (4b^2 + 6ac)x + 2bc$ है।
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $27a = 18a^2 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$ (क्योंकि $a \neq 0$)।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $9b = 18ab = 18(\frac{3}{2})b = 27b \Rightarrow b = 0$ है।
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $3c = 4b^2 + 6ac = 0 + 6(\frac{3}{2})c = 9c \Rightarrow c = 0$ है।
अचर पदों की तुलना करने पर: $d = 2bc = 0$ है।
अतः,$f(x) = \frac{3}{2}x^3$ है।
तब $f'(x) = \frac{9}{2}x^2$ और $f''(x) = 9x$ है।
$x = 2$ पर,$f'(2) = \frac{9}{2}(4) = 18$ और $f''(2) = 9(2) = 18$ है।
इसलिए,$f''(2) - f'(2) = 18 - 18 = 0$ है।

(B) माना $t = \frac{3x - 4}{3x + 4}$.
तब $3xt + 4t = 3x - 4$,जिसका अर्थ है $x(3t - 3) = -4t - 4$,इसलिए $x = \frac{4t + 4}{3 - 3t}$.
इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(t) = \frac{4t + 4}{3 - 3t} + 2 = \frac{4t + 4 + 6 - 6t}{3 - 3t} = \frac{10 - 2t}{3 - 3t}$.
अतः,$f(x) = \frac{10 - 2x}{3 - 3x} = \frac{2x - 10}{3x - 3}$.
अब,$\int f(x) dx = \int \frac{2x - 10}{3(x - 1)} dx = \frac{2}{3} \int \frac{x - 1 - 4}{x - 1} dx = \frac{2}{3} \int (1 - \frac{4}{x - 1}) dx$.
$= \frac{2}{3} x - \frac{8}{3} \ln |x - 1| + C = -\frac{8}{3} \ln |1 - x| + \frac{2}{3} x + C$.
$A \log |1 - x| + Bx + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = -\frac{8}{3}$ और $B = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है.
इसलिए,क्रमित युग्म $(A, B) = \left( -\frac{8}{3}, \frac{2}{3} \right)$ है।

(A) माना $I = \int_{1}^{2} \frac{dx}{((x-1)^2 + 3)^{3/2}}$.
$x-1 = \sqrt{3} \tan \theta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x=1$,तब $\tan \theta = 0 \implies \theta = 0$.
जब $x=2$,तब $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.
$I = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta \, d\theta}{(\sqrt{3} \sec \theta)^3} = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3\sqrt{3} \sec^3 \theta} \, d\theta$.
$I = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi/6} \cos \theta \, d\theta = \frac{1}{3} [\sin \theta]_{0}^{\pi/6} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
दिया गया है कि $\frac{k}{k+5} = \frac{1}{6}$,इसलिए $6k = k+5$,जिसका अर्थ है कि $5k = 5$,अर्थात $k = 1$।

(A) दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sum_{r=1}^n r^a}}{{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na + r)}} = \frac{1}{60}$ है।
अंश और हर को $n^{a+1}$ से विभाजित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{n} \sum_{r=1}^n (\frac{r}{n})^a}}{{(\frac{n+1}{n})^{a-1} \cdot \frac{1}{n^2} \sum_{r=1}^n (na + r)}} = \frac{1}{60}$.
निश्चित समाकलन की परिभाषा $\int_0^1 x^a dx = \frac{1}{a+1}$ और समांतर श्रेणी के योग का उपयोग करने पर:
$\frac{\int_0^1 x^a dx}{\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{a-1} (a + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{n}))} = \frac{1}{60}$.
$\frac{\frac{1}{a+1}}{a + \frac{1}{2}} = \frac{1}{60}$.
$\frac{2}{(a+1)(2a+1)} = \frac{1}{60} \Rightarrow (a+1)(2a+1) = 120$.
$2a^2 + 3a - 119 = 0$.
$(2a + 17)(a - 7) = 0$.
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 7$ प्राप्त होता है।

(C) माना $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा $Y - y = f'(x)(X - x)$ है।
$A$ के लिए $(Y=0)$,$X = x - \frac{y}{f'(x)}$. अतः $A = \left( x - \frac{y}{f'(x)}, 0 \right)$.
$B$ के लिए $(X=0)$,$Y = y - x f'(x)$. अतः $B = (0, y - x f'(x))$.
दिया है $AP : BP = 1 : 3$,विभाजन सूत्र के अनुसार $P(x, y)$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$x = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot (x - y/f'(x))}{1 + 3} \implies 4x = 3x - \frac{3y}{f'(x)} \implies x = -\frac{3y}{f'(x)}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3y}{x}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = -3 \int \frac{dx}{x} \implies \ln|y| = -3 \ln|x| + C \implies y = \frac{k}{x^3}$.
चूंकि $f(1) = 1$,हमें $1 = \frac{k}{1^3} \implies k = 1$ प्राप्त होता है। अतः $y = \frac{1}{x^3}$.
विकल्पों की जांच करने पर,$x=2$ के लिए,$y = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
अतः,वक्र $\left( 2, \frac{1}{8} \right)$ बिंदु से होकर गुजरता है।

(A) मान लीजिए कि समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जहाँ $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,और $C = (0, 0, c)$ है।
इस समतल की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $3 \ units$ दी गई है। अतः,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 3$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{9}$ है।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार है: $x = \frac{a+0+0}{3}$,$y = \frac{0+b+0}{3}$,और $z = \frac{0+0+c}{3}$।
इसलिए,$a = 3x$,$b = 3y$,और $c = 3z$ है।
इन मानों को दूरी के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{9}$।
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{9}$।
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए बिंदु $(3, -2, -\lambda)$ को समतल के समीकरण $2x - 4y + 3z = 2$ को संतुष्ट करना चाहिए।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर: $2(3) - 4(-2) + 3(-\lambda) = 2$.
$6 + 8 - 3\lambda = 2 \implies 14 - 3\lambda = 2 \implies 3\lambda = 12 \implies \lambda = 4$.
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $(1, -1, -2)$ समतल के अभिलंब $(2, -4, 3)$ के लंबवत होना चाहिए।
जाँच: $(1)(2) + (-1)(-4) + (-2)(3) = 2 + 4 - 6 = 0$. यह शर्त संतुष्ट होती है।
अब,दो रेखाओं पर विचार करें:
$L_1: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z + 4}{-2}$
$L_2: \frac{x - 1}{12} = \frac{y}{9} = \frac{z}{4}$
चूंकि $L_1$ समतल $2x - 4y + 3z = 2$ में स्थित है,हम जाँचते हैं कि क्या $L_2$ समतल को प्रतिच्छेद करती है। $L_2$ के लिए,$x = 12k+1, y = 9k, z = 4k$.
समतल में प्रतिस्थापित करने पर: $2(12k+1) - 4(9k) + 3(4k) = 24k + 2 - 36k + 12k = 2$.
$2 = 2$. यह प्रत्येक $k$ के लिए सत्य है। अतः,रेखा $L_2$ भी उसी समतल में स्थित है।
चूंकि दोनों रेखाएं एक ही समतल में स्थित हैं,वे या तो समानांतर हैं या प्रतिच्छेदी हैं। दिशा सदिश $(1, -1, -2)$ और $(12, 9, 4)$ आनुपातिक नहीं हैं,इसलिए वे समानांतर नहीं हैं।
अतः,रेखाएं प्रतिच्छेदी होनी चाहिए। दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $0$ होती है।

(B) दिया गया है $\vec{b} = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{b_1}$,$\vec{a}$ के समांतर है,इसलिए $\vec{b_1} = \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 3$.
$|\vec{a}|^2 = |\hat{i} + \hat{j}|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
अतः,$\vec{b_1} = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j}) = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$.
चूंकि $\vec{b} = \vec{b_1} + \vec{b_2}$,इसलिए $\vec{b_2} = \vec{b} - \vec{b_1} = (3\hat{j} + 4\hat{k}) - (\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ की गणना करें:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3/2 & 3/2 & 0 \\ -3/2 & 3/2 & 4 \end{vmatrix}$.
$= \hat{i} \left( (3/2)(4) - (0)(3/2) \right) - \hat{j} \left( (3/2)(4) - (0)(-3/2) \right) + \hat{k} \left( (3/2)(3/2) - (3/2)(-3/2) \right)$.
$= \hat{i}(6) - \hat{j}(6) + \hat{k}(9/4 + 9/4) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.

(A) दिया गया है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{12}$.
साथ ही,$P(\bar{E} \cap \bar{F}) = P(\bar{E}) \cdot P(\bar{F}) = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $P(E) = x$ और $P(F) = y$. अतः $xy = \frac{1}{12}$.
दूसरा समीकरण $(1-x)(1-y) = \frac{1}{2}$ हो जाता है,जिसे सरल करने पर $1 - (x+y) + xy = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$xy = \frac{1}{12}$ रखने पर,$1 - (x+y) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y = \frac{7}{12}$.
अब,$x$ और $y$ द्विघात समीकरण $12t^2 - 7t + 1 = 0$ के मूल हैं।
गुणनखंड करने पर,$(4t-1)(3t-1) = 0$,जिससे $t = \frac{1}{4}$ या $t = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
यदि $P(E) = \frac{1}{3}$ है,तो $P(F) = \frac{1}{4}$,इसलिए $\frac{P(E)}{P(F)} = \frac{4}{3}$।

(A) माना $\lambda = \cot^{-1}(1+x)$,तो $\cot \lambda = 1+x$। आधार $(1+x)$ और लंब $1$ वाले समकोण त्रिभुज से,कर्ण $\sqrt{(1+x)^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$ है। अतः,$\sin \lambda = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$।
माना $\beta = \tan^{-1}x$,तो $\tan \beta = x$। लंब $x$ और आधार $1$ वाले समकोण त्रिभुज से,कर्ण $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}$ है। अतः,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$।
दिए गए समीकरण $\sin \lambda = \cos \beta$ से:
$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 1$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$2x + 2 = 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

(B) चूँकि $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$ होगा।
सबसे पहले,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\frac{4}{5})^{\frac{\tan 4x}{\tan 5x}}$.
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$,जहाँ $h \to 0$ है। तब $\tan 4x = \tan(2\pi + 4h) = \tan 4h \approx 4h$.
और $\tan 5x = \tan(\frac{5\pi}{2} + 5h) = \cot 5h \approx \frac{1}{5h}$।
अतः,घातांक $\frac{\tan 4x}{\tan 5x} = \tan 4h \cdot \tan 5h$ हो जाता है,जिसकी सीमा $0 \cdot 0 = 0$ है।
इसलिए,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = (\frac{4}{5})^0 = 1$।
अब $f(\frac{\pi}{2}) = k + \frac{2}{5}$ के साथ तुलना करने पर,$k + \frac{2}{5} = 1$।
अतः,$k = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \, dx = (x + 3y^2) \, dy$
$y \, dy$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^2}{y} = \frac{x}{y} + 3y$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 3y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + c$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 3y \cdot \frac{1}{y} \, dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 3 \, dy + c = 3y + c$
अतः,$x = 3y^2 + cy$.
चूँकि वक्र $(1, 1)$ से गुजरता है,हम $x=1$ और $y=1$ रखते हैं: $1 = 3(1)^2 + c(1) \Rightarrow 1 = 3 + c \Rightarrow c = -2$.
वक्र का समीकरण $x = 3y^2 - 2y$ है।
विकल्प $(D)$ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ की जाँच करने पर: $x = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
चूँकि बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) माना $y = \tan^{-1}\left(\frac{6x\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$ है।
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2(3x\sqrt{x})}{1-(3x\sqrt{x})^2}\right)$।
सूत्र $2\tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 3x\sqrt{x} = 3x^{3/2}$,हमें प्राप्त होता है:
$y = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3x^{3/2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^{3/2})$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot (3 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2})$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2} \sqrt{x} = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$।
दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot g(x)$,इसलिए $\sqrt{x} \cdot g(x) = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$।
अतः,$g(x) = \frac{9}{1+9x^3}$।

(A) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ और $a + b + c = 3$,इसलिए $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3$ है।
फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ दिया गया है।
$y = 1$ रखने पर,हमें $f(x + 1) = f(x) + f(1) + x$ प्राप्त होता है।
$f(1) = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,$f(x + 1) - f(x) = x + 3$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ से $n - 1$ तक योग करने पर:
$\sum_{x=1}^{n-1} (f(x+1) - f(x)) = \sum_{x=1}^{n-1} (x + 3)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $f(n) - f(1) = \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$।
चूंकि $f(1) = 3$,इसलिए $f(n) = 3 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 + 5n}{2}$।
अब,$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{2} + \frac{5n}{2})$ की गणना करते हैं।
योग सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right)$।
$= 192.5 + 137.5 = 330$।