જો $S = \{x \in [0, 2\pi] : \begin{vmatrix} 0 & \cos x & -\sin x \\ \sin x & 0 & \cos x \\ \cos x & \sin x & 0 \end{vmatrix} = 0\}$ હોય,તો $\sum_{x \in S} \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ અને $A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$. જો $\det(A) = 1$ અને શ્રેણિક $A$ એ $A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ નું પાલન કરે,તો $\det(\text{adj}(A^2 + A))$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે ત્રણ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ છે. તો $Tr(A) + Tr\left( \frac{ABC}{2} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^2}{4} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^3}{8} \right) + \dots + \infty$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{N}$,તો:

$P(1)=2, P(2)=4, P(3)=6, P(4)=8$ સંતોષતા ત્રિઘાત બહુપદી $P(x)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક છે. જો $s_n = \alpha^n + \beta^n$ અને $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+s_1 & 1+s_2 \\ 1+s_1 & 1+s_2 & 1+s_3 \\ 1+s_2 & 1+s_3 & 1+s_4\end{array}\right| = k \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$ હોય,તો $k =$