JEE Main 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $ED = h$ છે.
$\triangle EDC$ માં,$\tan(60^o) = \frac{ED}{CD} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{CD} \implies CD = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle EDB$ માં,$\tan(45^o) = \frac{ED}{BD} \implies 1 = \frac{h}{BD} \implies BD = h$.
$\triangle EDA$ માં,$\tan(30^o) = \frac{ED}{AD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{AD} \implies AD = h\sqrt{3}$.
હવે,$BC = BD - CD = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)$.
$AB = AD - BD = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3}-1)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{AB}{BC} = \frac{h(\sqrt{3}-1)}{h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)} = \sqrt{3} : 1$.

(D) આપેલ છે કે $\left|\frac{z_1 - 2z_2}{2 - z_1 \overline{z_2}}\right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z_1 - 2z_2|^2 = |2 - z_1 \overline{z_2}|^2$.
$|w|^2 = w \overline{w}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(z_1 - 2z_2)(\overline{z_1} - 2\overline{z_2}) = (2 - z_1 \overline{z_2})(2 - \overline{z_1} z_2)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$|z_1|^2 + 4|z_2|^2 = 4 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$|z_1|^2 - |z_1|^2 |z_2|^2 + 4|z_2|^2 - 4 = 0$.
$(|z_1|^2 - 4)(1 - |z_2|^2) = 0$.
આપેલ છે કે $z_2$ યુનિમોડ્યુલર નથી,તેથી $|z_2| \neq 1$,એટલે કે $1 - |z_2|^2 \neq 0$.
તેથી,$|z_1|^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|z_1| = 2$.
આ $2$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(41,0)$ અને $(0,41)$ છે.
$(41,0)$ અને $(0,41)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = 41$ છે.
આપણે એવા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ શોધવાના છે કે જેથી $x > 0$,$y > 0$ અને $x + y < 41$ થાય.
નિશ્ચિત $x$ માટે,$y$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, \dots, 40-x$ છે.
આપેલ $x$ માટે આવા બિંદુઓની સંખ્યા $40-x$ છે.
$x = 1$ થી $39$ સુધીનો સરવાળો લેતા:
$\sum_{x=1}^{39} (40-x) = 39 + 38 + \dots + 1$.
સરવાળાના સૂત્ર $\frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા $(n=39)$:
$\frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$.

(B) ધારો કે $n(A) = 4$ અને $n(B) = 2$.
તો $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = 4 \times 2 = 8$ છે.
$A \times B$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^8 = 256$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે.
આ કુલ ઉપગણોમાંથી $0, 1,$ અથવા $2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
$0$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $\binom{8}{0} = 1$.
$1$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $\binom{8}{1} = 8$.
$2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
$3$ થી ઓછા ઘટકો ધરાવતા કુલ ઉપગણોની સંખ્યા = $1 + 8 + 28 = 37$.
તેથી,ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $256 - 37 = 219$.

(B) ધારો કે $f(x) = (1 - 2\sqrt{x})^{50} = \sum_{r=0}^{50} {^{50}C_r} (-2\sqrt{x})^r$.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^{50}C_r} (-2)^r x^{r/2}$ છે.
$x$ નો ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. ધારો કે $r = 2k$,જ્યાં $k \in \{0, 1, 2, \dots, 25\}$.
$x$ ના પૂર્ણાંક ઘાતાંકવાળા પદોનો સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{25} {^{50}C_{2k}} 2^{2k}$ છે.
$(1+2)^{50}$ અને $(1-2)^{50}$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લેતા:
$(1+2)^{50} + (1-2)^{50} = 2 \sum_{k=0}^{25} {^{50}C_{2k}} 2^{2k}$.
$3^{50} + 1 = 2S$.
તેથી,$S = \frac{3^{50} + 1}{2}$.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n (2k-1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ અને પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$ છે.
તેથી,$T_n = \frac{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4}$.
આપણે પ્રથમ $9$ પદોનો સરવાળો શોધવો છે,$S_9 = \sum_{n=1}^9 T_n = \sum_{n=1}^9 \frac{(n+1)^2}{4}$.
$S_9 = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^9 (n+1)^2 = \frac{1}{4} (2^2 + 3^2 + \dots + 10^2)$.
$1^2$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,આપણને મળે છે $S_9 = \frac{1}{4} \left[ \sum_{k=1}^{10} k^2 - 1^2 \right]$.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^m k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,$m=10$ માટે:
$S_9 = \frac{1}{4} \left[ \frac{10(11)(21)}{6} - 1 \right] = \frac{1}{4} [385 - 1] = \frac{384}{4} = 96$.

(C) આપેલ છે કે $m = \frac{l+n}{2}$,તેથી $2m = l+n$.
$G_1, G_2, G_3$ એ $l$ અને $n$ વચ્ચેના ત્રણ ગુણોત્તર મધ્યકો હોવાથી,શ્રેણી $l, G_1, G_2, G_3, n$ એ $G.P.$ માં છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. તેથી $n = l r^4$,એટલે કે $r^4 = \frac{n}{l}$.
પદો $G_1 = lr, G_2 = lr^2, G_3 = lr^3$ છે.
આપણે $G_1^4 + 2G_2^4 + G_3^4 = (lr)^4 + 2(lr^2)^4 + (lr^3)^4$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$= l^4r^4 + 2l^4r^8 + l^4r^{12} = l^4r^4(1 + 2r^4 + r^8) = l^4r^4(1 + r^4)^2$.
$r^4 = \frac{n}{l}$ મૂકતા:
$= l^4 \left(\frac{n}{l}\right) \left(1 + \frac{n}{l}\right)^2 = l^3n \left(\frac{l+n}{l}\right)^2 = l^3n \frac{(l+n)^2}{l^2} = ln(l+n)^2$.
$l+n = 2m$ હોવાથી,આપણને $ln(2m)^2 = 4lm^2n$ મળે છે.

(D) ધારો કે $P = (2, 3)$ આપેલ બિંદુ છે અને $P' = (h, k)$ એ રેખા $L_k: (2x - 3y + 4) + k(x - 2y + 3) = 0$ માં તેનું પ્રતિબિંબ છે.
રેખા $L_k$ એ $L_1: 2x - 3y + 4 = 0$ અને $L_2: x - 2y + 3 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલતા,આપણને $x = 1, y = 2$ મળે છે. ધારો કે આ બિંદુ $A = (1, 2)$ છે.
$P'$ એ $L_k$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,રેખા $AP$ એ $AP'$ ને લંબ છે અને $AP = AP'$ થાય.
$AP$ નો ઢાળ $m_{AP} = \frac{3-2}{2-1} = 1$ છે.
ધારો કે $P' = (x, y)$. $AP'$ નો ઢાળ $m_{AP'} = \frac{y-2}{x-1}$ છે.
$AP \perp AP'$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $\frac{y-2}{x-1} = -1 \implies y - 2 = -(x - 1) \implies x + y = 3$.
વળી,અંતર $AP = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2}$.
$AP = AP'$ હોવાથી,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = AP^2 = 2$ મળે.
આમ,બિંદુપથ એ $(1, 2)$ કેન્દ્ર અને $\sqrt{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(D) પ્રથમ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $c_{1} = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ છે.
બીજા વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 6x + 18y + 26 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $c_{2} = (-3, -9)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2 - 26} = \sqrt{9 + 81 - 26} = \sqrt{64} = 8$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $c_{1}c_{2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-9))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
અહીં $c_{1}c_{2} = r_{1} + r_{2} = 5 + 8 = 13$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ હોય છે.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$ છે,તેથી $a = 3$ અને $b = \sqrt{5}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ છે.
બિંદુ $(2, \frac{5}{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ એટલે કે $2x + 3y = 9$ છે.
આ રેખા x-અક્ષને $R(\frac{9}{2}, 0)$ અને y-અક્ષને $Q(0, 3)$ માં છેદે છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ ચાર સમાન ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
પ્રથમ ચરણમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{27}{4} = 27$ ચોરસ એકમ.

(D) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {3 + \cos x} \right)}}{{x\tan 4x}}$
નિત્યસમ $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin^2 x(3 + \cos x)}}{{x \tan 4x}}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરવા માટે $x$ અને $4x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{x^2}{x \cdot \frac{\tan 4x}{4x} \cdot 4x} \cdot (3 + \cos x) \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot \frac{\tan 4x}{4x}} \cdot (3 + \cos x) \right)$
$x = 0$ મૂકતા:
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot 1} \cdot (3 + \cos 0)$
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + 1) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 2$

(A) આપેલ છે કે $16$ અવલોકનોનો મધ્યક $16$ છે,તેથી અવલોકનોનો સરવાળો:
$\sum_{i=1}^{16} x_i = 16 \times 16 = 256$.
$16$ મૂલ્ય ધરાવતું અવલોકન દૂર કર્યા પછી અને $3, 4, 5$ મૂલ્ય ધરાવતા ત્રણ નવા અવલોકનો ઉમેર્યા પછી,અવલોકનોનો નવો સરવાળો:
$\text{નવો સરવાળો} = 256 - 16 + 3 + 4 + 5 = 252$.
અવલોકનોની નવી સંખ્યા $16 - 1 + 3 = 18$ છે.
નવો મધ્યક:
$\text{નવો મધ્યક} = \frac{252}{18} = 14$.

(C) $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - 6x - 2 = 0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha + \beta = 6$ અને $\alpha\beta = -2$ મળે.
વળી,$\alpha^2 = 6\alpha + 2$ અને $\beta^2 = 6\beta + 2$ થાય.
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ આપેલ હોવાથી,પદાવલિની કિંમત મેળવીએ:
$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2 - 2) - \beta^8(\beta^2 - 2)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$\alpha^2 - 2 = 6\alpha$ અને $\beta^2 - 2 = 6\beta$ મૂકતા:
$= \frac{\alpha^8(6\alpha) - \beta^8(6\beta)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6(\alpha^9 - \beta^9)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6}{2} = 3$.

(A) આપેલ વક્ર $x^2 + 2xy - 3y^2 = 0$ છે.
પદાવલિના અવયવો પાડતા: $x^2 + 3xy - xy - 3y^2 = 0 \Rightarrow x(x + 3y) - y(x + 3y) = 0 \Rightarrow (x + 3y)(x - y) = 0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x - y = 0$ અને $x + 3y = 0$.
બિંદુ $(1,1)$ એ રેખા $x - y = 0$ પર આવેલું છે. આ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
$(1,1)$ આગળ વક્રનો અભિલંબ તે બિંદુએ સ્પર્શકને લંબ હોય છે. વક્ર બે રેખાઓની જોડી હોવાથી,$(1,1)$ આગળનો અભિલંબ રેખા $x - y = 0$ ને લંબ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m' = -1/m = -1$ છે.
$(1,1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(y - 1) = -1(x - 1) \Rightarrow y - 1 = -x + 1 \Rightarrow x + y = 2$ છે.
આ અભિલંબ વક્રને ફરીથી ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે $x + y = 2$ અને બીજી રેખા $x + 3y = 0$ નું છેદબિંદુ શોધીએ.
$x + 3y = 0$ પરથી,$x = -3y$ મળે.
$x + y = 2$ માં કિંમત મૂકતા: $-3y + y = 2 \Rightarrow -2y = 2 \Rightarrow y = -1$.
તેથી $x = -3(-1) = 3$.
છેદબિંદુ $(3, -1)$ છે.
$x$-યામ ધન છે અને $y$-યામ ઋણ હોવાથી,બિંદુ $(3, -1)$ એ $4^{th}$ ચરણમાં આવેલું છે.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = \sim s \vee (\sim r \wedge s)$ છે.
આપણે તેનું નિષેધ $\sim P = \sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$ શોધવા માંગીએ છીએ.
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (A \vee B) = \sim A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P = \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
ડી મોર્ગનનો નિયમ ફરીથી લાગુ પાડતા,આ $s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$ માં સરળ બને છે.
તેથી,$\sim P = s \wedge (r \vee \sim s)$.
વિભાજનના નિયમ $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P = (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
કારણ કે $(s \wedge \sim s)$ એ વિરોધાભાસ (False) છે,તેથી:
$\sim P = (s \wedge r) \vee F = s \wedge r$.

(D) આપેલ શંકુ $y - 6 = x^2$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2x$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 10)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 2(2) = 4$ છે.
$(2, 10)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 10 = 4(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - y + 2 = 0$ થાય છે.
સ્પર્શક વર્તુળ $x^2 + y^2 + 8x - 2y = k$ ને $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શે છે,તેથી બિંદુ $(\alpha, \beta)$ સ્પર્શક રેખા પર આવેલું છે,એટલે કે $4\alpha - \beta + 2 = 0$,અથવા $\beta = 4\alpha + 2$.
વર્તુળના બિંદુ $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $x^2 + y^2 + 8x - 2y = k$ નું વિકલન કરતા મળે છે,જે $2x + 2y \frac{dy}{dx} + 8 - 2 \frac{dy}{dx} = 0$ થાય છે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{-(x + 4)}{y - 1}$.
$(\alpha, \beta)$ આગળ ઢાળ $4$ છે,તેથી $\frac{-(\alpha + 4)}{\beta - 1} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $-\alpha - 4 = 4\beta - 4$,અથવા $\alpha = -4\beta$.
$\alpha = -4\beta$ ને $\beta = 4\alpha + 2$ માં મૂકતા,$\beta = 4(-4\beta) + 2$ મળે છે,તેથી $\beta = -16\beta + 2$,જે $17\beta = 2$ આપે છે,એટલે કે $\beta = \frac{2}{17}$.
તેથી $\alpha = -4 \left( \frac{2}{17} \right) = -\frac{8}{17}$.
આમ,બિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ $\left( -\frac{8}{17}, \frac{2}{17} \right)$ છે.

(D) આપણે સરવાળો $S = \sum\limits_{r = 16}^{30} {(r^2 - r - 6)}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સરવાળાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum\limits_{r = 16}^{30} r^2 - \sum\limits_{r = 16}^{30} r - \sum\limits_{r = 16}^{30} 6$.
યાદ રાખો કે $\sum\limits_{r = 1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum\limits_{r = 1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$.
$\sum\limits_{r = 16}^{30} r^2 = \sum\limits_{r = 1}^{30} r^2 - \sum\limits_{r = 1}^{15} r^2 = \frac{30(31)(61)}{6} - \frac{15(16)(31)}{6} = 9455 - 1240 = 8215$.
$\sum\limits_{r = 16}^{30} r = \sum\limits_{r = 1}^{30} r - \sum\limits_{r = 1}^{15} r = \frac{30(31)}{2} - \frac{15(16)}{2} = 465 - 120 = 345$.
$\sum\limits_{r = 16}^{30} 6 = 6 \times (30 - 16 + 1) = 6 \times 15 = 90$.
તેથી,$S = 8215 - 345 - 90 = 7780$.

(C) ધારો કે $P$ એ ફોન ધરાવતા પરિવારોનો સમૂહ છે અને $C$ એ કાર ધરાવતા પરિવારોનો સમૂહ છે.
આપેલ છે: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$,અને $n(P' \cap C') = 65\%$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$.
આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
હવે,$n(P \cap C) = 25\% + 15\% - 35\% = 5\%$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
આપેલ છે કે કુલ પરિવારો $x$ ના $5\%$ એ $2,000$ છે,તેથી $0.05x = 2,000$.
$x = 40,000$.
આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
તેથી,બધા વિધાનો $(A), (B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(B) બહુપદી $2x^3 - 9x^2 + kx - 13 = 0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha = 2 + 3i$ છે,તેથી બીજું સંકર બીજ $\beta = 2 - 3i$ થશે.
ધારો કે વાસ્તવિક બીજ $\gamma$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = 2$ અને $d = -13$ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $-\frac{-13}{2} = \frac{13}{2}$ થશે.
જાણીતા બીજો મૂકતા: $(2 + 3i)(2 - 3i) \gamma = \frac{13}{2}.$
$(2^2 + 3^2) \gamma = \frac{13}{2}.$
$(4 + 9) \gamma = \frac{13}{2}.$
$13 \gamma = \frac{13}{2}.$
$\gamma = \frac{1}{2}.$
આમ,વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે $\frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a_1 = 10$ અને પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $39$ છે.
$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 39$
$3a_1 + 3d = 39$
$3(10) + 3d = 39$ $\Rightarrow 30 + 3d = 39$ $\Rightarrow 3d = 9$ $\Rightarrow d = 3.$
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. છેલ્લા ચાર પદો $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ છે.
તેમનો સરવાળો $4a_1 + ( (n-4) + (n-3) + (n-2) + (n-1) )d = 178$ છે.
$4(10) + (4n - 10)3 = 178$
$40 + 12n - 30 = 178$ $\Rightarrow 12n + 10 = 178$ $\Rightarrow 12n = 168$ $\Rightarrow n = 14.$
$n$ પદો ધરાવતી $A.P.$ નો મધ્યસ્થ એ પ્રથમ અને છેલ્લા પદની સરેરાશ છે: $\frac{a_1 + a_n}{2}.$
$a_n = a_1 + (n-1)d = 10 + (14-1)3 = 10 + 39 = 49.$
મધ્યસ્થ $= \frac{10 + 49}{2} = \frac{59}{2} = 29.5.$

(C) ધારો કે રાત્રિની પાળીના કામદારનું સરેરાશ વેતન $x$ છે.
કુલ કામદારોની સંખ્યા $70 + 30 = 100$ છે.
દિવસની પાળીના કામદારોના વેતનનો સરવાળો $70 \times 54 = 3780$ છે.
બધા કામદારોના વેતનનો સરવાળો $100 \times 60 = 6000$ છે.
રાત્રિની પાળીના કામદારોના વેતનનો સરવાળો $30 \times x$ છે.
આપણને સમીકરણ મળે છે: $3780 + 30x = 6000$.
$30x = 6000 - 3780 = 2220$.
$x = \frac{2220}{30} = 74$.
આમ,રાત્રિની પાળીના કામદારોનું સરેરાશ વેતન $Rs. 74$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $L$ ના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
અંતઃખંડ $P(1, 2)$ આગળ દુભાગે છે,તેથી $\frac{a}{2} = 1 \implies a = 2$ અને $\frac{b}{2} = 2 \implies b = 4$.
આમ,રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + y = 4 \quad (1)$ થાય છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $m = -2$ છે. રેખા $L$ ને લંબ રેખા $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{m} = \frac{1}{2}$ છે.
$L_1$ એ $(-2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 2) \implies x - 2y = -4 \quad (2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$x = \frac{4}{5}$ અને $y = \frac{12}{5}$ મળે છે.
છેદબિંદુ $\left( \frac{4}{5}, \frac{12}{5} \right)$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પદો $T_{r+1}, T_{r+2},$ અને $T_{r+3}$ છે. તેમના સહગુણકો $^{n}C_{r}, ^{n}C_{r+1},$ અને $^{n}C_{r+2}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $^{n}C_{r} : ^{n}C_{r+1} : ^{n}C_{r+2} = 1 : 7 : 42$ છે.
$\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_{r}} = \frac{7}{1}$ પરથી,$\frac{n-r}{r+1} = 7 \implies n = 8r+7$ મળે.
$\frac{^{n}C_{r+2}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{42}{7} = 6$ પરથી,$\frac{n-(r+1)}{r+2} = 6 \implies n = 7r+13$ મળે.
$n$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $8r+7 = 7r+13 \implies r = 6.$
આથી,પ્રથમ પદ $T_{r+1} = T_{6+1} = T_{7}$ એટલે કે $7^{th}$ પદ છે.

(D) ઘાતગણ $P(X)$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $2^{10}$ છે.
$A$ અને $B$ ને પુનરાવર્તન સાથે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,$(A, B)$ ની જોડી પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(2^{10}) \times (2^{10}) = 2^{20}$ છે.
ધારો કે $n(A) = k$ અને $n(B) = k$,જ્યાં $k$ ની કિંમત $0$ થી $10$ સુધી હોઈ શકે છે.
$10$ ઘટકોના ગણમાંથી $k$ ઘટકો ધરાવતો ઉપગણ પસંદ કરવાની રીતો $^{10}C_k$ છે.
તેથી,$n(A) = n(B) = k$ થાય તેવી રીતે $A$ અને $B$ પસંદ કરવાની રીતો $(^{10}C_k) \times (^{10}C_k) = (^{10}C_k)^2$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $\sum_{k=0}^{10} (^{10}C_k)^2$ છે.
નિત્યસમ $\sum_{k=0}^{n} (^{n}C_k)^2 = ^{2n}C_n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum_{k=0}^{10} (^{10}C_k)^2 = ^{20}C_{10}$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{^{20}C_{10}}{2^{20}}$ છે.

(B) $15$ પુરુષો અને $15$ સ્ત્રીઓમાંથી દરેક ટીમમાં એક પુરુષ અને એક સ્ત્રી હોય તેવી $15$ ટીમો બનાવવા માટે:
$1$. પ્રથમ ટીમ માટે,$15$ પુરુષોમાંથી $1$ પુરુષ $15$ રીતે અને $15$ સ્ત્રીઓમાંથી $1$ સ્ત્રી $15$ રીતે પસંદ કરી શકાય. કુલ રીતો = $15 \times 15$.
$2$. બીજી ટીમ માટે,બાકી રહેલા $14$ પુરુષોમાંથી $1$ અને બાકી રહેલી $14$ સ્ત્રીઓમાંથી $1$ સ્ત્રી પસંદ કરી શકાય. કુલ રીતો = $14 \times 14$.
$3$. આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,ટીમો બનાવવાની કુલ રીતો દરેક ટીમ બનાવવાની રીતોનો ગુણાકાર છે:
કુલ રીતો = $(15 \times 15) \times (14 \times 14) \times \dots \times (1 \times 1)$
કુલ રીતો = $(15 \times 14 \times \dots \times 1) \times (15 \times 14 \times \dots \times 1)$
કુલ રીતો = $(15!)^2$.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4^2$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બિંદુ $P(0, h)$ માંથી દોરેલ સ્પર્શક $y-$અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે, તેથી $\sin \alpha = \frac{r}{OP} = \frac{4}{h}$.
ધારો કે સ્પર્શક $x-$અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે, તો $\theta = 90^\circ - \alpha$, તેથી $\cos \theta = \sin \alpha = \frac{4}{h}$.
$B$ નો $x-$યામ $OB = \frac{r}{\sin \theta} = \frac{4}{\cos \alpha} = \frac{4h}{\sqrt{h^2 - 16}}$ છે.
$\Delta APB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{\text{પાયો}} \times \text{\text{વેધ}} = \frac{1}{2} \times (2 \cdot OB) \times h = OB \times h = \frac{4h^2}{\sqrt{h^2 - 16}}$.
ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ કરવા માટે, $f(h) = \frac{16h^4}{h^2 - 16}$ નું વિકલન કરતા $h^2 = 32$ મળે છે.
તેથી, $h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2 + y^2 - 30x = 0$ છે અને જીવા $L \equiv y + 3x = 0$ છે.
$S = 0$ અને $L = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$x^2 + y^2 - 30x + \lambda(y + 3x) = 0$
$x^2 + y^2 + (3\lambda - 30)x + \lambda y = 0$
આ વર્તુળ માટે,જીવા $y + 3x = 0$ એ વ્યાસ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left( -\frac{3\lambda - 30}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ છે.
કેન્દ્ર જીવા $y + 3x = 0$ પર હોવું જોઈએ,તેથી કેન્દ્રના યામ જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{\lambda}{2} + 3\left( -\frac{3\lambda - 30}{2} \right) = 0$
$-\lambda - 9\lambda + 90 = 0$
$-10\lambda = -90 \implies \lambda = 9$
$\lambda = 9$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 + (3(9) - 30)x + 9y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x + 9y = 0$

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A\left( 0, \frac{8}{3} \right)$,$B(1, 3)$ અને $C(82, 30)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ = $\frac{3 - \frac{8}{3}}{1 - 0} = \frac{\frac{9-8}{3}}{1} = \frac{1}{3}$.
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{30 - 3}{82 - 1} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
અહીં $AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન હોવાથી અને તેઓ સામાન્ય બિંદુ $B$ ધરાવતા હોવાથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે,એટલે કે તેઓ એક સીધી રેખા પર આવેલા છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
તેની નાભિઓ $(\pm \sqrt{13}, 0)$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \frac{\sqrt{13}}{2}$ છે.
ધારો કે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_e$ છે. આપેલ છે કે $e_e \times e_h = \frac{1}{2}$,તેથી $e_e = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ઉપવલય $(\pm \sqrt{13}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 = 13$.
$b^2 = a^2(1 - e_e^2) = 13(1 - \frac{1}{13}) = 12$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
બિંદુ $C$ માટે: $\frac{13/4}{13} + \frac{3/4}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} \neq 1$.
તેથી,બિંદુ $C$ ઉપવલય પર નથી.

(A) ગણ $\{ \omega \in \mathbb{C} : |\omega - (4 + i)| \le r \}$ એ $C(4, 1)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ગણ $\{ z \in \mathbb{C} : |z - 1| \le |z + i| \}$ એ $1$ (અથવા $(1, 0)$) અને $-i$ (અથવા $(0, -1)$) ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજકનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
લંબદ્વિભાજક રેખા $x + y = 0$ છે. પ્રદેશ $|z - 1| \le |z + i|$ એ $x + y \ge 0$ ને અનુરૂપ છે.
વર્તુળ $x + y \ge 0$ પ્રદેશમાં સમાયેલ હોય તે માટે,કેન્દ્ર $C(4, 1)$ થી રેખા $x + y = 0$ નું લંબ અંતર $r$ જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોવું જોઈએ.
$(4, 1)$ થી $x + y = 0$ નું અંતર $d = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2}\sqrt{2}$ છે.
આમ,$r$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{5}{2}\sqrt{2}$ છે.

(C) $x = 0$ ની નજીક $e^{x^2}$ અને $\cos x$ ના શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
$x \to 0$ માટે $\sin x \approx x$,તેથી $\sin^2 x \approx x^2$.
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(1 + x^2 + \dots) - (1 - \frac{x^2}{2} + \dots)}{x^2}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^2}{2}}{x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2}{x^2} = \frac{3}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = 2 + \sqrt{3}$ અને $\angle C = 60^\circ$.
ટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
$\frac{a-b}{a+b} = \frac{(2+\sqrt{3})b - b}{(2+\sqrt{3})b + b} = \frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\cot\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = \cot(30^\circ) = \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$.
$\frac{A-B}{2} = 45^\circ \implies A-B = 90^\circ$.
$A+B+C = 180^\circ$ અને $C = 60^\circ$ હોવાથી,$A+B = 120^\circ$.
$A-B = 90^\circ$ અને $A+B = 120^\circ$ ઉકેલતા,$2A = 210^\circ \implies A = 105^\circ$ અને $B = 15^\circ$ મળે.
આમ,ક્રમિત જોડ $(105^\circ, 15^\circ)$ છે.

(D) વિધાન "જો $P$,તો $Q$" નું પ્રતિ-વિધાન "જો $Q$ નથી,તો $P$ નથી" તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન: "જો વરસાદ પડી રહ્યો છે $(P)$,તો હું નહીં આવું $(Q)$".
અહીં,$P$ એટલે "વરસાદ પડી રહ્યો છે" અને $Q$ એટલે "હું નહીં આવું".
તેથી,"$Q$ નથી" એટલે "હું આવીશ" અને "$P$ નથી" એટલે "વરસાદ પડી રહ્યો નથી".
આમ,પ્રતિ-વિધાન "જો હું આવીશ,તો વરસાદ પડી રહ્યો નથી" છે.

(C) $\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^8$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^8C_r (2x^2)^{8-r} (-x^{-1})^r = ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પદાવલિ $\left( 1 - x^{-1} + 3x^5 \right) \sum_{r=0}^8 {^8C_r} 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r} - x^{-1} \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r} + 3x^5 \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે:
$1$. પ્રથમ ભાગમાંથી,$16-3r = 0 \implies r = 16/3$ (પૂર્ણાંક નથી).
$2$. બીજા ભાગમાંથી,$16-3r-1 = 0 \implies 15-3r = 0 \implies r = 5$. સહગુણક $- ^8C_5 2^{8-5} (-1)^5 = -56 \cdot 8 \cdot (-1) = 448$ છે.
$3$. ત્રીજા ભાગમાંથી,$16-3r+5 = 0 \implies 21-3r = 0 \implies r = 7$. સહગુણક $3 \cdot ^8C_7 2^{8-7} (-1)^7 = 3 \cdot 8 \cdot 2 \cdot (-1) = -48$ છે.
આનો સરવાળો કરતા,અચળ પદ $448 - 48 = 400$ મળે છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અંતઃકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર એક જ બિંદુ $(1, 1)$ પર હોય છે.
અંતઃત્રિજ્યા $r$ એ અંતઃકેન્દ્ર $(1, 1)$ થી બાજુ $3x + 4y + 3 = 0$ નું લંબ અંતર છે:
$r = \frac{|3(1) + 4(1) + 3|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 + 3|}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા બમણી હોય છે:
$R = 2r = 2(2) = 4$.
કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R = 4$ ધરાવતા પરિવર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 16$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 14 = 0$.

(B) આપેલ છે કે $\cos \alpha + \cos \beta = \frac{3}{2}$ અને $\sin \alpha + \sin \beta = \frac{1}{2}$.
સરવાળાને ગુણાકારમાં ફેરવતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{3}{2}$ $(i)$
$2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{1}{2}$ $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા $\tan \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{1}{3}$ મળે.
કારણ કે $\theta = \frac{\alpha+\beta}{2}$,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{3}$.
આપણે $\sin 2\theta + \cos 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} + \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ શોધવાનું છે.
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$= \frac{2(1/3)}{1 + 1/9} + \frac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \frac{2/3}{10/9} + \frac{8/9}{10/9} = \frac{6}{10} + \frac{8}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = -4x$ છે,જે $y^2 = -4ax$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a = 1$ છે.
ધારો કે $P$ ના યામ $(-t^2, 2t)$ અને $Q$ ના યામ $(-t^2, -2t)$ છે,જ્યાં $t > 0$ (કારણ કે $P$ બીજા ચરણમાં છે).
ધારો કે $R(h, k)$ એ બિંદુ છે જે $PQ$ ને $2 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$R$ ના યામ:
$h = \frac{2(-t^2) + 1(-t^2)}{2 + 1} = -t^2$
$k = \frac{2(-2t) + 1(2t)}{2 + 1} = \frac{-4t + 2t}{3} = -\frac{2t}{3}$
$k = -\frac{2t}{3}$ પરથી,આપણને $t = -\frac{3k}{2}$ મળે છે.
$h$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = -(-\frac{3k}{2})^2 = -\frac{9k^2}{4}$
$4h = -9k^2$
$9k^2 = -4h$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$R$ નો બિંદુપથ $9y^2 = -4x$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(a-1)(x^4+x^2+1) + (a+1)(x^2+x+1)^2 = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
આ કિંમત મૂકતા: $(a-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) + (a+1)(x^2+x+1)^2 = 0$
$(x^2+x+1)$ સામાન્ય લેતા: $(x^2+x+1)[(a-1)(x^2-x+1) + (a+1)(x^2+x+1)] = 0$
કૌંસનું સાદું રૂપ આપતા: $(x^2+x+1)(2ax^2+2x+2a) = 0$
$2(x^2+x+1)(ax^2+x+a) = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+x+1$ નો વિવેચક $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ છે,તેથી તેના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
સમીકરણને વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ હોવા માટે,$ax^2+x+a = 0$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવા જોઈએ.
આ માટે $a \neq 0$ અને વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = 1^2 - 4(a)(a) = 1 - 4a^2 > 0$
$4a^2 < 1$ $\Rightarrow a^2 < 1/4$ $\Rightarrow |a| < 1/2$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ ની કિંમતોનો ગણ $a \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$ છે.

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n - 3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $54$ છે,તેથી:
$\frac{n(n - 3)}{2} = 54$
$n(n - 3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, 2)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $|h|$ છે. વર્તુળ $y-$ અક્ષને $(0, 2)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, 2)$ થી $y-$ અક્ષનું અંતર $|h|$ થાય.
વર્તુળ $(-1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, 2)$ થી $(-1, 0)$ નું અંતર ત્રિજ્યા $|h|$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$(h - (-1))^2 + (2 - 0)^2 = h^2$
$(h + 1)^2 + 4 = h^2$
$h^2 + 2h + 1 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
કેન્દ્ર $(-\frac{5}{2}, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = |h| = \frac{5}{2}$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + \frac{5}{2})^2 + (y - 2)^2 = (\frac{5}{2})^2$ છે.
$x-$ અક્ષ પરની જીવા શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા:
$(x + \frac{5}{2})^2 + (0 - 2)^2 = \frac{25}{4}$
$(x + \frac{5}{2})^2 + 4 = \frac{25}{4}$
$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$
$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}$.
તેથી,$x_1 = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = -1$ અને $x_2 = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = -4$.
જીવાની લંબાઈ $|x_1 - x_2| = |-1 - (-4)| = 3$ થાય.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $a, ar, ar^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ત્રણ પદોનો ગુણાકાર $1000$ છે:
$a(ar)(ar^2) = 1000$ $\Rightarrow (ar)^3 = 1000$ $\Rightarrow ar = 10$.
$3^{rd}$ અને $4^{th}$ પદનો સરવાળો $60$ છે:
$ar^2 + ar^3 = 60 \Rightarrow ar(r + r^2) = 60$.
$ar = 10$ કિંમત મૂકતા:
$10(r + r^2) = 60 \Rightarrow r^2 + r - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$(r + 3)(r - 2) = 0 \Rightarrow r = 2$ અથવા $r = -3$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 2$ હોય,તો $a(2) = 10 \Rightarrow a = 5$.
કિસ્સો $2$: જો $r = -3$ હોય,તો $a(-3) = 10 \Rightarrow a = -10/3$.
પ્રથમ પદ $a$ ધન હોવાથી,આપણે $a = 5$ અને $r = 2$ લઈશું.
$7^{th}$ પદ $T_7 = ar^6 = 5(2)^6 = 5 \times 64 = 320$ થશે.

(C) આપેલ રેખા $\sqrt{3}x + y = 1$ છે,જે $y = -\sqrt{3}x + 1$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^o$ છે,તેથી $\tan(60^o) = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})}| = |\frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3 = \frac{(m + \sqrt{3})^2}{(1 - \sqrt{3}m)^2} \Rightarrow 3(1 - 2\sqrt{3}m + 3m^2) = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3$.
$3 - 6\sqrt{3}m + 9m^2 = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3 \Rightarrow 8m^2 - 8\sqrt{3}m = 0$.
$8m(m - \sqrt{3}) = 0$,તેથી $m = 0$ અથવા $m = \sqrt{3}$.
જો $m = 0$ હોય,તો રેખા $y + 2 = 0(x - 3) \Rightarrow y + 2 = 0$ મળે,જે $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને તેને છેદતી નથી.
જો $m = \sqrt{3}$ હોય,તો રેખા $y - (-2) = \sqrt{3}(x - 3) \Rightarrow y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3}$ મળે.
તેથી $y - \sqrt{3}x + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta}$, જ્યાં $\operatorname{Im}(z) = r \sin \theta$.
તેથી $z^5 = r^5(\cos 5\theta + i \sin 5\theta)$, તેથી $\operatorname{Im}(z^5) = r^5 \sin 5\theta$.
પદાવલિ $\frac{\operatorname{Im}(z^5)}{(\operatorname{Im} z)^5} = \frac{r^5 \sin 5\theta}{(r \sin \theta)^5} = \frac{\sin 5\theta}{\sin^5 \theta}$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin 5\theta = 16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin 5\theta}{\sin^5 \theta} = \frac{16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta}{\sin^5 \theta} = 16 - 20 \csc^2 \theta + 5 \csc^4 \theta$.
ધારો કે $x = \csc^2 \theta$. $z$ બિન-વાસ્તવિક હોવાથી, $\sin \theta \neq 0$, તેથી $x \geq 1$.
પદાવલિ $f(x) = 5x^2 - 20x + 16$ છે.
આ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2(5)} = 2$ પર છે.
$x=2$ એ પ્રદેશ $[1, \infty)$ માં હોવાથી, ન્યૂનતમ કિંમત $f(2) = 5(2)^2 - 20(2) + 16 = 20 - 40 + 16 = -4$ છે.

(A) ધારો કે થાંભલાઓ $A_1, A_2, ..., A_{10}$ સ્થાનો પર છે અને તેમની ઊંચાઈ $h_1, h_2, ..., h_{10}$ છે.
બધા થાંભલા $O$ આગળ સમાન ખૂણો $\alpha$ આંતરે છે,તેથી $\frac{h_n}{OA_n} = \tan \alpha$ દરેક $n = 1, 2, ..., 10$ માટે.
આપેલ છે કે $OA_1 = a$ અને $h_{10} = h$.
ધારો કે $d$ એ બે ક્રમિક થાંભલાઓ વચ્ચેનું અંતર છે. તેથી $OA_{10} = OA_1 + 9d = a + 9d$.
સંબંધ $\frac{h_{10}}{OA_{10}} = \tan \alpha$ પરથી,આપણને મળે છે $\frac{h}{a + 9d} = \tan \alpha$.
$d$ માટે ગોઠવતા:
$a + 9d = \frac{h}{\tan \alpha} = h \cot \alpha$
$9d = h \cot \alpha - a$
$9d = \frac{h \cos \alpha}{\sin \alpha} - a = \frac{h \cos \alpha - a \sin \alpha}{\sin \alpha}$
$d = \frac{h \cos \alpha - a \sin \alpha}{9 \sin \alpha}$.

(B) ઉપવલયની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
ઉપવલયના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ કરતા અડધું છે:
$2ae = \frac{1}{2} \times \frac{2b^2}{a}$
$2ae = \frac{b^2}{a}$
સંબંધ $b^2 = a^2(1-e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2ae = \frac{a^2(1-e^2)}{a}$
$2ae = a(1-e^2)$
$2e = 1-e^2$
$e^2 + 2e - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $e = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $e = \sqrt{2}-1$.

(C) સામાન્ય પદ $T_n$ ને તફાવતની રીતનો ઉપયોગ કરીને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right]$
$n=1$ થી $5$ સુધીનો સરવાળો લેતા:
$\sum_{n=1}^5 T_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} - \frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8} \right) \right]$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$\sum_{n=1}^5 T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{336} \right]$
$\frac{1}{3} \left[ \frac{56 - 1}{336} \right] = \frac{1}{3} \left( \frac{55}{336} \right) = \frac{k}{3}$
તેથી,$k = \frac{55}{336}$.

(D) ધારો કે વિધાનો $P$,$Q$,અને $R$ છે.
"સુમન તેજસ્વી અને અપ્રમાણિક છે" ને $P \wedge \sim R$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
"સુમન શ્રીમંત છે" ને $Q$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
"સુમન તેજસ્વી અને અપ્રમાણિક છે જો અને માત્ર જો સુમન શ્રીમંત હોય" વિધાનને $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \leftrightarrow B$ નો નિષેધ $\sim A \leftrightarrow B$ અથવા $A \leftrightarrow \sim B$ થાય છે.
તેથી,$(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ નો નિષેધ $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow \sim Q$ થાય,જે $\sim Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R)$ ને સમાન છે.

(D) પરવલય $x^2=8y$ નું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $Q$ ના યામ $(x_1, y_1)$ છે. કારણ કે $Q$ પરવલય પર છે,તેથી $x_1^2 = 8y_1$.
ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,$P$ એ $OQ$ નું $1:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$h = \frac{1 \cdot x_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{x_1}{4} \Rightarrow x_1 = 4h$
$k = \frac{1 \cdot y_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{y_1}{4} \Rightarrow y_1 = 4k$
આ કિંમતોને પરવલયના સમીકરણ $x_1^2 = 8y_1$ માં મૂકતા:
$(4h)^2 = 8(4k)$
$16h^2 = 32k$
$h^2 = 2k$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $x^2 = 2y$ મળે છે.

(B) ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ કારણ કે આપેલ સમીકરણ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું છે.
ધારો કે $x = 1$.
નિશ્ચાયકમાં $x = 1$ મૂકતા:
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{1^2} + 1}&{1 + 1}&{1 - 2}\\ {2(1)^2 + 3(1) - 1}&{3(1)}&{3(1) - 3}\\ {{1^2} + 2(1) + 3}&{2(1) - 1}&{2(1) - 1}\end{array}} \right| = A(1) - 12$
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2&{ - 1}\\ 4&3&0\\ 6&1&1\end{array}} \right| = A - 12$
હવે,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો:
$2(3 \times 1 - 0 \times 1) - 2(4 \times 1 - 0 \times 6) + (-1)(4 \times 1 - 3 \times 6) = A - 12$
$2(3) - 2(4) - 1(4 - 18) = A - 12$
$6 - 8 + 14 = A - 12$
$12 = A - 12$
$A = 24$.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12} = \lambda$ છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ સ્વરૂપમાં મળે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 16$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 16$
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 16$
$11\lambda + 5 = 16$
$11\lambda = 11$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ ને યામોમાં મૂકતા,છેદબિંદુ મળે:
$x = 3(1) + 2 = 5$
$y = 4(1) - 1 = 3$
$z = 12(1) + 2 = 14$
તેથી,છેદબિંદુ $(5, 3, 14)$ છે.
હવે,બિંદુ $(1, 0, 2)$ અને $(5, 3, 14)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ:
$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (3 - 0)^2 + (14 - 2)^2}$
$d = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}$
$d = \sqrt{16 + 9 + 144}$
$d = \sqrt{169} = 13$.
આમ,અંતર $13$ એકમ છે.

(D) સમતલો $2x - 5y + z - 3 = 0$ અને $x + y + 4z - 5 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ:
$(2x - 5y + z - 3) + \lambda(x + y + 4z - 5) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(2 + \lambda)x + (\lambda - 5)y + (4\lambda + 1)z - (3 + 5\lambda) = 0 \quad \dots(i)$
આ સમતલ $x + 3y + 6z = 1$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હશે:
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{\lambda - 5}{3} = \frac{4\lambda + 1}{6} = k$
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{\lambda - 5}{3}$ લેતા,$6 + 3\lambda = \lambda - 5 \implies 2\lambda = -11 \implies \lambda = -\frac{11}{2}$.
$\lambda = -\frac{11}{2}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(2 - \frac{11}{2})x + (-\frac{11}{2} - 5)y + (4(-\frac{11}{2}) + 1)z - (3 + 5(-\frac{11}{2})) = 0$
$-\frac{7}{2}x - \frac{21}{2}y - 21z + \frac{49}{2} = 0$
$-\frac{2}{7}$ વડે ગુણતા:
$x + 3y + 6z - 7 = 0 \implies x + 3y + 6z = 7$.

(D) ધારો કે $I = \int_{2}^{4} \frac{\log(x^2)}{\log(x^2) + \log((6-x)^2)} \, dx$.
ગુણધર્મ $\log(a^2) = 2\log|a|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{2}^{4} \frac{2\log x}{2\log x + 2\log(6-x)} \, dx = \int_{2}^{4} \frac{\log x}{\log x + \log(6-x)} \, dx \quad \dots(1)$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = 2+4 = 6$:
$I = \int_{2}^{4} \frac{\log(6-x)}{\log(6-x) + \log(6-(6-x))} \, dx = \int_{2}^{4} \frac{\log(6-x)}{\log(6-x) + \log x} \, dx \quad \dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{2}^{4} \frac{\log x + \log(6-x)}{\log x + \log(6-x)} \, dx = \int_{2}^{4} 1 \, dx$.
$2I = [x]_{2}^{4} = 4 - 2 = 2$.
$I = 1$.

(A) આપેલ છે કે $AA^T = 9I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે.
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,ત્રીજી હારના ઘટકોને ધ્યાનમાં લઈએ:
$(3, 1)$ સ્થાન માટે: $a(1) + 2(2) + b(2) = 0 \Rightarrow a + 2b + 4 = 0 \Rightarrow a + 2b = -4$ ... $(i)$
$(3, 2)$ સ્થાન માટે: $a(2) + 2(1) + b(-2) = 0 \Rightarrow 2a - 2b + 2 = 0 \Rightarrow a - b = -1$ ... $(ii)$
સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$a = b - 1$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $(b - 1) + 2b = -4 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1$.
તેથી,$a = -1 - 1 = -2$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (-2, -1)$ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$(2-\lambda)x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$
$2x_1 - (3+\lambda)x_2 + 2x_3 = 0$
$-x_1 + 2x_2 - \lambda x_3 = 0$
શૂન્યેતર ઉકેલ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -2 & 1 \\ 2 & -(3+\lambda) & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$R_1 \to R_1 + R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1-\lambda \\ 2 & -(3+\lambda) & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ માંથી $(1-\lambda)$ સામાન્ય લેતા:
$(1-\lambda) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -(3+\lambda) & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\lambda) [1(\lambda(3+\lambda) - 4) + 1(4 - (3+\lambda))] = 0$
$(1-\lambda) [3\lambda + \lambda^2 - 4 + 4 - 3 - \lambda] = 0$
$(1-\lambda) [\lambda^2 + 2\lambda - 3] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda+3)(\lambda-1) = 0$
$-(1-\lambda)^2(\lambda+3) = 0$
આમ,$\lambda = 1$ અને $\lambda = -3$. મૂલ્યોનો સમૂહ $\{1, -3\}$ છે,જેમાં બે ઘટકો છે.

(D) આપેલ છે કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {1 + \frac{{f(x)}}{{{x^2}}}} \right] = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{{x^2}}} = 2$.
$f(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી,ધારો કે $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $2$ હોય તે માટે,$e=0$,$d=0$ અને $c=2$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 2x^2$.
હવે $f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 4x$.
$f(x)$ એ $x=1$ અને $x=2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો ધરાવે છે,તેથી $f'(1) = 0$ અને $f'(2) = 0$.
$f'(1) = 4a + 3b + 4 = 0 \Rightarrow 4a + 3b = -4$.
$f'(2) = 4a(8) + 3b(4) + 4(2) = 32a + 12b + 8 = 0 \Rightarrow 8a + 3b = -2$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(8a + 3b) - (4a + 3b) = -2 - (-4) \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$a = \frac{1}{2}$ ને $4a + 3b = -4$ માં મૂકતા: $4(\frac{1}{2}) + 3b = -4 \Rightarrow 2 + 3b = -4 \Rightarrow 3b = -6 \Rightarrow b = -2$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.
$f(2)$ ની ગણતરી કરતા: $f(2) = \frac{1}{2}(16) - 2(8) + 2(4) = 8 - 16 + 8 = 0$.

(B) કારણ કે $g(x)$ વિકલનીય છે,તેથી તે $x=3$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$x=3$ આગળ સાતત્ય માટે,$\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^+} g(x) = g(3)$.
$\lim_{x \to 3^-} k\sqrt{x+1} = k\sqrt{3+1} = 2k$.
$\lim_{x \to 3^+} (mx+2) = 3m+2$.
આમ,$2k = 3m+2$ --- $(i)$.
$x=3$ આગળ વિકલનીયતા માટે,$g'(3^-) = g'(3^+)$.
$g'(x) = \begin{cases} \frac{k}{2\sqrt{x+1}}, & 0 < x < 3 \\ m, & 3 < x < 5 \end{cases}$.
$g'(3^-) = \frac{k}{2\sqrt{3+1}} = \frac{k}{4}$.
$g'(3^+) = m$.
તેથી,$\frac{k}{4} = m \Rightarrow k = 4m$ --- $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2(4m) = 3m+2 \Rightarrow 8m = 3m+2 \Rightarrow 5m = 2 \Rightarrow m = \frac{2}{5}$.
તેથી $k = 4(\frac{2}{5}) = \frac{8}{5}$.
આમ,$k+m = \frac{8}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ છે.
$(x \log x)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q(x) = 2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે.
$y \cdot \log x = \int 2 \log x dx = 2(x \log x - x) + C$.
$y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 1$ મૂકતા $0 \cdot \log(1) = 2(1 \log 1 - 1) + C \Rightarrow 0 = 2(0 - 1) + C \Rightarrow C = 2$ મળે છે.
તેથી,$y \log x = 2x \log x - 2x + 2$.
$x = e$ માટે,$y \log e = 2e \log e - 2e + 2$.
$\log e = 1$ હોવાથી,$y(1) = 2e - 2e + 2$,જેનું સાદું રૂપ $y = 2$ થાય છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}}$.
છેદમાં કૌંસની અંદરના પદમાંથી $x^4$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int \frac{dx}{x^2 \left[ x^4(1 + \frac{1}{x^4}) \right]^{3/4}}$
$I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot (x^4)^{3/4} \cdot (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$
$I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 \cdot (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$
$I = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$
ધારો કે $t = 1 + \frac{1}{x^4}$. તેથી $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dt}{-4} = \frac{dx}{x^5}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t^{3/4}} \cdot (-\frac{1}{4} dt)$
$I = -\frac{1}{4} \int t^{-3/4} dt$
$I = -\frac{1}{4} \left[ \frac{t^{1/4}}{1/4} \right] + c$
$I = -t^{1/4} + c$
$t = 1 + \frac{1}{x^4}$ પાછું મૂકતા:
$I = -\left( 1 + \frac{1}{x^4} \right)^{1/4} + c$
$I = -\left( \frac{x^4 + 1}{x^4} \right)^{1/4} + c$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right)$.
અહીં $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,સૂત્ર $\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) = 2 \tan ^{-1} x$ ની શરત સંતોષાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} x$
$\tan ^{-1} y = 3 \tan ^{-1} x$
નિત્યસમ $3 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$
તેથી,$y = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}$.

(B) દરેક બોક્સમાં દડા આવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ છે.
બાયનોમિયલ વિતરણ મુજબ,કોઈ એક ચોક્કસ બોક્સમાં $3$ દડા હોવાની સંભાવના $P(X = 3) = \binom{12}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^9$ છે.
ગણતરી કરતા: $P = 220 \times \frac{1}{27} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{220}{27} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9$.
આને સાદું રૂપ આપતા: $P = \frac{55}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{55}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{11}$.

(B) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ મુજબ: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
આને આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા: $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}| \vec{a}$.
અહીં $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ શૂન્યતર છે અને કોઈ પણ બે સમરેખ નથી,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. સમીકરણ સંતોષવા માટે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ અને $-(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-|\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.
$|\vec{b}| |\vec{c}|$ વડે ભાગતા,આપણને $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ મળે છે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (કારણ કે $\theta \in [0, \pi]$,$\sin \theta \ge 0$).

(C) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, 1, \lambda)$ માટે,અંતર $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$ છે.
બિંદુ $(-3, 0, 1)$ માટે,અંતર $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ છે.
બંને બિંદુઓ સમાન અંતરે હોવાથી,$d_1 = d_2$,તેથી $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|20 - 12\lambda| = 8$,અથવા $|5 - 3\lambda| = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(5 - 3\lambda)^2 = 2^2$,જે $25 - 30\lambda + 9\lambda^2 = 4$ આપે છે.
પદોને ગોઠવતા,$9\lambda^2 - 30\lambda + 21 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $3\lambda^2 - 10\lambda + 7 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
હવે,ઉચ્ચ ઘાતની ગણતરી કરો:
$A^3 = A^2 \cdot A = -I \cdot A = -A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^4 = (A^2)^2 = (-I)^2 = I$.
વિકલ્પો તપાસો:
$A$. $A^2 + I = -I + I = 0$. $A(A^2 - I) = A(-I - I) = A(-2I) = -2A$. કારણ કે $0 \neq -2A$,આ ખોટું છે.
$B$. $A^4 - I = I - I = 0$. $A^2 + I = -I + I = 0$. આમ $0 = 0$ (સાચું).
$C$. $A^3 + I = -A + I$. $A(A^3 - I) = A(-A - I) = -A^2 - A = I - A$. કારણ કે $-A + I = I - A$,આ સાચું છે.
$D$. $A^3 - I = -A - I$. $A(A - I) = A^2 - A = -I - A$. કારણ કે $-A - I = -I - A$,આ સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન સાચું નથી.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ અને $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$ મળે.
$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \implies 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = 60^{\circ}$.
આમ,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 60^{\circ} = 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} \times \vec{b})$.
કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b})$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 + |3(\vec{a} \times \vec{b})|^2$.
$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 4(1) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 4 + 2 = 7$.
$|3(\vec{a} \times \vec{b})|^2 = 9 |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 9 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 9 \times \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.
$|\vec{c}|^2 = 7 + \frac{27}{4} = \frac{28 + 27}{4} = \frac{55}{4}$.
તેથી,$|\vec{c}| = \frac{\sqrt{55}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2|\vec{c}| = \sqrt{55}$.

(C) બીજી રેખા બે સમતલોના છેદબિંદુ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x + y + z + 1 = 0$ અને $2x - y + z + 3 = 0$.
છેદતી રેખામાંથી પસાર થતા સમતલોના પરિવારનું સમીકરણ $(x + y + z + 1) + \lambda(2x - y + z + 3) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(1 + 2\lambda)x + (1 - \lambda)y + (1 + \lambda)z + (1 + 3\lambda) = 0$ થાય છે.
પ્રથમ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (\alpha, -1, 1)$ છે. સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$ છે.
રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી,$\vec{v_1} \cdot \vec{n} = 0$,તેથી $\alpha(1 + 2\lambda) - (1 - \lambda) + (1 + \lambda) = 0$,જે $\alpha(1 + 2\lambda) + 2\lambda = 0$ આપે છે,અથવા $\alpha = -\frac{2\lambda}{1 + 2\lambda}$.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ (દા.ત.,$(1, -1, 0)$) થી સમતલનું લંબ અંતર છે:
$d = \frac{|(1 + 2\lambda)(1) + (1 - \lambda)(-1) + (1 + \lambda)(0) + (1 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + 2\lambda)^2 + (1 - \lambda)^2 + (1 + \lambda)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અંશનું સાદું રૂપ: $|1 + 2\lambda - 1 + \lambda + 1 + 3\lambda| = |6\lambda + 1|$.
છેદનું સાદું રૂપ: $\sqrt{1 + 4\lambda + 4\lambda^2 + 1 - 2\lambda + \lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2} = \sqrt{6\lambda^2 + 4\lambda + 3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(6\lambda + 1)^2}{6\lambda^2 + 4\lambda + 3} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(36\lambda^2 + 12\lambda + 1) = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3$.
$108\lambda^2 + 36\lambda + 3 = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3 \Rightarrow 102\lambda^2 + 32\lambda = 0$.
આમ,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -\frac{32}{102} = -\frac{16}{51}$.
જો $\lambda = 0$ હોય,તો $\alpha = 0$. જો $\lambda = -\frac{16}{51}$ હોય,તો $\alpha = -\frac{2(-16/51)}{1 + 2(-16/51)} = \frac{32/51}{(51 - 32)/51} = \frac{32}{19}$.

(C) આપેલ વક્રો $y = -2x^2$ અને $y = 1 - 3x^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2x^2 = 1 - 3x^2$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
વક્રો $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = 2 \int_{0}^{1} (y_{upper} - y_{lower}) dx$
અહીં,$y_{upper} = 1 - 3x^2$ અને $y_{lower} = -2x^2$ છે.
$A = 2 \int_{0}^{1} ((1 - 3x^2) - (-2x^2)) dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx$
$A = 2 [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) અંતરાલ $[-1, 1]$ પર રોલના પ્રમેય માટે,$f(-1) = f(1)$ હોવું જરૂરી છે.
આપેલ $f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx$ માટે:
$f(1) = 2(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = 2 + b + c$
$f(-1) = 2(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) = -2 + b - c$
$f(1) = f(-1)$ લેતા:
$2 + b + c = -2 + b - c$
$2c = -4 \implies c = -2$
વળી,રોલના પ્રમેય મુજબ $f'(c') = 0$ થાય તેવો $c' \in (-1, 1)$ મળે. અહીં $c' = \frac{1}{2}$ છે.
$f'(x) = 6x^2 + 2bx + c$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{4}\right) + 2b\left(\frac{1}{2}\right) + c = 0$
$\frac{3}{2} + b + c = 0$
$c = -2$ મૂકતા:
$\frac{3}{2} + b - 2 = 0 \implies b - \frac{1}{2} = 0 \implies b = \frac{1}{2}$
અંતે,$2b + c$ ની કિંમત:
$2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$.

(D) નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\Delta = x(yz - 1) - 1(z - 1) + 1(1 - y) = xyz - x - z + 1 - 1 + 1 - y = xyz - (x + y + z) + 2$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta \ge 0$,તેથી $xyz - (x + y + z) + 2 \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $xyz + 2 \ge x + y + z$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$x + y + z \ge 3(xyz)^{1/3}$.
ધારો કે $t = (xyz)^{1/3}$,તો અસમતા $t^3 + 2 \ge x + y + z$ બને છે.
ન્યૂનતમ કિંમત માટે,$x=y=z=t$ લેતા,$t^3 - 3t + 2 \ge 0$ મળે.
અવયવ પાડતા,$(t - 1)^2(t + 2) \ge 0$ મળે.
$(t - 1)^2 \ge 0$ હોવાથી,$t + 2 \ge 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $t \ge -2$.
તેથી,$xyz = t^3 \ge (-2)^3 = -8$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-8$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt$.
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $t = \frac{1}{u}$,તેથી $dt = -\frac{1}{u^2} du$. જ્યારે $t=1, u=1$ અને જ્યારે $t=1/x, u=x$.
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(1/u)}{1 + 1/u} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u(u+1)} du$.
હવે,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt + \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t(1+t)} dt = \int_{1}^{x} \ln t \left( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{t(1+t)} \right) dt$.
ઇન્ટિગ્રન્ડનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{1+t} + \frac{1}{t(1+t)} = \frac{t+1}{t(1+t)} = \frac{1}{t}$.
તેથી,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t} dt$.
ધારો કે $\ln t = v$,તેથી $\frac{1}{t} dt = dv$. જ્યારે $t=1, v=0$ અને જ્યારે $t=x, v=\ln x$.
$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{0}^{\ln x} v dv = \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{\ln x} = \frac{1}{2}(\ln x)^2$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2 \tan^{-1} x + \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$ છે,જ્યાં $x > 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 1$ માટે,$\sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$ નું સૂત્ર $\pi - 2 \tan^{-1} x$ થાય છે.
આ કિંમતને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(x) = 2 \tan^{-1} x + (\pi - 2 \tan^{-1} x)$
$f(x) = \pi$.
આમ,$x > 1$ માટે $f(x)$ એ અચળ વિધેય હોવાથી,$f(5) = \pi$ થાય.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો:
$x = 2\cos t + 2t\sin t$
$y = 2\sin t - 2t\cos t$
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{dt} = -2\sin t + 2(\sin t + t\cos t) = 2t\cos t$
$\frac{dy}{dt} = 2\cos t - 2(\cos t - t\sin t) = 2t\sin t$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t\sin t}{2t\cos t} = \tan t$
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ બિંદુ $(x, y)$ શોધો:
$x = 2\cos(\frac{\pi}{4}) + 2(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
$y = 2\sin(\frac{\pi}{4}) - 2(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે:
$y - (\sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}) = -1(x - (\sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}))$
$x + y = 2\sqrt{2}$
રેખા $Ax + By + C = 0$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$x + y - 2\sqrt{2} = 0$,તેથી $A=1, B=1, C=-2\sqrt{2}$.
$d = \frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x+1)^{3/4}(x-2)^{5/4}}$.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{3/4} (x-2)^{3/4} (x-2)^{5/4}} = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{3/4} (x-2)^2}$.
ધારો કે $t = \frac{x+1}{x-2}$.
તેથી,$dt = \frac{(x-2)(1) - (x+1)(1)}{(x-2)^2} dx = \frac{x-2-x-1}{(x-2)^2} dx = \frac{-3}{(x-2)^2} dx$.
તેથી,$\frac{dx}{(x-2)^2} = -\frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t^{3/4}} \left(-\frac{1}{3} dt\right) = -\frac{1}{3} \int t^{-3/4} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = -\frac{1}{3} \left( \frac{t^{-3/4 + 1}}{-3/4 + 1} \right) + c = -\frac{1}{3} \left( \frac{t^{1/4}}{1/4} \right) + c = -\frac{4}{3} t^{1/4} + c$.
$t = \frac{x+1}{x-2}$ પાછા મૂકતા:
$I = -\frac{4}{3} \left( \frac{x+1}{x-2} \right)^{1/4} + c$.

(C) આપેલ છે કે $f(2 - x) = f(2 + x)$,તેથી વિધેય $x = 2$ ની સાપેક્ષ સંમિત છે.
આપેલ છે કે $f(4 - x) = f(4 + x)$,તેથી વિધેય $x = 4$ ની સાપેક્ષ સંમિત છે.
બીજા સમીકરણમાં $x$ ને $x - 2$ વડે બદલતા: $f(4 - (x - 2)) = f(4 + (x - 2)) \Rightarrow f(6 - x) = f(2 + x)$.
કારણ કે $f(2 - x) = f(2 + x)$,તેથી $f(6 - x) = f(2 - x)$.
ધારો કે $t = 2 - x$,તો $f(4 + t) = f(t)$,જે દર્શાવે છે કે $f(x)$ એ $T = 4$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
આપણને $\int_{0}^{2} f(x) dx = 5$ આપેલ છે.
કારણ કે $f(2 - x) = f(2 + x)$,તેથી $\int_{0}^{4} f(x) dx = \int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{4} f(x) dx = 2 \int_{0}^{2} f(x) dx = 2 \times 5 = 10$.
હવે,$\int_{10}^{50} f(x) dx = \frac{50 - 10}{4} \int_{0}^{4} f(x) dx = 10 \times 10 = 100$.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{(1 + x)^{3/5}}{1 + x^{3/5}}$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.
વિકલન $f'(x)$ લેતા:
$f'(x) = \frac{(1 + x^{3/5}) \cdot \frac{3}{5}(1 + x)^{-2/5} - (1 + x)^{3/5} \cdot \frac{3}{5}x^{-2/5}}{(1 + x^{3/5})^2}$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{1 + x^{3/5}}{(1 + x)^{2/5}} - \frac{(1 + x)^{3/5}}{x^{2/5}} \right]$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5}(1 + x^{3/5}) - (1 + x)^{3/5}(1 + x)^{2/5}}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} + x - (1 + x)}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right] = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} - 1}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$
અહીં $x \in [0, 1]$ હોવાથી,$x^{2/5} \le 1$,તેથી $f'(x) \le 0$. વિધેય ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $K = f(0) = \frac{(1+0)^{0.6}}{1+0^{0.6}} = 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત $k = f(1) = \frac{(1+1)^{0.6}}{1+1^{0.6}} = \frac{2^{0.6}}{2} = 2^{0.6 - 1} = 2^{-0.4}$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(k, K) = (2^{-0.4}, 1)$ થાય.

(C) ધારો કે $\vec{AB} = \vec{u}$ અને $\vec{AD} = \vec{v}$. તેથી $|\vec{u}| = a$ અને $|\vec{v}| = b$ છે.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{u} + \vec{v}$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec{AC}| = c$,તેથી $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = c^2$ થાય.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = c^2$ મળે.
માનાંકની કિંમતો મૂકતા,$a^2 + b^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AD}) = c^2$ મળે.
આથી,$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(c^2 - a^2 - b^2)$ થાય.
આપણે $\overline{DA} \cdot \overline{AB}$ શોધવાનું છે.
$\overline{DA} = -\overline{AD}$ હોવાથી,$\overline{DA} \cdot \overline{AB} = -(\overline{AD} \cdot \overline{AB}) = -\frac{1}{2}(c^2 - a^2 - b^2) = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - c^2)$ થાય.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $ydx - (x + 2y^2)dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $ydx - xdy = 2y^2 dy$ મળે છે.
બંને બાજુને $y^2$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ માટે),આપણને $\frac{ydx - xdy}{y^2} = 2dy$ મળે છે.
આ $d(\frac{x}{y}) = 2dy$ ને સમાન છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\frac{x}{y} = 2y + c$ મળે છે.
આપેલ છે કે $f(-1) = 1$,જેનો અર્થ છે કે જ્યારે $y = -1$ હોય ત્યારે $x = 1$ છે. આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-1} = 2(-1) + c \Rightarrow -1 = -2 + c \Rightarrow c = 1$.
આમ,ઉકેલ $\frac{x}{y} = 2y + 1$ છે,અથવા $x = 2y^2 + y$.
$f(1)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $y = 1$ મૂકીએ છીએ: $x = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$.
તેથી,$f(1) = 3$.

(B) આપેલ રેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $(x + y + 2z - 3) + \lambda(2x + 3y + 4z - 4) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (2 + 4\lambda)z - (3 + 4\lambda) = 0$ મળે છે.
જો આ સમતલ $z$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$ એ $z$-અક્ષ (જેની દિશા $\vec{k} = (0, 0, 1)$ છે) ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$(1 + 2\lambda)(0) + (1 + 3\lambda)(0) + (2 + 4\lambda)(1) = 0$.
આનાથી $2 + 4\lambda = 0$ મળે છે,તેથી $\lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + y + 2z - 3) - \frac{1}{2}(2x + 3y + 4z - 4) = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x + 2y + 4z - 6 - 2x - 3y - 4z + 4 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-y - 2 = 0$ અથવા $y + 2 = 0$ થાય છે.
$z$-અક્ષ એ $x = 0, y = 0$ રેખા છે. $z$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ (દા.ત.,$(0, 0, 0)$) થી સમતલ $y + 2 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|0 + 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{1} = 2$ મળે છે.

(A) અહીં $A = \{x_1, \dots, x_7\}$ અને $B = \{y_1, y_2, y_3\}$ આપેલ છે.
આપણે એવા વ્યાપ્ત વિધેયો $f: A \to B$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં $A$ ના બરાબર $3$ ઘટકો $y_2$ પર જાય.
સૌ પ્રથમ,$A$ માંથી $3$ ઘટકો પસંદ કરવાની રીત ${}^7C_3$ છે.
હવે,$A$ ના બાકીના $4$ ઘટકોએ $B$ ના બાકીના $2$ ઘટકો $\{y_1, y_3\}$ પર જવું પડે.
વિધેય વ્યાપ્ત બને તે માટે,$4$ ઘટકોએ $\{y_1, y_3\}$ ને આવરી લેવા જોઈએ.
આ $4$ ઘટકોથી $\{y_1, y_3\}$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
વિધેય વ્યાપ્ત રહે તે માટે આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડે જેમાં બધા $4$ ઘટકો માત્ર $y_1$ અથવા માત્ર $y_3$ પર જાય.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$ થશે.
આમ,કુલ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા ${}^7C_3 \times 14 = 14 \times {}^7C_3$ થાય.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે જ્યાં $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
ત્રિકોણના અસ્તિત્વ માટે ત્રિકોણની અસમતા $a+b > c$ નું પાલન થવું જોઈએ.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે ઓછામાં ઓછી બે બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ. જો $a=b$ લઈએ,તો કુલ $27$ કિસ્સાઓ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ત્રિકોણ $(6,6,6)$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{1}{27}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $f : (-1, 1) \to R$ એક સતત વિધેય છે અને $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d}{dx} \left( \int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x \right)$
$f(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\sin x) \cdot \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ શોધવા માટે,આપણે $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ લઈએ.
આથી $x = \frac{\pi}{3}$ મળે.
હવે $x = \frac{\pi}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$f\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3}$

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\log (t+\sqrt{1+t^{2}})}{\sqrt{1+t^{2}}} dt$.
$u = \log (t+\sqrt{1+t^{2}})$ આદેશ લેતા.
તેથી,$du = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^{2}}} \cdot \left( 1 + \frac{2t}{2\sqrt{1+t^{2}}} \right) dt = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^{2}}} \cdot \left( \frac{\sqrt{1+t^{2}}+t}{\sqrt{1+t^{2}}} \right) dt = \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} dt$.
તેથી,$I = \int u du = \frac{u^{2}}{2} + C$.
આપેલ સમીકરણ $I = \frac{1}{2}[g(t)]^{2} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g(t) = u = \log (t+\sqrt{1+t^{2}})$ મળે છે.
હવે,$t = 2$ મુકતા:
$g(2) = \log (2+\sqrt{1+2^{2}}) = \log (2+\sqrt{5})$.

(D) રેખા $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-3}{4}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0$ છે,જ્યાં $A+5B+4C=0$ (કારણ કે અભિલંબ સદિશ રેખાની દિશા $(1, 5, 4)$ ને લંબ છે).
બિંદુ $(3, 2, 0)$ સમતલ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ: $A(3-1)+B(2-2)+C(0-3)=0$,જે $2A-3C=0$ અથવા $2A=3C$ માં પરિણમે છે.
$A+5B+4C=0$ માંથી,આપણે $A = \frac{3}{2}C$ મૂકીએ: $\frac{3}{2}C+5B+4C=0 \Rightarrow 5B = -\frac{11}{2}C \Rightarrow B = -\frac{11}{10}C$.
ધારો કે $C = -10$,તો $A = -15$ અને $B = 11$. સમતલનું સમીકરણ $-15(x-1)+11(y-2)-10(z-3)=0$ છે.
$-15x+15+11y-22-10z+30=0 \Rightarrow -15x+11y-10z+23=0$.
સદિશ $(3-1, 2-2, 0-3) = (2, 0, -3)$ અને $(1, 5, 4)$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 15\hat{i} - 11\hat{j} + 10\hat{k}$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $15(x-1) - 11(y-2) + 10(z-3) = 0 \Rightarrow 15x - 11y + 10z - 23 = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 7, 10)$ ચકાસતા: $15(0) - 11(7) + 10(10) - 23 = -77 + 100 - 23 = 0$. તેથી,સાચો જવાબ $(0, 7, 10)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|k \cdot M| = k^n |M|$,જ્યાં $M$ એ $n \times n$ શ્રેણિક છે.
આપેલ સમીકરણમાં આ ગુણધર્મ લાગુ પાડતા: $|5 \cdot \text{adj } A| = 5^3 |\text{adj } A| = 125 |\text{adj } A|$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$.
$n = 3$ મૂકતા,આપણને $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $125 |A|^2 = 5$ બને છે.
$|A|^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|A| = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}$.

(B) આપેલ વક્ર $\sin y = x \sin \left( \frac{\pi}{3} + y \right)$ છે.
$x = 0$ માટે,$\sin y = 0 \implies y = 0$. તેથી બિંદુ $(0, 0)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\cos y \frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{\pi}{3} + y \right) + x \cos \left( \frac{\pi}{3} + y \right) \frac{dy}{dx}$.
$(0, 0)$ આગળ:
$\cos(0) \frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
$(0, 0)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$ છે.
$\sqrt{3}y = -2x \implies 2x + \sqrt{3}y = 0$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ અંતરાલ $[-1, 1]$ પર છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,જો $f(x)$ અંતરાલ $[-1, 1]$ પર સતત હોય,$(-1, 1)$ પર વિકલનીય હોય અને $f(-1) = f(1)$ હોય,તો ઓછામાં ઓછું એક $c \in (-1, 1)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
પ્રથમ,$f(-1) = f(1)$ શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$f(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) = 2 + a + b$
$f(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) = -2 + a - b$
$f(1) = f(-1)$ લેતા:
$2 + a + b = -2 + a - b$
$2b = -4 \implies b = -2$
હવે,$c = \frac{1}{2}$ આગળ $f'(c) = 0$ શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2a\left(\frac{1}{2}\right) + b = 0$
$6\left(\frac{1}{4}\right) + a + b = 0$
$\frac{3}{2} + a + b = 0$
$b = -2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{2} + a - 2 = 0$
$a - \frac{1}{2} = 0 \implies a = \frac{1}{2}$
છેલ્લે,$2a + b$ ની કિંમત મેળવતા:
$2a + b = 2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$

(B) પરવલય $y^2 = 2x$ અને રેખા $y = 4x - 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણ $y = 4x - 1$ માં $x = \frac{y^2}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = 4\left(\frac{y^2}{2}\right) - 1$
$y = 2y^2 - 1$
$2y^2 - y - 1 = 0$
$(2y + 1)(y - 1) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $y = 1$ અને $y = -\frac{1}{2}$ આગળ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં રેખા અને પરવલય વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1/2}^{1} \left( \frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{y}{4} - \frac{y^3}{6} \right]_{-1/2}^{1}$
$= \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( \frac{1/4}{8} + \frac{-1/2}{4} - \frac{-1/8}{6} \right)$
$= \left( \frac{3+6-4}{24} \right) - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{8} + \frac{1}{48} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( \frac{3 - 12 + 2}{96} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( -\frac{7}{96} \right) = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ ચોરસ એકમ.

(D) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
આપેલ છે કે $f(0) = 12$,તેથી $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^2}{\sin (x/k) \log (1 + x/4)} = 12$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^2}{\frac{\sin (x/k)}{x} \cdot \frac{\log (1 + x/4)}{x}} = 12$.
પ્રમાણિત લક્ષો $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$,$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (ax)}{x} = a$,અને $\lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + ax)}{x} = a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1^2}{(1/k) \cdot (1/4)} = 12$.
$\frac{1}{1/(4k)} = 12$.
$4k = 12$.
$k = 3$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+2) \frac{dy}{dx} = x^2+4x-9$.
જમણી બાજુને આ રીતે લખી શકાય: $x^2+4x-9 = (x^2+4x+4) - 13 = (x+2)^2 - 13$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+2)^2 - 13}{x+2} = (x+2) - \frac{13}{x+2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dy = \int (x+2) dx - 13 \int \frac{1}{x+2} dx$.
$y = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + C$.
આપેલ છે કે $y(0) = 0$,તેથી $x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$0 = \frac{(0+2)^2}{2} - 13 \ln|0+2| + C$.
$0 = 2 - 13 \ln(2) + C \implies C = 13 \ln(2) - 2$.
આમ,ઉકેલ $y(x) = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + 13 \ln(2) - 2$ છે.
હવે,$y(-4)$ શોધીએ:
$y(-4) = \frac{(-4+2)^2}{2} - 13 \ln|-4+2| + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{(-2)^2}{2} - 13 \ln(2) + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{4}{2} - 2 = 2 - 2 = 0$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
આપણે સંભાવના $P(X \geq 1)$ શોધવાની છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = {}^4C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.